Date post: | 11-Nov-2015 |
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1
SISTEMAS LINEALES DE
MULTIPLES VARIABLES Complementos Bases
Matemticas
Alain Gauthier
2
DEFINICIONES DE MATRCICES
Matriz Simtrica
AAT
Matriz Antisimtrica
AAT Para cualquier matriz:
SimtricaAA T
icaAntisimtrAA T Si A es rectangular:
SimtricaBAAT
3
Matriz Ortogonal
TAA 1
Matriz Hermitiana
IAAAA TT Si A es real y no singular:
1det A
AA
TT CCyBBjCBA
11 AA
4
Matriz Hermitiana
jHGA
HAAj
H
GAAG
2
1
2
1
Toda matriz A se puede escribir como:
Donde G y H son matrices hermitianas.
Entonces:
ianaAntihermitAASi
5
Matriz Unidad
AA 1
Matriz Normal
IAAAA
1det A
RealSi
ComplejaSi
AAAAA
AAAAA
TT
6
Lema de Inversin
nmmmmnnn CDBA ,,,
1111111 CABCADBAABDCASi A-1 y D-1 existen.
Si D = 1 =>
BCA
BCAAABCA
1
1111
1
7
Producto Interno
Cualquier regla que asigna un escalar a cada par de
vectores x y y del espacio vectorial se llama producto
interno, se simboliza x,y, y debe satisfacer los siguientes cuatro axiomas:
0xxx
wywxzyzxwzyx
yxyxyx
yxxy
para
ccc
0,.4
,,,,,.3
,,,.2
,,.1
Se definir el producto interno como:
yxyx,
8
Transformacin Unitaria
Si A es unitaria (A-1=A*), entonces:
x,x es invariante bajo la transformacin lineal x=Ay
Si A es ortogonal (A-1=AT), entonces:
x,x es invariante bajo la transformacin lineal x=Ay
Transformacin Ortogonal
Vectores Ortogonales
Si x,y = 0 entonces los vectores x y y son ortogonales entre s.
Normas de Vectores
Generalizacin de la longitud o magnitud de un vector.
Cualquier funcin puede ser definida como una norma si
esta cumple con las siguientes propiedades
9
1 2 1 2 1 2
0, para cada y 0 si y solo si 0
, para cualquier
, para cada y (Desigualdad Triangular)
x x x x
x x
x x x x x x
Normas de Vectores
10
1/
11
22
21
1/
1
norma-1
norma-2 norma Eu
:
: '
: max
clideana
norma-infinito
: norm a-p
n
i
i
n
i
i
i
pn
p
ipi
x x
x x x x
x x
x x
Normas de Matrices
Donde se denota sup como el supremo o limite superior.
Esta norma se conoce como norma inducida.
11
0 1
Sea una matriz . Su norma puede definirse como:
sup sup
mxn
x x
A
AxA Ax
x
Normas de Matrices
12
1
11
2
/2
1
max
valor singular mas grande de
valor propio mas g
nor
rande de '
max
ma 1
norma 2
m
jij
n
ii
i
j
j
mayor suma por columnasa
a mayor suma
A
A A
A A
A norma por filas
Ortonormalizacin
Un vector x se dice est normalizado si su norma
Euclideana es igual a 1
13
1 1T x x x
Dos vectores x1 y x2 son ortogonales si
1 2 2 1 0T T x x x x
Un conjunto de vectores xi i=1, 2, .. m es ortonormal si
0 si
1 si
T
i j
i j
i j
x x
Ortonormalizacin Dado un conjunto de m vectores Linealmente Independientes
14
1 2, ,..., me e e e
2 2 2 2 2
1 1 1 1
1
1
1
1 2 1
: : /
: : /
: : /
T
mT
m m k m k m m m
k
u e q u u
u e q e q q u u
u e q e q q u u
Proyeccin de e2 sobre q1
Procedimiento de Ortonormalizacin de
Schmidt
Ortonormalizacin
15
Si es una mtriz con . Si las columnas de son ortonormales
entonces
nxm m nB B
T
mBB I
generalmente se tiene que
m
T B B I
Los vectores q van a formar el conjunto ortonormal de l conjunto de
vectores original
Operaciones Matriciales
Derivadas
16
Diferenciacin de una Matriz
Derivadas de una funcin escalar respecto a
un vector
17
Si J(x) es una funcin escalar de un vector x se tiene
Hessiana
Derivadas de una funcin escalar respecto a
un vector
18
Asimismo, para una funcin escalar V(x(t))
JACOBIANO
19
Sea f(x) un vector m x 1 de funcin de un vector x de
dimensin n x 1
20
Se tiene que
Si A es simtrica
21
Formas Cuadrticas
Sea A una matriz simtrica, se denomina forma cuadrtica a:
n
i
n
j
jiij
T xxaA1 1
xx
Observe que xTAx es una cantidad escalar real.
Sea A una matriz hermitiana, se denomina forma cuadrtica
compleja o forma Hermtica a:
n
i
n
j
jiij xxaA1 1
xx
Observe que x*Ax es una cantidad escalar real.
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Formas Bilineales Sea A una matriz real de nxm, un vector x de dimensin n y
un vector y de dimensin m, se denomina forma bilineal a:
n
i
m
j
jiij
T yxaA1 1
yx
Observe que xTAy es una cantidad escalar real.
Sea A una matriz compleja de nxm, vectores complejos x y y
de dimensin n y m, respectivamente, se denomina forma
bilineal compleja a:
n
i
m
j
jiij yxaA1 1
yx
Observe que x*Ay es una cantidad escalar complejo.
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Definida Positiva 0xxxxx para)0(0 AAT
Semidefinida Positiva 0xxxxx para)0(0 AAT
Definida Negativa
0xxxxx para)0(0 AAT
Semidefinida Negativa
0xxxxx para)0(0 AAT
Si no se dice Indefinida
Lo mismo se dice de A
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Criterio de Sylvester para la definicin positiva
0,,0,0,0
333231
232221
131211
2221
1212
11 A
aaa
aaa
aaa
aa
aaa
Criterio de Sylvester para la definicin negativa
)imparn(0
)parn(0
,,0,0,0
333231
232221
131211
2221
1212
11
A
A
aaa
aaa
aaa
aa
aaa
Menores principales sucesivos mayores a cero y det(A) mayor a cero
Menores principales sucesivos de orden par mayores a cero, de orden
impar menores a cero y det(A) mayor a cero
25
Criterio de Sylvester para la semidefinicin
positiva o negativa
Los criterios son iguales a los de Definicin pero
las relaciones son de mayor o igual que () o
menor o igual que (), segn el caso. Y el
determinante de A debe ser cero, es decir A es
singular.
Adems las desigualdades se verifican para todos
los menores principales y no slo para los
sucesivos.
Singular Value Decomposition (SVD)
Nos permite determinar el Rango de una Matriz (diferente al
mtodo de Reduccin de Gauss) con mejor fiabilidad de los
resultados cuando la precisin numrica juega un papel
importante.
26
Para una matriz , con rango existe
, y que son ortogonales y
cumplen con y tal que:
mxn
mxm nxn mxn
T T
m n
n
A A
V U
V V I U U I
T A U V
Las columnas de U son los vectores propios ortonormales de AAT
y las columnas de V son los vectores propios ortonormales de ATA
Singular Value Decomposition (SVD)
27
( )
( ) ( ) ( )
2
1
0
0 0
n R x n R
m R xn m R x n R
n
n
1 2 0
donde son los valores singulares de A.
n
i
El rango de la matriz A es igual al nmero de valores singulares
diferentes de cero
Singular Value Decomposition (SVD)
28
1 2
1
1
2 ( )
2
base ortonormal para ( )
base ortonormal para ( )
base ortonormal para ( )
base ortonormal para ( )
T
n n R
nxR
T
nxR
n nxR
V V V
V R A
V N A
U
U R A
U N A
Si entonces los valores singulares pueden ser obtenidos
( )
en donde
de la forma
son los valores propios )de (
nxn i
T
i i
T
i
A
A
A
A A
29
Pseudoinversas
Son tiles para encontrar una solucin a un conjunto de
ecuaciones algebraicas en el cual el nmero de incgnitas y
el nmero de ecuaciones lineales independientes no es
igual.
Las pseudoinversas permiten determinar soluciones que
minimizan alguna norma.
mn
A
A
nmmn
11 ,, bx
bx
30
Pseudoinversa Derecha
nm
A
A
nmmn
11 ,, bx
bx
1donde
TTRM
RM
AAAA
A bx
nmesARM
.mnimanormaconsolucinlaes
,normalaminimiza
xx
x
RMA
31
Pseudoinversa Izquierda
mn
A
A
nmmn
11 ,, bx
bx
TTLMLM
AAAA
A
1donde
bx
nmesALM
.mnimanormaconsolucinlaes
,normalaminimiza
bxx
bx
A
AALM
Puede no existir solucin