INTRODUCCIN, RECOLECCIN DE DATOS

PAGE

La Estadstica en la Educacin

Bsica y Media

OBJETIVOS: presentar una visin general de la Estadstica y sus aplicaciones, los procedimientos para recoleccin de datos, su clasificacin y organizacin, los requerimientos de una buena investigacin por muestreo y los errores que se pueden cometer en una encuesta.

Mostrar cmo grandes conjuntos de datos numricos pueden organizarse y presentarse de manera eficaz, con el propsito de favorecer el anlisis y la interpretacin de los datos, aspectos claves del proceso de planificacin y toma de decisiones.

Describir de manera conveniente las caractersticas de los datos mediante tablas, diagramas y representaciones grficas; es decir presentar las tcnicas bsicas para realizar el anlisis de los datos.

Motivar a directivos y profesores de colegios para que la estadstica sea considerada importante en la formacin y el curriculum acadmico del estudiante, con la finalidad de que forme parte de la cultura general en nuestro pas.

1. INTRODUCCION

La estadstica se origina en los propsitos de los gobiernos (naciones o estados) de tener informacin sobre su poblacin y recabar datos sobre sus ciudadanos, su desarrollo se favorece con el florecimiento en las matemticas de la teora de las probabilidades.

Cada da es ms importante el contar con informacin para las actividades de planificacin y toma de decisiones en cualquier mbito institucional, por ello las empresas pblicas y privadas requieren tener informacin relevante y confiable sobre su campo de accin con los menores costos posibles.

La estadstica comprende las tcnicas de recoleccin, presentacin y anlisis de datos para apoyar la tarea de planificacin y aportar al proceso de toma de decisiones, y abarca tambin los mtodos que permiten verificar o rechazar ciertas conjeturas relacionadas con la investigacin en diversas ciencias.

La estadstica se puede aplicar en diversos campos: contabilidad, finanzas, administracin, mercadeo, medicina, economa, ingeniera, etc..

Actualmente el mundo se caracteriza por la globalizacin con un mayor acceso a la informacin, sus fuentes son diversas: publicaciones gubernamentales, industriales, gremiales, etc., en forma impresa (libros, revistas, peridicos) o usando la tecnologa multimedia, se obtienen datos de registros electrnicos, mediante sistemas de recuperacin de informacin y de bases de datos en lnea, o mediante el uso de la autopista de la informacin INTERNET. Los medios electrnicos, como el CD-ROM, han revolucionado el acceso a la informacin.

El gobierno es un importante recolector y compilador de datos con propsitos tanto pblicos como privados.

Hay que distinguir entre el recolector original de los datos, denominado fuente primaria, y el organizador que compila estos datos en tablas y diagramas, llamado fuente secundaria.

En nuestro pas, el Banco Central y el Instituto Nacional de Estadstica y Censos, INEC, son entidades responsables de recolectar datos sobre variables econmicas, financieras, sociales y demogrficas.

Sin embargo en muchas ocasiones no existe la informacin que requerimos, y para obtenerla debemos disear un experimento, o realizar un estudio basado en la observacin del comportamiento de inters, o hacer una investigacin por medio de una encuesta dirigida a una muestra de la poblacin objeto del estudio.

En la actualidad se recogen datos con la finalidad de utilizarlos en diversos propsitos relacionados con estudios de investigacin cientfica, planificacin para el desarrollo de un proyecto, para contribuir en un proceso de toma de decisiones, medir el desempeo de un proceso de produccin o de un servicio, realizar un estudio de mercado, o simplemente para satisfacer nuestra curiosidad.

La estadstica comprende dos partes fundamentales:

a)La estadstica descriptiva: que son los mtodos que involucran la recoleccin, presentacin y anlisis de un conjunto de datos con el fin de describir apropiadamente sus diversas caractersticas. Su desarrollo se ha dado por la necesidad de informacin relevante de amplias poblaciones.

b)La estadstica inferencial: que puede definirse como aquellos mtodos que hacen posible la estimacin de una caracterstica de una poblacin basndose solamente en los resultados de una muestra. Su desarrollo se ha dado a principios del siglo XX y tienen amplia aplicacin en todos los campos de la investigacin en la actualidad.

Para aclarar estos trminos, en el siguiente tema, se introducen algunas definiciones fundamentales.

2. DEFINICIONES BASICAS

Poblacin (o universo): es el conjunto de todos los elementos considerados como objetivo del estudio y del cual queremos obtener sus caractersticas.

Muestra: es la porcin de la poblacin que se selecciona para su anlisis, es el objetivo de la encuesta o del experimento, que ser de utilidad para poder obtener las conclusiones sobre la poblacin.

Parmetro: es una medida de resumen para describir una caracterstica de toda una poblacin.

Estadstico(a): es una medida de resumen para describir una caracterstica de una muestra de la poblacin.

Para que un anlisis estadstico sea til los datos de entrada no deben contener errores, puesto que si entra basura saldr basura.

3. TIPOS DE DATOS

Los datos son los resultados observados de diversas caractersticas, de los elementos de una poblacin de estudio, llamadas variables aleatorias.

Existen bsicamente dos tipos de datos o de variables aleatorias:

Datos categricos (variables cualitativas) y datos numricos (variables cuantitativas).

La variable es categrica si sus valores observados se los clasifica en categoras caracterizadas por una cualidad. Por ejemplo, en una encuesta, las respuestas a las preguntas: Cul es su estado civil?, Posee usted vehculo?, A qu partido poltico pertenece?, En qu medida est satisfecho con el trabajo que desempea: poco, medianamente, o mucho?, Usted tiene hijos? son categricas.

Las variables categricas se clasifican en dos grupos, pueden ser nominales u ordinales.

Variable Nominal, si los datos observados se clasifican en diversas categoras que no implican ningn orden, por ejemplo el estado civil, el sexo, el partido poltico, o si tiene o no hijos.

Variable Ordinal, si los datos se clasifican en categoras que implican algn orden, por ejemplo la medida de satisfaccin en el trabajo que desempea (poco en menos que medianamente y este es menor a mucho).

La variable es numrica si sus valores observados son nmeros, es decir representan una cantidad o una medida. Por ejemplo, las respuestas a las preguntas: Cuntos vehculos posee? A cuntas revistas est suscrito actualmente?, Cuntos hijos tiene?, Cul es su estatura?, Cunto pesa? son claramente numricas.

Las variables numricas se clasifican en dos grupos, pueden ser discretas o continuas.

Variable discreta si los datos corresponden a respuestas numricas que provienen de un proceso de conteo.

Variable continua si los datos corresponden a respuestas numricas que surgen de un proceso de medicin.

4. ENCUESTAS POR MUESTREO

Para realizar una encuesta por muestreo previamente se debe determinar con precisin que informacin se necesita obtener, es decir establecer claramente los objetivos de la investigacin, y posteriormente se requiere planificar y ejecutar una serie de actividades para lograr el xito deseado.

Las principales tareas son: definir cuidadosamente la poblacin, establecer el o los marcos de muestreo de manera que la lista de unidades muestrales y la poblacin concuerden lo mejor posible, seleccionar el diseo de muestreo y el mtodo de entrevista, elaborar el cuestionario, capacitar a los encuestadores y supervisores, realizar una prueba piloto, organizar el trabajo de campo, sistematizar el manejo, validacin y anlisis de los datos y finalmente calcular las estimaciones para obtener la informacin requerida.

El cuestionario es un instrumento que contiene varias preguntas que trata sobre una diversidad de fenmenos o caractersticas de una poblacin, denominadas variables aleatorias.

Como ya se ha dicho, los datos son los resultados observados de estas variables aleatorias.

Despus de que se han determinado las preguntas numricas y categricas ms esenciales de la encuesta, se procede a determinar el diseo y el tamao de la muestra con los requerimientos ms rigurosos.

Existen bsicamente dos tipos de muestras: la muestra no probabilstica y la muestra de probabilidad o aleatoria (al azar).

Una muestra de probabilidad o aleatoria, es aquella en la que los elementos de la muestra se eligen sobre la base de probabilidades conocidas.

La nica forma de que hagamos inferencias estadsticas correctas de una muestra a una poblacin, es mediante el uso de una muestra de probabilidad.

Los cuatro diseos o tipos de muestras probabilsticas de uso comn son: la muestra aleatoria simple, la muestra sistemtica, la muestra estratificada y la muestra de agrupacin o conglomerados; un anlisis detallado de estos procedimientos de muestreo pueden encontrarse en libros sobre investigacin por muestreo (en ingls: Sample Survey).

5. MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

En una muestra aleatoria simple cada individuo o elemento tiene la misma oportunidad de seleccin que cualquier otro, y la seleccin de un elemento en particular no afecta la probabilidad de que se elija cualquier otro.

Una muestra aleatoria simple tambin puede interpretarse como aquella en la que cada posible muestra extrada (de determinado tamao) tiene la misma probabilidad de seleccin que cualquier otra muestra que se pueda extraer (de ese mismo tamao).

El proceso de seleccin de una muestra aleatoria simple no necesariamente es el mejor o el ms econmico de los mtodos de muestreo de probabilidad, pero proporciona la base a partir de la cual han evolucionado los otros procedimientos.

La clave de una seleccin apropiada es obtener y mantener una lista actualizada de todas las unidades de muestreo, entre las cuales se extraer la muestra, tal lista se conoce con el nombre de marco de poblacin.

Las unidades de muestreo son agrupaciones, no traslapadas, de elementos de la poblacin, que la cubren completamente; en otras palabras forman una particin de la poblacin

Por tanto el marco de poblacin es sencillamente una lista (numerada) de todas las unidades de muestreo. Se denomina marco de lista de la poblacin si cada unidad de muestreo contiene un solo elemento de la poblacin, en este caso la numeracin va desde uno (1) hasta el tamao de la poblacin (N).

Por ejemplo si la poblacin es el conjunto de los estudiantes de los colegios del pas, un marco de poblacin podra ser la lista de todos los colegios del Ecuador, en cambio el correspondiente marco de lista de la poblacin es el listado de todos los estudiantes colegiales. Si la poblacin es una determinada ciudad, marcos de poblacin podran ser la lista de todos los barrios, de todas las manzanas o de todas las parroquias urbanas que la conforman, su respectivo marco de lista sera un listado de sus ciudadanos.

El marco de poblacin sirve como la poblacin objetivo, de manera que, si el marco es adecuado, cada muestra es una representacin en miniatura de la poblacin, y por tanto se espera obtener estimaciones razonables de sus caractersticas.

Si el listado es inadecuado, porque ciertos elementos de la poblacin se encuentran repetidos, o no estuvieran incluidos, la muestra de probabilidad slo proporcionar estimaciones de las caractersticas de la poblacin objetivo y no de la poblacin real, puesto que estas fallas pueden ocasionar sesgos o desviaciones en los resultados.

Designamos por N el tamao de la poblacin, y n el tamao de la muestra.

Para extraer una muestra aleatoria simple de tamao n, se podra registrar los nombres, o los correspondientes nmeros, de los N miembros del marco de lista de la poblacin en fichas del mismo tamao, colocar estas fichas en una gran urna, mezclar a fondo las fichas y luego seleccionar aleatoriamente (sacar al azar) los n elementos de la urna, los mismos que formaran la muestra.

El mtodo de la urna tiene algunas desventajas: nuestra habilidad para mezclar a fondo las fichas para que la extraccin sea aleatoria, y la inmensa cantidad de fichas que deberamos elaborar si N es demasiado grande.

Uno de los mtodos que se utiliza para obtener la muestra es el uso de nmeros aleatorios.

Nuestro sistema numrico usa diez dgitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Se puede usar entonces una urna que contenga esferas o fichas numeradas con los diez dgitos (y sacarlos al azar con reposicin). Entonces la probabilidad de generar aleatoriamente cualquier dgito es igual a 1/10 para todos.

Numerados los elementos del marco de lista de la poblacin, se obtiene la muestra aleatoria seleccionando aquellos miembros cuyos cdigos concuerden con los dgitos extrados de la urna.

Por ejemplo, si deseamos una muestra, de n=50 elementos distintos, seleccionada de una poblacin de N=782 elementos, se formarn por lo menos cincuenta nmeros de tres dgitos (pues se eliminan los nmeros repetidos y no se toman en cuenta los mayores a 782 y el 000) hasta completar los cincuenta requeridos.

6. EVALUACION DE UNA ENCUESTA POR MUESTREO

Una buena investigacin por muestreo requiere tener los objetivos claros, una apropiada planificacin y una buena ejecucin de todas las actividades programadas.

Es de fundamental importancia realizar una encuesta piloto, con una muestra muy reducida, con la finalidad de probar el cuestionario y todos los instrumentos que se utilizarn en los diversas etapas, de modo que se corrijan los errores y se puedan evaluar los procesos y sus costos.

Para una buena recoleccin de datos se debe adiestrar a los encuestadores sobre las definiciones operacionales de la encuesta, es decir sobre el significado de cada variable, de modo que no existan ambigedades en las preguntas correspondientes; se requiere adems organizar detalladamente el trabajo de campo, estableciendo claramente las obligaciones del personal y las lneas de autoridad.

Son extremadamente importantes tambin las actividades de codificacin, validacin y anlisis de datos, puesto que se deben examinar las respuestas buscando su integridad y posibles errores para corregirlos.

Para valorar una investigacin por muestreo hay que verificar si se han considerado estas recomendaciones y realizado eficientemente todas las actividades antes mencionadas.

Es claro que hay una proliferacin de investigaciones de encuestas de opinin, pero no toda investigacin es buena, significativa o importante.

Es esencial que aprendamos a evaluar crticamente lo que leemos o escuchamos y que descartemos las encuestas que carezcan de objetividad y credibilidad.

El primer paso para evaluar una encuesta es determinar si se bas en una muestra de probabilidad o en una no probabilstica; puesto que la nica forma de que hagamos inferencias estadsticas correctas es a travs del uso de una muestra aleatoria.

Las encuestas de muestreo no probabilstico estn sujetas a graves sesgos o desviaciones, tal vez no intencionales, que pueden invalidar sus resultados. Hay ejemplos de medios de comunicacin muy importantes que han cometido graves equivocaciones basados en encuestas mal realizadas.

An cuando las encuestas empleen mtodos de muestreo de probabilidad aleatorios, estn sujetas a errores potenciales, que se pueden clasificar en cuatro tipos:

Error de cobertura: debido a duplicaciones, omisiones o inclusiones erradas en el marco de muestreo.

Error de no respuesta: causado por el fracaso de recolectar datos sobre los elementos de la muestra.

Error de medicin: que se refiere a inexactitudes en las respuestas registradas.

Error de muestreo: que refleja la heterogeneidad, o las diferencias de oportunidad, entre las muestras.

Puesto que la muestra esta formada por elementos particulares, dictados por el azar, que es una representacin en miniatura de la poblacin, una buena investigacin debe declarar el margen de precisin, se dir por ejemplo: se espera que los resultados de este sondeo estn dentro de +-5 puntos porcentuales del valor real.

7. CLASIFICACION ORDENADA DE LOS DATOS.Cuando se elabora un conjunto de datos, las observaciones numricas no tienen ningn orden o secuencia particular ni tampoco se encuentran agrupados por similares cualidades o caractersticas.

Al crecer el nmero de observaciones, se hace ms difcil observar las principales caractersticas del conjunto de datos, se requiere entonces organizar las observaciones, de tal manera que entendamos mejor la informacin que contienen los datos, para lograrlo se han desarrollado diversos mtodos, algunos fundamentados en grficos y diagramas, otros en ciertas medidas numricas, y varias tcnicas fundamentadas en diferentes tipos de anlisis matemticos.

La primera forma que permite organizar los datos de modo que se pueda apreciar ciertas caractersticas es realizar una clasificacin ordenada de los datos respecto a la variable de inters.

Ejemplo 1: los siguientes datos corresponden al nmero (aproximado y en miles) de Unidades de Produccin Agropecuarias (UPAs) de cada provincia del pas (resultados del Censo Nacional Agropecuario CNA del ao 2000)

ProvAzuaBoliCaaCarcCotoChimElOrEsmeGalaGuayImba

UPAs993932136882221616534

LojaLoRiManaMo SaNapoOrelPastPichSucuTungZaChZNAs

664275175656487194

La clasificacin ordenada de estos datos es la siguiente:

ProvGalaZNAsNapoPastOrelSucuZaChCarcEsmeMo

SaElOr

UPAs145568913161722

CaaImbaBoliLoRiPichGuayLojaCotoTungManaChimAzua

323439426465666871758299

De esta tabla se puede determinar inmediatamente algunas caractersticas, como por ejemplo: la provincia que menos UPAs tiene es Galpagos (aproximadamente un mil), la que tiene mayor cantidad es Azuay (con alrededor de 99 mil); la provincia que corresponde a la mediana es Caar con 32 mil UPAs.

Ejercicio 1: Realizar la clasificacin ordenada de los datos correspondientes al nmero (aproximado y en miles) de habitantes de cada provincia del pas (resultados del Censo Nacional de Poblacin y Vivienda del ao 2001)

ProvAzuaBoliCaaCarcCotoChimElOrEsmeGalaGuayImba

UPAs600169207153350404526385193309344

LojaLoRiManaMo SaNapoOrelPastPichSucuTungZaChZNAs

405650118611579866223891294417773

La mejor manera de examinar datos es presentarlos en forma de resumen construyendo tablas y diagramas apropiados, de manera que podamos extraer las caractersticas ms importantes de los datos.

8. CARACTERSTICAS DE LOS DATOS

Las tres principales caractersticas que dan la posicin relativa del conjunto de datos son: la localizacin o tendencia central, la dispersin y la simetra.

Tendencia central o localizacin: es una cantidad cerca de la cual se encuentran los valores del conjunto de datos, se la mide mediante un valor junto al cual se agrupa la mayora de las observaciones. Una medida de tendencia central es, por ejemplo, la media o promedio de los datos.

Ejercicio 2: (a)Calcular el promedio provincial del nmero de UPAs (datos del ejemplo 1). (b) Encontrar la media provincial del nmero de habitantes (referirse al ejercicio1).

Dispersin: es una medida de la variacin que existe entre los valores del conjunto de datos, mide que tan dispersos estn los datos, usualmente en relacin con un valor central. Por ejemplo el rango o extensin (la diferencia entre el valor mximo y el mnimo) es un medida de dispersin.

Ejercicio 3: Hallar el rango de los datos del ejemplo 1 y del ejercicio 1.

Simetra (y asimetra): el conjunto de datos es simtrico cuando los valores de los datos estn distribuidos en la misma forma por encima y por debajo del valor central del conjunto de datos.9. DIAGRAMAS Y GRFICOSPuesto que la tabla o matriz de los datos no muestra las cualidades de los datos, se usan representaciones grficas que ayudan a captar tendencias, apreciar caractersticas y establecer modelos probabilsticos de comportamiento global.

En general un diagrama o un grfico, en donde estn representados los datos, sirve para resumir el conjunto de las observaciones y advertir sus carctersticas de localizacin, de dispersin , de simetra y la presencia de valores atpicos.

Los diagramas y grficos que comnmente son utilizados, para organizar las observaciones de modo que entendamos mejor la informacin que contienen y apreciemos sus caractersticas, se presentan a continuacin:

Diagrama de puntos: cada observacin se representa mediante un punto sobre la recta numrica.

Ejercicio 4: hacer el diagrama de puntos de los datos del ejercicio 1.

Diagrama de tallo y hojas: a los datos se los clasifica considerando, por ejemplo, las unidades, o las decenas, o las centenas, etc., estas forman el tallo y se las coloca verticalmente, a continuacin se coloca los siguientes dgitos para cada observacin a la derecha de la barra vertical, estos valores vienen a constituir las hojas, y as se van aadiendo todas las observaciones; pueden realizarse variantes (por ejemplo distinguiendo las cifras altas y las bajas).

Un diagrama de tallo y hojas con los datos correspondientes al nmero de UPAs (ejemplo 1) sera el siguiente:

9 9

8 2

7 1 / 5

6 4 / 5 / 6 / 8

4 2

3 2 / 4 / 9

2 2

1 3 / 6 / 7

0 1 / 4 / 5 / 5 / 6 / 8 / 9

Ejercicio 5: Hacer al menos un diagrama (adicional) de tallo y hojas con los datos del ejemplo 1, y dos diagramas con los datos del ejercicio 1.Grfico de pastel: es una forma de resumir un conjunto de datos categricos. Es un crculo dividido en segmentos, donde el rea de cada uno de los segmentos es proporcional al nmero de casos en la categora correspondiente.

Para conocer el ngulo (medido en grados) podramos aplicar una simple regla de tres (proporcin): si el nmero total de datos corresponde a 360 grados, el nmero de casos en una determinada categora, cuntos grados le corresponde?.

Adicionalmente, se suele indicar el porcentaje de cada categora.

Ejemplo 2: los siguientes datos corresponden al nmero de habitantes (aproximado y en miles) de la poblacin nacional por categoras de rea (urbana/rural) segn el censo de poblacin 2001.

Poblacin NacionalCategoras

TotalUrbanaRural

Nmero de habitantes 1215674314725

Ejercicio 6: Hacer el grfico de pastel con los respectivos porcentajes de los siguientes datos del Censo de Poblacin (2001):

(a) Poblacin nacional (nmero de habitantes) por (categoras correspondientes al) sexo (hombre/mujer).

(b) Poblacin de la provincia de Pichincha por sexo.

(c) Poblacin de la provincia de Guayas por rea.

(d) Unidades de Produccin Agropecuarias (UPAs) por categoras de tenencia de la tierra (referirse a los resultados del CNA 2000)(e) Poblacin (nacional mayor a diez aos) de analfabetos por categoras quinquenales de edad.

(f) Poblacin de analfabetos por categoras provinciales.

(g) Poblacin (nacional masculina mayor a diez aos) de analfabetos por categoras quinquenales de edad (respectivamente femenina)

(h) Poblacin de hombres analfabetos por categoras provinciales (respectivamente de mujeres).

(i) Poblacin nacional mayor a doce aos por categoras de estado civil.

La representacin de pastel se suele usar tambin con cantidades si se han agregado las mismas en las correspondientes categoras (ver ejercicio 9).

Se puede tambin usar el grfico de pastel con datos numricos si previamente se ha creado una tabla de frecuencias (es decir se han clasificado las observaciones en grupos o clases dados por una particin en subintervalos) pero en este caso se usa generalmente el grfico de barras denominado histograma.

Grfico de barras: los datos categricos se exhiben mediante un nmero de rectngulos, del mismo ancho, cada uno de los cuales representa una categora particular.

La longitud (y por lo tanto el rea) de cada rectngulo es proporcional al nmero de casos en la categora que representa.

Ejemplo 3: considerar los datos, de la poblacin nacional por grupos de edad quinquenales, que se presentan a continuacin:

Grupos

edad0 a 45 a 910 a 1415 a 1920 a 2425 a 29

N

habitantes13371362134112411169947

30 a 3435 a 3940 a 4445 a 4950 a 5455 a 5960 a 64

863775674539463339294

65 a 6970 a 7475 a 7980 a 8485 a 8990 a 9495 y ms

24419514397633932

Se prefiere realizar el grfico con las barras horizontales especialmente cuando a continuacin se va a representar una pirmide, desagregando la poblacin en dos categoras, en nuestro caso, por ejemplo considerando el sexo, es decir la poblacin de hombres a la izquierda y de mujeres a la derecha.

Ejercicio 7: realizar el grfico de pirmide con los datos de la poblacin nacional por grupos de edad quinquenales, considerando las categoras de sexo (hombres/mujeres) (ref. censo de poblacin).

Ejercicio 8: realizar el grfico de barras con los datos del ejemplo 2.

Ejercicio 9: hacer el grfico de pastel, y el de barras, de los siguientes datos, que corresponden a la superficie (rea) nacional segn el uso del suelo (resultados del CNA 2000)Uso del suelo (en miles de hectreas)

Categ.Cultiv. Perma.Cultiv.

Trans.Descan.Pastos PastosPramoMontesOtro

y Barbe.Cultiv.Natur.y BosquesUsos

Super.13631232381335711306003881411

Se pueden representar datos numricos si se elabora previamente una tabla de frecuencias, en este caso el grfico se denomina histograma (los detalles de este procedimiento se exponen en el siguiente tema).En algunos casos es conveniente representar los datos mediante una combinacin dos grficos de pastel o de una representacin de pastel con una de barras, especialmente cuando una de las categoras tiene una frecuencia muy grande comparada con las otras, es decir uno o algunos porcentaje(s) demasiado(s) alto(s) en relacin de los dems.

Ejemplo 4: los siguientes datos corresponden al nmero (aproximado y en miles) de Unidades de Produccin Agropecuarias (UPAs) segn su condicin jurdica (de acuerdo al CNA 2000)

CONDICION JURIDICA

Cate-PersonaSoc.Hecho sinSoc.InstitucinOtras

goraIndividualContrato

LegalLegalPblicaCondiciones

UPAs5775610913

10. DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS E HISTOGRAMAS

Para crear la tabla de frecuencias con datos categricos se cuenta el nmero de veces en la que aparece cada dato, es decir se calcula el nmero de elementos de cada una de las categoras.

Si los datos son numricos se tiene que crear una particin del intervalo que contiene a todos los valores, es decir dividirlo en grupos de subintervalos, y se cuentan cuantos elementos estn en cada clase.

Se dispone esta informacin en dos columnas, la primera indicando el grupo (categora o clase) y la segunda su nmero de elementos correspondiente (cardinalidad).

Luego se forma una tercera columna con la frecuencia relativa; es decir, se divide la cardinalidad de cada grupo, para el nmero total de datos (la misma que se puede expresar como porcentaje).

Se suele calcular tambin una cuarta columna con las frecuencias acumuladas, que resultan de sumar las frecuencias relativas de todas las observaciones anteriores hasta la considerada inclusive.

El Histograma es un grfico de barras en el que se presentan las frecuencias absolutas o las relativas (en porcentaje).Se determina el nmero de grupos dependiendo del nmero de observaciones, por ejemplo: si tenemos menos de 20 observaciones se seleccionar 4 clases, de 20 a 50 observaciones se toman 5 clases, de 50 a 100 observaciones se escogen 6 clases, de 100 a 200 observaciones se suele elegir 7 clases, de 200 a 500 observaciones usualmente se seleccionan 8 clases, y ms de 500 observaciones se eligen 9 clases o ms (en funcin del nmero de datos).

En el caso de datos numricos, la longitud de cada clase (subintervalo) es igual a la extensin o rango de los datos dividido para el nmero de clases.

Para cada observacin se determina a que clase pertenece para calcular la frecuencia absoluta de cada clase.11. MEDIDAS DE LOCALIZACIN O TENDENCIA CENTRAL

Una medida de localizacin es un valor en torno al cual se agrupan la mayora de datos, es una caracterstica de tendencia central de las observaciones, las ms empleadas son: el promedio o media muestral, la mediana, la moda y la media simtricamente segada.

Promedio o media muestral (m): es igual a la suma de los valores de las observaciones dividida para el nmero total de datos (n). Se le denomina m o tambin x( (x techo).

m = ( ( xi ) / n

Mediana (Q2): es el valor que se encuentra en el punto medio, cuando se ordenan los valores de menor a mayor, se la denota Q2. Si n=2p+1 (impar) entonces Q2=xp+1; y si n=2p (par) entonces Q2=(xp+xp+1)/2

Moda (Mo): es aquel valor que tiene la mayor frecuencia absoluta, se la representa por Mo.

Si los datos estn dispuestos en una tabla de frecuencias agrupados en clases (subintervalos) aquella que tiene la mayor frecuencia se denominar clase modal y puede asumirse que, de manera aproximada, la moda es su punto medio.

Media simtricamente segada al 10%: es igual al promedio de las observaciones que quedan luego de eliminar el 5% de las que tienen los valores ms bajos y el 5% de las que tienen los valores ms altos.

Observemos que si cada dato xi est con su respectiva frecuencia ni ; la media (el promedio) se puede calcular evidentemente mediante la expresin:

m = ( ( ni xi ) / n

Cuando los datos estn dispuestos en una tabla de frecuencias agrupados en clases, se puede calcular el valor aproximado de la media o la media segada considerando la suma de los productos de los valores medios de las clases por su frecuencia y dividiendo como siempre para el nmero de observaciones, es decir usando la expresin anterior con xi igual al punto medio de clase i (o sea: xi = (li+si)/2 donde li y si son respectivamente los lmites inferior y superior de la clase i).

Ejemplo 5: Usando los datos del censo de poblacin, determinar el promedio del nmero de hijos vivos que tienen las madres ecuatorianas. De acuerdo con el cuadro N. 53, se tiene la siguiente tabla de frecuencias por nmero de hijos:

Nmero de

hijos vivos012345678910 y mas

Nmero de

madres9600637534346237173122906074

Asumiendo que en la ltima categora las 74 madres tienen en promedio 11 hijos, se puede obtener que el valor aproximado de la media es:

(0x9+1x600+. . .+9x60+11x74)/(9+600+. . .+60+74)=3,4736 (hijos/madre)

El promedio exacto de acuerdo al censo es de 3,2753 .

Ejercicio 10: Revisar los ejemplos del texto de Galindo relacionados con las medidas de localizacin (tendencia central).

12. MEDIDAS DE DISPERSIN

La desviacin estndar o tpica (denominada s): es igual a la raz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de los datos y su media, dividida para el nmero de datos menos uno; se la denomina s, es siempre un valor positivo, y su unidad de medida es la misma que corresponde a los datos originales.

s = ( ( ( (xi - m)2/(n-1) )

Las mismas observaciones que realizamos para el clculo de la media, cuando se dan las frecuencias (con datos individuales o agregados) son vlidas tambin para la desviacin tpica.

Para tener una nocin de lo que representa una desviacin estndar en relacin a las observaciones, se puede comprobar que el intervalo, de extremo izquierdo igual a la media menos tres desviaciones estndar y de extremo derecho la media ms tres desviaciones, contiene al menos el 90% de los datos.Cuando la distribucin es normal (o parecida a ella) el intervalo en mencin: (m-3s;m+3s) contiene al menos el 99% de las observaciones.

Por tanto, los valores que no estn dentro de este intervalo se pueden considerar como valores atpicos.

Extensin o rango: es igual a la diferencia entre los valores mayor y menor de las observaciones, es decir es el mximo menos el mnimo de los datos; es decir:

ext = rg = max(xi) min(xi) .

Cuartil inferior (Q1): es la mediana de la mitad inferior de los datos.

Cuartil superior (Q3): es la mediana de la mitad superior de los datos.

Los cuartiles y la mediana dividen al conjunto de datos en subconjuntos que contienen aproximadamente el 25% de los datos.Rango Intercuartil (RIQ): es igual a la diferencia entre los cuartil superior e inferior, se lo denomina RIQ y por tanto: RIQ = Q3 - Q1.

Percentiles: son valores que dividen a la muestra de datos en cien grupos, cada uno de los cuales contiene (hasta donde sea posible) igual nmero de observaciones, se los denomina: p1, p2, p3, . . . , p99.

Quintiles: son valores que dividen al conjunto de datos en 5 grupos, cada uno de los cuales contiene (hasta donde sea posible) el 20% de las observaciones, se los llama q1, q2, q3 y q4.

Ejercicio 11: Revisar los ejemplos del texto de Galindo relacionados con las medidas de dispersin.

13. DIAGRAMA DE CAJA

El diagrama de caja es una herramienta que describe en un mismo grfico algunas caractersticas de localizacin, de dispersin, y los valores atpicos, al representar la mediana, los cuartiles, el rango intercuartil y el rango de las observaciones; para su construccin se procede de la siguiente manera:

a) Sobre una lnea horizontal se localizan la mediana, los cuartiles inferior y superior y los datos mnimos y mximo.

b) Se hace una caja angosta que una a Q1 y Q3, a continuacin se divide esta caja en dos mediante una lnea que pase por Q2.

c) Finalmente se trazan dos rectas, una para cada extremo de la caja, en los valores: Q1 1,5 RIQ ; y , Q3 + 1,5 RIQ.

Q1-1,5RIQ

Q1Q2 Q3

Q3+1,5RIQ

Los datos que caen fuera de estas dos vallas (dadas por las dos rectas trazadas) se consideran como valores atpicos.

Nota: En una distribucin que se aproxima a la normal estos valores corresponden a los que estn fuera del intervalo: m2,7s ; y , m+2,7s

Existen otras medidas de dispersin (poco usuales) como por ejemplo:

La desviacin promedio respecto al promedio (o media) (llamada: DPP):

DPP = ( (i (xi m()/n

La desviacin promedio respecto a la mediana (DPM):

DPM = ( (i (xi Q2()/n

La desviacin absoluta respecto a la mediana (DAM):

DAM=Med((xi Q2() (con i=1,2, ... ,n)

14. TABLA DE CONTINGENCIA

Consideremos ahora un esquema de doble clasificacin, por ejemplo las personas o habitantes del pas se pueden agrupar entre los que viven en el rea urbana y los que viven en el rea rural, y dentro de estos dos grupos se los puede clasificar respecto al sexo (es decir en hombres y mujeres).

Ejemplo 6: de acuerdo a los resultados del censo de poblacin del ao 2001 tenemos la siguiente clasificacin doble:

POBLACIONHombresMujeresTotal

Urbana3.625.9623.805.3937.431.355

Rural2.392.3912.332.8624.725.253

Total6.018.3536.138.25512.156.608

La clasificacin de datos categricos de acuerdo con dos variables (X,Y) se denomina cuadro de contingencia, es en definitiva una tabla de frecuencias (absolutas o relativas) donde una variable se representa en las filas y la otra en las columnas; se cuentan los individuos que tienen los valores indicados en las filas y en las columnas. Supongamos que la primera variable (X) tenga p resultados posibles (o categoras) y que para la segunda (Y) existan q valores factibles (categoras), entonces la tabla de contingencia es una matriz, con p filas y q columnas, formada por los valores ni,j (que corresponden al numero de individuos que pertenecen a la categora i en la primera variable y a la categora j en la segunda) que representan las frecuencias absolutas de la categora conjunta (i,j).

Se puede encontrar tambin la frecuencia relativa de la clase (i,j) que es igual al cociente: fi,j = ni,j / n (donde n es el numero total de individuos) y proporcionan la distribucin emprica conjunta de las dos variables, y dan una estimacin de las probabilidades pij de que un individuo pertenezca a la categora conjunta (i,j), es decir a la categora i en la variable X y a la categora j en Y.

En el ejemplo que estamos tratando, la tabla de frecuencias relativas es:

POBLACIONHombresMujeresTotal

Urbana29,8%31.3%61,1%

Rural19,7%19,2%38.9%

Total49,5%50,5%100,0%

Propiedades: La sumatoria de todos los valores ni,j (para i desde 1 hasta p, y j desde 1 hasta q) es igual al total de individuos n.

La sumatoria de todos los valores fi,j (para i desde 1 hasta p, y j desde 1 hasta q) es igual a 1.

Distribuciones marginales: En la tabla de contingencia se suelen incluir los totales de las filas y los totales de las columnas, es decir se calcula:

ni. = sumatorio en j de los ni,j (para cada categora i=1,2,...,p)El valor de ni. es la frecuencia absoluta de la primera variable, para la categora i, y las frecuencias relativas marginales fi. = ni./n dan la distribucin emprica de la primera variable (X).

De manera similar, para la segunda variable (Y), se incluye una fila con los valores: n.j que representan sus frecuencias absolutas.

Anlogamente las frecuencias relativas f.j = n.j/n proporcionan la distribucin emprica de la segunda variable Y, y da una estimacin de la probabilidad pj de que un individuo pertenezca a la categora j.

15. REGRESIN LINEAL SIMPLE

En algunas aplicaciones se requiere establecer relaciones entre dos variables; la regresin lineal simple sirve para determinar una relacin lineal entre dos variables: X=(x1,x2,...,xn) y Y=(y1,y2,...,yn).

El modelo determinista plantea: Y = b0 + b1 X

El modelo probabilista (o aleatorio) considera:

Y = b0 + b1 X + e ; donde e es una componente aleatoria del error.

Como sabemos b0 es la ordenada al origen; y, b1 es la pendiente de la recta; los mismos que se obtienen, usando el mtodo de los mnimos cuadrados, mediante las siguientes frmulas:

b1 = SCXY / SCXX ;

Donde: SCXX = i (xi mx)2; y , SCXY = i (xi mx)(yi-my) .

b0 = my b1 mxLa pregunta que se plantea entonces es: Qu tan bien se ajusta la recta a los datos?

Para responder, a esta pregunta, se usa el coeficiente de correlacin lineal de Pearson, definido por:

r = SCXY / (SCXX SCYY )

El valor de r est siempre entre: 1 y +1 ; tiene el mismo signo que b1; si es cercano a 1 o a +1 , indica que si existe una relacin lineal entre X y Y; si es igual a 1 (o +1) se cumple exactamente la igualdad (es decir se verifica el modelo determinista).

Dentro del anlisis estadstico se debe determinar adems si los coeficientes son significativos, es decir si se acepta o rechaza la hiptesis de nulidad de los parmetros correspondientes a bo y b1.

Ejercicio 12: Considerar las observaciones provinciales del nmero de vacas ordeadas y la cantidad (en litros) obtenida (referirse a los resultados del CNA 2000). Efectuar la regresin lineal y calcular el coeficiente de correlacin lineal de Pearson.

16. ESTIMACION DE PARAMETROS

Supongamos que deseamos inferir algo sobre el valor del parmetro de la media poblacional basados en el valor de la media muestral. Un resultado muy importante de la estadstica me permite afirmar que:

El valor de la media poblacional, con un 95% de confiabilidad (es decir con probabilidad 0,95) se encuentra en el intervalo:

( m ( 2 s/(n ; m 2 s/(n ) para muestras grandes (tamao n > 27)

Observemos que el error por muestreo: 2 s/(n es ms grande si la desviacin muestral aumenta y es ms pequeo si el tamao de la muestra crece.

El factor 2 ya no se mantiene, se incrementa, si la muestra es ms pequea (o si aumentamos el nivel de confiabilidad). Por ejemplo: si la muestra es menor o igual a 27 y mayor a 13 el factor se aproxima por 2,1 ; si n=6 o n=7 el factor es prcticamente igual a 2,4 .

Si el tamao de la muestra est entre 10 y 13 el factor es aproximadamente igual a 2,2 ; y est alrededor de 2,3 si n es igual a 8 o 9 .

Adems si queremos un nivel de confiabilidad mayor, por ejemplo el 99%, este factor aumenta prcticamente a 2,9 si el tamao de la muestra est entre 15 y 19 .

Supongamos por ejemplo que al realizar un estudio de la duracin de cierta marca de pilas, se utiliz una muestra de 16 pilas, de la cual se obtuvo un promedio de dos horas 45 minutos de duracin con una desviacin estndar de 12 minutos. Es decir se obtuvieron los siguientes resultados (estadsticos): m=2,75 horas, s=0,2 horas, encontrar entre que valores se encuentra la duracin media de las pilas de esa marca con una confiabilidad del 95% , y comparar los resultados si considero una seguridad de 99%.

Con el 95% : ( 2,75 ( 2,1*0,2/(16 ; 2,75 + 2,1*0,2/(16 )

Es decir: ( 2,645 horas ; 2,855 horas )

Con el 99% : ( 2,75 ( 2,9*0,2/(16 ; 2,75 + 2,9*0,2/(16 )

Es decir: ( 2,605 horas ; 2,895 horas ) = (2horas 36min. ; 2horas 54 min)

La justificacin de estos resultados no son fciles de exponer a nivel de la educacin media, por cuanto requiere del desarrollo de la teora de las probabilidades; sin embargo considero que se deben dar tambin los fundamentos de esta teora en el nivel medio, lo que puede ser motivo de un prximo curso, que bsicamente debera contener los temas: el concepto de probabilidad, variables aleatorias y las principales distribuciones de probabilidad.

17. EL PROGRAMA CURRICULAR DE LA ESTADISTICA EN LA EDUCACION BASICA Y MEDIA.

Como puede observarse los contenidos de este curso son elementales y bsicos en la formacin de una persona, pues ahora ya forman parte del lenguaje de los individuos y de los medios de comunicacin colectiva.

Personalmente pienso que la estadstica bsica es mucho ms simple y til que muchos de los temas, que en matemtica, se los estudian con exagerada atencin en la educacin bsica y media.

Me parece importante y no muy difcil incorporar estos y otros temas, como el de probabilidades bsicas, hay que determinar en que curso los estudiantes ya estaran en capacidad de asimilarlos.

La reforma curricular para la educacin bsica plantea en el cuarto y quinto ao bsico, en el sistema de estadstica y probabilidad, introducir los temas sobre recoleccin de datos y su representacin en diagrama de barras; en el sexto las medida de localizacin (o tendencia central) como la media, mediana y moda, y en el sptimo completar otras representaciones como la circular, tallo y hojas, de caja, etc.

En el octavo y noveno ao, las tablas de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas y su representacin en histogramas, las medidas de dispersin como la desviacin estandar (o tpica) y la varianza, complementando con la nocin de probabilidad y de sucesos o eventos; y en el dcimo ao se propone recopilar y revisar todos estos temas con suficientes aplicaciones relevantes en cuanto a los contenidos (relacionados con otras ciencias como la economa, sociologa, demografa, etc.).

La propuesta es excelente, pero talvez es muy desagregada y algo temprana; se podra empezar en sexto ao de bsica con los temas sobre recoleccin de datos, diagramas de puntos y de barras y medidas de tendencia central como la media, la mediana y la moda; en el sptimo ao bsico se deberan introducir otras representaciones como la de tallo y hojas y la circular, o de pastel, y de paso recordar las de puntos y barras, definir el rango y el rango intercuartil para la representacin de caja; y en los aos: octavo, noveno y dcimo seguir los planteamientos de la Reforma Curricular.

En los aos siguientes de educacin media (bachillerato) se deberan tratar los siguientes temas, en el cuarto curso la regresin lineal simple y las tablas de contingencia (o cruzadas), en el quinto curso las distribuciones de probabilidad ms utilizadas, especialmente la binomial y la normal, y en sexto curso terminar con temas de estimacin de parmetros, ms precisamente estimacin puntual y por intervalos de la media poblacional, y en particular de una proporcin, usando el teorema del lmite central, o sea la distribucin normal para muestras grandes, es decir: para un tamao de muestra mayor que 27, se puede afirmar, con el 95% de confiabilidad, que la media poblacional est en el intervalo: [m(2s/(n; m+2s/(n].

Obviamente, se podra pretender la inclusin de otros temas como la estimacin del total poblacional, siempre en el caso del muestreo aleatorio simple, la estimacin por intervalo para tamaos de muestra pequeos, es decir cuando el tamao es menor o igual que 27, y las regresiones (exponencial, logartmica, etc.) que se reducen al caso lineal simple.

Pero posiblemente lo ms importante de la Estadstica es su aplicacin y relacin con las dems ciencias, lo que puede servir para que el estudiante conozca, por ejemplo, la realidad social, econmica, etc de su provincia o del pas y compararla con la de otros pases del mundo. Es por esta razn que la Estadstica podra ser el medio para lograr otros conocimientos e incluso para realizar ciertas investigaciones, basadas en encuestas por muestreo aleatorio, en diversas disciplinas.

A propsito, por ltimo, a continuacin les envo otros ejercicios:

Realizar los grficos en barras y circular (pastel) de la poblacin total ocupada por tipo de actividad, y hacer los grficos segn el sexo, es decir considerando la poblacin de hombres y de mujeres.

Hacer los grficos en barras y circular (pastel) de la poblacin econmicamente activa (PEA) por categoras de ocupacin, y tambin los grficos segn el sexo, es decir considerando la PEA masculina y femenina.

Realizar los grficos en barras y circular (pastel) de la PEA del sector privado por grupos principales de ocupacin.

Bibliografa:

Berenson M., Levine D., Estadstica Bsica en Administracin, Prentice Hall Hispanoamericana S. A., Mxico, 1996.

Freund J. y Simon G., Estadstica elemental, Prentice Hall, Mxico, 1994.

Galindo E., Estadstica para la Administracin y la Ingeniera, Grficas Mediavilla Hnos., Quito, 1999.

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

139

_1087145928.xlsGrfico1

1337

1362

1341

1241

1169

947

863

775

674

539

463

339

294

244

195

143

97

63

39

32

N habitantes

Nmero de habitantes por grupos de edad

Hoja1

Grupos edad0 a 4 aos5 a 9 aos10 a 14 aos15 a 19 aos20 a 24 aos25 a 29 aos30 a 34 aos35 a 39 aos40 a 44 aos45 a 49 aos50 a 54 aos55 a 59 aos60 a 64 aos65 a 69 aos70 a 74 aos75 a 79 aos80 a 84 aos85 a 89 aos90 a 94 aos95 aos y ms

N habitantes1337136213411241116994786377567453946333929424419514397633932

30 a 34 aos35 a 39 aos40 a 44 aos45 a 49 aos50 a 54 aos55 a 59 aos60 a 64 aos

863775674539463339294

65 a 69 aos70 a 74 aos75 a 79 aos80 a 84 aos85 a 89 aos90 a 94 aos95 aos y ms

24419514397633932

Hoja1

N habitantes

Nmero de habitantes por grupos de edad

Hoja2

Hoja3

_1150726685.xlsGrfico2

577

56

10

9

13

Unidades de Produccion Agropecuarias

Hoja1

Condicin JurdicaUnidades de Produccion Agropecuarias

Persona Individual577

Sociedad de Hecho56

Sociedad Legal10

Institucin Pblica9

Otras Condiciones13

Hoja1

0

0

0

0

0

Unidades de Produccion Agropecuarias

Hoja2

Hoja3

_1087103696.xlsGrfico4

7431

4725

Poblacin Nacional Por Categoras de Area

Hoja1

POBLACION NACIONALCategoras

TOTALUrbanaRural

Nmero de habitantes1215674314725

Hoja1

Poblacin Nacional Por Categoras de Area

Hoja2

Hoja3

_1087143827.xlsGrfico1

20

16

23

19

15

22

14

21

4

2

3

10

5

8

6

11

18

7

1

12

Representacin de puntos del ejemplo 1

Hoja1 (6)

CdigoPROVINCIAPoblacinPoblUrbaPoblRuraPoblMa10PobAnalfaPorAnalfa

20Galpagos19163150.42.7%3.5%2.7%32.7% a 6.1%

07El Oro52640212441221.55.2%6.1%116.1% a 9.6%

17Pichincha238917146751898101.55.3%9.6%59.6% a 13%

04Carchi15372811207.96.6%13.0%413% a 16.5%

09Guayas330927076022627179.06.8%16.5%

11Loja40518322230722.07.2%

19Zamora Chinchipe762749543.97.2%

01Azuay60031328746336.77.9%

21Sucumbos1295079967.78.0%

22Orellana862660615.08.2%

18Tungurahua44118825334931.49.0%

14Morona Santiago1153877807.29.0%

16Pastaza622735454.29.3%

15Napo792653565.39.5%

12Los Ros65032632450054.010.8%

08Esmeraldas38515722828931.811.0%

23Zonas No Asignadas73073546.211.5%

13Manab1186615571912105.411.6%

10Imbabura34417217226531.611.9%

03Caar2077613115620.913.4%

02Bolvar1694312612819.515.2%

05Cotopaxi3509425626440.515.3%

06Chimborazo40415824630650.516.5%

Hoja1 (6)

Porcentaje de analfabetismo

Nmero de provincias

Histograma de Frecuencias

Hoja1 (5)

CdigoPROVINCIAPoblacinPoblUrbaPoblRuraPoblMa10PobAnalfaPobAnalfa

20Galpagos19163150.444.70.4180.410.00.49

19Zamora Chinchipe762749543.945.123.910.41

16Pastaza622735454.289.724.220.53

22Orellana862660615.0134.415.030.55

15Napo792653565.3179.05.340.5

23Zonas No Asignadas73073546.26.2

14Morona Santiago1153877807.27.2

21Sucumbos1295079967.77.7

04Carchi15372811207.97.9

02Bolvar1694312612819.519.5

03Caar2077613115620.920.9

07El Oro52640212441221.5Q2 mediana21.5

11Loja40518322230722.022.0

18Tungurahua44118825334931.431.4

10Imbabura34417217226531.631.6

08Esmeraldas38515722828931.831.8

01Azuay60031328746336.736.7

05Cotopaxi3509425626440.540.5

06Chimborazo40415824630650.5

12Los Ros65032632450054.0

17Pichincha238917146751898101.5

13Manab1186615571912105.4

09Guayas330927076022627179.0

Hoja1 (3)

CdigoPROVINCIAPoblacinPoblUrbaPoblRura

01Azuay600313287

02Bolvar16943126

03Caar20776131

04Carchi1537281

05Cotopaxi35094256

06Chimborazo404158246

07El Oro526402124

08Esmeraldas385157228

09Guayas33092707602

10Imbabura344172172

11Loja405183222

12Los Ros650326324

13Manab1186615571

14Morona Santiago1153877

15Napo792653

16Pastaza622735

17Pichincha23891714675

18Tungurahua441188253

19Zamora Chinchipe762749

20Galpagos19163

21Sucumbos1295079

22Orellana862660

23Zonas No Asignadas73073

PoblUrbaPoblRura

1215774304727

Hoja1 (3)

Poblacin por rea

Hoja1 (4)

NumProvCdigoPROVINCIAPoblacinNumProvCdigoPROVINCIAPoblacin

2020Galpagos19822.5841.52020Galpagos19157.75176.75

1616Pastaza6216641616Pastaza62334.5

2323Zonas No Asignadas732486.52323Zonas No Asignadas73492.25

1919Zamora Chinchipe7733091919Zamora Chinchipe77650

1515Napo791515Napo79

2222Orellana862222Orellana86

1414Morona Santiago1151414Morona Santiago115

2121Sucumbos1292121Sucumbos129

404Carchi153404Carchi153

202Bolvar169202Bolvar169

303Caar207303Caar207

1010Imbabura3441010Imbabura344

505Cotopaxi350505Cotopaxi350

808Esmeraldas385808Esmeraldas385

606Chimborazo404606Chimborazo404

1111Loja4051111Loja405

1818Tungurahua4411818Tungurahua441

707El Oro526707El Oro526

101Azuay600101Azuay600

1212Los Ros6501212Los Ros650

1313Manab1186

1717Pichincha2389

909Guayas3309

-1448.5649151699790.86596606792505.7649151699

Hoja1 (2)

NumProvCdigoPROVINCIAPoblacin

2020Galpagos19

1616Pastaza62

2323Zonas No Asignadas73

1919Zamora Chinchipe77

1515Napo79

2222Orellana86

1414Morona Santiago115

2121Sucumbos129

404Carchi153

202Bolvar169

303Caar207

1010Imbabura344

505Cotopaxi350

808Esmeraldas385

606Chimborazo404

1111Loja405

1818Tungurahua441

707El Oro526

101Azuay600

1212Los Ros650

1313Manab1186

1717Pichincha2389

909Guayas3309

12158

Hoja1 (2)

Representacin de puntos

Hoja1

Representacin de puntos

Hoja1 (7)

CdigoPROVINCIAPoblacin

01Azuay600

02Bolvar169

03Caar207

04Carchi153

05Cotopaxi350

06Chimborazo404

07El Oro526

08Esmeraldas385

09Guayas3309

10Imbabura344

11Loja405

12Los Ros650

13Manab1186

14Morona Santiago115

15Napo79

16Pastaza62

17Pichincha2389

18Tungurahua441

19Zamora Chinchipe77

20Galpagos19

21Sucumbos129

22Orellana86

23Zonas No Asignadas73

12158

Hoja1 (7)

Poblacin

Provincia

Habitantes (miles)

Hoja1 (8)

NumProvCdigoPROVINCIAUPAsProvincias

2020Galpagos124.5001De 1 a < 25.51119.6110

2323Zonas No Asignadas425.5De 25.5 a