Integral dupla Aplicacoes a fısica
Ate agora vimos:
1 Como calcular integrais duplas
2 Motivacao da integral dupla: Calculo de volume
3 Calculo de areas de regioes planas.
Mas calcular volumes nao e a unica aplicacao da integral duplas.
Existem outras aplicacoes que estao mais proximas do nosso dia a dia.
M. J. Resende (UFF) www.professores.uff.br/mjoao 2015-1 1 / 8
Integral dupla Aplicacoes a fısica
Ate agora vimos:
1 Como calcular integrais duplas
2 Motivacao da integral dupla: Calculo de volume
3 Calculo de areas de regioes planas.
Mas calcular volumes nao e a unica aplicacao da integral duplas.
Existem outras aplicacoes que estao mais proximas do nosso dia a dia.
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1 Como calcular integrais duplas
2 Motivacao da integral dupla: Calculo de volume
3 Calculo de areas de regioes planas.
Mas calcular volumes nao e a unica aplicacao da integral duplas.
Existem outras aplicacoes que estao mais proximas do nosso dia a dia.
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1 Como calcular integrais duplas
2 Motivacao da integral dupla: Calculo de volume
3 Calculo de areas de regioes planas.
Mas calcular volumes nao e a unica aplicacao da integral duplas.
Existem outras aplicacoes que estao mais proximas do nosso dia a dia.
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1 Como calcular integrais duplas
2 Motivacao da integral dupla: Calculo de volume
3 Calculo de areas de regioes planas.
Mas calcular volumes nao e a unica aplicacao da integral duplas.
Existem outras aplicacoes que estao mais proximas do nosso dia a dia.
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1 Como calcular integrais duplas
2 Motivacao da integral dupla: Calculo de volume
3 Calculo de areas de regioes planas.
Mas calcular volumes nao e a unica aplicacao da integral duplas.
Existem outras aplicacoes que estao mais proximas do nosso dia a dia.
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Integral dupla Aplicacoes a fısica
Massa
Seja D⊂R2 uma lamina plana, com densidade (massa por unidade de area)dada pela funcao δ : D⊂R2→R.
Massa
∆m = δ ·∆A
m =
"D
δ dA
Se δ for constante, dizemos que a lamina e homogenea. Nesse caso a massasera a constante de densidade vezes a area da superfıcie.
Observacao: Claro que trabalhar com objetos planos e estranho, mas nasproximas aulas veremos integral tripla e aı podermos usar objetos que seraosolidos no espaco.
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Integral dupla Aplicacoes a fısica
Massa
Seja D⊂R2 uma lamina plana, com densidade (massa por unidade de area)dada pela funcao δ : D⊂R2→R.
Massa
∆m = δ ·∆A
m =
"D
δ dA
Se δ for constante, dizemos que a lamina e homogenea. Nesse caso a massasera a constante de densidade vezes a area da superfıcie.
Observacao: Claro que trabalhar com objetos planos e estranho, mas nasproximas aulas veremos integral tripla e aı podermos usar objetos que seraosolidos no espaco.
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Integral dupla Aplicacoes a fısica
Massa
Seja D⊂R2 uma lamina plana, com densidade (massa por unidade de area)dada pela funcao δ : D⊂R2→R.
Massa
∆m = δ ·∆A
m =
"D
δ dA
Se δ for constante, dizemos que a lamina e homogenea. Nesse caso a massasera a constante de densidade vezes a area da superfıcie.
Observacao: Claro que trabalhar com objetos planos e estranho, mas nasproximas aulas veremos integral tripla e aı podermos usar objetos que seraosolidos no espaco.
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Integral dupla Aplicacoes a fısica
Massa
Seja D⊂R2 uma lamina plana, com densidade (massa por unidade de area)dada pela funcao δ : D⊂R2→R.
Massa
∆m = δ ·∆A
m =
"D
δ dA
Se δ for constante, dizemos que a lamina e homogenea. Nesse caso a massasera a constante de densidade vezes a area da superfıcie.
Observacao: Claro que trabalhar com objetos planos e estranho, mas nasproximas aulas veremos integral tripla e aı podermos usar objetos que seraosolidos no espaco.
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Integral dupla Aplicacoes a fısica
Massa
Seja D⊂R2 uma lamina plana, com densidade (massa por unidade de area)dada pela funcao δ : D⊂R2→R.
Massa
∆m = δ ·∆A
m =
"D
δ dA
Se δ for constante, dizemos que a lamina e homogenea. Nesse caso a massasera a constante de densidade vezes a area da superfıcie.
Observacao: Claro que trabalhar com objetos planos e estranho, mas nasproximas aulas veremos integral tripla e aı podermos usar objetos que seraosolidos no espaco.
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Integral dupla Aplicacoes a fısica
Valor medio
Dado um conjunto finito de pontos X = {x1, · · · ,xn}, podemos calcular a suamedia fazendo:
X =x1 + · · ·+ xn
n
Seja D⊂R2 e f : D→R uma funcao.
Media (uniforme) de uma funcao
Media de f = f =1
Area(D)
"D
f dA
Media ponderada de uma funcao
Media ponderada de f com densidade δ =1
massa(D)
"D
δ f dA
Se δ e constante entao esta media coincide com a media uniforme.
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Integral dupla Aplicacoes a fısica
Valor medio
Dado um conjunto finito de pontos X = {x1, · · · ,xn}, podemos calcular a suamedia fazendo:
X =x1 + · · ·+ xn
n
Seja D⊂R2 e f : D→R uma funcao.
Media (uniforme) de uma funcao
Media de f = f =1
Area(D)
"D
f dA
Media ponderada de uma funcao
Media ponderada de f com densidade δ =1
massa(D)
"D
δ f dA
Se δ e constante entao esta media coincide com a media uniforme.
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Valor medio
Dado um conjunto finito de pontos X = {x1, · · · ,xn}, podemos calcular a suamedia fazendo:
X =x1 + · · ·+ xn
n
Seja D⊂R2 e f : D→R uma funcao.
Media (uniforme) de uma funcao
Media de f = f =1
Area(D)
"D
f dA
Media ponderada de uma funcao
Media ponderada de f com densidade δ =1
massa(D)
"D
δ f dA
Se δ e constante entao esta media coincide com a media uniforme.
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Valor medio
Dado um conjunto finito de pontos X = {x1, · · · ,xn}, podemos calcular a suamedia fazendo:
X =x1 + · · ·+ xn
n
Seja D⊂R2 e f : D→R uma funcao.
Media (uniforme) de uma funcao
Media de f = f =1
Area(D)
"D
f dA
Media ponderada de uma funcao
Media ponderada de f com densidade δ =1
massa(D)
"D
δ f dA
Se δ e constante entao esta media coincide com a media uniforme.
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Valor medio
Dado um conjunto finito de pontos X = {x1, · · · ,xn}, podemos calcular a suamedia fazendo:
X =x1 + · · ·+ xn
n
Seja D⊂R2 e f : D→R uma funcao.
Media (uniforme) de uma funcao
Media de f = f =1
Area(D)
"D
f dA
Media ponderada de uma funcao
Media ponderada de f com densidade δ =1
massa(D)
"D
δ f dA
Se δ e constante entao esta media coincide com a media uniforme.
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Valor medio
Dado um conjunto finito de pontos X = {x1, · · · ,xn}, podemos calcular a suamedia fazendo:
X =x1 + · · ·+ xn
n
Seja D⊂R2 e f : D→R uma funcao.
Media (uniforme) de uma funcao
Media de f = f =1
Area(D)
"D
f dA
Media ponderada de uma funcao
Media ponderada de f com densidade δ =1
massa(D)
"D
δ f dA
Se δ e constante entao esta media coincide com a media uniforme.
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Valor medio
Dado um conjunto finito de pontos X = {x1, · · · ,xn}, podemos calcular a suamedia fazendo:
X =x1 + · · ·+ xn
n
Seja D⊂R2 e f : D→R uma funcao.
Media (uniforme) de uma funcao
Media de f = f =1
Area(D)
"D
f dA
Media ponderada de uma funcao
Media ponderada de f com densidade δ =1
massa(D)
"D
δ f dA
Se δ e constante entao esta media coincide com a media uniforme.
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Valor medio
Dado um conjunto finito de pontos X = {x1, · · · ,xn}, podemos calcular a suamedia fazendo:
X =x1 + · · ·+ xn
n
Seja D⊂R2 e f : D→R uma funcao.
Media (uniforme) de uma funcao
Media de f = f =1
Area(D)
"D
f dA
Media ponderada de uma funcao
Media ponderada de f com densidade δ =1
massa(D)
"D
δ f dA
Se δ e constante entao esta media coincide com a media uniforme.
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Valor medio
Dado um conjunto finito de pontos X = {x1, · · · ,xn}, podemos calcular a suamedia fazendo:
X =x1 + · · ·+ xn
n
Seja D⊂R2 e f : D→R uma funcao.
Media (uniforme) de uma funcao
Media de f = f =1
Area(D)
"D
f dA
Media ponderada de uma funcao
Media ponderada de f com densidade δ =1
massa(D)
"D
δ f dA
Se δ e constante entao esta media coincide com a media uniforme.
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Integral dupla Aplicacoes a fısica
Centro de Massa
O centro de massa e o ponto do objeto, onde deverıamos concentrar toda a suamassa para que o objeto tenha um comportamento equilibrado do ponto devista mecanico.
Centro de massa
D(x,y)
x =1
massa
"D
xδ dA
y =1
massa
"D
yδ dA
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Centro de Massa
O centro de massa e o ponto do objeto, onde deverıamos concentrar toda a suamassa para que o objeto tenha um comportamento equilibrado do ponto devista mecanico.
Centro de massa
D(x,y)
x =1
massa
"D
xδ dA
y =1
massa
"D
yδ dA
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Centro de Massa
O centro de massa e o ponto do objeto, onde deverıamos concentrar toda a suamassa para que o objeto tenha um comportamento equilibrado do ponto devista mecanico.
Centro de massa
D(x,y)
x =1
massa
"D
xδ dA
y =1
massa
"D
yδ dA
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Centro de Massa
O centro de massa e o ponto do objeto, onde deverıamos concentrar toda a suamassa para que o objeto tenha um comportamento equilibrado do ponto devista mecanico.
Centro de massa
D(x,y)
x =1
massa
"D
xδ dA
y =1
massa
"D
yδ dA
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Centro de Massa
O centro de massa e o ponto do objeto, onde deverıamos concentrar toda a suamassa para que o objeto tenha um comportamento equilibrado do ponto devista mecanico.
Centro de massa
D(x,y)
x =1
massa
"D
xδ dA
y =1
massa
"D
yδ dA
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Momento de Inercia
O momento de inercia e para a rotacao de um objeto o que a massa e para atranslacao, ou seja,
massa ←→ quanto difıcil e colocarum objeto em translacao;
momento de inerciaem torno de um eixo
←→quanto difıcil e colocar
um objeto a girarem torno desse eixo.
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Momento de Inercia
O momento de inercia e para a rotacao de um objeto o que a massa e para atranslacao, ou seja,
massa ←→ quanto difıcil e colocarum objeto em translacao;
momento de inerciaem torno de um eixo
←→quanto difıcil e colocar
um objeto a girarem torno desse eixo.
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Momento de Inercia
O momento de inercia e para a rotacao de um objeto o que a massa e para atranslacao, ou seja,
massa
←→ quanto difıcil e colocarum objeto em translacao;
momento de inerciaem torno de um eixo
←→quanto difıcil e colocar
um objeto a girarem torno desse eixo.
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Momento de Inercia
O momento de inercia e para a rotacao de um objeto o que a massa e para atranslacao, ou seja,
massa ←→ quanto difıcil e colocarum objeto em translacao;
momento de inerciaem torno de um eixo
←→quanto difıcil e colocar
um objeto a girarem torno desse eixo.
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Momento de Inercia
O momento de inercia e para a rotacao de um objeto o que a massa e para atranslacao, ou seja,
massa ←→ quanto difıcil e colocarum objeto em translacao;
momento de inerciaem torno de um eixo
←→quanto difıcil e colocar
um objeto a girarem torno desse eixo.
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Momento de Inercia
O momento de inercia e para a rotacao de um objeto o que a massa e para atranslacao, ou seja,
massa ←→ quanto difıcil e colocarum objeto em translacao;
momento de inerciaem torno de um eixo
←→quanto difıcil e colocar
um objeto a girarem torno desse eixo.
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Momento de Inercia
Movimento de Translacao
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Integral dupla Aplicacoes a fısica
Momento de Inercia
Movimento de Translacao
m
−→v
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Integral dupla Aplicacoes a fısica
Momento de Inercia
Movimento de Translacao
m
−→v
Energia cinetica = 12 mv2
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Integral dupla Aplicacoes a fısica
Momento de Inercia
Movimento de Translacao
m
−→v
Energia cinetica = 12 mv2
Movimento de Rotacao
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Integral dupla Aplicacoes a fısica
Momento de Inercia
Movimento de Translacao
m
−→v
Energia cinetica = 12 mv2
Movimento de Rotacao
x
y
mr
−→v
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Integral dupla Aplicacoes a fısica
Momento de Inercia
Movimento de Translacao
m
−→v
Energia cinetica = 12 mv2
Movimento de Rotacao
x
y
mr
−→vVelocidade Angular = ω
Velocidade = ωr
Energia cinetica = 12 mr2ω2
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Integral dupla Aplicacoes a fısica
Momento de Inercia
Movimento de Translacao
m
−→v
Energia cinetica = 12 mv2
Movimento de Rotacao
x
y
mr
−→vVelocidade Angular = ω
Velocidade = ωr
Energia cinetica = 12 mr2ω2
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Integral dupla Aplicacoes a fısica
Momento de Inercia
Momento de inercia polarO momento de inercia polar e dado por:
Io =
"D
r2δ dA
onde r(x,y) =√
x2 + y2 e a distancia de (x,y) a origem.
Momento de InerciaO momento de inercia em relacao a um eixo E e dado por:
IE =
"D
r2δ dA
onde r(x,y) e a distancia de (x,y) ao eixo E.
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Integral dupla Aplicacoes a fısica
Momento de Inercia
Momento de inercia polarO momento de inercia polar e dado por:
Io =
"D
r2δ dA
onde r(x,y) =√
x2 + y2 e a distancia de (x,y) a origem.
Momento de InerciaO momento de inercia em relacao a um eixo E e dado por:
IE =
"D
r2δ dA
onde r(x,y) e a distancia de (x,y) ao eixo E.
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Integral dupla Aplicacoes a fısica
Momento de Inercia
Momento de inercia polarO momento de inercia polar e dado por:
Io =
"D
r2δ dA
onde r(x,y) =√
x2 + y2 e a distancia de (x,y) a origem.
Momento de InerciaO momento de inercia em relacao a um eixo E e dado por:
IE =
"D
r2δ dA
onde r(x,y) e a distancia de (x,y) ao eixo E.
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Integral dupla Exercıcios
Exemplos
1 Calcule a massa de uma placa com a forma da regiaoD = {(x,y) ∈R2 : 2x2 ≤ y≤ 1+x2 e x≥ 0}, sabendo que a densidade demassa em cada ponto e dada por δ (x,y) = x+2y.
2 Calcule a massa de uma placa homogenea que tem o formato de um lacoda rosacea de quatro petalas r = cos(2θ).
3 A densidade em qualquer ponto de uma lamina semicircular eproporcional a distancia ao centro do cırculo. Determine o centro demassa da lamina.
4 Calcule o momento de inercia polar de uma placa homogenea com aforma do disco x2 + y2 = 2x.
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Integral dupla Exercıcios
Exemplos
1 Calcule a massa de uma placa com a forma da regiaoD = {(x,y) ∈R2 : 2x2 ≤ y≤ 1+x2 e x≥ 0}, sabendo que a densidade demassa em cada ponto e dada por δ (x,y) = x+2y.
2 Calcule a massa de uma placa homogenea que tem o formato de um lacoda rosacea de quatro petalas r = cos(2θ).
3 A densidade em qualquer ponto de uma lamina semicircular eproporcional a distancia ao centro do cırculo. Determine o centro demassa da lamina.
4 Calcule o momento de inercia polar de uma placa homogenea com aforma do disco x2 + y2 = 2x.
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Integral dupla Exercıcios
Exemplos
1 Calcule a massa de uma placa com a forma da regiaoD = {(x,y) ∈R2 : 2x2 ≤ y≤ 1+x2 e x≥ 0}, sabendo que a densidade demassa em cada ponto e dada por δ (x,y) = x+2y.
2 Calcule a massa de uma placa homogenea que tem o formato de um lacoda rosacea de quatro petalas r = cos(2θ).
3 A densidade em qualquer ponto de uma lamina semicircular eproporcional a distancia ao centro do cırculo. Determine o centro demassa da lamina.
4 Calcule o momento de inercia polar de uma placa homogenea com aforma do disco x2 + y2 = 2x.
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Integral dupla Exercıcios
Exemplos
1 Calcule a massa de uma placa com a forma da regiaoD = {(x,y) ∈R2 : 2x2 ≤ y≤ 1+x2 e x≥ 0}, sabendo que a densidade demassa em cada ponto e dada por δ (x,y) = x+2y.
2 Calcule a massa de uma placa homogenea que tem o formato de um lacoda rosacea de quatro petalas r = cos(2θ).
3 A densidade em qualquer ponto de uma lamina semicircular eproporcional a distancia ao centro do cırculo. Determine o centro demassa da lamina.
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