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E C AL M
P. M.S. A F
P. D.S. R C C
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2/28
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3/28
O ;
P E L M
8/13/2019 Aula11-CA-Lajes Macias
4/28
L ;
F , , ;
P
;
A ()
P E L M
1/40 1/60;
Q ,
, ;
Q , ( ).
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E ( K) N , ,
;
N ,
, ;
R O ,
P E L M
M C
; , , , ,
, ;
L J (1962, 1972),
L (1970) M . . (1991).
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M , , ;
T ;
A
,
N ;
A
P E L M
H C
; A ,
;
A ; A ( )
().
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P E L M
E F
www 444
w deslocamento vertical;
x, y coordenadas de um ponto genrico da placa;
p intensidade da carga atuante;
A (
, )
(,) :
Dyyxx 4224 =
+
+
)1(12
hED 2= a rigidez flexo da placa;
E mdulo de deformao longitudinal do concreto;
coeficiente de Poisson.
2
2
2
2x
y
w
x
w
D
m
+
=2
2
2
2y
x
w
y
w
D
m
+
=
y
xx
Mm
l=
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A ,
, , , ,
; D , :
D ;
P E L M
P R
;
G E;
U S (,).
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A
,
,
;
P E L M
C D F
12yy yyd
12xx
E ,
(M ., 1986);
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S ;
I ;
U ;
P E L M
P E F
;
A , ;
8/13/2019 Aula11-CA-Lajes Macias
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O
M (T & ,
1959)
;
O ()
( );
P E L M
P G E
N , ;
A
, ;
O ,
;
8/13/2019 Aula11-CA-Lajes Macias
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P E L M
P G E
8/13/2019 Aula11-CA-Lajes Macias
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A
L & S
(1959);
U
, , (
P E L M
P G E
) ;
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P E L M
D E D
S N , (,)
, ,
; U , N (T & ,
1959), (,) F
,
.
b
ynsen
a
xmsenp)y,x(pp
m n
mn
==
a e b dimenses da placa;
m e n nmero de retngulos em que se divide a placa, cada um com lados a/m e b/n;
pmn valor mximo do carregamento no centro de cada retngulo.
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P E L M
D E D
S A (,)(
) (
, , )
,
, :
b
ynsen
a
xmsen
b
n
a
mD
pw
2
2
2
2
24
mn
+
=
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P E L M
D E D
S
Com m e n mpares (1,3,5,...), pois valores pares de m e n levam a 0p nm = , e com
==x car a uniformemente distribuda torna-se:
=
b
0
a
0nm
dydxb
ynsen
a
xmsen)y,x(p
ba
4p
O :
+
=
m n
2
2
2
26
b
n
a
mnm
b
xnsen
a
xmsen
D
p16w
nm
pp
nm
..
.162
_
=
S ,
, :
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P E L M
D E D
S
+2
2
2
2 nm
O , ,
( )
(,), :
+
=m n
2
2
2
2
24x bsenasen
b
n
a
mnm
m
+
+
=
m n2
2
2
2
2
2
2
2
2
4y b
ynsen
a
xmsen
b
n
a
mnm
am
bn
p16m
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P E L M
D E D
S A , ,
, ,
; S /2 /2
,
;
C M (1986),
,
=1, =(1;3); =3, =(1;3),
= 0,046925..2, 49 , = 0,047913..2( ),
;
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A ,
;
C 1, possvel conhec-los para um novocoeficiente 2, com as seguintes expresses:
P E L M
D E D
S
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ 112 y21x1221xmm1
11m +
=
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ){ }112
x21y1221
y mm11
1m
+
=
( ) ( )21
22
1
1ww
12
=
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O
, ,
()
;
O , ,
, (
P E L M
D E D
);
D ,
;
A
B (1972)
P = 0,2;
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P E L M
D E D
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P E L M
D F
100hE
pf
3
4x
=
l
p carregamento uniformemente distribudo sobre a placa;coeficiente tirado da tabela 7.2;
lxmenor vo da laje;E mdulo de deformabilidade do concreto;
h altura ou espessura da placa.x
y
l
l=
caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 caso 5 caso 6 caso 7 caso 8 caso 9
1,00 4,67 3,20 3,20 2,42 2,21 2,21 1,81 1,81 1,46
1,05 5,17 3,61 3,42 2,67 2,55 2,31 2,04 1,92 1,60
1,10 5,64 4,04 3,63 2,91 2,92 2,41 2,27 2,04 1,74
1,15 6,09 4,47 3,82 3,12 3,29 2,48 2,49 2,14 1,87
1,20 6,52 4,91 4,02 3,34 3,67 2,56 2,72 2,24 1,98
1,25 6,95 5,34 4,18 3,55 4,07 2,63 2,95 2,33 2,101,30 7,36 5,77 4,35 3,73 4,48 2,69 3,16 2,42 2,20
1,35 7,76 6,21 4,50 3,92 4,92 2,72 3,36 2,48 2,30
1,40 8,14 6,62 4,65 4,08 5,31 2,75 3,56 2,56 2,37
1,45 8,51 7,02 4,78 4,23 5,73 2,80 3,73 2,62 2,45
1,50 8,87 7,41 4,92 4,38 6,14 2,84 3,91 2,68 2,51
1,55 9,22 7,81 5,00 4,53 6,54 2,86 4,07 2,53 2,57
1,60 9,54 8,17 5,09 4,65 6,93 2,87 4,22 2,87 2,63
1,65 9,86 8,52 5,13 4,77 7,33 2,87 4,37 2,78 2,68
1,70 10,15 8,87 5,17 4,88 7,70 2,88 4,51 2,79 2,72
1,75 10,43 9,19 5,26 4,97 8,06 2,88 4,63 2,81 2,76
1,80 10,71 9,52 5,36 5,07 8,43 2,89 4,75 2,83 2,80
1,85 10,96 9,82 5,43 5,16 8,77 2,89 4,87 2,85 2,83
1,90 11,21 10,11 5,50 5,23 9,08 2,90 4,98 2,87 2,85
1,95 11,44 10,39 5,58 5,31 9,41 2,90 5,08 2,89 2,88
2,00 11,68 10,68 5,66 5,39 9,72 2,91 5,19 2,91 2,91
15,35 15,35 6,38 6,38 15,35 3,07 6,38 3,07 3,07
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P E L M
D
'y'xyx e,,
100
pm
2x
xx
l=
lx menor lado da placa; caso 1 caso 2 caso 3 x y x y y
' x x' y
1,00 4,41 4,41 3,07 3,66 8,40 3,94 8,52 2,91
1,05 4,80 4,45 3,42 3,78 8,79 4,19 8,91 2,84
1,10 5,18 4,49 3,77 3,90 9,18 4,43 9,30 2,76
1,15 5,56 4,49 4,14 3,97 9,53 4,64 9,63 2,68
1,20 5,90 4,48 4,51 4,05 9,88 4,85 9,95 2,59
1,25 6,27 4,45 4,88 4,10 10,16 5,03 10,22 2,51
1,30 6,60 4,42 5,25 4,15 10,41 5,20 10,48 2,42
100
pm
2xyy
l=
100
px
2x'
xx
l=
100
px
2x'
yy
l=
, , , , , , , , ,
1,40 7,25 4,33 5,95 4,21 10,86 5,51 10,92 2,251,45 7,55 4,30 6,27 4,19 11,05 5,64 11,10 2,19
1,50 7,86 4,25 6,60 4,18 11,23 5,77 11,27 2,12
1,55 8,12 4,20 6,90 4,17 11,39 5,87 11,42 2,04
1,60 8,34 3,14 7,21 4,14 11,55 5,98 11,55 1,95
1,65 8,62 4,07 7,42 4,12 11,67 6,07 11,67 1,87
1,70 8,86 4,00 7,62 4,09 11,79 6,16 11,80 1,79
1,75 9,06 3,96 7,66 4,05 11,88 6,24 11,92 1,74
1,80 9,27 3,91 7,69 3,99 11,96 6,31 12,04 1,68
1,85 9,45 3,83 8,22 3,97 12,03 6,38 12,14 1,64
1,90 9,63 3,75 8,74 3,94 12,14 6,43 12,24 1,59
1,95 9,77 3,71 8,97 3,88 12,17 6,47 12,29 1,54
2,00 10,00 3,64 9,18 3,80 12,20 6,51 12,34 1,48
12,57 3,77 9,18 3,80 12,20 7,61 12,76 1,48
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P E L M
D
caso 4 caso 5 caso 6
x x' y y
' x y y' x x
' y
1,00 2,81 6,99 2,81 6,99 2,15 3,17 6,99 3,17 6,99 2,15
1,05 3,05 7,43 2,81 7,18 2,47 3,32 7,43 3,29 7,20 2,07
1,10 3,30 7,87 2,81 7,36 2,78 3,47 7,87 3,42 7,41 1,991,15 3,53 8,28 2,80 7,50 3,08 3,58 8,26 3,52 7,56 1,89
1,20 3,76 8,69 2,79 7,63 3,38 3,70 8,65 3,63 7,70 1,80
1,25 3,96 9,03 2,74 7,72 3,79 3,80 9,03 3,71 7,82 1,74
1,30 4,16 9,37 2,69 7,81 4,15 3,90 9,33 3,79 7,93 1,67
1,35 4,33 9,65 2,65 7,88 4,50 3,96 9,69 3,84 8,02 1,59
'
y
'
xyx e,,
100
pm
2x
xx
l=
lx menor lado da placa;
1,40 4,51 9,93 2,60 7,94 4,85 4,03 10,00 3,90 8,11 1,52
1,45 4,66 10,41 2,54 8,00 5,19 4,09 10,25 3,94 8,13 1,451,50 4,81 10,62 2,47 8,06 5,53 4,14 10,49 3,99 8,15 1,38
1,55 4,93 10,82 2,39 8,09 5,86 4,16 10,70 4,03 8,20 1,34
1,60 5,06 10,99 2,31 8,12 6,18 4,17 10,91 4,06 8,25 1,28
1,65 5,16 11,16 2,24 8,14 6,48 4,14 11,08 4,09 8,28 1,23
1,70 5,27 11,30 2,16 8,15 6,81 4,12 11,24 4,12 8,30 1,18
1,75 5,36 11,43 2,11 8,16 7,11 4,12 11,39 4,14 8,31 1,15
1,80 5,45 11,55 2,04 8,17 7,41 4,10 11,43 4,15 8,32 1,111,85 5,53 11,57 1,99 8,17 7,68 4,08 11,65 4,16 8,33 1,08
1,90 5,60 11,67 1,93 8,18 7,95 4,04 11,77 4,17 8,33 1,04
1,95 5,67 11,78 1,91 8,19 8,21 3,99 11,83 4,17 8,33 1,01
2,00 5,74 11,89 1,88 8,20 8,47 3,92 11,88 4,18 8,33 0,97
7,06 12,50 1,95 8,20 12,58 4,13 11,88 4,18 8,33 0,97
100
pm
2x
yy
l=
100
px
2x'
xx
l=
100
px
2x'
yy
l=
P E L M
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25/28
P E L M
D
caso 7 caso 8 caso 9
x x' y y
' x x' y y
' x x' y y
'
1,00 2,13 5,46 2,60 6,17 2,60 6,17 2,13 5,46 2,11 5,15 2,11 5,15
1,05 2,38 5,98 2,66 6,46 2,78 6,47 2,09 5,56 2,31 5,50 2,10 5,29
1,10 2,63 6,50 2,71 6,75 2,95 6,76 2,04 5,65 2,50 5,85 2,09 5,43
1,15 2,87 7,11 2,75 6,97 3,09 6,99 1,98 5,70 2,73 6,14 2,06 5,51
1,20 3,11 7,72 2,78 7,19 3,23 7,22 1,92 5,75 2,94 6,43 2,02 5,59
1,25 3,43 8,81 2,79 7,36 3,34 7,40 1,85 5,75 3,04 6,67 1,97 5,64
1,30 3,56 8,59 2,77 7,51 3,46 7,57 1,78 5,76 3,13 6,90 1,91 5,68
1,35 3,76 8,74 2,74 7,63 3,55 7,70 1,72 5,75 3,25 7,09 1,86 5,69
'y
'xyx e,,
100
pm
2x
xx
l=
lx menor lado da placa;
, , , , , , , , , , , , ,
1,45 4,15 9,16 2,67 7,83 3,71 7,91 1,59 5,73 3,48 7,43 1,73 5,71
1,50 4,32 9,44 2,63 7,91 3,78 8,00 1,53 5,72 3,58 7,57 1,66 5,72
1,55 4,48 9,68 2,60 7,98 3,84 8,07 1,47 5,69 3,66 7,68 1,60 5,72
1,60 4,63 9,91 2,55 8,02 3,89 8,14 1,42 5,66 3,73 7,79 1,54 5,72
1,65 4,78 10,13 2,50 8,03 3,94 8,20 1,37 5,62 3,80 7,88 1,47 5,72
1,70 4,92 10,34 2,45 8,10 3,98 8,25 1,32 5,58 3,86 7,97 1,40 5,72
1,75 5,04 10,53 2,39 8,13 4,01 8,30 1,27 5,56 3,91 8,05 1,36 5,72
1,80 5,17 10,71 2,32 8,17 4,04 8,34 1,20 5,54 3,95 8,12 1,32 5,72
1,85 5,26 10,88 2,27 8,16 4,07 8,38 1,17 5,55 3,98 8,18 1,26 5,721,90 5,36 11,04 2,22 8,14 4,10 8,42 1,14 5,56 4,01 8,24 1,21 5,72
1,95 5,45 11,20 2,14 8,13 4,11 8,45 1,11 5,60 4,04 8,29 1,19 5,72
2,00 5,55 11,35 2,07 8,12 4,13 8,47 1,08 5,64 4,07 8,33 1,16 5,72
7,07 12,50 2,05 8,12 4,18 8,33 1,09 5,64 4,19 8,33 1,17 5,72
100pm
2x
yyl=
100
px
2x'
xx
l=
100
px
2x'
yy
l=
8/13/2019 Aula11-CA-Lajes Macias
26/28
R
D ;
D ;
V ; D M F;
C ;
D ;
D ;
V ;
8/13/2019 Aula11-CA-Lajes Macias
27/28
O ;
L1-L3 engastada; L1 L3 engastada e L2-L3
engastada
L4-L5 engastada? Em geral apoiada
D
8/13/2019 Aula11-CA-Lajes Macias
28/28
D
NBR 6118:2003
A NBR 6118:2003, item 13.2.4.1, estipula valores limites mnimos para a espessura qu
devem ser respeitados:
a) 5 cm para lajes de cobertura no em balano;b) 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balano;c) 10 cm para lajes que suportem veculos de peso total menor ou igual a30 kN;d) 12 cm para lajes que suportem veculos de peso total maior que30 kN;e)
15 cm para lajes com protenso apoiadas em vigas,
l/42 para lajes de piso biapoiadas e
l/5para lajes de piso contnuas;
f) 16 cmpara lajes lisas e14 cmpara lajes-cogumelo.Tabela 7.6Valores de2 utilizados no pr-dimensionamento da altura das lajes.