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2013
JOSE DEL C. VAZQUEZ HDEZ
INGENIERIA INDUSTRIAL
21/02/2013
MATERIA: SIMULACION
INSTITUTO TECNOLOGICO DE
TUXTLA GUTIERREZ
ndice general
Unidad Temas Subtemas 1 Introduccin a la
Simulacin de eventos discretos
1.1. Introduccin 1.2. Definiciones y Aplicaciones
1.3. Estructura y caractersticas de la simulacin de eventos discretos.
1.4. Sistemas, Modelos y Control
1.5. Mecanismos de tiempo fijo y tiempo variable
1.6. Etapas de un Proyecto de simulacin
2 Generacin de Nmeros Aleatorios
2.1. Nmeros aleatorios: definicin, propiedades, generadores y tablas
2.2. Propiedades de los nmeros pseudoaleatorios. 2.3. Pruebas estadsticas de aleatoriedad para los
nmeros pseudoaleatorios: de medias, de varianza, de independencia y de bondad de ajuste.
2.4. Obtencin de nmeros pseudoaleatorios utilizando paquetes computacionales.
2.5. Mtodo de Monte Carlo
3 Generacin de Variables Aleatorias
3.1. Introduccin 3.2. Generacin de variables aleatorias discretas y continuas utilizando paquetes computacionales como
Excel, ProModel, Arena.
4 Lenguajes de Simulacin y Simuladores de
Eventos Discretos
4.1. Antecedentes de los lenguajes de simulacin y simuladores
4.2. Aprendizaje y uso de un Simulador como:
ProModel, Arena, entre otros.
4.3. Caractersticas del software 4.4. Construccin de modelos 4.5. Consideraciones econmicas en la simulacin. 4.6. Realizar prcticas utilizando el simulador para procesos productivos, de transporte, lneas de espera, calidad, inventarios, entre otros.
4.7. Interpretacin de los resultados obtenidos y generacin de propuestas de mejora para el modelo analizado.
5 Proyecto de Aplicacin 5.1. Elaboracin de un proyecto final 5.2. Anlisis, modelado, simulacin e interpretacin
de resultados para sistemas reales de empresas de
manufactura o de servicios, a fin de detectar las
mejoras posibles a realizar y proponer acciones que
mejoren su desempeo, considerando aspectos econmicos
Unidad I. Introduccin a la Simulacin de eventos discretos
1.1. Introduccin
En aos recientes, el advenimiento de nuevos y mejores desarrollos en el rea de la
computacin ha trado consigo innovaciones igualmente importantes en los terrenos de la toma
de decisiones y el diseo de procesos y productos. En este sentido, una de las tcnicas de
mayor impacto es la simulacin.
Hoy en da, el analista tiene a su disposicin una gran cantidad de software de simulacin que
le permite tomar decisiones en temas muy diversos. Por ejemplo, determinar la mejor
localizacin de una nueva planta, disear un nuevo sistema de trabajo o efectuar el anlisis
productivo de un proceso ya existente pero que requiere mejoras. Sin duda, la facilidad que
otorga a la resolucin de stas y muchas otras problemticas, ha hecho de la simulacin una
herramienta cuyo uso y desarrollo se han visto significativamente alentados. Cada vez resulta
ms sencillo encontrar paquetes de software con gran capacidad de anlisis, as como mejores
animaciones y caractersticas para generacin de reportes. En general, dichos paquetes ya
sea orientado a procesos, a servicios o de ndole general nos proveen de una enorme
diversidad de herramientas estadsticas que permiten un manejo ms eficiente de la
informacin relevante bajo anlisis, y una mejor presentacin e interpretacin de la misma.
El concepto de simulacin engloba soluciones para muchos propsitos diferentes. Por
ejemplo, podramos decir que el modelo de un avin a escala que se introduce a una cmara
por donde se hace pasar un flujo de aire, puede simular los efectos que experimentar un avin
real cuando se vea sometido a turbulencia. Por otro lado, algunos paquetes permiten hacer la
representacin de un proceso de fresado o torneado: una vez que el usuario establezca ciertas
condiciones iniciales, podr ver cmo se llevara a cabo el proceso real, lo que le permitira
revisarlo sin necesidad de desperdiciar material ni poner en riesgo la maquinaria.
Entre los distintos tipos de procesos de simulacin que podemos utilizar, en este libro nos
ocuparemos del que se basa en el uso de ecuaciones matemticas y estadsticas, conocido
como simulacin de eventos discretos. Este proceso consiste en relacionar los diferentes
eventos que pueden cambiar el estado de un sistema bajo estudio por medio de distribuciones
de probabilidad y condiciones lgicas del problema que se est analizando. Por ejemplo, un
proceso de inspeccin donde sabemos estadsticamente que 0.2% de los productos tiene algn
tipo de defecto puede simularse con facilidad mediante una simple hoja de clculo,
considerando estadsticas de rechazos y productos conformes, y asignando una distribucin de
probabilidad con 0.2% de oportunidad de defecto para cada intento de inspeccin.
En el presente captulo abordaremos las definiciones bsicas de los conceptos de la simulacin
de eventos discretos. En los siguientes se presentarn algunos otros elementos relevantes,
como los nmeros pseudoaleatorios y las pruebas estadsticas necesarias para comprobar esta
aleatoriedad, la generacin de variables aleatorias y la caracterizacin de algunas
distribuciones de probabilidad de uso comn en la simulacin, lo cual nos permitir realizar
una simulacin sencilla con ayuda de una hoja de clculo. Por ltimo, describiremos la
utilizacin de un software comercial: Promodel, una versin limitada del cual se incluye en
este curso.
La simulacin consiste bsicamente en construir modelos informticos que describen la parte
esencial del comportamiento de un sistema de inters, as como en disear y realizar
experimentos con el modelo y extraer conclusiones de sus resultados para apoyar la toma de
decisiones. Tpicamente, se utiliza en el anlisis de sistemas tan complejos que no es posible
su tratamiento analtico o mediante mtodos de anlisis numricos. Sus orgenes estn en los
trabajos de Student para aproximar la distribucin que lleva su nombre, y los mtodos que
Von Neumann y Ulam introdujeron para resolver ecuaciones integrales. Desde entonces, la
Simulacin ha crecido como una metodologa de experimentacin fundamental en campos tan
diversos como la Economa, la estadstica, la Informtica o la Fsica, y con enormes
aplicaciones industriales y comerciales, como los simuladores de vuelo, los juegos de
simulacin, o la prediccin burstil o meteorolgica.
La crisis del petrleo de los aos setenta oblig a la industria en general a enfocar sus
esfuerzos en ser enrgicamente ms eficientes, inicindose as una etapa de desarrollo
tecnolgico encaminado a mejorar los procesos existentes y a disear otros nuevos ms
eficientes.
Este fue el caldo de cultivo necesario para motivar el desarroll en simulacin de procesos.
El comienzo fue lento y se dio en forma conceptual, experimental y acadmica en algunas
compaas y universidades en Estados Unidos, Canad y Europa. Para 1975 se haba
generalizado el desarrollo de simuladores con algunas aplicaciones industriales reducidas.
En 1980 empezaron a surgir compaas elaboradoras de software, que desarrollaban paquetes
de simulacin para su comercializacin, pero tenan la desventaja de que la entrada y salida de
la informacin eran muy rgidas y se presentaban en forma de listados de difcil interpretacin.
A finales de los aos 80s se inici el desarrollo de paquetes de simulacin interactivos y su
comercializacin marc el comienzo de un uso ms intensivo y generalizado en la industria y
las universidades. Entre 1991 y 1995 se inicia la comercializacin de paquetes de simulacin
dinmica y de integracin de energa.
En los ltimos aos, la simulacin de procesos en estado estacionario ha llegado a ser una
herramienta de apoyo para el diseo de procesos industriales y adems su uso se est
extendiendo en las instituciones de formacin de ingenieros industriales. La simulacin de
procesos est jugando un papel muy importante en la industria de procesos, como una
herramienta adecuada y oportuna para el diseo, caracterizacin, optimizacin y monitoreo del
funcionamiento de procesos industriales.
Aun cuando en sus inicios la simulacin de procesos estuvo enfocada principalmente a la
industria petroqumica y de refinacin del petrleo, su aplicacin se ha ido extendiendo a otras
industrias tales como la de combustibles sintticos, pulpa y papel, cemento, metales,
minerales, alimentos, etc., en donde se involucra la fase slida.
La simulacin de procesos industriales ha involucrado ambos comportamientos de procesos
estacionarios y dinmicos.
Historia de la simulacin
El galopante desarrollo tecnolgico de las ltimas dcadas hace que los trminos que hasta
hace poco tiempo eran exclusivos de las novelas de ficcin formen parte de nuestro da a da.
Con la capacidad de clculo de los ordenadores ms rpida, y tcnicas visuales
perfeccionadas, surgen nuevas ideas sobre desarrollos de herramientas de entrenamiento
basadas en tecnologas innovadoras. El empleo de la simulacin se presenta como uno de los
mtodos ms efectivos a la hora de trasmitir los conocimientos y anlisis en determinadas
materias, pero por su elevado coste solamente es alcanzable para las grandes empresas, o
entidades con importante financiacin pblica.
Gracias a los avances tecnolgicos la simulacin ha evolucionado enormemente, permitiendo
alcanzar excelentes cotas de fiabilidad. Las capacidades de clculo actuales permiten ejecutar
una serie de Modelos Matemticos que conjuntamente con las tcnicas visuales reflejan
fielmente la realidad en toda su complejidad.
El reto que nos depara el presente es una aplicacin masiva de la simulacin con formacin a
un amplio sector de la sociedad. Ofrecer las bondades de esta tcnica hasta ahora accesibles a
un pequeo porcentaje de la poblacin es uno de los principales objetivos de Lander. Y lo
estamos logrando, los productos como Sistema Lander Multipropsito y Lander Simbio
suponen un autntico punto de inflexin y acercamiento de esta tcnica de formacin a un
mayor nmero de personas. Con ellos un amplio sector de la sociedad es capaz de adquirir un
simulador, mejorar la calidad y el contenido de la formacin.
Esto no quiere decir que ya hemos cumplido nuestros retos. El progreso contina y con l cada
avance en el plano tecnolgico debe estar traducido en beneficio de las personas. Lo que nos
deparar el futuro no lo sabemos, pero estaremos ah para utilizarlo de la mejor manera
posible.
Este hito histrico abri las puertas a la aplicacin de la simulacin en el campo del proceso
de control industrial as como a las sinergias que generaba esta simulacin basada en la
experimentacin y tcnicas de anlisis para descubrir soluciones exactas a problemas clsicos
de la industria y la ingeniera.
A mediados de los aos 40 dos hechos sentaron las bases para la rpida evolucin del campo
de la simulacin:
La construccin de los primeros computadores de propsito general como el ENIAC.
El trabajo de Stanislaw Ulam, John Von Neumann y otros cientficos para usar el mtodo de
Montercarlo en computadores modernos y solucionar problemas de difusin de neutrones en el
diseo y desarrollo de la bomba de hidrgeno. Ulam y Von Neumann ya estuvieron presentes
en el proyecto Manhattan.
En 1960, Keith Douglas Tocher desarroll un programa de simulacin general cuya principal
tarea era la de simular el funcionamiento de una planta de produccin donde las mquinas
ciclaban por estados: Ocupado, Esperando, No disponible y Fallo; de manera que las
simulaciones en los cambios de estado de las mquinas marcarn el estado definitivo de la
produccin de la planta. Este trabajo produjo adems el primer libro sobre simulacin: The Art
of Simulation (1963).
Para aquel entonces, IBM desarroll entre 1960 y 1961 el Sistema de Simulacin de propsito
general o General Purpose Simulation System (GPSS). El GPSS se dise para realizar
simulaciones de teleprocesos involucrando por ejemplo: control de trfico urbano, gestin de
llamadas telefnicas, reservas de billetes de avin, etc. La sencillez de uso de este sistema lo
populariz como el lenguaje de simulacin ms usado de la poca.
Por otro lado, en 1963 se desarroll SIMSCRIPT, otra tecnologa alternativa al GPSS basada
en FORTRAN, ms enfocada a usuarios que no tenan por qu ser obligatoriamente expertos
informticos en RAND CORPORATION.
Complementariamente a los desarrollos llevados a cabo por RAND e IBM, el Royal
Norwegian Computing Center inici en 1961 el desarrollo del programa SIMULA con ayuda
de Univac. El resultado fue SIMULA I, probablemente el lenguaje de programacin ms
importante de toda la historia.
En 1967 se fund el WSC (Winter Simulation Conference), lugar donde desde entonces y
hasta ahora se archivan los lenguajes de simulacin y aplicaciones derivadas, siendo en la
actualidad el referente en lo que a avances en el campo de los sistemas de simulacin se
refiere.
Periodo de expansin 1970-1981
Durante este periodo se desarrollaron avanzadas herramientas de modelado y de anlisis de
resultados. Gracias tambin a los desarrollos obtenidos en la generacin de datos y a las
tcnicas de optimizacin y representacin de datos, la simulacin llega a su fase de expansin
donde comienza a aplicarse en mltiples campos
Anteriormente, los datos de salida obtenidos de una simulacin por computadora se
presentaban en una tabla o matriz, de manera que se mostraba el efecto que los mltiples
cambios en los parmetros tenan sobre los datos. El empleo del formato de matriz se deba al
uso tradicional que se haca de la matriz en los modelos matemticos. Sin embargo, los
psiclogos advirtieron que los seres humanos perciban mejor los cambios en el desarrollo de
las situaciones si miraban grficos o incluso imgenes en movimiento animaciones
generadas a partir de dichos datos, como las que se ejecutan en las animaciones de imgenes
generadas por computadora.
Tabla 1.1. Cronologa de la simulacin
Ao Evento
1942-1945 J. V. Neumann S. Ulman desarrollan el mtodo de Montecarlo
1950's Estudios de capacidad de las lneas telefnicas
1961 G. Gordon disea el lenguaje de simulacin GPSS
1961-1979 Impulso de los ordenadores por transistores, Conferencias sobre Aplicacin de la
simulacin
1977 J Henriksen mostr el pseudocdigo para la implementacin de modelos de simulacin
de eventos discretos
1980's Nuevos lenguajes donde integran resultados de simulacin, animacin SIMAN IV y
CINEMA IV. Surgen metodologas independientes del lenguaje de simulacin
1990's- Nuevos sistemas donde el proceso de simulacin est totalmente integrado,
acercamiento de la simulacin a la empresa privada
1.2. Definiciones y Aplicaciones
Definiciones
Es una tcnica numrica para conducir experimentos en un computador digital, la cual
incluye ciertos tipos de relaciones lgicas y matemticas necesarias para describir la
estructura y comportamiento de un sistema complejo del mundo real sobre un periodo de
tiempo.
Tambin se considera a la simulacin como un proceso para describir la esencia de la
realidad, el cual incluye la construccin, experimentacin y manipulacin de un modelo
complejo en un computador.
Conjunto de relaciones lgicas, matemticas y probabilsimas que integran el
comportamiento de un sistema bajo estudio cuando se presenta un evento determinado
(Garca Dunna Eduardo. Garca reyes Heriberto y Crdenas Barrn Leopoldo
Eduardo).
Simulacin es una tcnica numrica para conducir experimentos en una computadora
digital, estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemticas y lgicas,
las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas
complejos del mundo real a travs de largos periodos de tiempo (Thomas H. Naylor).
Simulacin es el desarrollo de un modelo lgico matemtico de un sistema, de tal forma
que se tiene una imitacin de la operacin de un proceso de la vida real o de un sistema a
travs del tiempo. La simulacin involucra la generacin de una historia artificial de un
sistema, la observacin de esta historia mediante la manipulacin experimental, nos
ayuda a inferir las caractersticas operacionales de tal sistema (JERRY BANKS).
Simulacin es una tcnica numrica para realizar experimentos en una computadora
digital, estos experimentos involucran ciertos tipos de modelos matemticos y lgicos que
describen el comportamiento de sistemas de negocios, econmicos, sociales, biolgicos,
fsicos o qumicos a travs de largos periodos de tiempo (H. MAISEL y G. GNUGNOLI).
Simulacin es el proceso de disear y desarrollar un modelo de un sistema o proceso real
y conducir experimentos con el propsito de entender el comportamiento del sistema o
evaluar varias estrategias (dentro de lmites impuestos por un criterio o conjunto de
criterios) para la operacin del sistema (Robert. Shannon).
Aplicaciones generales
Sistemas de computacin: redes de ordenadores, componentes, programacin, bases de
datos, fiabilidad.
Fabricacin: manejo de materiales, lneas de montaje, equipos de almacenamiento,
control de inventario, mantenimiento, distribucin en planta, diseo de mquinas
Negocios: anlisis de existencias, poltica de precios, estrategias de marketing, estudios
de adquisicin, anlisis de flujo de caja, prediccin, alternativas del transporte,
planificacin de mano de obra.
Gobierno: armamento y su uso, tcticas militares, prediccin de la poblacin, uso del
suelo, prevencin de incendios, servicios de polica, justicia criminal, diseo de vas de
comunicacin, servicios sanitarios.
Ecologa y medio ambiente: contaminacin y purificacin del agua, control de residuos,
contaminacin del aire, control de plagas, prediccin del tiempo, anlisis de sismos y
tormentas, exploracin y explotacin de minerales, sistemas de energa solar, explotacin
de cultivos.
Sociedad y comportamiento: estudios de alimentacin de la poblacin, polticas
educativas, estructuras organizativas, anlisis de sistemas sociales, sistemas de asistencia
social, administracin universitaria.
Biociencias: rendimiento en el deporte, control de epidemias, ciclos de vida biolgicos,
estudios biomdicos
1.3. Estructura y caractersticas de la simulacin de eventos discretos
Sistema: La definicin bsica de sistema nos dice que se trata de un conjunto de elementos
que se interrelacionan para funcionar como un todo; desde el punto de vista de la simulacin,
tales elementos deben tener una frontera clara. Por ejemplo, podemos hablar del sistema de
atencin de clientes en un banco, del sistema de inventarios de una empresa o del sistema de
atencin en la sala de emergencia de un hospital.
Atributos: Un atributo es una caracterstica de una entidad. Por ejemplo, si la entidad es un
motor, los atributos seran su color, peso, tamao o cilindraje. Los atributos son muy tiles
para diferenciar entidades sin necesidad de generar una entidad nueva, y pueden adjudicarse al
momento de la creacin de la entidad, o asignarse y/o cambiarse durante el proceso.
Son las caractersticas de las entidades, con las cuales se describen y diferencian. Por ejemplo,
son atributos de los pacientes, como la edad, el sexo, la duracin de su enfermedad, la
gravedad de sta y el cumplimiento del tratamiento.
Un atributo importante en las evaluaciones econmicas, fundamental en los estudios de costo-
utilidad, sera la calidad de vida. sta se puede estudiar de forma detallada incluyndola
mediante un atributo.
Todas las entidades tienen los mismos tipos de atributos, pero con diferentes valores para cada
entidad; los valores de los atributos estn, por tanto, ligados a una entidad concreta. Por
ejemplo, todos los pacientes tienen edad o presin arterial, pero cada uno posee un valor
especfico. El atributo puede asignarse como un valor especfico, una muestra de una
distribucin o el resultado de una expresin (p. ej., de una ecuacin condicional).
Existen varios tipos de atributos
Tipos de Atributos
P: Parmetros son atributos fijados durante el diseo del sistema
U: Variables de entradas o exgenos, fijadas por el entorno
D: Variables de entradas fijadas por el usuario
Y: Variables de salida son las variables de estado o combinacin de ellas
correspondiente a medidas del sistema
Sucesos: Hechos que ocurren en un instante de tiempo y que dan lugar a cambios en el estado
del sistema.
Colas: Estados pasivos de una entidad mientras espera el inicio de una actividad
Estados: Condiciones del modelo o sus entidades, de forma que se puede saber si una accin
se puede ejecutar o si se puede elegir entre varias.
Reloj de simulacin
Puesto que en este tipo de simulacin se est considerando la evolucin temporal del sistema,
cuyo estado se modifica slo en instantes discretos de tiempo a causa de la aparicin de algn
evento, ser necesario introducir un reloj de simulacin que registre el tiempo virtual
transcurrido desde la puesta en marcha del sistema, y que permita referenciar el instante
exacto en que ocurre cada uno de los eventos. Es importante no confundir el tiempo virtual
que marca el reloj de simulacin con el tiempo de computacin, el cual registra el tiempo real
transcurrido desde que la simulacin se puso en marcha.
El tiempo marcado por el reloj de simulacin hace explcito el paso del tiempo a lo largo del
modelo. Esto hace posible sealar el comienzo y el final de la simulacin, y la aparicin de
eventos clnicos en su momento exacto, sin necesidad de ciclos de duracin fija. Esto permite
una simulacin ms eficiente y realista en funcin de la aparicin de los eventos durante el
curso de la enfermedad en los pacientes.
Tambin permite la creacin de relojes secundarios que marcan tiempos importantes, como la
estancia hospitalaria, el tiempo de ausencia de efectos adversos o la supervivencia.
Puesto que los cambios en el sistema se producen slo cuando ocurre algn evento, queda
claro que el estado del sistema no sufrir ninguna variacin entre 2 eventos consecutivos. Este
hecho da sentido a una de las polticas ms habituales para controlar el reloj de simulacin: si
se sabe que el evento n se acaba de producir en el instante virtual actual , y que el evento n +
1 se producir en el instante virtual , dado que entre ambos instantes no pasar nada de
inters, se avanzar el reloj de simulacin hasta el instante tn+1, y se asignar dicho instante
a la variable del programa que representa el reloj de simulacin. Tras avanzar el reloj hasta el
instante , se lleva a cabo la actualizacin de las variables de estado y estadsticas del
sistema. Este proceso de avance hasta el siguiente evento y actualizacin de variables se
repite de forma indefinida hasta que se verifique alguna condicin de fin de la simulacin.
Entidades
Son los elementos dinmicos que se simulan a travs del modelo, cambian de estatus, afectan
y son afectados por otras entidades y son los protagonistas de los eventos clnicos de estudio
del modelo.
Normalmente, en la simulacin de una enfermedad se representan pacientes, pero pueden
representarse tambin distintos componentes, como enfermeras, familiares o mdicos. Estas
entidades suponen una diferencia importante respecto a los rboles de decisin o a los modelos
de Markov, en los cuales se especifican los resultados clnicos, estados o transiciones de los
pacientes, pero stos en s no son caracterizados como elementos explcitos del modelo, tal
como ocurre en los MSED.
Eventos
Es todo aquello que puede ocurrir durante la simulacin en funcin del proceso que estamos
estudiando. Por ejemplo, un evento puede ser un efecto adverso, una admisin hospitalaria, el
alta del hospital, un cambio de dosis o una baja laboral. El concepto de evento va ms all de
las transiciones de los modelos de Markov, ya que la aparicin de un evento no
necesariamente implica el cambio de estado de salud del paciente (p. ej., una visita al mdico).
A pesar de que hay una secuencia temporal dada, los eventos pueden suceder de forma casi
simultnea y pueden hacerlo en cualquier secuencia lgica en relacin con la historia plausible
del proceso de estudio (p. ej., fallo en un rgano diana o fallo multiorgnico en un paciente
con sepsis). Al contrario que en los modelos de Markov, estos eventos no presentan ningn
tipo de restriccin de memoria.
Los riesgos de que los diferentes eventos ocurran pueden tomar la forma de funciones
dependientes de los datos y depender de algunos atributos y variables. Estas funciones pueden
cambiar durante la simulacin.
Variables
Las variables definen el modelo y reflejan una caracterstica del conjunto, no de entidades
especficas. Son especificaciones que se mantienen a lo largo del modelo, aunque sus valores
pueden cambiar durante el proceso de simulacin, y van a definir el entorno de la simulacin
afectndolo a lo largo de todo el proceso. Las variables de uso comn son: el horizonte
temporal (duracin de la simulacin), las tasas de descuento para los costos y los beneficios,
las tasas de incidencia, la proporcin de cada tratamiento al inicio, la tasa de admisin o la
perspectiva de uso. Slo hay una copia de cada variable que se mantiene para todo el modelo.
Recursos
Definidos en un tiempo determinado, su consumo lleva asociado el gasto de una serie de
unidades de dichos recursos en momentos de tiempo concretos. En el mbito sanitario estos
recursos se pueden dividir en personas (mdicos, enfermeras, cuidadores), bienes
(medicamentos, pruebas de laboratorio), espacios (camas hospitalarias, quirfanos) entre
otros.
Algunos recursos pueden consumirse de manera simultnea en un momento dado, pero lo ms
frecuente es que las entidades tengan que competir por estos recursos, que adems tienen un
costo unitario de uso.
Un recurso puede tener diferentes unidades de capacidad (pensemos, por ejemplo, en las
camas en una sala de emergencia o en el nmero de mdicos en una zona geogrfica
determinada).
Acumuladores estadsticos
Son variables que acumulan la informacin de lo que ha pasado sin participar en el suceso
mismo, es decir, son pasivos. Dependen de la caracterizacin de los resultados pedidos al
modelo. Al final de la simulacin, se usan para obtener el resultado final, y las medidas de
stos (cocientes costo efectividad). Algunos ejemplos de acumuladores estadsticos son la
supervivencia, los costos asociados a los pacientes o el nmero de visitas en un tiempo
determinado.
Colas
Cuando un paciente utiliza un determinado recurso, ste deja de estar disponible para el resto
de los pacientes, lo cual puede generar colas en el sistema. Esta situacin no suele tenerse en
cuenta en otro tipo de modelos, en los que los recursos parecen gozar de una capacidad infinita
(lo cual est alejado de la mxima de la escasez de recursos en funcin de las necesidades de
la poblacin, que es una caracterstica de la toma de decisiones en sanidad). Esta
conceptualizacin est vinculada a la idea del costo de oportunidad de los recursos en la
propia estructura del modelo.
Retrasos
Se pueden generar 2 tipos de retrasos: explcitos, que son los que se generan por algn tipo de
accin o proceso (p. ej., la duracin de los exmenes mdicos), e implcitos, causados por
otras acciones o condiciones en la simulacin del modelo (p. ej., colas para acceder a una
prueba diagnstica).
Cuando se escribe un programa de simulacin para MSED se puede realizar una aproximacin
del esquema temporal de funcionamiento de las entidades en el sistema. As, deber
describirse la secuencia de eventos y actividades que realizarn las entidades durante su
estancia en el sistema y cmo se modificarn. Algunos de los sistemas ms estudiados son los
problemas de colas que se aplican en determinadas situaciones, como la espera que deben
tener los pacientes entre visita y visita, si los centros donde son tratados no pueden absorber
toda su demanda (p. ej., en un centro e instante de tiempo slo puede ser tratado un paciente a
la vez).
A modo de resumen, para llevar a cabo la simulacin del sistema se deben seguir una serie de
etapas, ampliamente identificadas y discutidas en la literatura cientfica (Figura):
Clasificacin de modelos
1. Esttico. Las variables de estado no dependen del tiempo
2. Dinmico. El valor de las variables de estado es modificado en el tiempo
3. Determinista. Si el sistema no contiene ningn elemento aleatorio es un sistema
determinstico.
4. Estocstico. En este caso algn elemento del sistema tiene una conducta aleatoria. Para
valores de entradas conocidas no es posible asegurar los valores de salida.
5. Continuo. Se tiene un sistema continuo cuando las relaciones funcionales entre las variables
del sistema slo permiten que el estado evolucione en el tiempo en forma continua (basta que
una variable evolucione continuamente).Matemticamente, el estado cambia en infinitos
puntos de tiempo.
6. Discreto. Se tiene un sistema discreto cuando las relaciones funcionales del sistema slo
permiten que el estado vare en un conjunto finito (contable) de puntos temporales. Las causas
instantneas de los cambios de estados se denominan eventos.
1.4. Sistemas, Modelos y Control
Un Sistema se define como una coleccin de entidades (por ejemplo, personas, mquinas, etc.)
que actan e interactan juntas para lograr un fin comn. En la prctica, qu se entiende por
sistema?, depende de los objetivos del estudio particular que se pretenda hacer. El conjunto de
entidades que componen el sistema para un estudio puede ser slo un conjunto de todas las
entidades utilizadas para otro estudio.
Se puede definir el estado de un sistema con un conjunto de variables necesarias para describir
el sistema en un punto particular de tiempo, relativo a los objetivos del estudio. Los sistemas
se pueden clasificar en dos tipos, discretos y continuos. Un sistema discreto es aquel en el que
las variables de estado cambian instantneamente en puntos separados en el tiempo. Un
sistema continuo es aquel en el que las variables de estado cambian continuamente con
respecto al tiempo. En la prctica muchos sistemas no son completamente discretos o
continuos, usualmente es posible clasificarlos en base al tipo de cambios que predominen en el
mismo.
En algunos momentos en la vida de un sistema es necesario estudiar el mismo para entender
las relaciones entre sus componentes o predecir su comportamiento bajo nuevas condiciones
que se consideran. Existen diferentes formas de estudiar un sistema (Figura 1.1):
Experimentar sobre el sistema actual frente a experimentar con un modelo del sistema. Lo
primero es preferible siempre y cuando se pueda alterar el sistema con las nuevas condiciones
y no sea muy costoso. Sin embargo es muy raro que esto se pueda llevar a cabo, ya que
normalmente estos experimentos suelen ser muy costosos o muy destructivos para el sistema.
Incluso puede ocurrir que el sistema no exista pero se quiera estudiar posibles alternativas de
construccin del mismo (sistemas de fabricacin, armas nucleares, etc.). Por estas razones es
necesario construir un modelo que represente al sistema y estudiar ste para poder responder
a las cuestiones planteadas sobre el sistema.
Modelo fsico frente a modelo matemtico: Para muchos la palabra modelo, evoca imgenes
de miniaturas, cabinas separadas de los aviones para el entrenamiento de los pilotos, etc. Estos
son ejemplos de modelos fsicos (tambin conocidos como modelos icnicos). Sin embargo la
mayora de los modelos construidos para estudiar los sistemas son matemticos, los cuales
representan un sistema en trminos de relaciones cuantitativas y lgicas que pueden ser
cambiadas para ver cmo el modelo reacciona y ver as como debera comportarse el sistema,
si el modelo es vlido.
Solucin Analtica frente a Simulacin: Una vez que se ha construido un modelo matemtico,
ste debe examinarse para poder concluir el comportamiento del sistema y as responder a las
cuestiones planteadas sobre el mismo. Si el modelo es simple, es posible trabajar con estas
cantidades y relaciones y obtener una solucin analtica exacta. Sin embargo hay veces en las
que obtener una solucin analtica resulta complejo y necesita muchos recursos de
computacin. En estos casos el modelo puede ser estudiado por medio de simulacin, es decir,
se ejercita el modelo numricamente por medio de entradas para ver cmo stas afectan a las
medidas de salida o ejecucin.
Los modelos deben contener slo los aspectos esenciales del sistema real que representan.
Aquellos aspectos del sistema que no contribuyen significativamente en su comportamiento no
se deben incluir, ya que lo que haran sera obscurecer las relaciones entre las entradas y las
salidas. En qu punto se debe parar de incluir realismo en el modelo? Esto depende del
propsito para el cual el modelo se haya desarrollado.
Caractersticas que deben presentar los modelos:
Deben ser fciles de entender y manejar.
Deben ser simples y de costo no excesivo.
Deben ser una buena aproximacin del sistema real, que controle el mayor nmero
posible de aspectos del mismo y que stos contribuyan de forma significativa al
sistema (hay relaciones en el sistema que no son significativas y pueden obviarse en el
modelo).
El diseo y control de modelos de modelos obliga a tener conocimientos de cuatro reas de
conocimiento distintas:
Modelizacin: necesarios para disear el modelo que permita dar respuestas vlidas del
sistema real que represente. El diseo es una fase muy importante, ya que los errores
proporcionarn modelos falsos.
Programacin: ya que el modelo se ha de implantar con un lenguaje de programacin.
Probabilidad y Estadstica: la probabilidad es necesaria para definir y estudiar las
variables aleatorias de las entradas, y la estadstica para permitir el diseo y anlisis de
los experimentos.
Mtodos Heursticos: para permitir llegar a una solucin buena del problema
planteado.
Control: Es el elemento de verificacin de datos del sistema, mediante el cual,
automticamente vuelve a traer los datos necesarios relacionados con la rutina de
procedimiento que se controla.
Un Sistema de Control est definido como un conjunto de componentes que pueden regular su
propia conducta o la de otro sistema con el fin de lograr un funcionamiento predeterminado,
de modo que reduzcan las probabilidades de fallos y se obtengan los resultados buscados.
La finalidad de un sistema de control es conseguir, mediante la manipulacin de las variables
de control, un dominio sobre las variables de salida, de modo que estas alcancen unos valores
prefijados (consigna).
1.5. Mecanismos de tiempo fijo y tiempo variable
Parte de la construccin de modelos es el mecanismo de avance de tiempo. Este depender de
la aproximacin elegida para describir el comportamiento del sistema. Si se eligi la
aproximacin de flujo fsico, este diagrama de flujo podra refinarse para convertirse en el
diagrama de flujo del programa. Si se sigui la aproximacin de cambio de estado, el
diagrama de flujo desarrollado debera describir el procedimiento que efecta los cambios de
estado en el tiempo.
Otros dos factores inciden en la construccin del diagrama de flujo del programa:
elegir un mecanismo de avance del tiempo y el lenguaje de programacin que se seleccione.
Hay fundamentalmente dos formas de considerar el avance del tiempo en un modelo de
simulacin:
Incrementos fijos de tiempo: se considera un intervalo fijo de tiempo y el estado del
modelo se comprueba despus de transcurrido cada uno de estos incrementos constantes.
Incrementos por los eventos (N.E.T.A., Next Event Time Advance): las
comprobaciones y modificaciones de las variables afectadas se realizan slo despus de la
ocurrencia de un evento. Aqu el incremento de tiempo es variable, va desde la ocurrencia de
un evento a otro.
El avance del tiempo de simulacin depende de cul de las aproximaciones se elija. Si se elige
el incremento por eventos, el reloj se inicializa a 0, y se incrementa al siguiente tiempo en que
vaya a ocurrir un suceso, en ese momento, en este momento de actualizacin del reloj se
modifican las variables que se vean afectadas por la ocurrencia del suceso. Si por el contrario
se elige un incremento de tiempo fijo, el reloj se inicia a 0 y se va actualizando cada vez que
pase el incremento de tiempo fijado. En esos instantes se observar el sistema para realizar los
cambios. En ese momento puede ocurrir que no haya sucedido ningn cambio o que por el
contrario que hayan ocurrido ms de un suceso con lo cual se tendr que decidir cul atender
antes (por ejemplo dando prioridad a los sucesos). En esta aproximacin pueden ocurrir
errores de redondeo, que hacen referencia a la diferencia de tiempo que pasa desde que
sucede un suceso hasta que ste se computa (cuando el reloj se incrementa).
Hay que tener cuidado en la eleccin del incremento de tiempo. Si ste es demasiado pequeo
se realizar trabajo intil, ya que se comprobarn cambios cuando en realidad no ha ocurrido
ningn suceso. Por el contrario si es demasiado grande se producirn muchos errores de
redondeo y la dinmica del modelo ser ineficiente.
Avance del reloj de simulacin segn los sucesos.
Avance del reloj de simulacin en incrementos fijos.
1.6. Etapas de un Proyecto de simulacin
1. Definicin del sistema bajo estudio. En esta etapa es necesario conocer el sistema a
modelar. Para ello se requiere saber qu origina el estudio de simulacin y establecer los
supuestos del modelo: es conveniente definir con claridad las variables de decisin del
modelo, determinar las interacciones entre stas y establecer con precisin los alcances y
limitaciones que aquel podra llegar a tener.
Antes de concluir este paso es recomendable contar con la informacin suficiente para lograr
establecer un modelo conceptual del sistema bajo estudio, incluyendo sus fronteras y todos los
elementos que lo componen, adems de las interacciones entre stos, flujos de productos,
personas y recursos, as como las variables de mayor inters para el problema.
2. Generacin del modelo de simulacin base. Una vez que se ha definido el sistema en
trminos de un modelo conceptual, la siguiente etapa del estudio consiste en la generacin de
un modelo de simulacin base. No es preciso que este modelo sea demasiado detallado, pues
se requiere mucha ms informacin estadstica sobre el comportamiento de las variables de
decisin del sistema. La generacin de este modelo es el primer reto para el programador de la
simulacin, toda vez que debe traducir a un lenguaje de simulacin la informacin que se
obtuvo en la etapa de definicin del sistema, incluyendo las interrelaciones de todos los
posibles subsistemas que existan en el problema a modelar. En caso de que se requiera una
animacin, ste tambin es un buen momento para definir qu grfico puede representar mejor
el sistema que se modela.
Igual que ocurre en otras ramas de la investigacin de operaciones, la simulacin exige ciencia
y arte en la generacin de sus modelos. El realizador de un estudio de simulacin es, en este
sentido, como un artista que debe usar toda su creatividad para realizar un buen modelo que
refleje la realidad del problema que se est analizando. Conforme se avanza en el modelo base
se pueden ir incluyendo las variables aleatorias del sistema, con sus respectivas distribuciones
de probabilidad asociadas.
3. Recoleccin y anlisis de datos. De manera paralela a la generacin del modelo base, es
posible comenzar la recopilacin de la informacin estadstica de las variables aleatorias del
modelo. En esta etapa se debe determinar qu informacin es til para la determinacin de las
distribuciones de probabilidad asociadas a cada una de las variables aleatorias innecesarias
para la simulacin. Aunque en algunos casos se logra contar con datos estadsticos, suele
suceder que el formato de almacenamiento o de generacin de reportes no es el apropiado para
facilitar el estudio. Por ello es muy importante dedicar el tiempo suficiente a esta actividad. De
no contar con la informacin necesaria o en caso de desconfiar de la que se tiene disponible,
ser necesario realizar un estudio estadstico del comportamiento de la variable que se desea
identificar, para posteriormente incluirla en el modelo. El anlisis de los datos necesarios para
asociar una distribucin de probabilidad a una variable aleatoria, as como las pruebas que se
debe aplicar a los mismos, se analizarn ms adelante. Al finalizar la recoleccin y anlisis de
datos para todas las variables del modelo, se tendrn las condiciones necesarias para generar
una versin preliminar del problema que se est simulando.
4. Generacin del modelo preliminar. En esta etapa se integra la informacin obtenida a
partir del anlisis de los datos, los supuestos del modelo y todos los datos que se requieran
para tener un modelo lo ms cercano posible a la realidad del problema bajo estudio. En
algunos casos sobre todo cuando se trata del diseo de un nuevo proceso o esquema de
trabajo no se cuenta con informacin estadstica, por lo que debe estimarse un rango de
variacin o determinar (con ayuda del cliente) valores constantes que permitan realizar el
modelado. Si ste es el caso, el encargado de la simulacin puede, con base en su experiencia,
realizar algunas sugerencias de distribuciones de probabilidad que comnmente se asocien al
tipo de proceso que se desea incluir en el modelo. Al finalizar esta etapa el modelo est listo
para su primera prueba: su verificacin o, en otras palabras, la comparacin con la realidad.
5. Verificacin del modelo. Una vez que se han identificado las distribuciones de
probabilidad de las variables del modelo y se han implantado los supuestos acordados, es
necesario realizar un proceso de verificacin de datos para comprobar la propiedad de la
programacin del modelo, y comprobar que todos los parmetros usados en la simulacin
funcionen correctamente. Ciertos problemas, en especial aquellos que requieren muchas
operaciones de programacin o que involucran distribuciones de probabilidad difciles de
programar, pueden ocasionar que el comportamiento del sistema sea muy diferente del que se
esperaba. Por otro lado, no se debe descartar la posibilidad de que ocurran errores humanos al
alimentar el modelo con la informacin. Incluso podra darse el caso de que los supuestos
iniciales hayan cambiado una o varias veces durante el desarrollo del modelo. Por lo tanto,
debemos asegurarnos de que el modelo que se va a ejecutar est basado en los ms actuales.
Una vez que se ha completado la verificacin, el modelo est listo para su comparacin con la
realidad del problema que se est modelando. A esta etapa se le conoce tambin como
validacin del modelo.
6. Validacin del modelo. El proceso de validacin del modelo consiste en realizar una serie
de pruebas al mismo, utilizando informacin de entrada real para observar su comportamiento
y analizar sus resultados.
Si el problema bajo simulacin involucra un proceso que se desea mejorar, el modelo debe
someterse a prueba con las condiciones actuales de operacin, lo que nos dar como resultado
un comportamiento similar al que se presenta realmente en nuestro proceso. Por otro lado, si
se est diseando un nuevo proceso la validacin resulta ms complicada. Una manera de
validar el modelo en este caso, consiste en introducir algunos escenarios sugeridos por el
cliente y validar que el comportamiento sea congruente con las expectativas que se tienen de
acuerdo con la experiencia. Cualquiera que sea la situacin importante que el analista conozca
bien el modelo, de manera que pueda justificar aquellos comportamientos que sean contrarios
a las experiencias de los especialistas en el proceso que participan de su validacin.
7. Generacin del modelo final. Una vez que el modelo se ha validado, el analista est listo
para realizar la simulacin y estudiar el comportamiento del proceso. En caso de que se desee
comparar escenarios diferentes para un mismo problema, ste ser el modelo raz; en tal
situacin, el siguiente paso es la definicin de los escenarios a analizar.
8. Determinacin de los escenarios para el anlisis. Tras validar el modelo es necesario
acordar con el cliente los escenarios que se quiere analizar. Una manera muy sencilla de
determinarlos consiste en utilizar un escenario pesimista, uno optimista y uno intermedio para
la variable de respuesta ms importante. Sin embargo, es preciso tomar en cuenta que no todas
las variables se comportan, igual ante los cambios en los distintos escenarios, por lo que tal
vez sea necesario que ms de una variable de respuesta se analice bajo las perspectivas
pesimista, optimista e intermedia. El riesgo de esta situacin radica en que el analista podra
caer en un diseo de experimentos capaz de generar una gran cantidad de rplicas, lo que
redundara en un incremento considerable de costo, anlisis y tiempo de simulacin. Es por
ello que muchos paquetes de simulacin cuentan con herramientas para realizar este proceso,
eliminando la animacin y acortando los tiempos de simulacin. Estas herramientas permiten
realizar varias rplicas del mismo escenario para obtener resultados con estadsticas
importantes respecto de la toma de decisiones (por ejemplo, los intervalos de confianza).
Por su parte, el analista tambin puede contribuir a la seleccin de escenarios, sugiriendo
aquellos que considere ms importantes; al hacerlo dar pie a que se reduzca el nmero de
combinaciones posibles.
9. Anlisis de sensibilidad. Una vez que se obtienen los resultados de los escenarios es
importante realizar pruebas estadsticas que permitan comparar los escenarios con los mejores
resultados finales. Si dos de ellos tienen resultados similares ser necesario comparar sus
intervalos de confianza respecto de la variable de respuesta final. Si no hay interseccin de
intervalos podremos decir con certeza estadstica que los resultados no son iguales; sin
embargo, si los intervalos se traslapan ser imposible determinar, estadsticamente hablando,
que una solucin es mejor que otra. Si se desea obtener un escenario "ganador" en estos casos,
ser necesario realizar ms rplicas de cada modelo y/o incrementar el tiempo de simulacin
de cada corrida. Con ello se busca acortar los intervalos de confianza de las soluciones finales
y, por consiguiente, incrementar la probabilidad de diferenciar las soluciones.
10. Documentacin del modelo, sugerencias y conclusiones. Una vez realizado el anlisis de
los resultados, es necesario efectuar toda la documentacin del modelo.
Esta documentacin es muy importante, pues permitir el uso del modelo generado en caso de
que se requieran ajustes futuros. En ella se deben incluir los supuestos del modelo, las
distribuciones asociadas a sus variables, todos sus alcances y limitaciones y, en general, la
totalidad de las consideraciones de programacin. Tambin es importante incluir sugerencias
tanto del uso del modelo como sobre los resultados obtenidos, con el propsito de realizar un
reporte ms completo. Por ltimo, debern presentarse asimismo las conclusiones del proyecto
de simulacin, a partir de las cuales es posible obtener los reportes ejecutivos para la
presentacin final.
Ventajas e inconvenientes de la simulacin de eventos discretos
Como hemos visto hasta ahora, la simulacin es una de las diversas herramientas con las que
cuenta el analista para tomar decisiones y mejorar sus procesos. Sin embargo, es necesario
destacar que, como todas las dems opciones de que disponemos, la simulacin de eventos
discretos presenta ventajas y desventajas que, es preciso tomar en cuenta al determinar si es
apta para resolver un problema determinado.
Dentro de las ventajas ms comunes que ofrece la simulacin podemos citar las siguientes:
a) Es muy buena herramienta para conocer el impacto de los cambios en los procesos sin
necesidad de llevarlos a cabo en la realidad.
b) Mejora el conocimiento del proceso actual al permitir que el analista vea cmo se
comporta el modelo generado bajo diferentes escenarios.
c) Puede utilizarse como medio de capacitacin para la toma de decisiones.
d) Es ms econmico realizar un estudio de simulacin que hacer muchos cambios en los
procesos reales.
e) Permite probar varios escenarios en busca de las mejores condiciones de trabajo de los
procesos que se simulan.
f) En problemas de gran complejidad, la simulacin permite generar una buena solucin.
g) En la actualidad los paquetes de software para simulacin tienden a ser ms sencillos,
lo que facilita su aplicacin.
h) Gracias a las herramientas de animacin que forman parte de muchos de esos paquetes
es posible ver cmo se comportar un proceso una vez que sea mejorado.
Entre las desventajas que pueden llegar a presentar la simulacin estn:
a) Aunque muchos paquetes de software permiten obtener el mejor escenario a partir de
una combinacin de variaciones posibles, la simulacin no es una herramienta de
optimizacin.
b) La simulacin puede ser costosa cuando se quiere emplearla en problemas
relativamente sencillos de resolver, en lugar de utilizar soluciones analticas que se han
desarrollado de manera especfica para ese tipo de casos.
c) Se requiere bastante tiempo generalmente meses para realizar un buen estudio de
simulacin; por desgracia, no todos los analistas tienen la disposicin (o la
oportunidad) de esperar ese tiempo para obtener una respuesta.
d) Es preciso que el analista domine el uso del paquete de simulacin y que tenga slidos
conocimientos de estadstica para interpretar los resultados.
Unidad II. Generacin de Nmeros Aleatorios
En este captulo se discuten las tcnicas de transformacin inversa, el mtodo de convolucin
y ms brevemente la tcnica de aceptacin-rechazo. Otra tcnica el mtodo de composicin, es
discutida por Fisherman [1978] y Law y Kelton [1991]. Todas las tcnicas en este captulo
consideran que se conoce como fuente la uniformidad U(0,1) de los nmeros aleatorios
R1,R2,...., donde cada Ri tiene una funcin de densidad de probabilidad (FDP).
( ) [
Y la funcin de densidad acumulada de probabilidad (FDA)
( ) {
2.1. Nmeros aleatorios: definicin, propiedades, generadores y tablas
Historia
En el siglo XVII, un noble francs, Antoine Gombauld (1607-1684), puso en tela de juicio el
fundamento matemtico del xito y fracaso en las mesas de juego. Formul esta pregunta al
matemtico francs Balies Pascal (1623-1662): Cules son las posibilidades de que me salgan
dos seises por lo menos una vez en veinticuatro lanzamientos de un par de dados?, Pascal
resolvi el problema, pues la teora de la probabilidad empezaban a interesarle tanto como a
Gombauld. Ambos compartieron sus ideas con el famoso matemtico Pierre de Fermat (1601-
1665), y las cartas escritas por los tres constituyen la primera revista acadmica dedicada a la
probabilidad. Algunos de los problemas que ellos resolvieron haban permanecido si solucin
durante unos 300 aos. Sin embargo, ciertas probabilidades numricas para ciertas
combinaciones de dados ya haban sido calculadas por Giordamo Cardano (1501-1576) y por
Galileo Galileo (1564-1642).
Ms tarde, Jacob Bernoulli (1654-1705), Abraham de Moivre (1667-1754), el reverendo
Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Lagrange (1736-1813) inventaron formulas y tcnicas de
probabilidad. En el siglo XIX, Pierre Simn, marqus de Laplace (1749-1827), unifico esas
primeras ideas y formul la primera teora general de la probabilidad, la cual fue aplicada
inicialmente con buenos resultados a los juegos de azar; con el tiempo tambin se aplic en la
bsqueda de soluciones analticas a problemas de naturaleza no determinstica. La teora de la
probabilidad ha sido constantemente desarrollada desde el siglo XVII y ampliamente aplicada
en diversos campos de estudio. Hoy es una herramienta importante en la mayora de las reas
de ingeniera, ciencias y administracin, y se constituye en la base para el estudio de las leyes
de azar.
Definicin
Los nmeros aleatorios son aquellos que pueden ser generados a partir de fuentes de
aleatoriedad, las cuales, generalmente, son de naturaleza fsica (dados, ruletas, mecanismos
electrnicos o mecnicos), y son gobernados por las leyes del azar; stos exhiben verdadera
aleatoriedad en la realizacin de experimentos.
Por su parte, los nmeros pseudo-aleatorios son aquellas que tienen un comportamiento
similar a la naturaleza aleatoria, pero estn ceidos a un patrn, generalmente de naturaleza
matemtica, que hace que su comportamiento sea determinante.
Los nmeros aleatorios son nmeros que deben de cumplir los requisitos de espacio
equiprobable, es decir, que todo elemento tenga la misma probabilidad de ser elegido y que la
eleccin de uno no dependa de la eleccin del otro. Son generados por medio de una funcin
determinista (no aleatoria) y que aparentan ser aleatorios.
Propiedades de los nmeros aleatorios
1. Cualquier nmero que pertenezca al rango de inters debe tener la misma probabilidad de
resultar sorteado.
2. La distribucin de los nmeros debe ser uniforme en todo el intervalo [0,1].
3. La aparicin de un nmero en la secuencia, no afecta la probabilidad de sortear otro (o el
mismo) nmero.
4. Los nmeros deben ser independientes dentro de toda la serie generada.
5. El ciclo del generador debe ser lo suficientemente grande.
6. La serie debe volverse a repetir.
7. Capaz de generar nmeros pseudo-aleatorios a altas velocidades.
8. Requerir una mnima cantidad de la capacidad de memoria de Computadora
9. Estadsticamente independientes.
10. Su media debe ser estadsticamente igual a 1/2.
11. Su varianza debe ser estadsticamente igual a 1/12.
12. Su periodo o ciclo de vida debe ser largo.
13. Deben ser generados a travs de un mtodo rpido.
14. Generados a travs de un mtodo que no requiera mucha capacidad de almacenamiento
de la computadora
Generadores de nmeros aleatorios
Los mtodos para generar nmeros aleatorios involucran algn proceso fsico cuasi-aleatorio,
que genera sucesiones de nmeros aleatorios de determinada longitud. El requisito general
para las sucesiones es la independencia estadstica. Para esto, existen varios mtodos:
Mtodos manuales: Dispositivos mecnicos o electrnicos, lanzamientos de monedas o
dados, empleo de barajas, ruletas. Son menos prcticos pero simples, lentos, atractivos,
pedaggico. Pero no pueden reproducirse.
Tablas de bibliotecas: Generados por los mtodos anteriores. Estn en tablas. Siempre
pueden reproducirse, pero es un sistema lento. Determinados problemas requieren ms
nmeros aleatorios que los publicados.
Mtodos de computacin analgica: Dependen de procesos fsicos aleatorios, por ejemplo:
el ruido trmico de un circuito con semiconductores, que convertido en un nmero binario,
representa un valor numrico aleatorio. Se considera que conducen a verdaderos nmeros
aleatorios.
Mtodos de computacin digital: Se han sugerido tres mtodos para producir nmeros
aleatorios cuando se usan computadoras digitales; provisin externa, generacin interna,
relacin de recurrencia.
En los modelos estocsticos existirn una o ms variable aleatorias interactuando. Estas
variables siguen distribuciones de probabilidad tericas o empricas, diferentes a la
distribucin uniforme (0-1). Para generar nmeros que sigan el comportamiento de stas
variables, se pueden utilizar algunos mtodos como los siguientes:
1. Mtodo de la transformada inversa
2. Mtodo de rechazo
3. Mtodo de composicin, y
4. Procedimientos especiales
Existen en la actualidad tcnicas para generar con una computadora, variables aleatorias
uniformemente distribuidas, r (en donde r 0 y 1 r). Los nmeros generados por estas
subrutinas de computadora se denominan nmeros pseudo-aleatorios, porque se generan a
partir de una frmula totalmente determinstica mediante la computacin. Sus propiedades
estadsticas, coinciden con las de los nmeros generados a travs de un dispositivo fortuito
idealizado que selecciona nmeros de un intervalo unitario (0,1) de un modo independiente en
donde son igualmente probables todos los nmeros.
A condicin de que estos nmeros pseudo aleatorios puedan pasar el conjunto de pruebas
estadsticas (las de frecuencia, auto correlacin, producto rezagado, corridas, de distancia y as
sucesivamente) implicadas por un dispositivo fortuito idealizado, tales nmeros pseudo-
aleatorios se pueden tratar corno si "en realidad lo fueran" a pesar de que no lo son.
Ejemplos de aplicacin
Simulacin: La reproduccin de fenmenos naturales necesita nmeros aleatorios. En
Fsica los ejemplos clsicos: Fsica Estadstica, Fsica de Partculas
Muestreo: Muchas veces es poco prctico examinar todos los casos posibles. Un
muestreo aleatorio puede revelar un comportamiento tpico.
Anlisis Numrico: Tcnicas numricas necesitan nmeros aleatorios
Programacin de ordenadores: Tests de efectividad de algoritmos
Toma de decisiones: Se rumorea que algunos ejecutivos tiran monedas al aire para
tomar decisiones.
Esttica: Un toque de aleatoriedad puede resultar agradable
Juegos: De aqu proviene el propio mtodo para generacin de nmeros aleatorios
Generacin de nmeros pseudo-aleatorios
Para realizar una simulacin se requieren nmeros aleatorios en el intervalo (0,1), a los cuales
se har referencia como es decir, una secuencia que contiene n
nmeros, todos ellos diferentes; n recibe el nombre de periodo o ciclo de vida del generador
que cre la secuencia .
Los constituyen la parte medular de la simulacin de procesos estocsticos, y generalmente
se usan para generar el comportamiento de variables aleatorias, tanto continuas como
discretas. Debido a que no es posible generar nmeros realmente aleatorios, consideramos los
como nmeros pseudo aleatorios, generados por medio de algoritmos determinsticos que
requieren parmetros de arranque.
Para simular el comportamiento de una o ms variables aleatorias es necesario contar con un
conjunto suficientemente grande de que permita, por ejemplo, que la secuencia tenga al
menos un periodo de vida de . De acuerdo con L'Ecuyer una
secuencia de con periodo de vida de es relativamente pequea; de hecho, incluso
una secuencia de que contenga un ciclo de vida de se considera pequea. En la
actualidad contamos ya con generadores y procesadores capaces de construir una secuencia de
con periodo de vida de .
Algoritmo de cuadrados medios
Este algoritmo no congruencial fue propuesto en la dcada de los cuarenta del siglo XX por
Von Neumann y Metrpolism. Requiere un nmero entero detonador (llamado semilla) con D
dgitos, el cual es elevado al cuadrado para seleccionar del resultado los D dgitos del centro;
el primer nmero r se determina simplemente anteponiendo el "0."a esos dgitos. Para obtener
el segundo se sigue el mismo procedimiento, slo que ahora se elevan al cuadrado los D
dgitos del centro que se seleccionaron para obtener el primer Este mtodo se repite hasta
obtener n nmeros A continuacin se presentan con ms detalle los pasos para generar
nmeros con el algoritmo de cuadrados medios.
1. Seleccionar una semilla (Xo) con D dgitos (D > 3).
2. Sea Xo = resultado de elevar al cuadrado; sea X, = los D dgitos del centro, y sea
dgitos del centro.
3. Sea Y. = resultado de elevar al cuadrado; sea = los D dgitos del centro, y sea
=0.D dgitos del centro para toda
4. Repetir el paso 3 hasta obtener los n nmeros deseados.
Nota: Si no es posible obtener los D dgitos del centro del nmero agregue ceros a la
izquierda del nmero .
Ejemplo 1.
Generar los primeros 5 nmeros a partir de una semilla , de donde se puede
observar que D = 4 dgitos.
El algoritmo de cuadrados medios generalmente es incapaz de generar una secuencia de t con
periodo de vida n grande. Adems, en ocasiones slo es capaz de generar un nmero, por
ejemplo, si ;, entonces ; y se dice que el algoritmo se
degenera con la semilla de
Algoritmo de productos medios
La mecnica de generacin de nmeros pseudo aleatorios de este algoritmo no congruencial es
similar a la del algoritmo de cuadrados medios. La diferencia entre ambos radica en que el
algoritmo de productos medios requiere dos semillas, ambas con D dgitos; adems, en lugar
de elevarlas al cuadrado, las semillas se multiplican y del producto se seleccionan los D
dgitos del centro, los cuales formarn el primer nmero pseudo aleatorio = 0.D dgitos.
Despus se elimina una semilla, y la otra se multiplica por el primer nmero de D dgitos, para
luego seleccionar del producto los D dgitos que conformarn un segundo nmero ri. Entonces
se elimina la segunda semilla y se multiplican el primer nmero de D dgitos por el segundo
nmero de D dgitos; del producto se obtiene el tercer nmero . Siempre se ir eliminando el
nmero ms antiguo, y el procedimiento se repetir hasta generar n nmeros pseudo
aleatorios. A continuacin se presentan con ms detalle los pasos del mtodo para generar
nmeros con el algoritmo de producto medios.
1. Seleccionar una semilla (Xo) con D dgitos (D > 3).
2. Seleccionar una semilla (X}) con D dgitos (D > 3).
3. Sea ; sea = los D dgitos del centro, y sea dgitos del centro.
4. Sea ( ) sea = los D dgitos del centro, y sea dgitos del
centro para toda
5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n nmeros r deseados.
Nota: Si no es posible obtener los D dgitos del centro del nmero /^agregue ceros a la
izquierda del nmero
Ejemplo 2.
Generar los primeros 5 nmeros a partir de las semillas y ; observe
que ambas semillas tienen D = 4 dgitos.
Algoritmo de multiplicador constante
Este algoritmo no congruencial es similar al algoritmo de productos medios. Los siguientes
son los pasos necesarios para generar nmeros pseudo aleatorios con el algoritmo de
multiplicador constante.
1. Seleccionar una semilla (Xo) con D dgitos (D > 3).
2. Seleccionar una constante (a) con D dgitos (D > 3).
3. Sea ; sea X, = los D dgitos del centro, y sea dgitos del centro.
4. Sea ; sea = los D dgitos del centro, y sea dgitos del centro
para toda
5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n nmeros deseados.
Nota: Si no es posible obtener los D dgitos del centro del nmero agregue ceros a la
izquierda del nmero
Ejemplo 3
Generar los primeros 5 nmeros ri a partir de la semilla Xo = 9 803 y con la constante a = 6
965. Observe que tanto la semilla como la constante tienen D = 4 dgitos.
Algoritmo lineal
Este algoritmo congruencial fue propuesto por D. H. Lehmer15' en 1951. Segn Law y Kelton,
este algoritmo ha sido el ms usado. El algoritmo congruencial lineal genera una secuencia de
nmeros enteros por medio de la siguiente ecuacin recursiva:
( ) ( )
Donde es la semilla, a es la constante multiplicativa, c es una constante aditiva y m es el
mdulo; X_o >0, a>0, c>0 y m>0 deben ser nmeros enteros. La operacin "mod m" significa
multiplicar por a, sumar c y dividir el resultado entre m para obtener el residuo . Es
importante sealar que la ecuacin recursiva del algoritmo congruencial lineal genera una
secuencia de nmeros enteros y que para obtener nmeros pseudo
aleatorios en el intervalo (0,1) se requiere la siguiente ecuacin
Ejemplo 4
Generar 4 nmeros entre (0
Bajo estas condiciones se obtiene un periodo de vida mximo . Veamos un
ejemplo ms, tomando en cuenta lo anterior.
Ejemplo 5
Generar suficientes nmeros entre (0 y 1) con los parmetros y
, hasta encontrar el periodo de vida mximo (N).
Como podemos ver, si se cumplen las condiciones que Banks, Carson, Nelson y Nicol
sugieren, se lograr el periodo mximo . A continuacin se presenta el
desarrollo de la generacin de los nmeros r.
2.2. Propiedades de los nmeros atorios
Las propiedades de los nmeros aleatorios, son las que se muestran a continuacin:
Los nmeros deben estar uniformemente distribuidos es decir, los nmeros
aleatorios pueden estar entre 0 y 1, y en algn momento sern 0 o 1.
La media establecida por los nmeros aleatorios debe ser de 0.5. = 0.5.
La probabilidad de salir un nmero de forma aleatoria es: , debe estar entre
0 y 1.
La desviacin estndar de los nmeros aleatorios debe ser de aproximadamente 0.29,
es decir
Son estadsticamente independientes.
Sin repeticin dentro de una longitud determinada de la sucesin.
Los nmeros aleatorios debe ser reproducibles, es decir, la misma semilla utilizada
para generar los nmeros aleatorios debe dar la misma sucesin.
Prueba de pker utilizado como mtodo de independencia estadstica en nmeros
aleatorios.
La varianza de los nmeros aleatorios debe ser de 1/12.
Es impredecible conocer qu valor va a tener cada nmero aleatorio y cul va a ser su
secuencia
Propiedades de los nmeros pseudoaleatorios
Es deseable que los nmeros pseudoaleatorios uniformes posean las siguientes caractersticas:
Uniformemente distribuidos.
Estadsticamente independientes.
Reproducibles.
Periodo largo.
Generados mediante un mtodo rpido.
Generados mediante un mtodo que no requiera mucha capacidad de almacenamiento
de la computadora.
2.3. Pruebas estadsticas de aleatoriedad para los nmeros pseudoaleatorios: de medias,
de varianza, de independencia y de bondad de ajuste.
Existen algunos mtodos disponibles para verificar varios aspectos de la calidad de los
nmeros pseudoaleatorios. Si no existiera un generador particular de nmeros aleatorios
disponible, se le recomienda al analista usar estos mtodos cuando se realice una simulacin.
Una de las propiedades que deben cumplir los nmeros del conjunto , es que el valor
esperado sea igual a 0.5. La prueba que busca determinar lo anterior es la llamada prueba de
medias, en la cual se plantean las siguientes hiptesis:
La prueba de medias consiste en determinar el promedio de los n nmeros que contiene el
conjunto , mediante la ecuacin siguiente:
Posteriormente se calculan los lmites de aceptacin inferior y superior con las ecuaciones
siguientes:
(
)
(
)
Si el valor de r se encuentra entre los lmites de aceptacin, concluimos que no se puede
rechazar que el conjunto tiene un valor esperado de 0.5 con un nivel de aceptacin de .
En caso contrario se rechaza que el conjunto ri tiene un valor esperado de 0.5.
Para el clculo de los lmites de aceptacin se utiliza el estadstico , el cual se determina
por medio de la tabla de distribucin normal estndar.
Ejemplo
.
(
)
(
)
(
)
(
)
Prueba de variancia
Consiste en verificar si los nmeros aleatorios generados tienen una variancia de 0.083, del tal
forma que la hiptesis queda expresada como:
( )
( )
Paso: 1 calcular la varianza de los nmeros aleatorios
( ) ( )
Paso: 2 calcular los lmites de aceptacin
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Paso: 3 Si V(x) se encuentra entre los valores de los lmites, aceptamos la hiptesis nula y los
nmeros aleatorios tienen una varianza estadsticamente igual.
Ejemplo. Realice la prueba de varianza a los siguientes 30 nmeros con nivel de confianza del
95%
0.72484 0.48999 0.50502 0.39528 0.36782 0.90234
0.71890 0.61234 0.86322 0.94134 0.99872 0.27657
0.34565 0.02345 0.67347 0.10987 0.25678 0.25593
0.82345 0.12387 0.05389 0.82474 0.59289 0.36782
0.03991 0.10461 0.93716 0.16894 0.98953 0.73231
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Por lo tanto el valor se encuentra dentro de los limites por lo que aceptamos que la varianza de
la muestra es estadsticamente igual a
Pruebas de independencia
Las pruebas de independencia consisten en demostrar que los nmeros generados son
estadsticamente independientes entre s, esto es, que no depende uno de otro. Para esto se
propone la siguiente hiptesis:
Independiente
Dependiente
Para realizar esta prueba de hiptesis existen varios mtodos, puede seleccionarse cualquiera
de la siguiente lista:
i. Prueba de pker.
ii. Prueba de corridas arriba y abajo.
iii. Prueba de corridas arriba y abajo de la media.
iv. Prueba de la longitud de las corridas.
v. Prueba de distancia.
vi. Prueba de series.
vii. Prueba de huecos.
Los procedimientos para demostrar la independencia utilizando 3 de ellas son los siguientes:
Prueba de pker
Independiente
Dependiente
Paso 1
Calcular las probabilidades esperadas para un juego de pker con 5 cartas numeradas del O al
9 con remplazo, se tienen 7 eventos o intervalos, con las siguientes probabilidades:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Paso 2
Calcular la frecuencia esperada de cada uno de los eventos ( ) multiplicando la probabilidad
de cada evento por el nmero de nmeros aleatorios generados.
Paso 3
Para cada nmero aleatorio generado verificar (imaginando que es una mano de pker) si es
Pachuca, un par, dos pares, etctera, tomando los primeros cinco dgitos a la derecha del punto
decimal. Por ejemplo, 0.03408 es un par, 0.44343 es un full, 0.00321 dos pares, etctera. Con
esos resultados se generan una tabla de frecuencias de estos eventos. La frecuencia observada
de cada uno de los eventos se conoce como (FO).
Paso 4
Calcular el estadstico C con la ecuacin 3.8 con .
Paso 5
Si el valor de C es menor o igual al estadstico de tablas con 6 grados de libertad y una
probabilidad de rechazo a, entonces se acepta que los datos son estadsticamente
independientes entre s.
Ejemplo. Realice la prueba de pker a los siguientes 30 nmeros con un nivel de confianza del
95%.
Agrupando los nmeros de acuerdo con sus dgitos, como si fuera una mano de pker se
obtiene la siguiente tabla de frecuencias:
Intervalo FO PE FE=n*PE)
Pachuca 14 0.3024 9.072
Un par 15 0.5040 15.120
Dos pares 1 0.1080 3.240
Una tercia 1 0.0720 2.160
Full 0 0.0090 0.270
Pker 0 0.0045 0.135
Quintilla 0 0.0001 .003
El clculo de C utilizando de nuevo la ecuacin es igual a 4.25 que comparado contra el valor
de tablas con grados de libertad, y con un nivel de 5%, que es igual a 12.59,
indica que los nmeros generados son estadsticamente independientes.
( )
La prueba de Kolmogorov-Smirnov
Esta prueba compara la fdp (funcin de densidad de probabilidad) ( ), de la distribucin
uniforme con el fdp (funcin de densidad de probabilidad) emprico, ( ) de una muestra de
N observaciones.
Por definicin
( )
Conforme N crece, ( ) deber tener una mejor aproximacin de ( ) dado que la hiptesis
nula sea verdadera.
( )
La prueba Kolmogorov-Smirnov est basada en la desviacin mxima absoluta entre ( ) y
( ) sobre el rango de la variable aleatoria- Esto es, basado en la estadstica.
| ( ) ( )|
La distribucin de la muestra D es conocida y es tabulada como una funcin de N en la tabla
Kolmogorov-Smirnov. Para probar contra una fdp uniforme, el procedimiento sigue los pasos
siguientes:
Paso 1: Ordene los datos en forma ascendente. Sea , en la ms pequea observacin,
tal que
Paso 2: Usando la fdp terica ( ), calcule
[
]
[
]
Paso 3: Calcule ( )
Paso 4: Encuentre el valor crtico de la tabla para un nivel de significancia y un tamao
de muestra N.
Paso 5: Si al valor crtico , acepte la distribucin candidato como aquella que tiene un
buen ajuste a los datos observados; de otra forma rechace.
Esta prueba est basada en la desviacin absoluta mayor entre las fdp emprica y terica para
todo valor dado de Esta desviacin es comparada con los valores crticos de tabulados
para determinar si la desviacin puede ser atribuida a los efectos aleatorios y por lo tanto sea
una distribucin candidato a ser aceptada tener un buen ajuste a los datos observados. Ms
especficamente, la prueba tiene los pasos siguientes:
Ejemplo:
En este ejemplo se usa la prueba para examinar bajo un nivel de significancia de
si un conjunto de datos representa nmeros aleatorios (por ejemplo esta la distribucin
uniforme entre 0 y 1). Suponga que cinco datos son dados: 0.53, 0.35, 0.03, 0.94, y 0.22
Solucin. Para la distribucin Uniforme la fdp es ( ) ( )
Para este caso particular . Por lo tanto ( ) . Ahora se ordenan los valores
en forma ascendente y se realizan los clculos relativos.
La tabla siguiente resume los clculos realizados:
( )
(
( ) ) ( )
( )
1 0.03 0.20 0.17 0.03
2 0.22 0.40 0.18 0.02
3 0.35 0.60 0.25 -0.05
4 0.53 0.80 0.27 -0.07
5 0.94 1.00 0.06 -0.14
De acuerdo a los clculos ( ) . El valor crtico de 1 de la
tabla en el apndice de tablas para un tamao de 5 y un nivel de significancia de 0.05 es
. Debido a que D es menor que este valor crtico, la hiptesis de que los datos
dados pertenecen a una distribucin Uniforme es aceptada.
EJEMPLO 5. Efectuar la prueba de Kolmogorov Smirnov a la siguiente muestra de
nmeros aleatorios uniformes.
0.15 0.31 0.81 0.48 0.01 0.60
0.26 0.34 0.70 0.31 0.07 0.06
0.33 0.49 0.77 0.04 0.43 0.92
0.25 0.83 0.68 0.97 0.11 0.00
0.18 0.11 0.03 0.59 0.25 0.55
1 KS kolmorov Smirnov
Sustituyendo los valores en las frmulas correspondientes se tiene que:
i ( ) ( )
1 0.00 0.03 0.03
2 0.01 0.07 0.06
3 0.03 0.10 0.07
4 0.04 0.13 0.09
5 0.06 0.17 0.11
6 0.07 0.20 0.13
7 0.11 0.23 0.12
8 0.11 0.27 0.16
9 0.15 0.30 0.15
10 0.18 0.33 0.15
11 0.25 0.36 0.11
12 0.25 0.40 0.15
13 0.26 0.43 0.17
14 0.31 0.47 0.16
15 0.33 0.50 0.17
16 0.34 0.53 0.19
17 0.34 0.57 0.23
18 0.43 0.60 0.17
19 0.48 0.63 0.15
20 0.49 0.67 0.18
21 0.55 0.70 0.15
22 0.59 0.73 0.14
23 0.60 0.77 0.17
24 0.68 0.80 0.12
25 0.70 0.83 0.13
26 0.77 0.87 0.1
27 0.81 0.90 0.09
28 0.83 0.93 0.1
29 0.92 0.97 0.05
30 0.97 1.00 0.03
Siguiendo con el paso 4
| ( )|
Comparamos el valor (calculado) contra el valor en tablas de la distribucin Kolmogorov-
Smirnov con y un nivel de significancia el cual es
, como 0.23 es menor que 0.242, entonces, no se puede rechazar la uniformidad de los
nmeros aleatorios.
Prueba de bondad de ajuste ji cuadrada.
Procedimiento:
1. Generar la muestra de nmeros aleatorios de tamao N.
2. Subdividir el intervalo [0,1] en n sub-intervalos.
3. Para cada sub-intervalo contar la frecuencia observada y calcular la frecuencia esperada
FE de nmeros aleatorios, la cual se obtiene dividiendo N/n.
4. Calcular el estadstico de prueba.
( )
5. Comparar el valor calculado contra el valor tabulado de la distribucin con ( )
grados de libertad y una significancia ?. Si es menor que
entonces no se puede
rechazar la uniformidad de los nmeros aleatorios.
EJEMPLO 4. Realizar la prueba de bondad de ajuste Ji-cuadrada a la siguiente muestra de
tamao 30 de nmeros aleatorios uniformes.
0.15 0.31 0.81 0.48 0.01 0.60
0.26 0.34 0.70 0.31 0.07 0.06
0.33 0.49 0.77 0.04 0.43 0.92
0.25 0.83 0.68 0.97 0.11 0.00
0.18 0.11 0.03 0.59 0.25 0.55
INTERVALO FE FO ( )
0.00 - 0.20 6 10 2.67
0.21 - 0.40 6 7 0.17
0.41 - 0.60 6 6 0.00
0.61 - 0.80 6 3 1.50
0.81 - 1.00 6 4 0.67
Sea = 5%. Tenemos ( ) grados de libertad, es decir . El valor en tablas de la
distribucin Ji cuadrada es:
Como es menor que es decir; 5.01 es menor que 9.49, entonces no se puede
rechazar la uniformidad de los nmeros aleatorios.
Corridas por arriba y por abajo del promedio
Procedimiento
Generar la muestra de tamao N de nmeros aleatorios.
Con base en esta muestra, obtener una nueva sucesin binaria, segn el criterio siguiente:
Si es menor o igual a 0.50 entonces asignarle a el smbolo 0.
Si es mayor a 0.50 entonces asignarle a: el smbolo 1.
La frecuencia esperada para cada longitud de corrida i, es:
( )
EJEMPLO 6. Dada la siguiente muestra de tamao 30 de nmeros aleatorios, aplicar la
prueba de corridas, para la independencia
0.15 0.31 0.81 0.48 0.01 0.60
0.26 0.34 0.31 0.70 0.07 0.06
0.33 0.49 0.77 0.04 0.43 0.92
0.25 0.83 0.68 0.97 0.11 0.00
0.18 0.11 0.03 0.59 0.25 0.55
Comparando los nmeros aleatorios segn el criterio establecido, se obtiene la siguiente
sucesin binaria. Leyendo de izquierda a derecha se agrupan los smbolos del mismo tipo para
formar las corridas.
0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1
0 1 1 1 0 0
0 0 0 1 0 1
En la siguiente tabla se resume la informacin necesaria para el clculo de la Ji-cuadrada.
Longitud de corrida i FE FO ( )
1 8.000 9 0.125
2 3.875 3 0.197
3 1.875 2 0.008
4 0.906 1 0.010
5 0.438 1 0.721
Como para las longitudes de corrida ; las frecuencias observadas son menores o
igual a cinco, agrupamos estas longitudes de corridas en una sola longitud de corrida? 2.
i FE FO ( )
1 8 9 0.125
>=2 7.04 7 0.936
El valor en tablas de ; entonces no se puede rechazar la independencia de los
nmeros aleatorios.
Corridas ascendentes y descendentes
Procedimiento
1. Generar la muestra de tamao N de nmeros aleatorios.
2. Construir la sucesin binaria de acuerdo al siguiente criterio:
Si es menor o igual a rj+1 entonces asignarle a el smbolo
Si es mayor que entonces asignarle al el smbolo .
Con base en la distribucin efectuar la prueba, donde la frecuencia esperada de las
longitudes de corrida se calcular con:
|( ) ( )|
( )
EJEMPLO 7. Aplicar la prueba de las corridas ascendentes y descendentes a la muestra de
nmeros aleatorios del ejemplo anterior. Compararemos a los nmeros por fila, pero es
indistinto hacerlo por columna.
0.15 0.31 0.81 0.48 0.01 0.60
0.26 0.34 0.70 0.31 0.07 0.06
0.33 0.49 0.77 0.04 0.43 0.92
0.25 0.83 0.68 0.97 0.11 0.00
0.18 0.11 0.03 0.59 0.25 0.55
Ahora la sucesin binaria es
0 0 1 1 0 1
0 0 0 1 1 0
0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
Obsrvese que la ltima celda se deja en blanco, pues no hay con qu nmero comparar. (Aqu
N = 29)
Longitud de corrida i FE FO (FE-FO)2/FE
1 11.500 11 0.020
2 5.083 5 0.001
3 1.400 2 0.257
4 0.292 -
5 0.005 -
i FE FO (FE-FO)2/FE
1 11.500 11 0.020
>=2 6.483 7 0.004
X02 = 0.024
Como el valor calculado de 0.024 es menor que el valor en tablas de Ji-cuadrada
, no se puede rechazar la independencia de los nmeros aleatorios.
2.4. Obtencin de nmeros pseudoaleatorios utilizando paquetes computacionales.
Los lenguajes precursores en Simulacin fueron los de propsito general, entre ellos por
mencionar solo algunos tenemos: FORTRAN, ALGOL, COBOL, RPG, BASIC, PASCAL,
MODULA, PL/1, etc. Los principales lenguajes utilizados en Simulacin son:
Simulacin de cambio continuo y de cambio discreto en computadoras hbridas H01;
Simulacin de incremento continuo con orientacin a ecuaciones directas con nfasis en
ecuaciones diferenciales DSL/90, MIMIC, BHSL, DIHYSYS y S/360 CSMP; Simulacin de
incremento continuo con simuladores orientados a bloques con nfasis en ecuaciones
diferenciales MIDAS, PACTOLUS, SCADS, MADBLOC, COBLOC y 1130 CSMP;
Simulacin de incremento continuo con simuladores orientados a bloques con nfasis en
ecuaciones de diferencias DYNAMO, DYSMAP 2; Simulacin de incremento discreto con
orientacin a actividades CSL, CLP, GSP, GERT, FORSIM, ESP, MONTECODE y
MILITRAN; Simulacin de incremento discreto con orientacin a eventos SIMSCRIPT,
GASP, SIMCOM, SIMULATE y SIMPAC; Simulacin de incremento discreto con
orientacin a procesos SIMULA, OPS, SLAM y SOL; Simulacin de incremento discreto con
orientacin a flujo de transacciones GPSS y BOS.
Los paquetes de mayor utilizacin en Simulacin son:
EXCEL, STELLA, SIMAN, RISK, STORM, LINDO, CRYSTAL BALL, QSB, MOR/DS,
OR/MS, BEER GAME, GREENPACE, SIMULACION, TAYLOR II, CAPRE, SIMNET II,
PROMODEL, ITHINK, URBAN DYNAMICS y POWERSIM. En Simulacin Gerencial
podemos citar: FISH BANK, FINANACAT, BUGA-BUGA y MARKOPS, TREE PLAN
entre otros.
2.5. Mtodo de Monte Carlo
El mtodo Montecarlo es un mtodo numrico que permite resolver problemas fsicos y
matemticos mediante la simulacin de variables aleatorias. Lo vamos a considerar aqu desde
un punto de vista didctico para resolver un problema del que conocemos tanto su solucin
analtica como numrica. El mtodo Montecarlo fue bautizado as por su clara analoga con
los juegos de ruleta de los casinos, el ms clebre de los cuales es el de Montecarlo, casino
cuya construccin fue propuesta en 1856 por el prncipe Carlos III de Mnaco, siendo
inaugurado en 1861.
La importancia actual del mtodo Montecarlo se basa en la existencia de problemas que tienen
difcil solucin por mtodos exclusivamente analticos o numricos, pero que dependen de
factores aleatorios o se pueden asociar a un modelo probabilstica artificial (resolucin de
integrales de muchas variables, minimizacin de funciones, etc.). Gracias al avance en diseo
de los ordenadores, clculos Montecarlo que en otro tiempo hubieran sido inconcebibles, hoy
en da se presentan como asequibles para la resolucin de ciertos problemas. En estos mtodos
el error , donde N es el nmero de pruebas y, por tanto, ganar una cifra decimal en la
precisin implica aumentar N en 100 veces. La base es la generacin de nmeros aleatorios de
los que nos serviremos para calcular probabilidades. Conseguir un buen generador de estos
nmeros as como un conjunto estadstico adecuado sobre el que trabajar son las primeras
dificultades con la nos vamos a encontrar a la hora de utilizar este mtodo. En el caso que
presentamos hemos hecho uso de la funcin random(x) in
