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Mini-curso introductorio de nivelación
(Revisión de contenidos)
CARRERA DE MEDICINA
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PATAGONIA SAN JUAN BOSCO
Cátedra de Biofísica
www.biofisicafcn.wordpress.com
2019
BIOFISICA
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El minicurso consta de 4 clases teórico-prácticas de 3 hs de duración.
Los temas y ejercicios que se presentan a continuación están seleccionados en función de los
inconvenientes detectados en los alumnos ingresantes al primer año de la carrera de Medicina
de la UNPSJB, particularmente en la materia Biofisica. Como podrá observarse, los conceptos son
esencialmente correspondientes a matemáticas. Manejo de ecuaciones, pasajes de términos,
unidades, transformacion de unidades, notacion cientifica, manejo de ordenes de magnitud,
construcción de gráficos y obtención de informacion desde gráficos son temas transversales en la
materia y por lo tanto es necesario un manejo muy fluido de los mismos al comenzar a cursar
Biofísica
Los ejercicios estan orientados para que el estudiante practique estos temas hasta alcanzar la
fluidez necesaria de modo que, durante la cursada de Biofisica, pueda concentrarse únicamente
en la adquisicion de nuevos conceptos propios de la materia. Es de esperar entonces que este
mini-curso le suministre la base útil para que pueda entrenarse en el razonamiento que le
permitirá enfrentar con éxito las situaciones problemáticas que le presentará no solo Biofísica,
sino tambien distintas materias de la carrera. La guia tambien incluye una breve introducción con
algunos conceptos que ayudarán a resolver los ejercicios.
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Breve (“refresca-memoria”) para resolver los ejercicios de la guía.
Unidades Una unidad representa un patrón de una magnitud física a los fines de la comparación para cualquier medida. Por ejemplo, para medir longitudes tenemos el metro, m, el kilómetro, km, el centímetro, cm, el milímetro, mm, la pulgada, la milla, el año luz, entre otras. El Sistema Internacional de Unidades (SI) reúne, estandariza y oficializa las unidades para todas las magnitudes que son de uso obligatorio en ciencias. Se usarán unidades a lo largo de toda la cursada, por eso es fundamental que adquieran fluidez en su manejo, logrando que puedan convertir fácilmente unas unidades en otras y que manejen las operaciones matemáticas para realizarlas correctamente. Se utilizan al menos tres herramientas Hay al menos tres métodos para realizar pasajes de unidades:
1- Regla de 3 simple. 2- Equivalencias de unidades 3- Factores de conversión La conversión de unidades consiste en transformar una cantidad, expresada en una cierta unidad de medida, en otra equivalente, que puede ser del mismo sistema de unidades o no. Este proceso generalmente se realiza aplicando factores de conversión y/o tablas de conversión. Frecuentemente basta con multiplicar por un factor de conversión para obtener el resultado en otra medida equivalente, en la que han cambiado las unidades. Cuando el cambio de unidades implica la transformación de varias unidades se pueden aplicar varios factores de conversión uno tras otro, de forma que el resultado final será la medida equivalente en las unidades que deseamos.
El factor de conversión se aplica para hacer cambios de unidades de la misma magnitud o para calcular la equivalencia entre los múltiplos y submúltiplos de una determinada unidad de medida. Por ejemplo para pasar 30 cm a m:
Para pasar 120 km/h a m/s:
Notación científica
La notación científica es una manera práctica y cómoda para escribir números muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo: Doscientos treinta y nueve mil billones: 239.000.000.000.000.000 = 2,39 x 1017 Trescientos sesenta y seis billonésimos: 0,000.000.000.366 = 3,66 x 10-12 Para expresar un número en notación científica se lo escribe de la siguiente forma: N 10n donde N es un número real de UNA sola cifra entera distinta de cero y n es un número entero. La notación científica permite observar rápidamente el orden de magnitud de una cantidad
por medio del exponente n. Por ejemplo: Edad de la Tierra: 4.000.000.000 años = 4 109 años. Diámetro del núcleo de un átomo: 0,000.000.000.000.003 m = 3 10-15m
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Operaciones con potencias
Para multiplicar números se multiplican primero las cifras significativas y luego se suman algebraicamente los exponentes. Si es necesario, se ajusta la coma al final. Por ejemplo:
3,2 x 105 x 4,1 x 107 = (3,2 x 4,1) 105 x 107 = 13,12 x 1012 = 1,321 x 1013
Para dividir se opera análogamente, sólo que los exponentes deben restarse. Por ejemplo:
3,2 x 105 = 3,2 x 105 = 0,78 x 10-2 = 7,8 x 10-3 4,1 x 107 4,1 x 107
Para elevar un número a una potencia determinada se elevan a esta potencia las cifras significativas y se
multiplican los exponentes de 10 por el exponente de la potencia. Por ejemplo:
(4 x 105)3 = 43 x (105)3 = (4 x 4 x 4) x (105 x 105 x 105) = 64 x 1015 = 6,4 x 1016
Aumentos o disminuciones porcentuales Aumentos porcentuales Para calcular el aumento porcentual de una cantidad se puede calcular el porcentaje de aumento de esa cantidad y luego sumarlo a la cantidad inicial o utilizar un índice de variación. Por ejemplo: Un libro que cuesta $200 aumenta su precio un 15%, ¿Cuál es su nuevo valor? Primero calculamos el 15% de $ 200, usando regla de 3 simple: 100% ________ $200 15% ________ X donde x = 15% x $200 / 100% = $30 Se obtiene el mismo resultado al multiplicar $200 por el porcentaje expresado en forma decimal:
$200 x 0,15 = $30. El aumento porcentual corresponde a $30. Luego se suma este valor al precio inicial: $200 + $30 = $230. Por lo tanto, el precio final del libro es $230. Una forma más sencilla es utilizar el índice de variación (Iv), que es igual a 1 más el aumento porcentual expresado en forma decimal (% / 100):
Iv = 1 + %
100 Entonces para el problema anterior, un 15% corresponde a 0,15 en forma decimal. Se calcula el índice de variación sumando a 1 el aumento porcentual en forma decimal:
1 + 0,15 = 1,15
Y luego se multiplica directamente el precio inicial por el índice de variación: $200 x 1,15 =$230. Entonces, si el precio del libro aumenta un 15% significa que su valor final es 115% del total, y un 115% corresponde a 1,15 en forma decimal. Disminuciones porcentuales
Un porcentaje de descuento en un valor es lo mismo que una disminución porcentual. Para calcular la disminución porcentual de una cantidad se puede calcular el porcentaje de disminución de esa cantidad y luego restarlo a la cantidad inicial, o se pueden utilizar índices de variación. El índice de variación en una disminución porcentual es igual a 1 menos el aumento porcentual expresado en forma decimal.
Iv = 1 - % 100
Por ejemplo, si se desea conocer cuál es el valor final de un libro que tiene un descuento del 20% y actualmente cuesta $300, se calcula el índice de variación restando a 1 la disminución porcentual en forma decimal:
1 – 0,2 =0,8
Luego se multiplica directamente el valor inicial por el índice de variación: $300 x 0,8 =$ 240. Entonces si desciende un 20%, quiere decir que su valor final es un 80% del total y un 80% corresponde a 0,8 en forma decimal. ¿Cómo calcular la cantidad inicial conociendo el aumento porcentual y la cantidad final? Se puede dar el caso de que conozcamos el porcentaje de aumento y la cantidad final y nos pregunten sobre la cantidad inicial. Por ejemplo, un artículo vale 250 pesos después que su precio subió un 20%. ¿Cuál era el precio inicial? Se sabe que si a una cantidad inicial (Cinicial) se la multiplica por el índice de variación se obtiene como resultado la cantidad final (Cfinal):
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Cinicial x Iv = Cfinal
En este caso, no se conoce la cantidad inicial (Cinicial), el índice de variación es 1,20 (1 más el 20% en forma
decimal) y la cantidad final es 250. Sólo hay que despejar Cinicial: Cinicial . 1,20 = $ 250 Cinicial = 250/1,20 = $ 208,33
Fracciones Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que se representa de la siguiente forma:
a o a/b o a:b cuando b # 0 b
a es el numerador e indica el número de unidades fraccionarias elegidas. B es el denominador e indica el número de partes en que se ha dividido la unidad. Suma y resta de fracciones Si las fracciones que se van a sumar o restar tienen el mismo denominador, el denominador de la suma sigue siendo el mismo y simplemente sumamos o restamos el numerador. Por ejemplo:
7 + 10 = 17 10 10 10
Si el denominador es diferente, como en el siguiente ejemplo:
11 + 2 = 53
10 3 30
Si los denominadores no tienen divisores comunes, se multiplican entre ellos y el producto será el denominador del resultado de la operación. Para calcular el numerador se multiplica el numerador de un término por el denominador del otro término y luego se suman los resultados (11 x 3 = 33 y 10 x 2 = 20, y sumar los resultados, 33 + 20 = 53). Otra forma de sumar o restar fracciones es explicada gráficamente:
Multiplicación y división de fracciones El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, y cuyo denominador es el producto de los denominadores. Es preferible reducir las fracciones en el caso en que sea posible. Si hay fracciones negativas es necesario tener en cuenta sus signos y aplicar la misma regla que para los números enteros: la multiplicación de dos términos de signos iguales dá resultado de signo positivo, y la de términos de signos distintos, resultado negativo.
5 x 2 = (5 _x_2) = 10_
3 7 (3 x 7) 21
En la división de fracciones se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda y el resultado se escribe en el denominador de la solución.
5 ÷ 2 = (5 x 7) = 35 3 7 (3 x 2) 6
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Trigonometría Las razones trigonométricas son relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo y sólo dependen de los ángulos de éste. Las razones trigonométricas básicas son tres: seno, coseno y tangente. Por ejemplo, el seno de un ángulo es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Estas relaciones vas a utilizarlas en muchos de los prácticos de biofísica, por lo cual es sumamente necesario que las sepas manejar con
fluidez.
Vectores
a
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Se llama vector al segmento (orientado) que representa a una magnitud que, para estar unívocamente determinada, necesita de módulo (medida), dirección y sentido. Por ejemplo, si elegimos dos puntos sobre la recta a los que llamamos A y B, siendo A el origen y B es el extremo (hacia dónde apunta la flecha), tenemos un segmento orientado, el vector, y lo llamaremos AB. Este tiene una magnitud (módulo), dada por la longitud del segmento, una dirección (dada por la recta) y un sentido (dado por la flecha). Suma de vectores Para sumar vectores, tendremos en cuenta su módulo (su longitud), su dirección, y su sentido. Existen
diferentes casos: Suma de dos vectores de idéntica dirección (paralelos) y
sentido.
Lo que se hace es colocar a los vectores en la misma recta, uno a continuación del otro. Se suma el valor de los segmentos y se calcula así la resultante (R). Si el vector de arriba tuviera un módulo de 3 y el vector de abajo 4, el módulo resultante sería simplemente la
suma de los dos, con un valor de 7.
Suma de dos vectores de idéntica dirección (paralelos) pero de sentido contrario.
En este caso, colocamos a los vectores uno debajo del otro y
trazamos como resultante a la diferencia entre un vector y el otro.
El sentido estará dado por el vector de mayor módulo.
Suma de vectores que no tienen la misma dirección:
Para resolver estos casos, lo que se hace es descomponer al vector en sus componentes
en los ejes x e y. Por ejemplo si queremos sumar dos fuerzas como se muestra en el
gráfico (una apunta hacia arriba y la otra hacia abajo).
Vamos a descomponer a cada una de ellas en sus componentes en los ejes x e y, es decir que vamos a ubicar
a los vectores en un sistema de ejes cartesianos:
Luego, procedemos a sumar los componentes en y, y en x, de la misma forma que
para los dos primeros ejemplos:
Una vez obtenidas las resultantes en x (R(x)) y en y (R(y)), lo que hacemos
es colocarlas de forma ortogonal, y sacamos la resultante final:
Despeje de ecuaciones Para resolver los problemas de la Guía de Biofísica se requiere tener un excelente manejo del despeje de ecuaciones. Es necesario recordar algunos conceptos que seguramente se adquirieron en la secundaria y que podemos recordar con las siguientes expresiones: 1 – “Lo que está sumando pasa restando” 2 – “Lo que está restando pasa sumando” 3 – “Lo que está multiplicando pasa dividiendo”
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4 – “Lo que está dividiendo pasa multiplicando”
5 – “Lo que está como potencia pasa como raíz” 6 – “Lo que está como raíz pasa como potencia” Siempre hay que ser cuidadoso en qué término se pasa primero al otro miembro de la ecuación. Como regla general, cuánto más directamente afecte un número a una variable incógnita (A, B, X, Y o cualquier otra) más se tardará en pasar dicho número al otro lado (“miembro”) de la ecuación. Por ejemplo, primero se pasan las sumas y restas, y luego lo que multiplica o divide directamente a la variable incógnita, y por último las potencias o las raíces. Despejar una variable incógnita significa que esa variable incógnita quede sola a alguno de los dos lados del signo igual. Ejemplo:
3 . (2x + 5)2 = 30 El 3 multiplica a (2x + 5)2, luego el cuadrado afecta a (2x +5), el 5 suma a 2x y el 2 sólo afecta a la x. Por lo tanto, lo último que se pasará al otro lado del signo igual será el 2. Primero pasa el 3 dividiendo: Luego el cuadrado pasa como raíz:
Después, el 5 pasa restando: Y finalmente el 2 pasa dividiendo:
Tener en cuenta que cada número que pasa afecta a todos los números que estaban a la derecha del signo.
Funciones Conceptos generales
Una función de A en B es una relación que asocia a CADA
ELEMENTO x del conjunto A UNO Y SOLO UN elemento y del
conjunto B, llamado su imagen.
En una función hay una relación de dependencia entre variables.
Si y es igual a f(x), significa que y depende de la elección de x, que
es la variable dependiente. Como la elección de x es
independiente de y, entonces x es la variable independiente.
Las relaciones entre dos variables, por ejemplo entre x e y, pueden
representarse mediante tablas, gráficos o ecuaciones. Las funciones
que con mayor frecuencia vamos a aplicar durante el curso de
Biofísica son la función lineal, la cuadrática y la logarítmica.
Función lineal La función lineal puede considerarse la relación más sencilla que se puede
encontrar entre dos variables. Se llama lineal porque su representación gráfica
es una línea recta.
Matemáticamente la función lineal se escribe como: f(x)= y = mx + b
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donde “m” es un número que representa la pendiente de la recta, y “b” la ordenada al origen (es decir, el
valor de y cuando x = 0).
Para calcular m, se interpolan dos puntos cualesquiera del gráfico que caigan sobre la recta. Por ejemplo se
eligen x1 y x2, luego se determinan los valores que les corresponden en y, que serían y1, y2
De este modo, se calcula m como Δy/ Δx = (y2 - y1)/ (x2 – x1)
La inclinación de cada recta está directamente relacionada con el signo de su pendiente. En el siguiente
cuadro se clasifican las funciones lineales según el valor de la pendiente:
La pendiente de una recta está asociada con el ángulo de inclinación: ángulo que queda determinado entre la recta y el eje positivo de las abscisas. Éste ángulo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj (sentido anti horario), a partir de la dirección positiva del eje de las abscisas (comprendido entre 0° y 180°). De este modo, la pendiente de una recta también se puede determinar en términos de su ángulo de inclinación, teniendo en cuanta una de las razones
trigonométricas:
Hipotenusa es = cateto opuesto = y2-y1 cateto adyacente x2 –x1.
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Una ecuación lineal con dos incógnitas x e y es una expresión de la forma a.x + b.y = c, donde a, b, c pertenecen a los números reales, además a y b son diferentes de cero. La representación gráfica de la
ecuación es una recta. Los puntos que pertenecen a la recta verifican la ecuación y por lo tanto son las soluciones de la misma.
Un sistema de dos ecuaciones lineales con incógnitas x e y, también llamado ecuaciones simultáneas
de dos por dos es de la forma: a1. x + b1. y = c1
a2. x + b2. y = c2
donde a1, a2, b1, b2, c1, c2 son números reales, y en cada una de las ecuaciones, por lo menos uno de los
coeficientes de las incógnitas es diferente de cero. Para indicar que varias ecuaciones forman un sistema, se
abarca el conjunto de todas ellas con una llave.
El sistema es representado geométricamente por dos rectas en el plano. Por lo tanto, la solución de un
sistema es el conjunto de puntos que ambas rectas tienen en común.
Resolver analíticamente un sistema de este tipo es encontrar, si existen, los pares de números reales x e y
que satisfacen ambas ecuaciones.
Existen varios métodos analíticos que permiten resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. La
elección de un método u otro dependerá de cómo está planteado el sistema original. Independientemente del
método que se elija siempre el resultado obtenido es el mismo.
Método de sustitución
Para resolver un sistema utilizando el método de sustitución se pueden seguir los siguientes pasos:
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1. Elegir una de las ecuaciones y despejar de ella una de las incógnitas (cualquiera).
2. Sustituir la expresión obtenida en el paso 1 en la otra ecuación del sistema (recuerdar usar paréntesis
cuando se realiza la sustitución). Queda planteada una ecuación con una sola incógnita.
3. Resolver la nueva ecuación obtenida en el paso anterior. De ésta manera, se halla el valor de una de las
incógnitas.
4. Reemplazar el valor obtenido en el paso 3 en el despeje del paso 1. y calcular el valor de la segunda
incógnita.
5. Escribir el conjunto solución.
El par (-10,8) es el único par de valores que verifica simultáneamente ambas ecuaciones, por lo tanto el
sistema tiene una única solución
Método de igualación
Consiste en “igualar” las expresiones que se obtienen de despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones.
Este método consta de los siguientes pasos:
1. Despejar de ambas ecuaciones la misma incógnita
2. Igualar las expresiones obtenidas en el paso 1. De esta manera queda planteada una ecuación de una
incógnita y permite obtener el valor de una de las incógnitas, en caso de que exista.
3. Resolver dicha ecuación.
4. Reemplazar el valor obtenido en el paso 3 en ambas ecuaciones y obtener el valor de la segunda incógnita.
5. Escribir el conjunto solución.
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Método de reducción por sumas y restas
Para resolver un sistema por éste método, se siguen los siguientes pasos:
1. Expresar ambas ecuaciones en forma implícita.
2. Multiplicar todos los coeficientes de una de las ecuaciones por un mismo número distinto de cero, de modo
que los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones resulten iguales u opuestas (iguales en
valor absoluto).
3. Sumar o restar la ecuación obtenida en el paso 2 con la otra ecuación del sistema que no fue modificada,
de manera que se cancele los términos que contengan la misma incógnita. Esto permite obtener una ecuación
con una sola incógnita.
4. Resolver la ecuación obtenida.
5. Reemplazar el valor obtenido en el paso 4 en ambas ecuaciones y obtener el valor de la segunda incógnita.
6. Escribir el conjunto solución.
Función cuadrática Una función es cuadrática cuando la variable independiente, por ejemplo x, tiene como exponente máximo 2.
De forma general, la ecuación cuadrática se escribe en su forma polinómica como: y = a x2 + bx + c
donde: ax2 se denomina término cuadrático, bx es el término lineal y c es el término independiente. Además, a, b,
c son números reales y a es distinto de 0.
La representación gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola, donde se pueden identificar los siguientes elementos: - Las raíces son los puntos donde la función intersecta al eje de abscisas (eje x). - La ordenada al origen es el punto donde la función intersecta al eje de
ordenadas (eje y). Coincide con el término independiente en la forma polinómica de la ecuación cuadrática: o. o = (0, c)
- El vértice es el punto donde la función alcanza un extremo: puede ser un máximo o un mínimo.
- El eje de simetría es una recta que pasa por el vértice y es paralela al eje de ordenadas. Variación del coeficiente “ a “ en la función cuadrática
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El signo de a indica hacia dónde se dirigen las ramas de las parábolas:
- Si a es positivo, las ramas van hacia arriba y el vértice es un mínimo. - Si a es negativo, las ramas van hacia abajo y el vértice es un máximo. El valor absoluto de a modifica la abertura de las parábolas: - Cuanto menor es, la parábola es más abierta - Cuanto mayor es, la parábola es más cerrada Ejemplo: Observar el siguiente gráfico y determinar el valor de a en las siguientes funciones: f(x)= x2 a= 1 t(x)= 2x2 a=2 s(x)= 1/2x2 a= ½ p(x)= -1x2 a=-1
k(x)= -2x2 a=-2 Desplazamientos o transformaciones de la función cuadrática Desplazamiento Vertical Desplazamiento Horizontal
Desplazamientos Combinados de la Función Cuadrática
Las transformaciones las podemos resumir con los siguientes ejemplos:
Función original y = x2
Traslación de 3 unidades hacia la derecha Y = (x – 3)2
Traslación de 4 unidades hacia izquierda Y = (x + 4)2
Traslación de 2 unidades hacia arriba Y = x2 + 2
Traslación de ½ unidad hacia abajo Y = x2 – 1/2
Forma Canónica de la Función Cuadrática La expresión algebraica obtenida luego de aplicar desplazamientos a la función cuadrática elemental se denomina forma canónica: y = f(x) = a (x-h)2 + k Donde se proporciona la siguiente información sobre la función cuadrática: - el valor y signo de la abertura: a
Si a la función f(x)=x2 la
desplazamos dos
unidades hacia arriba, obtenemos la gráfica de
la función g(x)= x2 +2
Si a la función f(x)=x2
la desplazamos tres
unidades hacia abajo,
obtenemos la gráfica de
la función h(x)= x2-3
Si trasladamos la
gráfica de f(x)=x2 dos
unidades hacia la
derecha, obtendremos la gráfica de la función
m(x)= (x-2)2
Si trasladamos la
gráfica de f(x)=x2 una
unidad hacia la
izquierda, obtenemos
la gráfica de la función
s(x)= (x-1)2
Si a la función f(x)=x2 la
desplazamos una unidad
hacia la derecha, y dos
unidades hacia arriba
obtenemos la gráfica de la
función t(x)= (x-2)2 +1
Si a la función f(x)=x2 la
desplazamos tres
unidades hacia la
izquierda, y una unidad
hacia abajo obtenemos
la gráfica de la función
g(x)= (x+3)2 - 1
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- las coordenadas del vértice: V = (h, k)
- la ecuación del eje de simetría: x = h Para hallar las coordenadas del vértice de una función cuadrática a partir de su forma polinómica: La abscisa del vértice se obtiene aplicando la fórmula: xv = -b/2 a La ordenada del vértice se obtiene reemplazando la abscisa Xv en la función yv= f(xv)
Función logarítmica Una función logarítmica es aquella que se expresa matemáticamente como: y = logb x Siendo “b” la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. El forma típica de una función logarítmica puede observarse en el gráfico.
Ejemplo: una forma de medir la acidez de un compuesto consiste en determinar su pH. La relación entre el pH y la concentración de protones es una función logarítmica en base 10, es decir: pH = -Log10 [H
+] Siendo, [H+] la concentración de protones. Si para las siguientes [H+], se obtuvieron los siguientes pH (tabla) se obtiene el siguiente gráfico:
[H+] (molar) pH
1 x 10-4 4
1 x 10-5 5
1 x 10-6 6
1 x 10-7 7
1 x 10-8 8
Como la relación entre el pH y el Log es negativa (por el signo menos que
precede al Log), la función decrece en lugar de aumentar. Es muy útil en este caso, realizar este gráfico “linealizando” la función (esto quiere decir, hacer una transformación de los ejes para que el gráfico se vea lineal). Para ello, lo que hacemos es convertir al eje x en una escala logarítmica. Definición algebraica: Definimos al logaritmo de un número como el exponente (y) al que hay que elevar la base (b) para que de un número (X) determinado. Usamos la misma base para todos los números, y lo único que cambiamos es su exponente. Todo logaritmo es un exponente.
X = by
Por ejemplo, un millón, 1.000.000 es igual a escribir = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10, o tambien es = 106. El Log10 1000000 = 106. Es decir, el logaritmo es el número al que tenemos que elevar 10 (la base) para obtener 1.000.000. En este caso, la respuesta es 6. Generalmente las bases más usadas son los números e = 2,718… y el número 10. Los logaritmos en base e se llaman Neperianos (viene de Napier) o naturales, y se representan por el símbolo ln. Los logaritmos en base 10 se llaman decimales, y se representan por Log o Lg. Otros ejemplos: Log 100=2; Log 1000=3 Si los expresáramos en notación científica el valor del logaritmo se hace más evidente:
Ejemplo, Log 102 = 2; Log 103 = 3 Propiedades de los logaritmos
a) El logaritmo de la base es siempre la unidad. Ejemplo:
Ln e = ln e1 = 1 Log 10 = log 101 = 1
b) El logaritmo de la unidad (o sea la potencia cero del número) en cualquier base es siempre cero.
Ejemplo: c) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores, dado que es el
producto de una suma de potencias de igual base. Ejemplo:
Log (a x b) = log a +log b Log (105 x 103) = log 105 + log 103 = 5 + 3 = 8
Logb 1 = 0
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d) El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos del dividendo y divisor. Ejemplo:
e) El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base. Ejemplo:
f) Análogamente, el logaritmo de una raíz es igual al cociente del logaritmo del radicando por el índice. Ejemplo:
Antilogaritmos Se llama antilogaritmo, al número que corresponde a un logaritmo dado. Se representa como antilog. Ejemplos:
Conceptos importantes a tener en cuenta para cualquier función FUNCIONES CRECIENTES, DECRECIENTES Y CONSTANTES
Si una función es creciente en un intervalo, su gráfico "sube" a medida que se incrementan los valores de la variable independiente; Si una función es decreciente en un intervalo, su gráfico "baja" a medida que se incrementan los valores de la variable independiente. Si una función es constante en un intervalo, su gráfico "no baja ni sube" a medida que se incrementan los valores de la variable independiente, y por lo tanto es una recta paralela al eje de abscisas.
VALOR MAXIMO Y MINIMO DE UNA FUNCIÓN
El punto donde la función deja de crecer para comenzar a decrecer se llama máximo relativo. De manera análoga, el punto donde la función deja de
decrecer para comenzar a crecer se llama mínimo relativo.
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EJERCICIOS PARA RESOLVER
1- Para las siguientes magnitudes indicar: Símbolo, Unidad y su símbolo correspondiente en el
Sistema Internacional de unidades (S.I.)
Masa
Longitud
Tiempo
Velocidad
Aceleración
Fuerza
Área
Superficie
Volumen
Perímetro
Trabajo
Energía Mecánica
Potencia
Presión
Densidad
Peso especifico
Volumen
Temperatura
Calor
Concentración
Caudal
Resistencia hidrodinámica
Frecuencia
Periodo
Longitud de onda
Carga
Campo eléctrico
Permitividad eléctrica
Campo magnético
Corriente
Resistencia eléctrica
Capacitancia eléctrica
Tensión eléctrica
Energía Eléctrica
Nivel de intensidad del sonido
2- Expresar en notación científica
a) 10000 g b) 834 cm2 c) 0,50 km d) 6320 m
e) 0,0033 m3 f) 0,0025 x10-3 nm g) 0,06 x 105 litros
3 - Completar los siguientes enunciados, adoptando la notación científica a) En 800 gramos hay __________ kilogramos. b) En 1.000 cm hay _____________micrómetros.
c) 24 horas equivalen a _________ minutos o a________ segundos. d) 6 litros equivalen a ___________mililitros e) 16 km equivalen a ____________ centímetros.
f) El volumen de un cilindro es de 47 dm3 o__________litros, o___________cm3 o ________m3
g) 0,34 dm3 son __________cm3 h) 25 ml son___________mm3
4- Resolver las siguientes operaciones
a) 120 x 102 g + 5 x 103 g = b) 45 x 10-2 m - 3 x 10-3 m= c) 0,05 x 102 mm= d) 30 x 103 dm3 + 10000 x 10-3 dm3=
e) 5 x 104 cm x 5 x 101 cm = f) 28 x106 nm =
9 x 103 nm
5 – Teniendo en cuenta la siguiente tabla de unidades de presión: a) ¿Cuántos kgf cm-2 son 170.000 pascales? b) ¿Cuántos pascales son 1500 mmHg? y cuántos hectopascales? c) Transformar 4 bares en mmHg
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6 –Transformar las siguientes unidades. Cuando sea necesario considerar que 1 kgf = 9,8 N y que W
= J/s:
a) 20 m/s a km/h b) 800 km h-1 a m/s2 c) O,7 N m-1 a kgf/cm d) 60.000 J/día a W
e) 1000 kg m-3 a g cm-3 f) 58 kgf a N g) 320 kg/m³ a g/cm³ h)108 km h-1 a m/s
h) 20 m/s a km h-1 j) 1,2 cm/h a m/s
7 - El espesor de una moneda es de 2 mm, ¿cuál es el espesor total de 6 monedas superpuestas una
sobre la otra? Expresar el resultado en nm, en km y en m
8 - La densidad del aire en ciertas condiciones es 0,00129 g/cm3 ¿Qué volumen ocupará una masa
de 10000 g?
9 – Un objeto tiene un volumen de 2 cm3 si su densidad es igual 2,7 g/cm3 ¿Cuál es su masa?
10-¿Cuál es el número total de latidos durante 80 años, si el promedio es 60 latidos /min?
11 - Los cabellos crecen en promedio 0,35 mm diarios. ¿Cuántos km crecerán en un segundo?
12 - Una persona en reposo realiza 12 respiraciones por minuto; si en cada entrada y salida de aire
moviliza 500 ml, ¿cuántos m³ movilizará en un día?
13 – ¿Cuál es el peso actual de una persona que pesaba 70 kg, y: a) aumentó el 5% de su peso en el mes
b) disminuyó el 5% de su peso en el mes 14 – Si una persona que consume diariamente 2400 calorías decide realizar una dieta tal que
reducirá en un 30% la ingesta diaria de calorías, cuántas calorías consumirá?
15-Realizar las siguientes operaciones con fracciones
a) 3 + 2 b) 5 + 8 c) 9 – 3 d) 4C + 1C e) 2T x 1T f) 5Z : 2Z
5 3 9 3 2 6 2 3 2 3 5
16 - Determinar el módulo y la dirección de los siguientes vectores. Representar graficamente.
a) A = (– 4; 3) b) B= (2; 0) c) C = ( –2; – 3) d) D= ( 0; – 5)
17 - Dados los vectores A y B indicados, hallar gráficamente y analíticamente su suma o resultante.
a) A = (-3; 2) B = (-2; 5)
c) A = (-2; 0) B = (0; 4)
19- Descomponer los siguientes vectores en los ejes X e Y a) A= (2;3) b) B= (-3; -1) c) C= (4; 0)
20 – Si el vector (4; 3) forma un ángulo de 37º con el eje X, determinar sus componentes en los
ejes X e Y.
21- Determinar la componente X del vector A (3, 2) que forma un ángulo de 37 grados con el eje X
22- Indicar cuáles de los siguientes gráficos representa una función en el conjunto R de los
números reales.
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23- Indicar cuáles de las siguientes funciones son lineales. Graficarlas
a) f(x) = 0
b) y = 2x + 3
c) f(x) = — 1/3 x
d) f(x) = 5r² — r
e) Z = (x — 1)² + 3x
f) f(x) = 2x + 3; para x ≤ 0 y f(x) = 3; para x > 0
g) T = 3A
24 - Determinar la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes funciones:
a) f(x) = 3
c) f(x) = 4 — 1/5 x
b) f(x) = — 3x
d) f(x) = (5x + 8)/3
25 - Dadas las siguientes dos rectas, determinar el valor de C y los posibles valores de D para que sean:
i. coincidentes ii. paralelas y distintas iii. perpendiculares
r1: -2x + 3y - 3 = 0 r2: 3Cx + y + D = 0
26- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, aplicando
1- Igualación
2- Sustitución
3- Sumas
x — 3y = 1 5x -5y +5 = 0
2x + 6y =4 0.5y + x =2
27- Obtener el valor de la incógnita
a) 10A + 8= 15 b) 25X – 5 =16 c) 35 + 18C = 3C +1 d) 16 – 3F + 2F = F + 8
28 - A partir del gráfico y = x², representar gráficamente las siguientes funciones cuadráticas indicando, en cada caso, si se produjo un desplazamiento vertical, horizontal o cambio de la concavidad.
a) y = — 2x² b) y = (x — 5)² c) x² + 4 — y = 0
29 - Relacionar cada una de las siguientes parábolas con la ecuación correspondiente.
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a) y = (x — 1)² — 3
b) y = 1/4 (x — 1)² + 3
c) y = — (x + 1)² + 3
d) y = (x - 1)² + 3
e) y = —4 (x — 1)² + 3
f) y = (x + 1)² — 3
30- Hallar, en cada caso, la expresión de la función cuadrática utilizando los datos indicados en los
gráficos. Indicar en cada curva cuando la función crece y/o decrece.
31 - Si x y x0 son longitudes, v0 es una velocidad, a es la aceleración y, finalmente, t y t0 son
tiempos, demostrar que las expresiones siguientes son dimensionalmente correctas:
a) x = x0 + v0 (t - t0) + ½ a (t — t0)² b) v — v0 = a (t — t0)
32 - Analizando las dimensiones de las siguientes ecuaciones indicar cuáles son incorrectas. ¿Puede asegurar que las restantes son válidas? (F: Fuerza, V = Volumen, A = área; h = altura; x = posición; v=velocidad; a=aceleración; t=tiempo, m= masa).
a) t = v0² sen α / (3a) b) x - x0 = v0² / (2.a) c) ½ m.v² = F d²
d) F/A = m.a.h / V e) m.v = F (t - t0)²
33 - La siguiente figura indica la correspondencia entre las escalas de, Celsius y Kelvin (o escala
absoluta de temperatura).
Para la transformación entre las escalas pueden utilizar la siguiente
expresión:
K = TºC + 273 K
a) ¿Cuántos Kelvin (K) son 158 grados centígrados (°C)?
b) ¿Cuántos grados centígrados (°C) son 180 Kelvin (K)?
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38 - La ecuación de los gases ideales es P.V = n R T, donde P denota la presión, V el volumen, n la
cantidad de gas (número de moles), que salvo indicación contraria se considera constante en cada
ejercicio, R es la constante de los gases (0,082 atm l K-1.mol-1) y T la temperatura en Kelvin.
a) ¿Cómo cambia el volumen si se aumenta simultáneamente al doble la presión y la
temperatura?
b) ¿Cómo cambia el volumen si aumenta la presión al doble, manteniendo la temperatura
constante?
c) ¿Cómo varía la temperatura si tanto la presión como el volumen aumentan al doble?
34 - Se tiene 0,16 moles de un gas ideal a una presión de 2 atm, en un recipiente cerrado de 2 dm3 a
una temperatura de 27 °C. Determinar la nueva presión si la temperatura aumenta 20 °C.
35 - La fuerza de atracción entre dos cuerpos celestes (1 y 2) es gobernada por la Ley de
Gravitación Universal: F1,2 = M1.M2/d122 donde M1 y M2 representan la masa de cada uno de los
cuerpos y d12 es la distancia entre ellos.
a) ¿Qué ocurre con F1,2 si M1 es ahora otro cuerpo de masa doble?
b) ¿Cómo cambia F1,2 si M1 es ahora otro cuerpo con masa doble y la distancia disminuye a la
mitad?
c) ¿Cómo cambia F1,2 si la distancia entre los cuerpos aumenta al doble? ¿Y si se reduce a la
mitad?
36 - La letra griega (delta mayúscula) se utiliza para denotar modificaciones de una variable
determinada. Así, FAB puede expresar la diferencia de la variable F entre las posiciones A y B o
entre los tiempos A y B, y se calcula como = FB – FA.
a) Siendo que F= 1 kg cuando tA=5s y que F= 350 g cuando tB=10 s, Determinar FAB
b) Si FC= 0,5 kg, ¿cuánto vale FAC?
c) ¿Y FCA?
37 - La variación decreciente de la Temperatura con la Altitud se denomina gradiente térmico y
puede expresarse T. Considerando que la variación de temperatura es de 6 °C por km, determinar
la temperatura a una altura de 5 km sabiendo que la Temperatura a 2 km de altura es de 5 °C.
38- El área de una circunferencia se puede expresar como:
A = r2 o A = D/2)2
donde es una constante = 3,14; r es el radio de la circunferencia y D es el diámetro de la
circunferencia. Entonces:
a) ¿Cuántas veces (aumenta o disminuye) A (área) si el r (radio) aumenta al doble?
b) ¿Cuántas veces (aumenta o disminuye) A si D se reduce a la tercera parte?
c) Si el área aumenta 16 veces, entonces el radio aumenta _________veces
39 - De acuerdo a la Ley de Hagen-Poiseuille el flujo de un líquido en un tubo cilíndrico de radio r y
longitud l está dado por la expresión:
Siendo P la diferencia de presión entre los extremos del tubo y una
constante (viscosidad) (=3,14).
a) ¿Cómo se verá afectado el flujo si se cambia el tubo por otro de igual longitud pero de
diámetro doble? Si se mantiene P y la viscosidad del fluido
b) ¿Qué ocurre si se reemplaza el tubo por otro del doble de longitud y la mitad de radio?
40- Obtener el logaritmo decimal a) Log 1000 b) log 10 c) Log 5 d) Log 250 e) Log 0,0001 f) Log 1 g) Log 104
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41- Realizar las siguientes operaciones con logaritmo y antilogaritmo a) Log (103 x 102) b) Log (108 x 10-5) c) Log (10 /10-12) d)Log (103/10-9) e) Log (90 + 10) f) Log (1100 -100) g) Antilog 5 h) Antilog (-3)
42- Determinar el valor de X a) 10X =8 b) 103X = 15 c) log X = -12 d) log X = 8,6
43 – La siguiente figura muestra las frecuencias y longitudes de ondas del espectro
electromagnético y un detalle de la porción visible del mismo. Las ondas de alta energía presentan
alta frecuencia y en consecuencia baja longitud de onda. Como calificarías una onda de:
a) Frecuencia = 600.000 Hz b) Longitud de onda = 3 pm c) =550 nm
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Espectro Electromagnético
Espectro Visible
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Ordenes de magnitud
Algunos ejercicios fueron extraídos o adaptados de la página del Dr. Ricardo Cabrera: www.ricuti.com.ar. Allí se puede encontrar la resolución de los mismos así como
un muy buen apunte teórico. Se consultó también la guía teórico práctica para el módulo de Biofísica. Curso de ingreso Facultad de Ciencias Médicas, UNSE.
(www.unse.edu.ar) y la guía del curso de apoyo en matemática, Facultad de Ingeniería, UNPSJB.
