Banco de VizcayakBABESTUTAKO ARGITARAPENA
EDICION PATROCINADA POR EL
Banco de Vizcaya
IX.UEU
UDAKO EUSKAL UNIBERTSITATEA
I RUREA , 1981
FISIKA OROKORRA (H)
PROBLEMAK ETA ARIKETAK
J. R. Etxebarria
0. Ezenarro
P. Ugalde
Leioa, 1980-81 ikasturtea
AURK IBIDEA
Sarrera
11. gaia. Fluidoen mekanika 1
12. gaia. Higidura oszilakorra 27
13. gaia. Uhin - higidura 53
14. gaia. Interakzio grabitatorioa 77
15. gaia. Interakzio elektrikoa 97
16. gaia. Korronte elektrikoa 121
17. gaia. Interakzio magnetikoa 149
18. gaia. Termodinamikaren lehenengo
printzipioa 177
19. gaia. Gas idealak 195
20. gaia. Termodinamikaren bigarren
printzipioa 213
• ,11/...."1.
I
SARRERA
Ihazko UEU-rako argitaratua izan zen "FISIKA OROKORRA (I).
PROBLEMAK ETA ARIKETAK" izendaturiko liburuaren sarreran genioen
bezala, aipaturiko liburua beste baten beharrean zegoen segidan,
"FISIKA OROKORRA (II)" teoriazko tomoari gehigarri gisa zegokio-
na, hain zuzen ere. Horixe da, prezeskir orain irakurleakberees
kuetan daukana.
Bigarren liburu hau lehengoaren jarraipena izanez, hari bu-
ruz egindako oharpenak eta adierazitako mugak honako honi ere da
gozkio, ia-ia gehienetan. Esan beharrik ez dago, aurrean dauka-
zun materialea prestatzerakoan, behin-betiko lanik finkatzeko
asmorik izan ez dugunik, eta ez gutxiagorik ere. Zientzi mailan
euskarazko textuen ezari begira, eta horien premia larria kontu-
tan harturik, geure ekarpen apala ematen saiatu gara, unibertsi-
tal arloan hain nabaria den hutsunea nolabait bete nahian. Beraz,
lan honi ezin zaio besterik eskatu, praktikotasuna edo erabilga-
rritasuna baizik.
Ondoren, eta labur - laburki, liburua antolatzeko eta idazte
ko eraman dugun prozeduraz zenbait nabardura azalduko ditugu:
- Lehendabizi, esan dezagun ezen 1980-81 ikastaroan ba-
rrena prestatua izan dela, Leioako Zientzi Fakultatean era
turiko mintegi batetan, elkarlanean buruturik dagoelarik.
- Egileok astero bildu ohi ginen, examinetako edota opo
rretako sasoietan izan ezik, aurreko astebetean egindako -
lana elkarri aurkezteko eta zuzentzeko, eta halaber hurren
gorakoa hautatzeko eta banatzeko.
- Gure zorionerako, ihaz UZEI taldeak sorturiko "FISIKA
HIZTEGIA" erabiltzeko aukera eduki dugu, eta gisa da, oso
lagungarri izan zaigula aitortzea.
II
- Ariketa eta problemen aukerabideari dagokionez, hiru
izan dira baliatu gareneko iturri nagusiak:
Oinarri bezala, aurreko ikastaroan prestatu genuen li
buruan egin legez, Leioako Zientzi Fakultateko irakas
lea den A. Hernandez-•en problema-bildu.ma hartu dugu.
Bestaldetik, eta aipaturiko liburuan erabilitako eri-
tziari jarraituz, oraingo honetan ere examinetanjarri
tako hainbeste problema ipini ditugu.
Azkenez, ez kopuru txikitan baina, geure uztakoak di-
ren problema edota ariketa bat baino gehiago aurki di
tzake irakurleak.
Nekez amai'genezake sarrera hau, beren era askotako lagun-
tzak eskaini dizkigutenak aipatu gabe. Bihoazkie, bada, gure es
kerrik beroenak:
- A. Hernandez-i, gorago esandakoagatik.
- Mari Carmen Menika idazkariari, zeinek gorriak ikusi be-
har izan baititu, guk idatzitako hainbeste zirriborroeta
aldrebesko formula dezifratzeko.
- Donostiako Petrokimika Fakultatean irakaslea eta Bergara
ko UNEDen zuzendaria den L. Bandres-i, gure behin-behine
ko lanak erabiltzean oharrerazi eta zuzendu dizkigun aka
tsengatik.
- Eta, "the last but not the leaSt", Leioako euskai taldeko
ikaslegoari, ihazko liburuari eman diron harrera ezin ho-
beagatik ez ezik, beraren euskaltzaletasunaren bidez, la-
nean ihardun dezagun behartzen eta animatzen gaituelako.
EGILEEK
LEIOA 1981-ko ekaina
•
11. GAIA
1
FLUIDOEN MEKANIKA
2
11.1. Irudiko lehenengo esperien
tzian dinamometroak 5,4 Kgf. neur
tzen du; eta bigarrenean, harria
uretan sarturik dagoelarik, 2,4
Kgf.Kalkula bitez harriaren bolumena
eta beraren dentsitate erlatiboa.
Ebazpena:
Lehenengo kasuan, aireak egInlko .Arkhimedes-en bultzada ar-
buiatuz, dinamometroak harriaren pisua neurtzen du, beraz:
P 5,4 Kgf. 5,4 . 9,8 N
Bigarren kasuan, harriaren gainean aplika
turiko indarrak hauxek dira (ikus irudia):
P : harriaren pisua = 5,4 . 9,8 N
B :'urak eginiko Arkhimedes-en bultzada.
N : dinamometroak eginikoa (hau da apara
tuak neurtzen duena hain zuzen) = 2,4 Kgf.
Harria orekan dagoenez, zera idatz dezakegu:
N +B-P=0 B=P-N. 3 Kgf. = 3 . 9,8 N
Bestaldetik, Arkhimedes-en bultzadaren balorea hauxe da:
B = fa . g . V (f„, = uraren dentsitatea)
3. 9,8 V - • 0,003 m3rk • g 1.000 . 9,8
Harriaren bolumena ezagutuz, dentsitate absolutua honela
kalkulatuko dugu:
•
11.2. Irudiko zurezko zilindroak
uretan flotatzen du orekan. Zi-
lindroa urperatu nahi da, berti
kalki eta geldiro, beheko oina-
rriak ontziaren hondoa ikutu ar
te. Kalkula bedi egin behar den
lana.
Datuak:
h: zilindroaren altuera = 10 cm.
A: oinarriaren zabalera = 20 cm2
fz : zuraren dentsitatea = 0,8 g cm-3
H: ontziaren sakonera = 25 cm.
3
5 4 -3= 1.800 Kg. m0,003
Eta azkenez, urarekiko dentsitate erlatiboa zera anen da:
= 1,8
Ebazpena:
Ezer baino lehenago, zilindroaren
altueraren uretan sarturik dagoen Yo -
zatia kalkulatu behar da, gero zer dis
tantzia ibil eraziko zaion jakiteko.
Irudlan ikus daitezke zilindroaren
gainean eragiten duten indarrak:
P: zilindroaren pisua = fz A . h g
Ho : Arkhimedes-en bultzada = fm A . Yo g
4
Oreka - baldintza erabiliz:
tzBo -P=0 -.1kA Yo g- fz Ahg=0 Yo =h- = 8 cm.
fit
Honelatan, 2 cm. falta dira zilindroa erabat urpean gera da
din. Zilindroa 2 cm. horik jaitsiko den bitartean, gero eta ur -
gehiago desplazatuko du, eta, beraz, Arkhimedes-en bultzada han-
dltuz joango da. 2 cm. horik iragan ondoren, zilindroak ur bolu-
men konstantea desplazatuko du, beraren bolumen osoa hain zuzen
ere, Arkhimedes-enbultzade.kkonstante dirauelarik. Hau dela eta
bi zatitan banatuko eta aztertuko dugu prozesuat
1. Hondorapenaren lehenengo 2 cm-ak.
Indarrak (ikus irudia):
P t zilindroaren pisua = Pz A. h. gB : Arkhimedes-en bultzada =ru A y gF : Zilindroa hondoratzeko indarra.
zilindroa geldi-geldi hondora erazten denez,
hiru indarrok orekan diraute praktikoki, be
raz:
B-F-P= 0 -8.F=B-P=As(fu Y-rz h)
Eta hondorapenaren lehenengo partean egin behar den lana,
hauxe izanen da:
W F dy = Agih ( ru Y - fz h) dy = 20.980f1°(y-8) dy =YoYo '
= 39.200 erg.
tal"—
2. Hondorapenaren azkenengo 15 cm-ak.:
Lehen esan den moduan, parte honetan 21
lindroak desplazaturiko bolumena, bere
bolumen osoa da, beraren gaineko inda-
rrak honela geratzen direlarik:
•
5
P : zilindroaren pisua = fz A . . g
B': Arkhimedes-en bultzada =fu A . h . g
F': zilindroa hondoratzeko egin behar den indar konstantea.
Aurreko atalean adierazirika arrazonamendua berriz erabiliz:
B' - F' - P = 0 -0. F' = E' - P = A.h.g (fu ) =
= 20. 10.980. 0,2 = 39.200 d.
Beraz parte honetan egin behar den lana hauxe izanen da:
W' = F' (H - h) 39..200.15 = 588.000erg.
Azkenez, lan .osoa kalkulaturiko bien batuketa baino ez da.
Honelatan:
'WW =627.000erg.Wosoa
11.3. t1 tankerako hodi batenadar batetik merkurioa isur-
tzen da. Zer merkurio-kanti-
tate isur daiteke, beste ada
rretik hodiak daukan ura ja-
- rio ez dadin?
Datuak:
f' : merkurioaren dentsitatea = 13,6 g cm -3
A : hodiaren sekzioaren zabalera = 1 cm2
h : adarrean hutsik dagoen altuera = 6,8 cm.
(Oharra: Mintz fin bat dago bien artean eta merkurioa eta ura ezdira elkarrekin nahasten)
Irudfan ura jariotzeko zorian dago ezker-adarretik. M pun-
tuan presioak hau balio du:
11.4. Kalkula bedi irudiko hodiaren
azelerazioa bertako datuen funtzioan.
(sekzioaren erradioa oso txikia da
L luzerarekin konparaturik).
Aparatu hain sinple honi "aze
lerometro" deritzo, kotxeen, tre-
nen .... azelerazioak neurtzekoera
bilgarri baita.L
6
+ f g 2hP i4 = Pat
Eta ' puntuan:
Pte Pat f' g 11.
Bestaldetik, dakigunez, orekan dagoen fluido baten barneko
puntuen presioa beren altueraren funtzioa baino ez da, beraz:
PM = Pt4'Pat+fg2
h = Pat + f' g h' = 2h = 2. 6,8
1
13,6
= 1 cm.
Altuera ezagutuz, isuritako merkurio-kantitatea hauxe izanen'
da:
V = h' .A=1.1=lcm3
Ebazpena:
Isola eta azter dezagun hodiSren zati horizontalearen barne-ko likidoa, hodiarekin batera higitzen ari den erreferentzi siste
ma batetan.
7
Irudian erakusten dira liki
doaren gainean eragiten duten in
dar horizontalak (bertikalek, -
hots, pisua eta hodiaren erreak-
zio normalak, ez gaituzte kezka-
tzen, bion artean elkar orekatu
egiten baitute, probleman inola-
ko jaramonik ez dutelarik).
F1 : ezkerreko likido - zutabeak sorturikoa = p i .A =
=(pat 4-f:g h1)A
F2 : eskuineko likido - zutabeak sorturikoa = p 2 .A =
= ( P at + f g h2)A
Fi : inertzi indarra (ez bedi ahantz erreferentzi sistema ba
tetan ari garenik). = m a =rAL a
("A", hodiaren sekzioaren azalera da, eta "jp" likidoaren dentsita
tea).
Erabiltzen dugun erreferentzi sisteman, likidoa orekan dago,
eta beraz:
- F2 - Fi = 0-qn fg (hi - h ) A -fAL a =
a----L
11.5. Irudiko montaketa,
hodi horizontal baten -
barrutik doan likidoaren
kaudala neurtzeko erabil /‘
tzen da, eta Venturi-ren
neurgailua edo Venturime
troa deitzen da. Hitz la
burrez, honetan datza: A1 sekzio-zabalera duen hodian, A 2 zaba
leradun estugune bat jartzen da, bai hodian eta bai estugunean
ere manometro bana kokatzen delarik (ikus irudia).
Aipaturiko sekzio-zabalerak eta manometroek emandako p i eta
p2 presioak ezaguturik, lor bedi kaudal bolumenlkoaT pisu es-
pezifikoa duen likido batekin.
OHARRA: Suposa bedi, sekzio bakoitzean abiadura-banaketa unifor
mea (fluxu ideiala) eta fluidoa konprimaezina dela.
Ebazpena:
Bernouilli-ren teorema (1) eta
(2) puntuei aplikatzen badiegu, ze-
ra geratzen zaigu:
2Vp1 1
2 g
P2 V
2 2
2 g
Bestaldetik kontinuitatearen ekuazioak honela dio:
V1 A
1 = V2 A2
Aurreko bi ekuazioetatik erraz atera dezakegu abiadura bat,
adibidez:
2 g (Pi - P2)V 3.=
r[(AA, ) 2 1.]
-2
Hemendik, eskaturiko kaudala hauxe izanen da:
K =A V = A1 1 1
/
2g ( pi - p2
A1 31r [( A2 )2
_
•
9
yA,1, Irudiko urtegiaren isurbide-hodiak A 1 sekzioaren azaleradu. Hoheko muturrean hodia estutu egiten da, sekzioaren azale
ra A2 delarik.
a).Ralkula bedi urtegia
ri darion ur kaudala
1. s-1 -tan eta m3 . h-1
tan.
b) Zer altuerara joango
da ura, jarritako hodi
manometriko bertikalean?
Datuak : A = 200 cm21
A2 = 100 cm2
H = 40 m.
= 10 m.
OHARRAK: Jo bedi fluxu ideialaz ari garela eta urtegiaren goi
ko mailaren altuerak konstante dirauela.
Vo2+ z 2.1_
V22
2g o r 2g+ Z 2
Ebazpena:
a) Aplika dezagun Bernouillf-
ron teorema, erakutsiriko
korronte-ierroko (0• eta
(2) puntuen artean:
Expresioa erra;teko, ondoko hau kontutan hartuko dugu:
Vo = 0Z2 = 0Po = P2 = Pat Zo = H
Beraz , V2 irteerako abiadura honela geratuko zaigu:
V2 = ‘12;71 = \12 . 9,8. 40 = 28 m s-1
10
Eta kaudal bolumetrikoa:
K = V.2 A2 = 28. 100. 10 -4 = 0,28 m3 s-1
Edo, eskaturiko unitateetan:
K = 0,28 (m3 s-1 ) . 10 3 (lt m 3 ) = 280 lt. s-1
K = 0,28 (m3 s
-1 ) . 3.600 (s h 1 ) = 1.008 m3 h 1
b) Hodi manometrikoan urak hartzen duen altuera, oinarrian pre-
sioak duen balorearen funtzioa da, argiro. Presio hau lortze
ko, Bernoulli-ren teorema erabiliko dugu berriro, orain (1)
eta (2) puntuen artean aplikaturik:
2V1
2 V2P2+ Z = + Z 22g r 2 g
p1 Pat /-
2V22 - V2
2 grh
Ez dugu V1 abiadura ezagutzen, baina berehala atera dezakegu
jarraitasunaren ekuazioa dela bide; hau da:
A2Vl Al = V2 A2 V1 = V2
Eta balore hau aurreko expresioa eramanez, honela geratzen
zaigu:
22
1 -
A22] h
Pl Pat +Vr-2g [
1
Ondoren, hodi manometrikoaren barneko
ur-zutabea geldirik dagoenez, hidrosta-
tikaren funtsezko ekuazioaz baliatuko -
gara, hau da:
= Pat 11.
A1
11
azken bi ekuazioak konbinatuz, beste hau ateratzen dugu:
V22 frA \ 2
t at . r Ei - (-3-A ) i r h = Pat . h.2 g 1Hemendik, eskaturiko ur-altuera hauxe izanen da:
V22
28 2fi _(2'2-.) 2.1 ri. _ ( 10. ) 21 _, . _ h.. 10 =2 g n, A1 / 2 . 9,8 L 1 200 /
= 20m.
luji Jolasean ari direlarik, elefanteak
ur-txorroa jaurtfki-
tsen dio barraskiloa
ri. Kalkula bedi,txo
rroak moluskuari egi
ten dion indarra.
Datuak:
X : txorroaren kaudal bolumetrikoa = 0,05 lt. s-1
A : txorroaren sekzioaren azalera = 10 cm 2
OHARRA: Suposa bedi, txorroa barraskiloari perpendikularki hel
tzen zaiola, eta jo ondoren, ura bertikalki jaisten de
la, hau da, errobotatu gabe.
Rbaspena:
Azter dezagun, (t) unean barraski
loa ikutzen hasten den txorro-zati ele
Mentala. ,(ikus irudia)
Une honetan elementuaren momentu
11.8. Ur-koronte txiki ba
tetan doan k\ortrozko disko
bat, biraka ipintzenda kol
petxo tangentzial baten bi
dez, irudian erakusten den
bezala.,
Korrontearen zein aldera desbideratuko da diskoa?
12
lineala hauxe da:
7(t) P A dl v
dldt = denbora-tarte txikia pasa ondoren, aipaturiko ele
mentuak galdu egiten du bere momentu lineala, barraskiloa•ekin -
duen talkaren ondorioz; beraz:
1;8> (t + dt) = 0
Momentu linealaren aldaketa zera izanen da:
dp = p (t + dt) - p(t) = - A dl v 7.»
Eta moluskoak txorroari egiten dion indarra, zera:
_g2– - f A dl vF =tb t dl i=-fAv
Akzio-erreakzioen printzipio erabiliz, txorroak moluskuar1
egiten dion indarra, honela lortuko dugu:
= Fth = v2 i
Eta indarren balorea hauxe izanen da:
2 r A2 v2 _,K 2 _ 1(0,05. 10 3 ) 2Fbt =',A v -10
= 250 d
Ebazpena:
Diskoaren biratze-higiduraren ondorioz, alde batean kortxoak
13
ura balaztatu egiten du (vi < vo ) eta
besteen, berriz, azeleratu (v2 >vo) •Uraren superflzieko puntuak praktiko
kt altuera berekoak dlrela kontutanbarturlk, eta Bernoulli-ren teorema
Srabillz, ondoko ondorioak atera dl-
tsakepu:
vo2v1
2Po 1
2g 2g
.p vo2• P2
r 2gv2
2
2g
vl < vo izanez
p1 .1, po izan behgr (1)
{
> Vo izanez
p2 < po izan behar (II).
(Z) era (II) desberdintzetatik, zera
"teritaan taigu:
P1 > P2
Berar, ezker aldean urak inten-
tneklago bultzatzen du diskoa, eskuin
aldean baino. Honelatan, irudian ikus
ten den moduan desbideratuko da dis-
Irudiko ur-korrontea (T)
turbina higierazteko erabilia
da. Sarrera eta irteerako ho-
diak sekzlo berekoak dira,eta
puntu bion arteko altueraren
diferentzla, erabat arbuiaga-
-rrla.
P turbinaren potentzia eta K korrontearen kaudal bolumetri
koa ezagutuz, lor bedi, lehen aipaturiko puntuon arteko presio-
aldaketa.
OHARRA: Suposa bedi, fluxua ideiala dela.
14
Ebazpenas
Dakigunez, Bernouilli-ren teoremak, bere erarik sinpleenean,
korrontearen energiaren kontserbazioa baino ez du adIerazten. Ha-
lere, behar diren zuzenketan egInez gero (ikus teoriazko liburuan
11.9. atala), korrontearen energia kontserbatu egiten ez den ka-suan, aipaturiko teorematik ateratako erlazlo bat erabil daiteke,
"energiaren ekuazio generala" deiturikoa hain zuzen ere. Honela -
idatziko dugu:
olg Zi 1
2 v2G12
2(I)
+ / 12 ' g Z 2 4. 7-2 4. a( 22 2
Z1, pi , vi , Z 2 , p 2 eta v2 ikurrek beren ohiturazko esangura dute
(vi eta v2 direlakoak batezbesteko
abiadurak dira, baina hauek ez gai
tuzte kezkatzen, ondoren ikusiko -
dugunez).
ot 1 eta Ar 2 koefizienteak energia zinetikoari dagozkion korrekzio-faktoreak dira, hau da, sekzio bakoitzeko abiaduren banaketa kon
tutan hartzeko sartzen diren faktoreak. Gure kasuan, ordea, flu-
xu ideiala kontsideratzen dugunez:
°C 1 °C2
Bestaldetik, sarrera eta irteera sekzio berekoak direla go-
gora ekarriz (A 1 = A2 ) eta jarraitasunaren ekuazioa aplIkatuzs
v1 = v 2
Beraz, (I) ekuazioan agertzen diren abiadurazko terminoak,
sinplifikatu egiten dira.
Gauza bera esan dezakegu, altuerazko terminoei dagokienez,
enuntziatuaren arauera z i = z2
Dagoeneko, ba, (I) ekuazioa honela geratzen zaigu:
P1 + P2 + G12 (II)f 12 f
15
Goazen oran, 1 12 eta G12 gaiak aztertzera:
2 : (1) ata (2) puntuen artean korronteak irabaziriko energia,
fluidoaren masa-unItateko.
0ure kaguan, argi eta garbi, 1 12 = 0
(1) eta (2) puntuen artean korronteak galduriko energia, -
fluidoaren masa-unItateko. Praktikan, termino honek, besteak
beate, marruskaduraren ondorioz bero bihurturiko energia me-
kanlkoaren kantitatea hartzen du kontutan; baina gure kasuan
es da horrela gertatuko, fluxua ideiala dela kontsideratzen
da eta. Gure kasuan, ba, gai honek turbinak korrontetik era
usten duen energiaren kantitatea baino ez du neurtzen.
Ikus dezagun G12 delakoaren , P turbinaren potentziaren eta
kaudalaren artean dagoen erlazioa. Demagun dt denbora-tartean, -
ina barrutik igarotzen den dm ur masa-kantitatea. Bedi dW,
turlko•dm masak turbinari ematen dion energi kantitatea. Defini-
*
dWG12 =
dm
aeraa:
eta p
dt
P dt
dm dm/dt f K
A'Skenez, erlazio hau (II) ekuaziora eramanez, eskaturiko pre
ildaketa hauxe izanen da:
a12 s
,20 cm-tako diametroa duen hodi baten barrutik, ura Isur-tafn ari da, 4 ms -1 -tako batezbesteko abiaduraz. Uraren tenpera‘ra 15°C da. Zer batezbesteko abiaduraz isuri behar du fuel
Olf~ota batek, 10 cm-tako diametroa duen beste hodi batetatikflUxuok dinamikoki antzekoak izan daitezen? Erabilitako fuelo-lloaren tenperatura 32°C da.
01 P2
fPl - P2 =
16
Uraren biskoaitate - koefiziente zinematikoa (15°C -tara)
. 1,14. 10 -6 m2 s-1
Fuelolioaren biskosItate - koefiziente zinematikoa (32°c -
tara) = 2,97. 10-6 m2 s-1
Ebazpena:
Esperientziak dioenez, bi fluxuk dinamikoki antzekoak izan
daitezen, Reynolds-en zenbaki berbera izan behar dute. Beraz:
D1 f2 D2 v2R2
hemen (1) azpindizea uraren kasuari
dagokio eta (2) -a fuelolioaren ka-
suari.
Edo:
D1 v1D v D1 v12 2
ni/fi ‘2/2 V1
v eta v2 direlakoak biskositate - koefiziente zinematikoak
D v2 2
ya
dira.
Hemendik, eskaturiko abiadura zera izanen da:
DI Y2 _ 4 20 2,97. 10- = 20,8 m s-1v v. D210 1,14 . 10"."
Koipe baten biskositatea
neurtzeko, ondoko esperientzia
antolatzen da:
Mahai horizontalaren gainean
koipe-xafla hestu-hestua heda-
tzen da, pintzel baten bidez.
Koipe-xaflaren gainean xa-
fla solido bat jartzen da, eta
irudian erakutsitako mekanismo
17
•inplea dela medio higierazten da. (Xafla solidoak oso arina -
izan behar du, koipe-xaflaren lodiera alda ez dezan; halaber,
gintzilikaturJko masa kontu handiz hautatu behar da, sistema
ezelera ez dadin).
a) Kalkula bedi; erabiliriko koipearen biskositate-koefiziente
zinetikoa.
b) Baldin eta zintzilikaturiko masaerdiraerreduzitzen bada, -
zer abiaduraz higituko da xafla?
Datuak:
h: koipe-xaflaren lodiera = 0,1 m m
f: koipearen dentsitatea = 910 kg. m 3
A: gafla solidoaren azalera = 0,25 m2
m: zintzilikaturiko masa = 20 gr.
v: sistemaren abiadura = 1,4 cm s-1
P:hasPena:
e) Eeperientzia hau, liburuko 11.1. atalean adierazitakoari buruzko aplikapena baino ez da. Xafla higitzeko behar den indarra,
sera da:
F .h F = v -h A v. A
Beraz, koipearen biskositate-koefizientea kalkulatzeko, xafla
tik tiratzen duen indarraren
balorèa behar dugu. Balore
hau erraz atera dezakegu -
(ikas irudia):
F - omg o F = mg
? m q h _ 20 . 10 -3 . 9,8 . 0,1 . 10 -3= 5,6 . 10 -3 Kgm-1 s-12v A 1,4 . 10 .0,25
Eta biskositate-koefiziente zinematikoa hauxe izanen da:
E p
.p
F
yL-Aleaz=0)
il?
18
y 5 6 .10-3 10-6 m 2 s-1910
b) Probleman erabili dugun lehenengo formulan ikus daitekeenez,
beste faktore guztiak konstante egonez gero, indarra eta abia
dura arauerakoak dira. Honelatan:
F'2
v' = –Y– = 0,7 cm 8-12
19
ARIKETAK
I.- R = 6 m-tako erradioa duen puxika bat, f 0,18 Rg m 3 -tako4entsitatea duen gas batez beterik dago. Ralkula bedi puxikak
jaso desakeen masarik handiena.
Airearen dentsitatea 1,3 Rg m-3 da.
imaltsa: 103,3 Rg.
:2.- Xaikula,hadilorricellik beharko lukeen luzera minimozko ho-
' dia, egurats-presioa neurtzeko egin zuen esperientzia xele-
brean, merkurioaren ordez ura erabili izan balu.
Emaitza: 10,35 m.
Kalkula bedi, tapoia atera eraz
ten hasteko egin behar den indar
minlmoa:
a) Baldin eta tapoiak ontziaren
hondoa oso-osorik ikutzen badu.
b) Baldin eta tapoia eta ontzia-
ren ondoaren artean oso ur-xa
fla hestu bat badago.
Arbuia bitez tapoiaren pisua eta altuera
Datuak: A1 = 50 cm2
A2 = 40 cm2
h = 10 m.
pat= 10 5 N m 2
Emaltzak:
a) 490 N
b) 98N
20
4.- Uraz guztiz beterik dagoen edalon
tzi batetan, izotz zati bat ari -
da flotatzen. Izotzaren urketager
tatzean, zer ur-kantitate eroriko
da edalontzitik?
Emaitza: Tantarik ez.
5.- Kalkula bedi, ontziaren hondoan da
goen zilindroa uretatik ateratzeko
egin behar den lana (zilindroa gel
diro-geldiro ateratzen da).
Datuak: = 5.000 Kg m3
= 80 cm2
h 5 cm.
H = 12,5 cm.
Emaitza: 2,94 J.
6.- Irudian eskematikoki erakus
ten den tramankuluari jaso-
gailu hidraulikoa deritzo.
Erlatiboki txikia den indar
baten bidez, oso pisu han-
diak jasotzeko erabiltzenda.
Kalkula bitez:
a)Findarraren balorea, P pisua orekan mantentzeko.
b) Egin behar den lana, P pisua geldiro-geldiro h altuerara
jasotzeko.
Datuak: P = 5. 10 4 N
A1= 1 m2
A2= 20 cm2
f = 500 Kg m 3h = 20 cm.
21
Emaitzak: a) F = 100 N
b) Bt6 . 10 4 J.
7.- Ralkula bedi, M manometroak
neurtzen duen presioa,
Kp. cm-2 -tan.
Datuak:
fr2 : merkurioaren dentsitate
erlatiboa = 13,6
fr2 : olioaren dentsitate er-
latlboa = 0,75
h2 : 23 cm.
h2 : 3 m.
Emaitza: - 0,087 Kgf cm2
8.- Irudiko Ir-tankerako hodia bi
raka ari da bere ezker-adarra-
ren inguruan. Lor bedi abiadu-
ra angeluarra.
OHARRA: Hodiaren sekzioaren
erradioa oso txikia da L dimen
tsioarekin konparaturik.
Emaitza: W V57hL
9.- Irudiko hodi horizontalaren ba
rrutik f dentsitatea duen flui
doa igarotzen ari da. Bi sekzio
en azalerak A 1 eta A2 dira. Lor
bedi korrontearen kaudal masi-
koa, fluxua ideiala dela supo-
satuz.
10.- Irudiko hodi bertikaletatik
dentsitateko fluidoa gorantz
isurtzen ari da. Bi sekzioen
azalerak A1 eta A2 dira, eta
korrontearen kaudal bolume-
trikoa X.
Lor bedi hodi manometri-
koan agertzen den g altuera
diferentzia.
Fluxua ideialtzat jotzen
da.
Emaitza: h' = r K21
2g (F' - ) A2
,,C..«•n•••n•°'"~"."-'
22
Emaitza:-
Alij ) 2/A 1 - 12
11.a) Lor bedi, hormako zuloan ze
har ontziari darion txorro
estuak eginiko D distantzia
horizontala, lurrera iritsi
arte.
b) Ontziaren hondotik zer altue
ra egin beharko litzateke -
beste zulo bat, bertan zehar
isuritako likidoak aurreko -
txorroak jotzen duen lurreko
puntu berberera jo zezan?
OHARRA: Ontzi likidoaren
suposatzen da.
geldirik dirauela
23
Emaitzak: a) D 2 V177;:1;7
b)
12.- Gaurko hegazkinek 100 Kp-tako euste-Indarra behar dute, he-
goaren m2 -ko. Hegoaren beheko aldetik igaro den airean abiadura, 90 m s-1 -takoa izanez gero, kalkula bedi goialdeko -
airearen abiadura, behar den indarra lortzeko.
airearen dentsitatea = 1,3 Kg m 3
OHARRA: kontsidera bedi, airea fluido konprimaezina dela,
eta arbuia bedi hegoaren lodiera.
Emaitza: 98 m s-1
13.- 11.7. probleman, kalkula bedi barraskiloak jasango lukeen
indarra:
a) elefanteari 3 cm s-1 -tako abiaduraz hurbilduko balitzaio.
b) elefantearengandik 3 cm s -1 -tako abiaduraz urrunduko ba-
Iltz.
Emaitza: a) 640 d.
b) 40 d.
14.- I. Irudiko suhiltzaileak
erabilitako mangerak lOm
tako altuerara jaurtiki-
tzen du ur-txorroa. Txo-
rroak 53°-tako angelua
osotzen du irteeran hori
zontalarekin, eta puntu honetan mangerak duen sekzioa 25,6
cm2 -takoa da. Kalkula bitez:
a) Kamioi-ontziaren barneko uraren presioa.
24
b) Txorroaren kaudal bolumetrikoa.
II. Ontziko uraren presioa egurats-presio bera izanen balitz,
suhiltzaileak uhaga bat erabili beharko luke. Kalkula bedi
uhagaren potentzia, aurreko ataleko baldintzak mantenduz.
Datua: egurats- presioa : 10 5 N m2
OHARRA: Arbuia bedi ur-ontzi eta mangeraren arteko altuera-
diferentzia. Halaber, kontsidera bedi ontzi barneko
ura geldirik dagoela.
Emaitzak: I.a) 2,53. 10 5 N m2
I.b) 4,48. 10-2 m3 s-1
II. 686 W.
15.- Irudiko hodi horizontala
ren barrutik pasatzenari
den likidoaren dentsita-
tea f da, eta kaudal bo-
lumetrikoa K. Hodia sek-
zio berekoa da puntu guz
tietan. Halere, (1) eta
(2) sekzioetan kokaturik
dauden hodi bertikaletan, likidoak ez du altuera berbera lor
tzen, korrontearen energia mekanikoa konstante ez dirauela -
adieraziz.
Kalkula bedi, aipaturiko sekzioen artean likidoak denbo-
ra-unitateko galtzen duen energia, hots, potentzi galketa.
Emaitza: K f g h
16.- Irudiko hodiaren barnetikfe = 0,877 -tako dentsitate erlatiboa duen olio-mo
tako bat doa. Kalkula be-
di (1) eta (2) sekzioen -
•
112
25
arteko potentzi galketa.
Datuak: h = 3,6 m.
X kaudal bolumetrikoa = 1461 1.s-1
pl = M1 manometroaren neurketa = 0,930 Kp cm2
p2 = M2 manometroaren neurketa = 0,615 Kp cm2
Emaitza: 37.640 W.
17.- Irudiko hodia plano horizonta
lean datza, angelu zuzen baten
tankera duelarik. Hodiaren ba
rrutik dentsitate duen liki
do bat isurtzen ari da, p.pre
zioz. Korrontearen kaudal bo-
lumetrikoa K da.
Y
\Gatrilloa A
Lor bedi, likidoak hodiaren
ukondoari egiten dion indarra.
OHARRA: Fluxua ideiala dela kontsideratzen da.
-•Emaitza: - 1 (pA2 + r K2) i+(pA2 + rK2)A
18.- Irudiko hodi horizontalaren
barrutik isurtzen ari den -
korrontea, eguratsera irte-
ten da. Kalkula bedi,bisek
zio desberdinetako zilindro
ak elkartzen dituen piezari
urak egiten dion indarra.
Datuak: A1 = 40 cm2
A2 = 20 cm2
X = kaudal bolumetrikoa = 80 1. s-1
pe = egurats-presioa = 10 5 N m s-2
OHARRA: Suposa bedi fluxua ideiala dela
• Emaitza: 1.000 N, korrontearen sentidoan.
•
26
12, GAIA
27
HIGIDURA OSZILAKORRA
28
12.1.- Oszilagailu harmoniko sinple baten adierazpen matematikoa
ondokoa da: x = 4 sin (0,1 t +0,5) , bertako unitate guztiak MKS
sisteman emanik daudelarik.
Lor bitez:
a) Higiduraren anplitudea, periodoa, frekuentzia eta hasiera
ko fasea.
b) Hasierako baldintzak (hots, t = o denean).
c) Posizioa, abiadura eta azelerazioa, t = 5 s. aldiunean.
d) Egin bitez posizioaren, abiaduraren eta azelerazioaren
grafikak denboraren funtzioan.
Ebazpena:
a) x = 4 sin (0,1 t+0,5) x = A sin (wt +01)
Beraz, anplitudea A = 4m.
Bestalde, frekuentzia angeluarra hauxe da:
W = 2 pr), = 0,1
= 0,1 s-i
.•
eta periodoa T = 1 27r - 201r 0.0,1
Hasierako fasea: = 0,5 rad.
b) Kalkula ditzagun abiadura eta azelerazioa edozein aldiune-
tan:
•- 4 . 0,1 . cos (0,1t+0,5)
a dvt - 4. 0,1 . 0,1 sin (0,1t+0,5)
dxv- dt
d)
fra 4 Sin@Jt #0,5)I
Irk 0,4 cos(0.1 t+0,5)1
sin(Oi t#0,5) I
29
t = o eginik.fxoxo = 4 sln 0,5 « 1,85 mvo = 0,4 cos 0,5 vo = 0;18 m/s
a = –0,04 sin 0,5 ao = - 0,02 m/s2o
c) t = 5s eginik.
1
xs = 4 sin (0,1 . 5 + 0,5)
v5 = 0,4 cos (0,1 . 5 + 0,5)
as = - 0,04 sin (0,1 . 5 + 0,5) ixs = 3,36 m
v5 = 0,34 m/s
as = - 0,03 m/s2
30
x = 4 sin (0,1 t + 0,5)
(rad)
t 0 , 1 t + 0 , 5 sin (0,1 t+ 0,5) 4 sin (0,1 t+ 0,5)
- 5 0 0 0
0 0,5 0,48 1,82
5 1
10 1,5
10,7 Tr/ 2 1 4
• 26,4 if 0 0
• 42,1 311/2 - 1 - 4
• 57,8 2T( 0 0
+ 0,5 = 0 t = - 5
TI--2- - 0,5---o- t0,1 t + 0,5 = = 10,7
0,12
0,1 t + 0,5 = Tt t = n- 0,5 26,40,1
37( 0,5t+ = = 42,1 •
2 0,1
0,1 t + 0,5 = 2 27T - 0,5 rr t - - 57,80,1
•
31
12.2.-
a) Erresorte batetatik zintzilikaturik dagoen bloke bat higidu-ra harmoniko sinplez bibratzen arl da. Blokearen elongazioa an-
plitudearen erdia den aldiunean, energia osoaren zein frakzio -
da zinetikoa eta zein potentziala? (erresortea masarik gabea de
la ematen da).
b) Blokea orekan dagoenean, beraren luzera indarrik egin gabe -
duena baino s kantitatean da luzeago. Froga bedi, periodoa ho
rrela adierazten dela:
T 27T
Ebazpena:
a) Teoriaren arauera, higidura harmoniko sinplearen energia zi-
netikoa eta potentziala honela adierazten dira (ikus 12.2.)
1-2-
Ep .. -7- m 4) 21
(A2 - x2)
x2
1 2 A2E = —2--mw
Beraz, x = —T- denean:
1 2 ( 2 A2). 3 ( 1 2 A2Ek = -2- m A - —4-- —2— m w
1 2 A2(E =p (4) = rn (432 A2) = E
32
•••
Aurreko balorea jarriz
Pisuaren kausaz s elongazioa
gertatzen denez (orekan):
mq k s
k
Bestalde, honela adierazten da
periodoa, erresortearen k kons
tantearen funtzioan.
P = 2 n
b)
12.3.- R erradiodun eraztun baten masa m
da. O puntutik zintzilikatzen da plano
bertikal batetan oszilatuz. Zein da os-
zilazio txikien periodoa?
Ebazpena:
Teorian frogaturik dugunez (ikus 12.1)
P 2T(Ie
m g b
hemen I e delakoa, 0-tik pasatzen den ardatzarekiko inertzi mo
mentua da eta b delakoa, 0 puntuaren eta masa-zentruaren arteko
distantzia.
Beraz:
IMZ + m R2
= m R2
+ m R2
= 2 m R2
b = R
Orekan dagoela, pisua (mg) eta
uraren bultzada (B0) berdinak
dira.
/
33
Hau da:
P211' 2 m R2
m g R..nnn•n••• P ,n
12.4.- Zurezko zilindro baten dentsitatea 0,8 gr/cm 3 da, beraren
erradioa 50 cm. eta altuera 25 cm. Zilindroa uretan dagoela, -
oszilatzen ari da bere ardatz bertikalaren direkzioan. Zein da
higidura horren periodoa?
Ebazpena:
Uraren dentsitatea:
Zuraren dentsitatea:
--Orekan daudela:
fH20
f = 0,8
Pisua = mg = g .0,8.7rR2 H
Bultzada = Bo = g. 1 prR2 h
—x luzera barruratzean, pisua berbera da, baina bultzada aldatu
i
h = 0,8 H . 20 cm.
34
egiten da:
X g . 1 ./T R2 (h + x) + g . 1 . R2 X
Beraz, goranzko indar netoa hauxe izango da moduluz:
F Bx m9 1 g nrR2 x = k x
Bta sentidoz,F hau x delakoaren kontrakoa da. Rots, higidura
harmoniko sinplearen ekuazio matematikoa ageri zaigu:
F = - k x ( k = g n R2 )
Higidura oezilakor horren periodoa hauxe izango da.
ITS2 . H . 0,8 P 2ff\r÷- 2111 g 1r R2
P 27( 0,25 .0,9 s.
9,8
p.5,- Partikula bat aurrerantz eta atzerantz labantzen ari da
irudiko bi planoen artean, marruskadurarik gabe.
a) Lor bedi higiduraren periodoa, hasierako altuera ho
baldin bada.
b) Higidura hau oszilakorra al da? Harmoniko sinplea al
da?
35
Azter deza•un nolakoa den higidura, plano bakoitzean:
x : - mg sin .(= m ax
y ; - mg cosei + N 0
Azelerazioa interesatzen zaigu soilik-~ax = - g sina(
Hau da, partikula hori azelerazio konstantez jaisten da pla-
noan behera.
Simetriaz, beste planoan ere gauza berbera jazoko da. Hots:
Plano bietan dagoen bitartean, etengabe jasango du planoan behe-
ranzko azelerazioa.
Beatalde . energia kontserbatu egin behar da.
Labur esanik, honelakoa izango da higidura:
1. Hasieran A puntuan askatzen da,
abiadurarik gabe.
2. AB tartean higidura uniformeki
azeleratua izango du azelerazioak
a = g sino( balio duelarik.
3. BC tartean higidura uniformeki dezeleratua izango du, deze
lerazio berberaz (g sino().
C puntuan gelditu egingo da, puntu hau A delakoaren altue-
ra berekoa izanik, energia kontserbatu egiten baita.
4. CB tartean AB tartearen antzera.
5. BA tartean BC tartearen antzera.
6. Eta berriro, A puntuan geldituz, errepikatu egingo da pro
zesua.
36
Beraz,higidura oszilakorra da. Baina ez da harmoniko
ez baita x = A sin (ot +4() delako adierazpen matematikoarenarauera gertatzen.
Bigidura oszilakorraren periodoa kalkulatzeko, AB tartean ema
ten duen denbora kalkulatuko dugu. Bigidura hori uniformeki aze-
leratua da:
AB =h
°sin«
a t t AB1 - 2
A
2ho
2 hosinott-
g sino<
/
g sin 2 a(
Simetriaz, periodoa hauxe izango da:
P = 4 t P - 4 2 ho
sin g
12.6.- Demagun, direkzio bereko ondoko bi higidura harmoniko sin
pleak ditugula:
= 4 sin (e) t + )
x2 = 3 sin (0) t + -35.1 )
a) Lor bedi bi higidura horien gainezarmenez lortzen den hi-
giduraren ekuazioa. ..
b) Bektore biratzaileen bidez, aaieraz bitez hiru higidura
horien grafikak.
(Problema hau 1.975 - VI - 23 ko examinean jarri zen).
ÇAI=3L 4203
0.)
E:30
A l= 4
= 4 5in.(tut•f) X.1 a 3 ain (nit + q.r.)
37
ibaznena:
•Lehenengo unetik erabiliko dugu bektore biratzaileen bidezko
adierazpen grafikoa. Konkretuki, irudia errazteko, t = o aldiu-
nea aukeratuko dugu(higidura oszilakor biak maiztasun berekoak
direla eduki behar da kontutal.
Kasu honetan, bien arteko desfasea hauxe da:
Honelatan:
A 2 + A2 = 4 2 + 3 2 = 5
= + = 0(1 + artg
1rc< = —ir- + artg3
Azkenean, ba, honela adieraziko dugu, gainezarmenez lorturiko
higidura:
5 sin (a) t + 3artg )
38
12.7.- Bi direkzio perpendikularretan gertatzen ari diren bi bi-
brazioen adierazpen matematikoak ondokoak dira:
x = 10 cos 51Ttffy 10 cos ( 3.0 1T t + )
IrudIka bedi bien konposaketaz lorturiko higiduraren Lis-
sajous-en irudia.
Ebazpena:
Ebazpen grafikoa egingo dugu, irudia puntuz puntu lortuz. Fun
tzio sinusoidalen agerpena errazteko, abszisatan 5ITt delako al-
dagaia hartuko dugu erreferentziatzat. Hurrengo irudiek eta tau-
lak adierazten dute prozesu osoa.
Sift lont + /1/4 cos(ont+iy3)
a 0 7T/3 1/2 5
b 1772 o O
c 1T/ 4 W/ 2 + 117 3 - C-7-
- 5ff
el /T - i - toe 1T/2 11 + 1T/3 - 1/2 - 5
f 31T/2 0 0
g 31T/4 31f/2 +11./ 3 iT/2 5 fr
h 211 1 10
i. /T 21i+ 11-/ 3 1/2 5
j 51T/2 0 . 0
k 51i/4 51T/2 + W/3 - ir3/2 - 5 19
1 3 n - i - 10m 37T/2 3n+ ni2 - 1/2 - 5
n 7W/2 0 O
o 71T/4 71f/2 + ni 3 F/2 5 (-5-
p 4 ir 1 10
cl 4 fr+ iri 3 1/2 5
•
r
(f + op)t.co obx
ot
II.
»Iffil
6
40
12,1,- Pendulu einple baten periodoak 2,5 e balio du, oezilazio
txikiak egitean. Une batetan oszilazioaren anplitudeak 2°bal10
izan du. Hamar oazilazio oso burutu ondoren, beraren anplitudea
txikiagotuz joan da 1,5° balioz.
Lor bedi indargetze - konstantearen balorea.
Ebazpenat
Enuntziatuak dioenez, oszilazio indargetu hauetan ¥'konetantea
ren balorea txikia da. Orduan, teoriaren arauera (ikus 12.4), a
kasuan gaude, hau da,11',(0), den kasuan. Beraz, higiduraren azal-
pen matematikoa era honetakoa izango da.
x A eirt sin (Wt +0()Azter. dezmjun higidura oszilakor honen anplitudearen bilakape
{
t= 0 --e.Ae -Y t =A= 2.t = 10 . 2,5 = 25 s. --..
--9.- A e 1 25 = 1,5
na.
A e -rt
Hau da:
e -r 25 = 1,5 2
25 r 2= ln = ln 1,331,5
ln 1 33
25= 0,0114 s
•
41
ka,zi - Higidura oszilakor indargetu bateh ekuazioa
y A e Z't cos cot da, non y delakoa magnitude oszilatzai-
lea den. 20 segundu pasa ondoren 5 oszilazio gertatzen dira eta
hasieran 2,78 cm. balio zuen anpfitudeak, orain 1 cm. balio du.
1.- Lor bedi fenomenoaren sasiperiodoa (T)
2.- Lor bedi indargetze-konstantea (/)
3.- Adieraz bedi higidura honen ekuazio diferentziala.
Ekuazio honen parametroak zehaztu egin ote daitezke?
Ebazpena:
1.- Hogei segundutan 5 oszilazio egin dituenez
20T = - 4 s5
Honen bidez frekuentzia angeluarra lor dezakegu
= 2 ir E, -1
T 2
2.- Indargetze-konstantea lortzeko, aurreko probleman bezala
egingo dugu.
t = 0 A e = A = 2,78 cm.A - T t
t 20--o.- A e Y 2 ° = 1 cm.
e - 20 = 1
2,78
20 = ln 2,78__.... r _ 1 2,78ln 220
= 0,051 s
42
3.- Dakigunez (ikue 12,4) higidura honen ekuazio diferentzia-
la ondokoa da:
2 2+ 2 y+ WO =
dt U dt
X{Hemen 2 —
Bestalde 0.: 1/0) 2
izanik
Beraz,m)eta Y ezagutzen ditugunez, erraz lor dezakegu tBo:
pr-,77
Eta horrela eginik ekuazio diferentzialaren parametroak
lorturik daude. Beste kontu bat da X eta k parametroak lortzea,
horretarako oszilatzen ari den partikularen masa ezagutu behar
baita.
12.10.- Bi oszilagailuk masa berbera daukate. Hasieran anplitude
berbera daukate eta indargetze - konstante () berbera jasaten
dute. Hala ere, batak bestearen frekuentzia baino bi aldiz han
diagoa du. Bietariko zein indargetuko da lehenago hasierako an
plitudearen erdiraino?
Ebazpena:
Teoriaren arauera (ikus 12,4), indargetzea txikia denean (y1014),era honetan adierazten da higiduraren ekuazioa
x s A e -‘‘ t sin (Wt +
•
43
Hemen:2m
Beraz, bi higiduren kasuan A etarparametroek balore berbera
daukate. Eta anplitudeari dagokionez, biak indargetuko dira modu
berean. Desberdintasun bakarra frekuentziari dagokiona da:
20) 1 . Baina honek ez du zerikusirik anplitudearen eboluzioa
rekin.
12.11.- Froga bedi ezen oszilazio bortxatu - indargetuen kasuan,
anplitude-erresonantzia O/f 1/(1202
26.2 frekuentzian gerta
tzen dela.
illa.22PAL
Teoriaren arauera (12 . 5 ), erregimen iraunkorrean anplitudea
ren adierazpena ondokoa da.
Fo / mA =
com 2 + 4 r ' wfo/
Hemen Fo , m, Wo etarkonstanteak dira
Beraz, A = A ( A/f)
Anplitude - erresonantziak A delakoa maximoa dela esan nahi
du. Horretarako dA 0 egingo dugu
d(Of
Fo 2(cu: —4) 2 cro; + 8 r?. wf
m
2V (chq — c4.3;) 2 + 4 y2 c1f2
(4z _ )2 + 4 irzdA
d= 0
44
Hemendik:
2( 0.1, - 0, ) 2 eft).F + 8 Ï
2 tA), « 02 2
f o
4 CO; ( CO; •• CA: + 2 /2 ) = 0
Azkenean:
Hauxe da anplitude-erresonantziari dagokion frekuentzia.
-4
45
ARIKETAK
1.- Puntu bat zirkunferentzia batetan zehar higitzen da, bera
ren abiadura 50 cm/s delarik. Bira osoa emateko 6 s. behar di
tu. t = 0 aldiunean zirkunferentziaren zentrutik punturadoan
zuzenak 30°-tako angelua osotzen du x ardatzarekin. Lor be-
di puntu horren x koordenatuaren ekuazioa, denboraren fun-
tzioan eta x = A cos (o)t + 0( ) eran, A,u) eta q parame-
troen balorea emanez.
Emaitza: 150A = cm.
= 2.11 s -1
42( = –g– pad
2.- Auto batetan lau persona sartzera doaz. Denetara 300 Kg.
pisatzen dituzte eta autoan sartzean, beronen erresorteak -
5 cm konprimitzen dira. Erresorteek jasaten duten zama osoa
900 Kg-takoa bada, lor bedi auto zamatuaren oszilazioaren pe
riodoa.
Emaitza: P = 0,78 s.
3.- a) Higidura harmoniko sinplez plano horizontal batetan eta
segunduko bi oszilazioz bibratzen ari den plataforma batengai
nean,kutxa bat dago. Kutxa eta plataformaren arteko marruska-
dura-koefiziente estatikoa 0,5 da. Zein da oszilazioak eduki
dezakeen anplitude handiena, kutxak laban egin gabe?.
b) Plataformaren bibrazioa bertikala balitz, eta beraren
anplitudea 25 mm, zein litzateke maiztasun handiena, kutxa -
despegatu gabe higi zedin?
Emaitza: a) 0,031 m.
b) 3,14 s.
46
4.- Makila astun bat, 0 puntutik zin
tzilikaturik dago eta bertikalaren -
inguruan oszilatzen ari da, 0 -tik
pasatzen den ardatz horizontal baten
inguruan oszilazio txikiak eginez.
Beraren luzera, 1 da.
Zein izan behar da x distantzia,
oszilazioen periodoa•inimoa izan da-
din?
Emaitza: x = + 3 t
6
5.- Objektu laun batek I inertzi mo
mentua du bere masa-zentruarekiko
(planoaren perpendikularra den ar-
datz batekiko). P 1 puntuaren ingu-
ruan biratzean (ikus irudia), T pe
riodoarekin oszilatzen du. Masa-zen
truaren beste aldean beti dago bes-
te puntu bat, P 2 , zeinen inguruan
oszilatzean ere T periodo berbera
duena (ikus irudia).
Froga bedi ezen h 1 + h 2 -g T2
4 n2
dela.
(Problema hau 1.980-IX-19ko examinean jarri zen)
I6.- Lor bedi multzoaren konstante
errekuperatzaile baliokidea (%),
K1 eta K2 konstantedun bi erresor
te elkarrekin lan egiten jartzehh.
k,
n
k2 kt
Fa) paralelotan
b) serietan
Emaitza: a) Ke = K1 + K2
Emaitza: a) p 2 .rrit 2 m 13 T
47
b) KeK1 K1 . 2
Kl + K2
7.- Laborategiko experimentu batetan, grabitatearen azelerazio
aren neurketa ez-zuzena egin da. Horretarako bola batek super-
fizie esferiko baten barne-aldean
errotatzean egiten dituen oszfla-
zio txikien periodoa neurtu da.
Bolaren erradioa a da eta pista
rena, R.
Froga bedi ezen magnitude ho-
rien arteko erlazioa ondokoa dela:
28 T(2 (R - a)
5 T2
8.- Masa gabeko den eta 3 1 luzera duen soka bat finkatu egi
ten da tentsoki bere bi muturretatik,sokaren tentsioa T da.
a) m masako partikula puntual bat mutur batetatik 1 dis
tantzlara lotzen da. Lor bedi, m partikularen oszilazio trans
bertaalen periodoa.
b) Orain, m masako beste partikula bat ere lotzen da, so
ka hiru segmentu berdinetan banatuz ( 1 luzerakoak), eta guz-
tion tentsioa T izanik. Idatz bitez partikula bien higidur -
ekuazioak.
g
b) yl + 2 wo2 y i - tuo2 y 2 = o
••
+ 2 wo2
.Y2 0 2 = °Hemen: O
2m 1
koi 219.
//f/f///
0, 2 #1.4
'
/77.,
48
9.- Masa gabeko den eta 20 cm.-ta
ko luzera duen erresorte baten goi
ko muturra finko mantentzen da eta
beste muturretik 40 eta 80 g -tako
bi masa zintzilikatzen dira, horre
la erresorteak 26 cm -tako luzera
hartzen duelarik.
Modu horretan dagoela, kendu
egiten da 80 g-tako masa.
a) Zer frekuentziarekin higitu
ko da ondoren 40 g-tako masa?
b) Zein izango da beraren ener
gia zinetiko maximoa?
(Problema hau 1.980-V1-11ko examinean jarri zen)
Emaitza: a) 9 = 3,52 s -I
b) Ekm = 0,015 J
10.- Erresorte horizontal bat marrus
kadurarik gabeko superfizie baten -
gainen dago 1Kg-tako masa bati lotu
rik, orekan. Erresortearen konstan-
tea 200 Mw /m da. Masaren alboan,
lotu gabe, 2 Kg-tako masa bat jar-
tzen da eta F indarra eginez, 0,2 m
konprimitzen da mueilea. Gero, bat-
batean desagertu egiten da indarra
eta erresorteak bultzatu egiten ditu
bi masak.
a) Zenbat balio du F indarrak?.
b) Non bananduko dira bi masak, erresorteak bultzatzean?
c) Zein izango da 2 Kg-tako masak banandu eta gero izango
duen higidura?
49
d) Eta 1 Hg-tako masak? Anplitudea eta frekuentzia lor.
(Problema hau 1.980-VI-26ko examinean jarri zen).
Emaltza: a) r = 40 N
b) 0,2 metro ibili ondoren, hots, oreka-
puntuan.
c) Higidura uniformea 1,63 m/s abiaduraz.
d) HIgIdura oszilakor harmoniko sinplea
anplitudea = 0,115 m.
frekuentzia = 2,25 a
11.- Lor bedl ondoko bi higidura harmoniko ainple eta parale-
loen.konPosizloz lortzen den higiduraren ekuazioa:
x/ = 2 sin (tot+
1f) x2 = 3 sin ((ot + )
EgIn bedi higidura bakoitzaren grafika eta bai higIdura
erresultantearena ere. Adieraz bektore biratzaileak.
{
Emaitza: x = 4,83 sin (0.1 t +a( )
12.- Azal bedi eskematikoki, zergatik pentsatu behar den, indar
getzea gertatzean higidura oszilakorraren frekuentzia beheratu
egingo dela.
= 78,32° = 1,36 rad
50
13.- 2 Kg-tako masa bat k = 400 N/m balio duen konstantea dau
kan arresorte batekin oszilatzen ari da, hasierako anplItudea
3 cm. izanik.
a) Lor bitez higiduraren periodoa eta hasierako energla
osoa.
b) Periodo bakoitzean energiaren galpena lt -takoa bada,"
lor bedi indargetzearen ñ parametroa.
Emaitza: a) = 0,44 s. (0.,=10, eginik); E = 0,18 J
b) = 0,045 Kg/a
14.- Oszilagailu indargetu baten masa 50 g. da eta perlodoa,28.
Beraren anplitudea 5% txikiagotzen da ziklo bakoitzean.
a) Zein da indargetzearen › parametroa?
b) Energiaren zer parte disipatzen da ziklo bakoitzean?
Emaitza: a) = 0,00255 Kg/s
b) 9,7 %
15.- Oszilagailu indargetu baten anplitudea 50% txikiagotzen
da ziklo bakoitzean.
a) Energiaren zer frakzio galtzen da ziklo bakoitzean?
b) Froga bedi ezen
T = 411 2
2 m
T delakoa periodoa izanik.
Emaitza: a) 75%
b) Zuzenki frogatzen da.
51
16.- Erresorte baten konstantea k = 400 N/m da. Beraren eragi-
nez, 2 Kg-tako masa bat oszIlatzen ari da, 2 Kg/s Indarge-
tze-konstante batez. Beetalde, kanpoko indar batek bortxatzen
dltu oszIlazIoak. Indar hau sinusoidala da beraren balore maxi
moa 10 N Izanlk eta frekuentzia angeluarra 10 rad/s.
a) Zeln da erregimen iraunkorreko oszilazioen anplitudea?
b) Lor bedi anplItude-erresonantziari dagozkion oszilazioen
anplItudea.
Emaitzak: a) A = 0,047 m.
b) Ar = 0,354 m.
17.- 0,5 Kg-tako masa bat oSiilatzen ari da, k 300 N/m kone-
tantedun erreaorte baten eraginez. Lehenengo 10 segunduetan -
0,5 J galtzen ditu marruskadura dela eta. Hasierako anplitudeak
15 cm. balio bazuen,
a) Zer denbora pasatuko da, energiak 0,1 J balio duen arte?
b) Zeln da oszilazioaren frekuentzia?
Emaitzak: a) 219 s.
b) c:«1= 24,5
=
52
13. GAIA
53
UHIN- HIGIDURA
13.1. Pultsu baten perfilak ondokoadierazpenmatematikoa du:
3
2 x2 + 1
a) Lor bedi forma horrekin, x direkzioaren alde positiborants
v = 2 m s-1 abiaduraz hedatzen den uhinaren adierazpena.
b) IrbdIka bedi perfila t = 0 eta t = 1 aldiunetan.
c) Froga bedi ezen a puntuan lorturiko adierazpenak uhin-ekua-
Z104 betetzen duela.
(x o)
54
Ebazpena:
a) Teoriaren arauera, dakigunez, f(x) perturbazio baten perfila ba
da, f(x- vt) perfil horrekin eskuinetarantz (x positiboranbz)
hedatzen ari den uhinaren adierazpena da. Beraz
Perfila Uhlna
f (x) f (x - vt)
2 m s-1 3 3
Beraz, hauxe da uhinaren adierazpena
2 (x - 2t) 2 + 1
2(x- 2t) 2 + 1
b) BI perfil hauk irudikatu behar ditugu:
3
= 0 2 x2 + 1
3 4t= 1 2(x- 2) 2 + 1
55
34
3
2
T *
x t = 1
-cm 0
0 1/3
1 1
2 3
3 1
4 1/3
+ oe 0
Argi Ikusten denez, eite berbera dute, baina bigarrena des-
plazaturlk dago eakuInetarantz, vt = 2. 1 ' = 2 m distantziaz.
c) Uhlnen ekuazio diferentziala hauxe da:
t
2
V -T;
Berez, ez lltzateke frogatzen ibili behar, frogapen orokorra
teoriako liburuan eginik baitago (ikus 13.2) . Baina ariketa beza
la, garatu egIngo dugu prozesu osoa.
3
2 (x - 2t) 2 + 1
Kalkuluak errazteko, u = x - egingo dugu
u
axa u ,a t
Rote, 3
2 u + 1
- 3 3. 4u ua t - 3. 4u . (-2) 24 u (2u
2 + 1) 2(2u2 + 1) 2(2u2 + 1)
2
(2 u2 + 1) 2 24 3u
3 u24 u . 2(2 u2 + 1) 4 ut
(2u2 + 1) 4
56
(2u224. 2 + 1) 12- (2u2 + 1) + 8u21_ 48 6 u2 - 1
(2u + 1) 4 (211^4.1)'
"t5 48 6u2 - 1 . (2u2 + 1)3
Bestalde:
u-0 -3 . 4 u vrz—.aX (2u2 + 1) 2
- 12 u
(2u2 + 1) 2
?4.4 (2u2 + 1) 2 (-12) + 12u 2(2u2 + 1) 4u
az (2u2 + 1)4
12-(2u2 + 1) 21- (2u2 + 1) + 8 ul
(2u + 1)4
Hotat
31.
Hau da:
Emaitza biak konparatuz,
2:52. = 12 6u2 - 1
(2u2 + 1) 3
31
t`
2 dela ikusten
da, frogatu nahi genuen bezala.
13.2. Konpara bitez ondoko bi uhinen uhin-luzerak.
a) Diapasoi batek sortutako solnuarena, beraren frekuentzia 440
Hertz-etakoa dela jakinik eta soinuaren abiadura 340 mis iza
nik.
b) Espektro ikuskorrean dagoen argi gorriarena, baroren frekuen
tzia 5 x 10 14 Hz eta argiaren abiadura 3 x 108 m/s izanik.
Ebazpena:
a) Soinuaren kasuan
v 0,772 m.340 m/s
440 s
Prekuentzlar1 dagokionez, giza-entzumenaren ahalmena
16 Hz-1-20.000 Hz tattean hedatzen da. Ostera, argi ikuskorraren
mugak gutxi gorabehera 3,84. 7,7x 1014 Hz tartekoak dira.
Ohln transbertsal sinusoidal baten anplitudeak 10 cm, ba-
lio du eta beraren uhin-luzerak, = 200 cm.
OhIn hori ezkerretik eskuinerantz hedatzen ari da v=100cm/s
abiaduraz eta sok• tinko horIzontal batetan zehar. Ardatzen itur'burua ezkexreko mutur ez-perturbatuan har bedi. t = 0 aldiunean
szkereko muturra iturburuan dago beherantz higituz.
a) Zer balio duteY eta tu parametroek?
h„) Zer balio du uhin-numeroak (k konstanteak) ?
c) ZeIn da uhinaren ekuazioa?
d) Zeln da sokaren ezkerreko muturreko puntuaren higiduraren
ekuazloa?
e) Zeln da ezkerreko • muturretik 150 cm-tara dagoen puntU baten
higlduraren ekuazioa?
'f) Zein da sokako edozein punturen abiadura maximoa?
100 cm s -1 = 0,5 s -1200 cm
57
b) Axg1 gotrIaren kasuan
3 x 10 8 zt/si = 6 x 10-7 m.5x 1014
Argiro Ikusten da bi uhin-mota hauen arteko neurrl-desberdin
Lasuna.
cu = 2/ry = 2 Tr. 0,5 = 1T rad/s
58
k= 2"
ff Tf -1b)200 ce
100
c) Ekuazio orokorra hauxe da
. 5, sin [k (x-vt)
Enuntziatuaren arauera: 10 cm.
Bestalde baldintza hauk jartzen dira
x = 0, t = 0 ;• = 0
a g cod t
Beraz horren arauera,« = 0. Eta parametro quztien baloreak ja
rriz, hauxe geratzen zaigu:
. 10 sin ( x - 100 t)-~f = 10 sin(--- x - Trt)100 100
d) Ezkerreko muturrean x = 0 Hots
5x40 10 sin (-n t) -10 sin t
e) Bigarren puntu horretan x = 150
X=150
e=150 = 10 sin ( 3nt 2
= 10 sing--1100
150 -n
lf t•)
f) Edozein punturen abiadura honelakoa da denboraren funtzioan:
7110 . (-n 1-65) cos ( x - Tf t) -10ncos ( 3-756. x - nt)
59
Abiaduraren balore handiena, kosinuak t 1 balio duenean gerta.tun da.
vm 10 It cm/s
/2,j, Barra elastiko batetan hedatzen ari diren luzerazko uhlnenekuazioa ondoko hau da:
sin 2 7r( - p )
a) Lor bedi sekzio transbertsal batetan egiten den indarrarenadierazpen matematlkoa.
b) Froga bedi ezen eta F uhinen arteko fase-desberdintasu-na uhin-luzeraren laurdenari dagokiona dela.
Sbaz na:
a) Teorlaren arauera (ikus 13.4) honela adierazten da indarra:
F y A 34
y delakoa materialearen Young-en modulua eta A delakoa sek-zloaren azalera izanik.
');2 .11 .x'
cos 2 i( ( - -;- )
Beraz
F 2 n Y A Xcos 2 n - )x
b) Konpara ditzagun aldiune berean ft = kt.9 ) bi uhin horien artekofalle-desberdIntasuna:
sin
cog 2 ir - -ftr)
60
Baina coo e( ein (c9( + Tf)
TTBau da, sinu eta kosinu funtzioen arteko desfasea -y- da.
Ikus desagun, ba, r uhinak x2 puntuan duen fasea, uhinaren
kaguan, (x2 + a) puntuan gertatzen bada, zenbat balio duen a para
metroak.
2 Tf x22 n (x + a)—1—
ir 2 TT a -"1". " • A
AltzairuskO barra batetan zehar hedatu egiten dira luzeraz
ko uhinak, beraren mutur batetan loturik dagoen oszilagailu ba-
tek sortuak. Barraren diametroak 4 mm balio du. Oszilazioen
anplitudea 0,1 m m da eta frekuentzia 10 Hz. Altzairuaren den-
tsitateak - 7,8 x 10 3 Kg.m-3 balio du eta Young-en moduluak
2 x 1011 x.x-2. Lor bitez:
a) Barran zebar hedatzen diren uhinen ekuazioa.
b) Bolumen unitateko energia.
c) Denbora unitateko edozein sekziotan zehar pasatzen den ener-
gi fluxuaren batezbesteko balioa.
Ebaspena:
a) Uhinaren akuazioa hauxe izango da:
sin k (x-vt)
Kalkula dittagun parametroakt
0,1 m m. ... 10-4 m
v
61
2 . 1011 N.81-2
7,8 . 10 3 Kg.z:-3-5.103 a 1s
k = 2 1T 2 IT . 10--4—v 5 . 10'
Datu hauk goiko adierazpanera eramanez:
= 10-4 sin 2 n ( y x - » t)
0-4 sin 2 1T (2.10-3 x - 10t)
b) Barra batetan hedatzen den uhin elastiko zinueoidalaren kasuan
(ikus teoriako 13.7 galdera), honela adierazten da bolumen-unitateko energia.
1 2 g2E = f Cij •
1 3 (2 rrE = -T- 7,8.10 . 10) 2 (10-4 ) 2
E = 1,56 7r 2 10-2 J.m 3
c) Modu berean, batezbesteko energi fluxua honala adierazten da:
aw = v A E = 5.10 3 . TT . 0,002 . 1,56 g 2 . 10-2
33,12 TT 10-4
13.6. Altzairuzko hari baten diametroak 0,2 m m balio du. Hari
hori 200 N-etako indar batez tiratzen da. Lor bedi harian ze-
har gertatzen diren uhin zeharkakoen hedatze-abiadura. Altzai
ruaren dantsitateak 7,8 . 10 3 Kg/m3 balio du.
62
Ebazpena:
Teorlan ikusi dugunez (13.5), uhin zeharkakoen hedepen-abla-
dura honela adlerazten da.
v. F non1
T: hariaren tenteloa
r: hariaren luzera-unitateko masa.
f : metro baten masa = (ffr 2 . 1) f
f = 1T . (1. 10-4 ) 2 . 1. 7,8 = 7,8 . Tr . 10-8
V
11 7,8 . Tr 200 = 2,8 . 10 4 m/s
43.7. Barra batetan barrera gertatzen diren luzerazko uhin elas-
tikoen kasuan, uhinen fase-abiadurak ondoko dependentziaduuhin-
luzerareklko:
V
( a = konstantea)X
Lor bedi uhin-multzoaren talde-abiadura.
Ebazpena:
Teoriazko liburuko 13.8. galderan frekuentzia oso antzeko du
ten bi uhinen konposaketaren talde-abiadura aztertzean ondorio ho
netara heltzen da.
vg d w
d k
Eta caS= k v dela kontutan hartuz:
v v + dk V-d k
altz
63
Generalizazio batez, onartu egingo dugu formula hau bestela-
ko kasuetarako. Izatez W-Acu eta to + tarteko rekuen-
tzlen kasurako balio du, baina arazoa nahiko korpIlateua denez,
liabenengo hurbilketa batetan ontzat haztuko dugu goiko formula ho
ri.
Sestalde, dakigunez, v eta ›► = -4r—r
Beraz v a kdenez---40. v
d v-3-E- 72-yr-
Beraz
d v a ,+k ----s=v+vm 2 vd k
19.8. Solnu-Iturrl baten frekuentziak 103
tako abiaduraz higitzen da airearekiko.
Demagun solnuak geldi dagoen airearekiko
dela. tor bitez alrearekIko geldi dagoen..tzen dituen frekuentzia eta uhin-luzera,
•
Hz balio du eta 30 m/s
duen abiadura,340 m/s
behatzaile batek neur
ondoko bi kasuetan.
a) Soinu-iturria berarengana hurbiltzen ari denean.
b) Soinu-iturria berarengandlk urruntzen ari denean.
apenas
Teorlazko liburuko 13.9. galderatik dakigunez, ondoko erla-
zloa dago iturriak bidaltzen eta behartzaileak neurtzen dituen -
frekuentzien artean:
v VO
v - voA: uhin-iturria
B: behatzailea
Vo
64
a) Kasu honetans
v = 340 m/s
va= 30 m/s
vo 0
340 - 0 103340 - 30
1.096 Bz
Bestalde, v = .X . y0 denez, honela kalkulatuko dugu uhln-
luzera efektiboa.
V 340 = 0,31 m.1,1 # ' 1.096
b) Oraingoan A iturria urrunduz doa B behatzailearengandik. Be7
raz: vs = - 30 m/s
Etota
34u - 0 310 340 3. 10 = 918 Bz340 - (-30)
= -370
Eta uhin-luzera efektiboa:
V 340= = 0,37 m.Ie 918
65
ARIKETAK
I.- Laku bare batetan dagoen txalupa batek uhinak sorterazten ditu
uraren galnazalean. Txalupak gora beheranzko 12 oszilazio egiten
ditu 20 segundotan, oszilazio bakoitzak uhin-gailur bana sortzen
duelarik. Uhin-gailurrak 6 s behar ditu 12 metrotara dagoen er-
tzera heltzeko. Kalkula bedi gainazaleko uhinen uhin-luzera. '
Emaltza: = 3,33 m.
2.- Uhin baten ekuazioa = 10 sln 27r (2x'- 100t) da, x metro
tan eta t segundutan neurtuz. Lor bitez:
a) anplitudea
b) uhin-luzera
c) frekuentzia
d) uhinaren hedatze-abiadura
Halaber, irudika bedi uhina, anplitudea eta uhin-luzera adie-
raziz.
Emaltzak:
a) 10 m
b) 0,5 m
c) 100 Hz
d) 50 m/s
a) Bozgorailu baten diametroak 30 cm balio du. Zein frekuen-
tziatakoak izan behar dute soinu-uhinek, airetan duten uhin-lu
Zera diametroa baino hamar aldiz handiagoa izan dadin?
b) Diametroa bezalakoa izan dadin?
c) Diametroaren hamarrena?
66
Emaitzak:
a) 116 Hz
b) 1.166 Hz
c) 11.666 Hz
4.- Ekuazio honek uhin bat adierazten du 1;= 2 sin 21i(0,1x-,5t),
luzerak (x) metrotan eta denbora (t) segundotan egonik. Lor bi-
tez:
a) Uhin-luzera
b) frekuentzia
c) periodoa
d) hedatzearen abiadura
f) hedatzearen sentidoa. Idatz bedi halaber, kontrako sentIdoan
hedatzen den uhin berdinaren ekuazioa.
Emaitzak:
a) 10 m.
, b) 5 Hz.
c) 0,2 s.
d) 50 m/s
f) x-en alde positiborantz
ŕr = 2 ain 2 11 (0,1x + 5t)
5.- Soka batetan zehar hedatzen den uhin baten ekuazioa, ondokoa
da: = 0,03 sin (3x - 2t) non eta x metrotan dauden -
eta t segundotan
a) t = 0 aldiunean zein da desplazamenduaren balioa, x = 0,1 m,
0,2 m- eta 0,3 m. puntuetan?
b) x = 0,1 m. puntuan zein da desplazamenduaren balioa, 0 s,
0,1 s, eta 0,2 s aldiunetan?
c) Zein da sokaren partikulen abiadura adierazten duen ekua-
zioa? Zein da abiadura maximoa?
d) Zein da uhinaren hedatze-abiadura?
xEmaltzak:•0
0.5 2
Rf
tz0,f
Xr••n•n11n4
1-1.• v = 5 m/s
Xt4.2
67
EmaItzak/
a) 8,86 . 10-3 m, 1,69 . 10-2 m, 2,35 . 10-2 m.
b)
c)
8,86 . 10 -3 m, 2,99 .
- 0,06 cos (3x - 2t) ;
10 3 m,
6. 1
- 2,99
-2 m/s
. 10 -3 m.
d) 0,667 m/s.
6.- x ardatzaren.direkzioan hedatzen ari den uhin transbertaal
baten g desplazamenduaren bi osagaiak hauxek dira:g: sin (kx - w t) eta = 1;„ cos (kx -43t). Froga
bedi ezen uhin hori zirkularki polarizaturlk dagoela. Adieraz
bedi parametroaren biraketa-sentldoa, x ardatzean dagoen
behatzaile baten ikuspuntutik.
Soka tlratu baten muturra 1 m/s-tako abiadura uniformez higi
erazten da transbertsalki, beraren desplazamendua 0,1 m-takoa
izan arte; ondoren hasierako jarrerara eramaten da abiadura uni
forme berberaz. Sorturiko uhin-pultsoa 5 m/s -tako abiaduraz he
datzen da sokan zehar.
a) Adieraz bedi sokaren forma t = 0, 0,1, 0,2, 0,3 eta 0,4 s
aldiuneetan.
b) Zein da sokanuhin-pultsoak duen luzera?
c) Lor bedi sokaren edozein punturen abiadura transbertsala
t = 0,4 s. aldiunean.
b) Uhin-pultsoaren luzera 1 cm.
"çV:c) ►
Imis
ts0,ijX
68
ts0,3 5' /.4 f „f
tz0.4
8.- Altzairuzko hariz eginiko pendulu baten luzerak 2 m. balio du
eta muturrean duen gorputzaren masak, 20 Kg. Hariaren diametroak
2 m m balio du. Pendulu hori askatzean, beraren eta bertikalaren
arteko angeluak 60° balio du. Kalkula bedi hariaren luzerak ha-
' sierako unetik bertikaletik pasatzen deneko unera duen desberdin
tasuna. Altzairuaren Young-en moduluak 2. 10 11 N.m2 balio du.
Emaitza: 0,62 m m.
9.- Indarrik jasan gabe, erresorte baten luzerak 1 m. balio du,
eta beraren masak 0,2 Kg. 10 N-etako indarraren eraginpean 4
zentimetroz luzatzen da. Lor bedi erresortean zehar gertatzen
diren luzerazko uhinen hedatze-abiadura.
15,6 m.s-1
Emaitza:
10.- Altzairuzko erresorte baten luzera arruntak 4 m. balio du
eta beraren masak 200 g. Erresorte hori bertikalki zintzilika-
69
tzen da, 100 gramotako gorputz bat jarriz, eta modu honetan duen
luSamenduak 5 cm. balio du. Lor bedi erresortean zehar gertatzen
dirdh luzerazko uhinen hedatze-abiadura.
gmaltzas 39,6 m/s
Li.- Froga bedi ezen teoriazko 13.7. galderan azterturiko energi
Uhlnak ondoko moduan adieraz daitezkeela:
2 2( 1 1v A r „,- f„, + cos 2 (kx -(0t)] }
Ekuazio honetatik zuzenki atera daiteke batezbesteko balorea.
Nodu berean, froga bedi ezen energi uhinaren frekuentzia des
plazamenduen uhinarena baino bi aldiz handiagoa dela eta, oste-
ra, beraren uhin-luzera desplazamenduaren uhinarena baino bi al
diz txikiagoa.
Grafiko baten bidez adieraz bedi –2
aldiune batetan.t
Emaitza: Zuzenki lortzen da,ondoko baliokidetasuna erabiliz:
cos = 2 cos 2o( - 1
Nola aldatzen da uhin zeharkako baten hedapen-abiadura soka
atetan zehar.
a) Baldin sokaren tentsioa bikoizten bada?
b) Baldin tentsioa erdira aldatzen bada?
c) Nola aldatu behar da sokaren tentsioa, hedapen-abiadura
bi aldiz handiagoa izan dadin?
d) Eta bi aldiz txikiagoa izan dadin?
a) (2." aldiz handiagoa egiten da.
70
b) jr2 aldiz txikiagoa egiten da.
c) 4 aldiz handiagotu behar da.
d) 4 aldlz txikiagotu behar da.
13.- 2 metrotako luzera eta 4 g-tako masa duen soka bat, horlzon
talki mantentzen da, mutur bat finko eduklz eta bestetik 2 kg-ta
ko masa bati eutsiz. Lor bedi, uhin zeharkakoen hedapen-abiadura.
Emaitza: 99 m/s
14.- Alboko irudian, t = 0 aldiu
nean 100 m. luze den soka ba-
ten deformazioa adierazten
da. Sokaren masa 2 Kg da. Es-
kulnetarantz eta 40 m/s abiadu
raz hedatzen dela neurtzen da.
a) Adieraz bedi beraren zeharkako abiadura, u, t = 0 aldiu-
nean, eta lor bedi abiadura horren balore maxlmoa.
b) Lor bedi sokaren tentsioa.
c) Idatz bedi, 5 m-tako uhin-luzeraz eta 0,2 m-tako anplItu-
dez ezkerretarantz hedatzen diren uhin sinusoidalen ekua-
zioa, (x,t), baldin eta aurreko sokaren ezaugarrl berbe
rak edukiz, mugagabea den soka batetan zehar gertatzen ba
dira.
Emaitzak:
a) 4 m/s
b) 32 Nw
c) 0,2 sin x + 16 TT t +(1))
15.- Gomazko hodi baten mutur bat finko dago eta besteak. mutur
71
finko horretatik 5 metrotara
dagoen tx1rrIka batetatik pasa ondoren, 2 Kg-tako karga bati -
euaten dio. Tx1rrIkaren eta mutur finkoaren arteko hodiaren ma
sa 0,6 Xg-takoa da.
a) Lor bedi hodian gertatzen diren uhin zeharkakoen hedatze-
abiadura.
0,1 cm-tako anplitudea eta 0,3 m-tako uhin-luzera duen uhin
harmonIko bat hodlan zehar hedatzen da:
b) Lor bedl, hodiaren edozein puntutan dagoen abiadura zehar
kako maxlmoa.
c) Idatz bedi uhin horren ekuazioa.
Emaltzak:
a) 12,8 m/a
.b) 0,268 m/a
c) 10-3 sin 2 rf ( x - 4,3 t)
Altzairuzko hari baten luzera 2 m. da eta beraren erradioa
0,5 m m. Hari hau'sabaitik zintzflikatzen da.
a) 100 Kg-tako gorputz bat esegitzen bada, zein izango da
hariaren luzamendua.
b) Lor bitez harian barrena gertatzen diren luzerazko uhi-
nen eta uhin zeharkakoen abiadurak, aipaturiko karga ese
gita dagoenean.
ImaItzak:
a) 1,25 x 10-2 m.
b) 5,06 x 10 3 m/s
1,60 x 105 m/s
L luzera eta m masa duen soka bat, muturretatik tinkatu-
72
rik dato T tentsioz. Bere zentruan h distantziaz bultzatzen
da albora eta gero aske uzten da.
a) Zein da hurrengo oszilazioen energia?
b) Zer maiztasunez berragertuko da forma?
Emaitzak:
2 T h2a)
b) ( 2 m L ) 1/2
18.- Lor bedi, soka batetan barrena gertatzen den uhin zeharkako
baten energi fluxua eta froga bedi ezen bateztesteko potentzia
v ( m 2 2 ) dela. (parentesi arteko kantitateak luzera-1
unitateko energia adierazten du).
Oharra: kontutan eduki,indar transbertsala ondoko hau dela
T sin T . Honek denbora-unitatean egiten duen lanaazter daiteke. (Ikus teoriako 13.5. galdera).
19.- 20 m-tako luzera eta 0,06 Kg-tako masa duen soka bat 50 N-eta
ko tentsiopean dago. Sokan barrena ezkerretik eskuinera 200 Hz-
tako maiztasuna eta 1 cm-tako anplitudea duten uhin batzu higi-
tzen dira.
a) Zein da sokako uhinen energia osoa?
b) Zein da sokaren puntu batetatik transmititzen den batez-
besteko potentzia?
Emaitzak:
a) 4,74 J
b) 29,8 W
73
20.- Lor bedi uhin batzuren talde-abiadura (v ), baldin eta fase-
abladurak ondoko dependentzia badu uhin-luzerarekin:
a) Ur sakonetako olatua: v A ›, 1/2 (A gkte)
b) Likido batetako gainazal-uhinak;
v - 1/2
Emaltzak:
a) 1an –7– v
3b) v
21.- Soinu-uhinak airean hedatzean ondoko erlazioa dago w eta k
parametroen artean.
(.4.) R T
M(y, R, T, M, konstanteak)
Lor bitez fase-abiadura eta talde-abiadura.
Uhin dispertsiboak ote dira?
Smaltza: V = V =
Ez da dispertsiorik agertzen.
22.- Soinu-iturri baten frekuentziak 10 3 Hz balio du. Soinu-iturri
hori geldi dago eta airea ere geldi dago. Soinuaren abiadura 340
811/s dela kontaideratzen da. Behatzaile bat 30 m/s-tako abiaduraz
W.gitzen da. Zenbat balio dute behatzaile honek neurtzen dituen
ohinen frekuentziak eta uhin-luzera efektiboak.
a) Iturrira hurbiltzen ari denean.
b) Iturritik urruntzen ari denean.
74
(Oharra: Konpara itzazue emaitzak, 13.8. probleman lortutakoekin).
Emaitzak:
a) 1.088 Hz.
b) 911 Hz.
23.- Tren baten txilibituaren tonua 500 Hz-etakoa da. Lor bodi gel
tokian dagoen pertsona batek entzuten duen soinuaren frekuentzia,
tren hori 72 Km/h abiaduraz higitzen ari bada.
a) hurbilduz.
b) urrunduz.
(Oharra: soinuaren abiadura 340 m/s da).
Emaitzak:
a) 531 Hz.
b) 472 Hz.
24.- Tren bat, airea bare dagoela, 30 m/s abiaduraz higitzen da.
Makinak jotzen duen txilibituaren soinuaren frekuentziak 500 Hz
balio du. Zein izango litzateke geldi dagoen behatzaileak neur-
tuko lukeen soinuaren frekuentzia.
a) Makinaren aurrean?
b) Makinaren atzean?
Zer frekuentzia neurtuko luke 15 m/s -tako adiaduraz higitzen
den beste tren batetan doan bidaiax:4ak baldin
c) Lehenengo trenera hurbiltzen baletor?
d) Lehenengo trenetik urrunduz balihoa?
e) Nola aldatuko lirateke aurreko erantzunak baldin eta lehe
nengo trena higitzen den sentido berean 9 m/s -tako haizea
balebil?
75
Oolnuaren abiaduraren baliotzat 330 mja hartuko dugu.
Otaitzak:
.a)
b)
c)
d)
e)
550 Ez.
458 Ha.
575 Ha.
437 Rz.
548; 457/ 573; 436
76
GA IA
77
INTERAKZIO GRABITATORIOA
•
78
14.1. Lor bedi, edozein partikularen pisua nola aldatuko litaaba,
keen baldin eta:
a) Lurraren erradioa bikoiztuko balitz, maza konstante aaa-tenduz.
b) Lurrarenmaaa bikoiztuko balitz, erradioa konstante Min-
tenduz.
c) Denbora berean Iurraren masa eta erradioa bikoistuko ba
lira.
Ebazpena:
Lehendabizi, lkus dezagun edozein partikularen pieuare ► eteZurraren masa eta erradioaren arteko erlazioa:
P " m g r72- Knon M eta R gure planetaren masa eta erradioa diren.
Hau ikuzi eta gero, automatikoki ebazten dugu problema :
a) M = kte eta R ► 2R
. (2R) 2 1 p, w E
4 4R
b) R = kte eta M-► 2M2M
X --2—
p"
K M--7 2 p' = 2p
c) M 2M eta R —=-2R
2M
(2R) 21
EpK
2
79
‘14.3 Telskonunikabidetako matelite artifisial bat Lurraren in-Alornho orbita zirkularrean ekuatore gainean jarri nahi da. Kein'1,11an beharko du orbitaran erradioak ?.
!baspa ►ae
lera honetako aateliteakberlo neregina bete dezan, beraren luzwarakiko .-jarrera--erlatiboak finkoa Iman behardn, argiro. Beate hitzez esanika eateliteak barraren auadura angeluar berberaz biraogin beharko du. Bonelatan:
a -.92r
r-2—rm a –1.n -n.7- MIllrma
r- r-r,74., 3 R2 \3/ 3 86400 2-41111-
9.8( 6370.10 ) = 90,53. 10 6 m2 /T
14.3, frudiko partikulak pausagune- 2/1te--
tik aakatzen dira, beren arteko -diatantzia r izanik, eta interek- 4rozio grabitatorioaren ondorioz elkarri hurbiltzen zaie. Kalkula -bitezs. ro
a) Bakoitzaren abiadura, banatzen dituen distantziak2balio duen unean.
b) Hasierako puntutik bakoitza ibilitako bidea, aipaturi-kO unerarte.
3 s0•11-
ffl 2fft 2".
r.12
m fft 291 2aa
•.e, r
za
4
Ds
ro
80
Ebazpena:
a) Partikulek sistema iso
laturiko bat osotzen dute
nez gero, momentu lineala
ren kontserbazioaren prin
tzipioa aplika dezakegu,
hau da:
0 = m v1 + 2m 2 1 = -2v2Bestaldetik, higiduraren kausa beren elkarreko interakzio
grabitatorioa baita, eta hau kontserbakorra izanez gero, energia
mekanikoaren kontserbazioa ere aplika dezakegu, hots:
roE (r ) = Ek + Ek + E (-7-)P12 ° 2 P12
_ r ..2m 1 2 1- m v, + - 2m v2 v.-In'2m
2 Iro 2 2 ro
Ekuazio-sistema ebatziz, zera geratzen zaigu:
v = v2 =1
3 ro 3 ro
b) Bi partikulek osoturiko sistema isolatuaren momentu lineala
nulua baita, masa-zentruaren jarrerak finko Iraun behar du, be-
raz:
m D = 2m D1 21 Lehenengo uneD1+D
2= r
oan.
r Bigarren
xl+ x2 =unean.
2
Planteaturiko lau ekuazio-sIstematik hauxe atera dezakegu erraz:
roro
xl = -y- x2 =
/
m(D -x )=2m(D -x )1 1 ' 2 2
14.4,Satelite artifizial batek
lurraren inguruko orbita elie
tiko bat deskribatzen du. Une
batetan, beraren higiduraren -
datu hauk ezagutzen ditugu
(ikus irudia):
to= 2,4 RYt,= 120°
Lor bitez :
a) Satelitearen abiadura handiena eta abiadura txikiena.
b) Orbitaren exzentrikotasuna.
vo 2,4
81
El2Š=La :
a) Lurrak sorturiko indar grabitatorioa zentral eta kontserbako
rra denez, sateliteen higiduran nahiz momentu angeluarrak nahiz
energia mekanikoak konstante diraute, hau da:
.. ...
I Lo=L-p rox mvo =rxmv-..rox vo =rxv (I)
1 mM - 1 r mM._ + E (r ) = Ek+ Ep(r)-. -mv2_ -r - -mv2 - r (II)EKo P ° 2 ' F ro2
r-.non Lurraren zentruarekiko satelitearen posizio-bektorea eta
v satelitearen abiadura diren edozein unetan.
Bestaldetik, satelitearen abiadura handiena eta txikiena,
Iurraren zentruarekiko hurbilen eta urrunen dauden puntuei dago
kie errespektiboki, orbita eliptikoaren erpinei halegia; eta er
pinetan, hain zuzen ere, abiadura eta posizio-bektorea elkarren
perpendikularrak direnez, beren arteko biderkadura bektoriala -
ren balore edo modulua, beraien moduluen arteko biderkadura -
besterik ez da. Hau guztiau kontutan harturik, (I) hkuazioa ho-
nela geratzen zaigu:
rovosen(fo = r v (I)
Ondoren, bai (I) ekuazioan eta bai (II)-ean ere sar ditza-
gun enunttiatuan emandako datuak:
. L = r v (I)y 2,4 2
82
1 y ne4 1 m -r
mMv2 (II)in
2 2,4
r =
2,4R 2
vh=r-01
v
(-=--II) -aR4,8
2-—Y—
2gRv2- v + -111-2,4
0,8
v pSLZtx 7,2 0,9
2
b) Ekuazio-sistema
berberatik, Lurra -
ren zentruarekiko -
distantzia txikiena
eta handiena hauxek
izanen dira:
r = =1,2Rtx vh
rh -3-11r,Fg; =3,6Rvtx
Remendik erraz
lor dezakegu orbita-
ren exzentrikotasuna
(ikus irudia):
•
rtx+rha-rtx rtx rh rtx e - 2
a rtx+rh rtx rh rh+ rtx
14.5- I. Demagun dentsitate lineala duen etengabeko hari zuzen
Bat:
a) Gauss-en teorema baliatuz, aurki bedi espazioko edozein
puntutan hariak sorturiko eremu grabitatorioa.
b) Aurkitutako eremuaren bidez, lor bedi berari dagokion -
potentziale grabitatorioa.
II. A1paturiko hariaren inguruan, m masa duen partikula ba
0,5
--A--4, 41» (I)♦ ♦ ♦r
y
dkr, (2)•
83
tek ibilbide zirkular bat deskribatzen du. Zirkunferenttiaren -
planba hariaren perpendikularra da, eta beraren zentrua hariaren
puntu bat.
c) Brdiets bedi partikularen abiadura.
d) Zer lan egin behar da zirkunferentziaren erradioa biko-
itteko?.
Ebazpena:
I.a) Ezer baino lehen, arrazona-
mendu sinple batez eremuak duen
direktioa ikertuko dugu. Honeta
rako, irudiari begiratuz, har de
• zagun hariaren d m(1) etaAra(2)
bezalako zati elementalen bikote
bat. Elementu honetatik P puntu-
rainoko distantziak berdinak bai
tira, 441 = i42 izanen dugu,-
eta beraz, bektoren hauen haria-
xen paraleloak diren osagaiek
anulatu egingo dute elkar, bekto
reon erresultantea hariaren per-
pendikular geratzen zaigularik.
Hariaren elementuak bikoteka har
turik eta aurreko kontsiderazioak errepikatuz, eremuaren direk-
zioa hariaren perpendikular dela baiezta dezakegu argiro.
Bestaldetik, haria etengabekoa izanik, edozein puntuko ere-
muaren balorea, puntutik harirako distantziaren funtzioa izango
da, irudiaren distantzia adierazgarri hau baino ez baitago.
Hau ikusita, goazen Gauss-
en teorema aplikatzera. Eontsi
dera dezagun irudiko zilindroa
eta kalkula dezagun bera zehar
katzen duen fluxua. Ez gara zi
lindroaren baseez kezkatuko, ha
uetan eremua eta superfiziearen
bektore unitario normala elka-
rren perpendikularrak baitira.
Zilindroaren alde-azalean, -
V = 21,1. Lnft + K
•
84
berriz, aipaturiko bektoreek esoturiko angelua 180°-takoa denez
gero, honela geratuko zaigu:
P.U"' dS =IÍGI cos 180° dS -131. 2 R hGauss-en teoremaren arauera:
= -4//rmT - 5.12 // R h -4/7421 -=151 = 2
Eta bektorialki adieratzita:
r AG- = -2- UR' R
U R- ,haritik eta honen perpendiku-
larra den espazioko edozein puntuta -
rantz orientaturiko bektore unitarioa
delarik (ikus irudia).
b) Eremu eta potentzialaren arteko hain ezaguna den erlazioa era
biliz:
G = -gradA
-2r - U. = -R dR
/dv = 2rAi
Alboko irudian eremua-
ren lerro batzu eta bai gai
nazal ekipotentzial batzu -
ere marraztu dira. Lehenen-
goak haria perpendikularki
ebakitzen duten zuzenak di-
ra eta bigarrenak,haria be-
ren ardatz gisa duten zi
lindroak.
dR
R
11.c) Partikularen gaineko indar grabitatorioa zera izanen da:
F = m G = -2r riR
85
Indarra ibilbidearen per
pendikularra baita, azelera -
zio zentripetua besterik ez -
du eglten, hau da:
... V2 _.a UR
Beraz:
R
_2 -,../P r= m a -2 U.
' R. R -
=2 irrn
d) Aurreko atalean ikusl dugunez, partikularen abiadura eta zir-
kunferentzlaren erradioaren artean ez dago inolako harremanik;
hau dela eta, lehenengo orbitatik bigarrenera pasatzeko, ez dugupartikularen energia zinetikoa aldatu behar. Ikus dezagun, bada,
orbita bakoitzean sistemak duen energia potentziala:
Lehenengd orbitan : E = mV(R) = mPfX(LnR) + K]
Bigarren orbitan : EP • mV(2R) mr2rX(Ln2R) +Beraz egin beharko den lana, hauxe izanen da:
w-- Ep - Ep = 21,,Inaa2
14.6 I. Kontsidera bedi oso hestua den eta gainazal-dentsita -
tea duen xafla bat, hots, geometrian plano deitzen dena, baina
masaduna. Gauss-en teorema erabiliz, aurki bitez xaflak sortzen
dituen eremu eta potentzial grabitatorioa.
II. Aipaturiko xaflatik a distantziara partikula bat aska -
tzen da pausagunetik.
a) Lor bedi partikularen abiadura xaflarekin topo egiten -
duen unean.
b) Xaflarekiko talkaren ondorioz, heltzean zuen abiaduraren
erdiaz errebotatzen du partikulak. Xaflatik zer distantziaraino
urrunduko da?.
86
Ebazpena:
Aurreko probleman ager
turiko arrazonamendu berbe-
rari jarraituz, eremuaren -
direkzioa xaflaren perpendi
kularra dela dakusagu erraz.
Horrez gainera, xaflaren al
de bitzuetan eta honetatik
distantzia berbera, eremuak
balore edo modulu berbera -
eta alderantzizko sentidoa
izan behar dituela uler dai
teke argiro (ikus irudia).
Aldez aurreko kontsi-
derazio hauk eginik, goa -
zen orain Gauss-en teorema
aplikatzera. Honetarako imajina dezagun irudiko zilindroa.Zilin
droaren sortzaileak xaflaren perpendikularrak dira, eta oina --
rriak xaflatik distantzia berberera kokatuta daude.
Zilindrotik zeharkako
fluxua kalkulatzean, ez ga
ra alde-azalaz arduratuko,
zeren bertako eremua eta -
azalaren bektore unitario
normala elkarren perpendi-
kularrak baitira.
Beraz, oinarriak ze -
harkatzen dituen fluxua -
baino ez dugu kalkulatu be
har, hau da:
=) 1›.U;dS + j(G . . 514 ,dS =1/5icos180°dS +)/r/J49 cos180°dS =4 4 4
- = -/mA A = -A05i '+
Sestaldetik4G7=/G'Idela kontutan harturik (gogora bedi -
onarriak xaflarekiko distantzia berbera kokatuta daudela), ze-
ra geratuko zaigu: = - 2A151
•
87
Gauss-en teoremak zera dio:
41/rx‘p -• -2AM1 = -4Rp. A = 2 ft r
Harrigarria badirudi ere, eremuaren baloreak ez du xaflara-
ko distantziarekiko dependentziarik. Halere, ezin dugu esan, es-
pazio osoan eremua uniformea denik
xaflaren alde batean eta bestean -
beraren sentidoa aldatzen baita,
irudian agertzen diren aremu-lerre
ek erakusten duten bezala.
Xaflarekiko eremuak duen sime
tria ikusirik, alde batean, eskui-
nekoan esate baterako, soilik kal-
kulatuko dugu potentziala, beste -
aldean simetrikoa izanen da eta .
Eremu eta potentzialaren arteko erlazioaren bidez:
"MidV) 72oirrtrx= -dx X
idV 2rtrrjdx jV = 2 qpr x +
II.a) Partikularen gainean xaflak eraginiko indarra, indar gra-
bitatorioa alegia, kontsarbakorra denez, energia mekanikoaren
kontserbazioa erabil dezakegu. Honelatan:
E. + E.(x=a) EK+ Ep(x=0)-o
m(2n/ra+1C) = imv2+mIC2
v =
•••n• ‘a 0—•
01
b) Talka ondorengo abiadura, enuntziatuaren arauera, zera -
izanen da :
88
-v-2
Energia mekanikoaren kon --
tserbazioa berrerabiliz :
G"'
tritze •
/st ot
E' + E (x=0) = E"+ E (x=a.)K P K P
mnrra + mK m(2hrra'+K) a,2 ' 4
14.7 Gauss-en teorema dela med1o, aurki bitez esfera homogeneo -
huts batek (oso geruza esferiko hestu batek, ping-pong-eko pilo-
taren batek, adibidez) sorturiko eremu eta potentzial grabitato-
rioa, nahiz esferaren kanpoko nahiz barneko puntuetan.
Ebazpena:
Bitez m eta R esfe
raren masa eta erradioa.
•Alboko irudiari begira-
da batez, eta aurreko -
bi problemetan egindako
simetriazko kontsidera-
zloak gogoratuz, bai -
kanpo-eremuak eta bai -
barne-eremuak direktio
erradiala dutela uler
dezakegu erraz. Edozein
puntutako eremuaren ba-
loreari dagokionez, es-
feraren zentrurako distantziaren funtzioa besterik ez dela onar-
tuko dugu i hau baino beste distantzit adierazgarririk ez baita:
Ondoren imajina ditzagun esfera maaadunarekin zentrukideak
diren bi esfera, bata r? R erradioduna eta bestea r',(R erra -
dioduna. Kalkula dezagun berauetariko bakoitza zeharkatzen
duen fluxua.
111
89
Lehenengoan zehar :
8U1NdS =/4 cos180° dS =
rdidS
Bestaldetik esfera honen pun
tu guztlak 0 puntuarekiko distan-
tzia berberera baitaude,ffildela -
koak balore berbera izan behar du
superfizie osoan. Beraz :
- 4fir 2 GPI
Arrazonamenduaerrepikatuz
zera izanen da bigarren esferaren
zaharkako fluxua . : 941 = 44r'2/5Y
nn(Kasu honetan UN , eta G' bektoreek osotzen duten angelua ez
da 180°- takoa, 0°-takoa baizik; hortik zeinuaren aldaketa).
Orain, Gauss-en teorema aplikatuko dugu:
ftr2ibl= -4qm -n ffil=r2,7,"
-4/tr' 2 1G.1 = 0 iG = 0
(Kontura gaitezen r erra
diodun esferak R erradioduna-
ren masa osoa daukala bere -
barnean; r'erradiodunak, oste
ra, bere barnean ez dauka ma_
sarik).
Hitz laburrez:
r.cR
n}G"edo esferaren barnea
r)R
edo esferaren kanpoan}
OE. -r ur
Ur*0 puntutik espazioko edozein puntutarantz orientaturiko
90
bektore unitarioa izanik (bektore unitario erradiala).Irudian eremuaren lerroak erakusten dira, eta bai eremua --
ren aldakuntzaren lege grafikoa ere.
Bigarren urratsa, hots, potentzialaren lorpena, aurreko bi
problemetan ere erabili dugun erlazioaren bidez ebatziko dugu,
hau da:-grad V
r(R : 0 = -grad V = kte.
m -•r)R : - = - dV
'rr 7dv
‘ v _ r2L, +
r dr r
Inolako beharrik ez bada ere, egin ohi den suposizioa
nen dugu, hau da, esferatiko distantzia infinitura potentziala
nulua dela suposatuko. Honelatan:
r tai 0 = - –+ RaeR= 0
lrm _, m
a-r;:= i v.:-..r ,m,' t'
IIIIIii'.i
ir r.Ri
:
Azkenean,•esferaren bar
neko eta kanpoko puntuei da-
gozkien potentzialaren lege-
ak, honela geratuko zaizkigu:
r
91
ARIRETAR
1.- Saturnoren eraztun baten
-barne-hegalak r2 erradioa du,
eta kanpokoak r2 . Ralkula be-
d1 hegal bioi dagozkien bira-
periodoen arteko diferentzia.
Emaitza:
2 T; - r r2-3T2- T1f1t (i
z r2 ) ;non Rs eta gs SaturnorenRB
erradioa eta bere azalean azelerazio grabitatorioak duen balorea
diren errespektiboki.
2.- Lurretik, satelite bat duen planeta bat behatzen ari da.Planetaren erradioa R da, eta beraren ingaruan sateliteak r --
erradiodun orbita zirkular bat deskribatzen du, periodoa T dela-rik. Lor bitez:
a) Planetaren masa
b) Planataren azalean azelerazio grabitatorioak duen balo -
rea.
Ernai tz ak :
4 n2r3a) r T
2 3)
3.- Satelite artifizial bat Lurraren inguruan higitzen ari da,
Silatgiaren orbitak duen erradioaren laurdeneko ibilbide zirku-
lar batetan. Ralkula bitez:
a) Satelite artifizialak eta Hilargiak lurrarekiko dituz -
ten abiaduren arteko erlazioa.
b) Lurraren inguruan satelite artifizialak deskribatzen
92
duen higiduraren periodoa.
OHARRA: Kontsidera bedi Hilargiaren Lurrarekiko higidura -
zirkularra dela, beraren periodoa 28 egunetakoa de-
larik.
Emaitzak:
a) Satelite artifizialaren abiadura Hilargiarenaren bikoi-
tza da.
b) 3,5 egun.
4.- m masa duen satelite artifizial bat, Lurraren inguruko 2R
erradiodun orbita zirkular batetan
higitzen ari da. Kalkula bedi infi
nituraino aldegin dezan eman behar
zaion energia minimoa.
Emaitza. -MYL2
5.- Kalkula bedi m masa duen suzlri bat Lurraren inguruan 2R --
erradiodun orbita zirkularrean jartzeko behar den energia. Kalku
la bedi, halaber, suziria aipaturiko orbitatik 3R erradiodunera
aldatzeko behar den energia (R lurraren erradioa da).
OHARRA: Kontsidera bedi Zurra erreferentzi sistema inertzi-
altzat (hots, ez bedi kontutan har Zurraren bere ar
datzaren inguruko biraketazko higidura, eta ez eguz
kiaren inguruko translazioa ere) eta arbuia bedi --
'• airearen marruskadura.
Emaitzak:
3mgR mgR
4 12
93
4.- m masa duen satelite
artifizial bat lurraren -
inguruko Ot orbita zirku-
larrean hig1tzen ari da.
Ealkula bitez:
a) 01 orbita zirkularre -
tik 02 orbita eliptikora
eatelitea pasa erazteko
beronek behar duen ener -
gla.
b) 02 orbita eliptikorik
03