Date post: | 02-Nov-2015 |
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Ecuaciones Diferenciales Especiales
Ecuacin de Bessel de orden v (1) donde 0, y = 0 es un punto singular regular de (1). Las soluciones de (1) se llaman funciones de Bessel.
Ecuacin de Lengendre de orden n (2) donde n es un entero no negativo, y = 0 es un punto ordinario de (2). Las soluciones de (2) se llaman funciones de Legendre.
0)( 222 yvxyxyx
0)1(2)1( 2 ynnyxyx
Friedrich Wilhelm Bessel
(22 de julio, 1784 - 17 de marzo, 1846) fue un matemtico alemn, astrnomo, y sistematizador de las funciones de Bessel(las cuales, a pesar de su nombre, fueron descubiertas por Daniel Bernoulli).
Naci en Minden, Westfalia y muri de cncer en Knigsberg (ahora Kaliningrado, Rusia).
Bessel fue un contemporneo de Carl Gauss, que tambin era matemtico y astrnomo.
Era hijo de una criada.
Su trabajo tan concienzudo llam la atencin de una de las mayores figuras de la astronoma alemana, Heinrich Wilhelm Olbers, por precisar los clculos de la rbita del cometa1P/Halley.
La Solucin de la Ecuacin de Bessel
= 0 es un punto singular regular, sabemos que existe al menos una solucin de la forma . Entonces de (1), (3)
0n
rnnxcy
0
2
1
22220
0
22
1
220
00
22
00
222
])[()(
])()1)([()(
)()1)((
)(
n
nn
r
n
nn
rr
n
nn
rn
n
nrr
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
xcxxvrncxxvrc
xcxxvrnrnrncxxvrrrc
xcvxcxrncxrnrnc
yvxyxyx
De (3) tenemos la ecuacin indicial 2 2 = 0, 1 = , 2 = . Cuando = , tenemos (1 + 2)1 = 0
( + 2)( + 2 + 2)+ 2 +
= 0 (4) La eleccin de 1 = 0 implica 3 = 5 = 7 = = 0, as que para k = 0, 2, 4, ., expresando + 2 = 2, = 1, 2, 3, , tenemos (5)
,2,1,0,)22)(2(
2
k
vkk
cc kk
)(2222
2vnn
cc nn
Volver
Diapositiva 9
As (6)
,3,2,1,)()2)(1(!2
)1(
)3)(2)(1(3212)3(32
)2)(1(212)2(22
)1(12
20
2
60
24
6
40
22
4
20
2
nvnvvn
cc
vvv
c
v
cc
vv
c
v
cc
v
cc
n
n
n
Hacia la 8
Elegimos c0 como valor especfico donde (1 + ) es la funcin gamma.
Hay una relacin importante: (1 + ) = ()
)1(2
10
vc
v
As que podemos reducir el denominador de (6):
De ah que podemos poner (6) como
,...2,1,0,)1(!2
)1(22
n
nvnc
vn
n
n
)1()1)(2()2()2()21(
)1()1()11(
vvvvvv
vvv
Hacia la 6
La solucin sera:
Reemplazando lo datos de 5
0n
rnnxcy
....443
3
2
2
1
100
vvvvvnvn
n xcxcxcxcxcxcy
....443
3
2
2
1
100
vvvvvnvn
n xcxcxcxcxcxcy
0
2
2
4
4
2
200....
n
vn
n
vvv
n
vn
n xcxcxcxcxcy
Hacia la 5
O sea
0
2
0
2
2
2)1(!
)1(
)1(!2
)1(
n
vnn
n
vn
vn
n
x
nvny
xnvn
y
Funciones de Bessel de Primera Clase
Podemos definir () mediante (7) y de forma similar para = se llega a: (8) En otras palabras, la solucin general de (1) en (0, ) es y = c1Jv(x) + c2J-v(x), v entero (9)
Fig 1
0
2
2)1(!
)1()(
n
vnn
v
x
nvnxJ
0
2
2)1(!
)1()(
n
vnn
v
x
nvnxJ
Graficas de algunas funciones de Bessel Fig 1
Ejemplo 1
Considere la ED Hallamos = , y la solucin general en (0,) es:
0)1/4('" 22 yxxyyx
)()( 1/221/21 xJcxJcy
Funciones de Bessel de Segunda Clase
Si v entero, entonces (10) y la funcin Jv(x) son soluciones linealmente independientes de (1). Otra solucin de (1) es y = c1Jv(x) + c2Yv(x).
Como v m, m un entero, (10) tiene la forma 0/0. De la regla de LHopital, la funcin y Jv(x) soluciones linealmente independientes de
v
xJxJvxY vvv
sin
)()(cos)(
)(lim)( xYxY vmv
m
0)('" 222 ymxxyyx
De ah que para cada valor de v, la solucin general de (1) es (11) Yv(x) se llama funcin de Bessel de segunda clase de orden v. Fig 2 ilustra y0(x) y y1(x).
)()( 21 xYcxJcy vv
Fig 2
Ejemplo 2
Considere la ED Hallamos v = 3, y de (11) la solucin general en (0, ) es
0)9('" 22 yxxyyx
)()( 3231 xYcxJcy
Propiedades
(1)
(2)
(3)
(4)
)()1()( xJxJ mm
m
)()1()( xJxJ mm
m
0,1
0,0)0(
m
mJm
)(lim 0 xYmx
Ejemplo 5
Obtener la frmula
Solucin De la ecuacin (7) se deduce
1
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2)1(!
)1(2
2)1(!
)1()(
2)1(!
)1(2
2)1(!
)1()(
2)1(!
)2()1()(
n
vnn
n
vnn
v
n
vnn
n
vnn
v
n
vnn
v
x
nvn
nx
nvnvxJx
x
nvn
nx
nvnvxJx
x
nvn
vnxJx
sumatoria segunada la de termino primer el oExpandiend
)()()(' 1 xxJxvJxxJ vvv
)()()(
2)2()!(
)1()()(
2)11()!11(
)1(
221)()(
22)11()!)(1(
1)1()1(2)()(
2)11(!1
1)1(2
2)1(!
)1()(
1
1
11
12
1
11
12
0
12
1
11
121
0
2
xxJxvJxJx
x
nvnxxvJxJx
x
nvn
xxvJxJx
xx
nvnn
nxvJxJx
x
nvn
nx
nvnvxJx
vvv
n
vnn
vv
n
vnn
vv
n
vnn
vv
n
vnn
n
vnn
v
0 en sumatoria la doInicilizan
1
2
0
2
2)1(!
)1(2
2)1(!
)1()(
n
vnn
n
vnn
v
x
nvn
nx
nvnvxJx
El resultado del ejemplo 5 puede escribirse como que es una ED lineal en Jv(x). Multiplicando ambos lados por el factor de integracin x-v, se obtiene
)()()( 1 xJxJx
vxJ vvv
)()]([ 1 xJxxJxdx
dv
vv
v
Tarea:
Siguiendo un proceso similar al anterior demostrar que:
)()]([ 1 xJxxJxdx
dv
v
v
v
EDs Solubles en Trminos de Funciones de Bessel
Sea t = x, > 0, en (12) entonces por la regla de la cadena,
0)( 2222 yvxyxyx
dt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy
2
22
2
2
dt
yd
dx
dt
dx
dy
dt
d
dx
yd
As, (12) pasa a ser La solucin de la anterior ED es y = c1Jv(t) + c2Yv(t) Sea t = x, tenemos y = c1Jv(x) + c2Yv(x) (13)
0
0
22
2
22
22
2
22
2
yvtdt
dyt
dt
ydt
yvtdt
dyt
dt
ydt
Funciones de Bessel Esfricas
Cuando el orden v es la mitad de un entero impar, esto es, 1/2, 3/2, 5/2, .. La funcin de Bessel de primera clase Jv(x) puede expresarse como funcin de Bessel esfrica : Como (1 + ) = () y (1/2) = , entonces
0
2/12
2/12)2/11(!
)1()(
n
nn x
nnxJ
!2
)!12(
2
11
12 n
nn
n
(24) cos2
)(
(23) sin2
)(
2/1
2/1
xx
xJ
xx
xJ
Demostrar que
)(2
)(
)!12(
!)1(2)(
22!)!12(
!2)1()(
2
!2
)!12(!
)1()(
2
!2
)!12(!
)1()(
2/1
0
12
2/1
2
1
12
2
1
0
1212
2/1
0
2/112
12
2/1
0
2/12
12
2/1
xsenx
xJ
xn
n
xxJ
xx
nn
nxJ
x
n
nn
xJ
x
n
nn
xJ
n
nn
nn
nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
Demostrar:
Se demostr que
Equivalente a:
Derivando
xx
xJ cos2
)(2/1
)(2
)(2/1 xsenx
xJ
)(2
)(2/1 xsenxJx
)(
2)(2/1 xsen
dx
dxJx
dx
d
Luego: por propiedad
con =1
2
)cos(2
)(
)cos(2
)(
)(2
)(
2/1
12
12
1
2/1
xx
xJ
xxJx
xsendx
dxJx
dx
d
)()]([ 1 xJxxJxdx
dv
v
v
v
Resolver la ED 42 + 4 + 1002 9 = 0
Resolver la ED 92 + 9 + 364 16 = 0
La Solucin de Ecuacin de Legendre
Como x = 0 es un punto ordinario de (2), usamos Despus de sustituir y simplificar, obtenemos o en las formas siguientes:
0n
nnxcy
0)1)(()1)(2(
06)2)(1(
02)1(
2
31
20
jj cjnjncjj
ccnn
ccnn
Usando (25), para al menos |x| < 1, obtenemos
6
4201
!6
)5)(3)(1()2)(4(
!4
)3)(1()2(
!2
)1(1)(
xnnnnnn
xnnnn
xnn
cxy
(25) ,4,3,2,)1)(2(
)1)((
!3
)2)(1(
!2
)1(
2
13
02
jcjj
jnjnc
cnn
c
cnn
c
jj
Observaciones: Si n es un entero par, la primera serie termina, mientras que y2 es una serie infinita. Si n es un entero impar, la serie y2 termina con xn.
(26) !7
)6)(4)(2)(1)(3)(5(
!5
)4)(2)(1)(3(
!3
)2)(1()(
7
5312
xnnnnnn
xnnnn
xnn
xcxy
Polinomios de Legendre
Los siguientes polinomios de orden n son polinomios de Legendre: (27)
)157063(8
1)(),33035(
8
1)(
3)5(2
1)(),13(
2
1)(
)(,1)(
355
24
33
22
10
xxxxPxxxP
xxxPxxP
xxPxP
Son a su vez soluciones particulares de las EDs. (28)
Fig 5.5
0122)1(:3
062)1(:2
022)1(:1
02)1(:0
2
2
2
2
yyxyxn
yyxyxn
yyxyxn
yxyxn
Fig 5.5
Propiedades
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
)()1()( xPxP nn
n
1)1( nP
nnP )1()1(
impar ,0)0( nPn
par ,0)0(' nP n
Relacin de Recurrencia
Sin comprobacin, tenemos (29) que es vlida para k = 1, 2, 3, Otra frmula puede generar los polinomios de Legendre por diferenciacin. La frmula de Rodrigues para estos polinomios es: (30)
0)()()12()()1( 11 xkPxxPkxPk kkk
... ,2 ,1 ,0 ,)1(!2
1)( 2 nx
dx
d
nxP n
n
n
nn