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11º CÁLCULO
EVALUACIÓN
SOLUCIÓN DE DESIGUALDADES
Resolver una desigualdad consiste en encontrar el intervalo que cumpla con dicha relación de orden. Es decir, se tratará de despejar la variable de la misma forma como se hacía en las ecuaciones, pero teniendo en cuenta las propiedades enunciadas con anterioridad. Para que verifique si su respuesta es correcta, tome algunos números del intervalo solución y reemplácelos en la desigualdad inicial, si esta se cumple es solución, si no, no lo es. De acuerdo a la clase de desigualdad existen procesos que nos llevan a poder encontrar su solución, a continuación se realizará el estudio de cada una de ellas.
DESIGUALDADES LINEALES Son desigualdades en las cuales el mayor exponente de la variable es 1, su proceso de solución es el mismo que se usa para resolver una ecuación lineal, el único cambio es que si se necesita multiplicar o dividir por un número negativo, entonces, tenemos que cambiar el sentido de la desigualdad (propiedades 4 y 6 de monotonía).
Ejemplo: Resolver la inecuación xx 2734
Solución: 5
33547232734 xxxxxx
Respuesta: Gráficamente: En pareja
5
3,
En conjunto
5
3/ xx
DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
Se llamará una inecuación cuadrática aquella en la que su variable tenga exponente dos (2).
Ejemplos: 0163 2 xx 093 2 x 042 2 xx 02 x
Para resolver una inecuación cuadrática podemos usar uno de los dos métodos siguientes: Primer Método: Ley de las cruces o del cementerio 1. Desigualar a cero (teniendo en cuenta que la variable cuadrada quede positiva). 2. Factorizar o aplicar la fórmula de la ecuación cuadrática, para hallar los puntos críticos (números que resuelven la
igualdad). 3. Hacer tres rectas horizontales paralelas, en las dos primeras ubicar los valores de x (teniendo en cuenta su
relación de orden), dibujamos una línea vertical por cada valor de x que corte las rectas horizontales 4. Escribir el signo + a la derecha de cada número y el signo – a la izquierda 5. Realizar la ley de los signos (debajo de la tercera recta horizontal) 6. Establecer la solución de acuerdo a lo que se pida (mayores, menores, mayores o iguales, menores o iguales).
Ejemplo: Resolver la inecuación 322 xx
Solución:
01303232 22 xxxxxx , significa que los puntos críticos son 3x y 1x
- 3 1
3x - - - - - - - - + + + + + + + + + + + +
1x - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + +
Ley de signos + + + + + + - - - - - - - + + + + + + + Respuesta: Según la desigualdad dada debemos buscar los mayores o iguales que cero, es decir, los positivos,
entonces será: ,13,
Estudiante: Docente: Nancy Patricia Plazas Carrillo
5
3
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11º CÁLCULO
EVALUACIÓN
Segundo Método: Análisis de la desigualdad
1. Desigualar a cero (teniendo en cuenta que la variable cuadrada quede positiva). 2. Factorizar o aplicar la fórmula de la ecuación cuadrática. 3. Analizar si la desigualdad nos pide los mayores (mayores iguales) o los menores (menores o iguales) a cero.
- En caso de que sean mayores (mayores iguales), deben considerarse las dos opciones en que los factores tengan igual signo, es decir (> y >) o (< y <).
- En caso de que sean menores (menores iguales), deben considerarse las dos opciones en que los factores tengan diferente signo, es decir (> y <) o (< y >).
4. Encontrar las soluciones propuestas en el paso anterior y establecer el intervalo solución.
Ejemplo: Resolver la inecuación 322 xx
Solución:
01303232 22 xxxxxx ,
En esta ineciación nos piden los mayores que cero (positivos), entonces debemos considerar (> y >) o (< y <).
Esto es: 01030103 xxxx
Es decir 130103 xxxx Graficamente tenemos
La solución de este intervalo es donde se presenta la intersección, en este caso ,1
130103 xxxx Su representación gráfica es
Acá también debemos determinar la intersección, que es el intervalo 3,
Finalmente debemos tomar como solución la unión de los dos intervalos encontrados, esto es: ,13,
INECUACIONES RACIONALES
Son expresiones que están constituidas por el cociente de dos polinomios (fracciones algebraicas). Estas pueden ser lineales, cuadráticas o de valor absoluto.
Ejemplos: 12
1
x
x
0
3
32
x
xx 2
23
23 2
x
xx 5
1
23
3
62
x
x
x
x
Para resolver una inecuación racional debemos:
1. Desigualar a cero. 2. Resolver las operaciones indicadas (suma o resta de fracciones algebraicas). 3. Determinar los valores del numerador y del denominador que se hacen iguales a cero. 4. Realizar la ley del cementerio.
Ejemplo: Resolver la inecuación 142
3
x
x
Solución: 0142
3
x
x
0
42
4213
x
xx 0
42
423
x
xx 0
42
7
x
x
Entonces 707 xx 22
4042 xxx
2 7 x = 2 - - - - - - - + + + + + + + + + + + + x = 7 +++++++++ +++++++++ - - - - - - - -- Ley de signos -- - - - - - - + + + + + + - - - - - - - - -
Notas:
Si x aparece antecedida de un signo negativo, el sentido de los valores del punto crítico correspondiente cambian.
En las desigualdades racionales, así
sea , o, , los números del denominador no se deben incluir en
la respuesta.
3 1
3 1
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EVALUACIÓN
Respuesta: Según la desigualdad dada debemos buscar los menores o iguales que cero (teniendo en cuenta la nota),
es decir, los negativos, esto es: ,72,
INECUACIONES SIMULTÁNEAS Una inecuación simultánea es aquella en la cual existe más de una desigualdad. Es decir, son expresiones de la forma a < x < b. Estas pueden ser lineales, cuadráticas, de valor absoluto o racionales. En estos casos deberá considerarse cada inecuación por separado y la solución será la intersección de las dos o más soluciones. Veamos:
Si a < x < b, entonces a < x x < b y su conjunto solución será bxRxaxRx //
Ejemplos:
Resolver la inecuación 453283 xxx
Solución: Primero separamos las dos inecuaciones 45323283 xxxx
Resolvemos cada inecuación por aparte 34528323 xxxx
7311 xx
3
7x
Dibujamos las soluciones en una sola recta numérica
– 11 3
7
Solución:
3
711/ xxRx , es decir
Resolver la inecuación 7123 x
712123 xx
172213 xx
8224 xx
2
8
2
4 xx
42 xx
2 4
Solución: 42/ xRx , expresado como pareja tenemos 4,2
DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO VALOR ABSOLUTO El valor absoluto indica la distancia (valor sin signo) que hay desde cero (0) hasta cualquier número en la recta.
En general: para cualquier número real a, se cumple que el valor absoluto de a denotado por a es:
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EVALUACIÓN
0,
0,0
0,
asia
asi
asia
a
Esto indica que el valor absoluto de un número nunca es negativo.
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
1. 0x
2. 00 xx
3. xx
4. yxxy
5. 0 si , yy
x
y
x
6. axaax
7. axaxax
8. yxyx . Esta es conocida con el nombre de
desigualdad triangular. Ejemplos:
Determinar los valores de x que satisfacen la siguiente expresión 632 x
Solución: Según las propiedades del valor absoluto deberá cumplirse que
632632 xx
Entonces 2
9362632 xxx
2
3362632 xxx
Tenemos como soluciones para la ecuación, los valores 2
3
2
9 xx
Determinar los valores de x que satisfacen la ecuación 632 x
Solución: Teniendo en cuenta la primera propiedad podemos concluir que esta ecuación no tiene solución porque el valor absoluto siempre debe ser mayor o igual a cero.
Resolver la expresión 632 x
Solución: Por la propiedad 6 tenemos que: 6326 x 632326 xx resolvemos esta
inecuación simultánea y el resultado será el intervalo
2
9,
2
3
Resolver la inecuación 632 x
Solución: Teniendo en cuenta la propiedad 7: 632632 xx esta propiedad implica que en la solución
tendremos la unión de las dos soluciones encontradas, así: 2
9
2
3 xx , esto es:
,
2
9
2
3,
ACTIVIDAD:
Determina los valores que satisfacen las inecuaciones planteadas, hazlo en forma gráfica, como conjunto y como intervalo.
1. 1042
3x 2. 6
4
13
x 3. 01522 xx
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EVALUACIÓN
4. 23
7
4
3t 5. 1832 mm 6. 042
2
1 x
7.
02
31
x
xx 8. 0
6
1
6
72 2 mm 9. 2
25
32
x
x
10. 02
12
x
x 11. 3131 xxxx 12. 1043 x
13. 02082 hh 14. 14
3
x
x 15.
0
11
x
xx
16. 2
153 u 17. 0
4
16206 2
x
xx 18.
2
3
5
41
2
7
x
19. 13
1
x
x 20. 3232 uuuu 21. 3,03,19,0 x
22. 132132 xxxx 23. xxx 121641100 24. 5122 xx
ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA
I. Determina si el valor de la variable es
solución de la inecuación. Justifica tu respuesta
II. Determina una ineación cuyo conjunto
solución sea el intervalo dado. III. Resuelva cada una de las siguientes
situaciones
Tomado de: Proyecto los Caminos del Saber. Matemáticas 11, Editorial Santillana, Págs 30 y 33
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FUNCIONES
FUNCIONES POLINÓMICAS
Definición: Una función RRf : , de la forma 01
1
1 ... axaxaxaxf n
n
n
n
, de donde Rak , y
0 Nn , recibe el nombre de función polinómica.
En este grupo de funciones se estudian con mayor frecuencia: Función constante (grado cero), lineal (grado uno), afín (grado uno), cuadrática (grado dos), cúbica (grado tres). Las de grado cuatro en adelante, no tienen nombre característico. Recordemos las funciones polinómicas especiales:
Función afín: Es una función de la forma bmxy , siendo 0 ,0 ,, bmRbm , su representación gráfica es
una recta inclinada que no pasa por el origen del plano cartesiano, el dominio y el rango de esta función son el conjunto de los números reales.
Son ejemplos de función lineal: 5
32 xy , 43 xy , 5
3
1 xy , 7
5
2 xy
Función cuadrática: Es una función de la forma cbxaxy 2, siendo 0 ,,, aRcba , o
2)(4 hxpky ,
su representación gráfica es una curva llamada parábola, cuyo estudio se realizo en el tema de cónicas. El dominio es el conjunto de los números reales, el rango dependerá de cómo abre la curva así:
Si la parábola abre hacia arriba y tenemos la forma 2)(4 hxpky , el rango será ,k , si tenemos la
forma cbxaxy 2, el rango será
,
2a
bf
Si la parábola abre hacia abajo y tenemos la forma 2)(4 hxpky , el rango será k, , si tenemos la
forma cbxaxy 2, el rango será
a
bf
2,
Ejemplos: 352 2 xxy
5
32 xy
43 xy
53
1 xy
75
2 xy
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Ya dijimos que el dominio es el conjunto de los números reales, analicemos el rango, observemos que la curva abre
hacia arriba, con vértice en
8
49,
4
5, entonces el rango será de la forma
,
8
49
243 2 xxy
FUNCIONES RACIONALES
Definición: Una función racional es una función de la forma xQ
xPxf donde 0xQ .
Ejemplos: Son funciones racionales
15
32)(
x
xxf
254
5)(
2
xxxg
4
352)(
3
xxxh
La última función a pesar de tener la forma de una función racional es mejor analizarla como función polinómica, dado
que puede representarse como 4
3
4
5
4
2)( 3 xxxh , simplificada será
4
3
4
5
2
1)( 3 xxxh , que es una función
cúbica. Domino. El dominio de una función racional será el conjunto de los números reales menos los valores de x que
hagan cero el denominador.
Ejemplo: Hallar el dominio de la función 15
32)(
x
xxf
Solución: Encontremos los valores de x que hacen cero el denominador, esto es:
015 x 15 x 5
1x
Encuentre las coordenadas del vértice, realice el
proceso por completación de cuadrados y luego
compruebe que es de la forma
a
bf
a
b
2,
2
Esta parábola abre hacia abajo, por lo tanto el rango será desde menos infinito hasta la coordenada y en el vértice, en
este caso es de la forma
3
10,
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Respuesta: El dominio de la función 15
32)(
x
xxf es:
5
1R
Rango. Para encontrar el rango de una función racional debemos despejar la variable x de la función dada y luego
hacer el respectivo análisis.
Ejemplo: Hallar el rango de la función 15
32)(
x
xxf
Solución: Despejemos la variable x de la función dada:
15
32)(
x
xxf
15
32
x
xy 3215 xxy 325 xyxy
325 yxxy 325 yyx 25
3
y
yx
Ahora bien, hagamos la interpretación de la ecuación resultante, ésta me dice que y puede ser cualquier número real
menos quien haga cero el denominador (por ser racional). Significa que el rango será:
5
2R .
Observemos la gráfica de dicha función
Interceptos: Recuerda que los interceptos (cortes) de una función serán los valores donde la gráfica de la función toque los ejes cartesianos. De esta manera, dada una función podremos tener interceptos con el eje x o con el eje
y .
Método para encontrar los interceptos: Interceptos con el eje x : Debes reemplazar en la función a y por cero y luego resolver la ecuación resultante para
encontrar el o los valores de x .
Interceptos con el eje y : Debes reemplazar en la función a x por cero y luego resolver la ecuación resultante para
encontrar el o los valores de y
Ejemplo: Hallar los interceptos de la función 15
32)(
x
xxf
Solución: Interceptos con el eje x :
15
32)(
x
xxf
15
320
x
x 320 x 32 x
2
3x
Interceptos con el eje y :
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15
32)(
x
xxf
105
302
y
1
3
y 3y
Respuesta:
Los valores encontrados indican que la gráfica cortará al eje x en el punto
0,
2
3 y al eje y en el punto 3,0 .
Asíntotas: Recuerda que las asíntotas son rectas (horizontales o verticales) imaginarias que hacen que la gráfica se
extienda hacia ellas de forma indefinida pero que nunca las corte. En las funciones racionales existirán asíntotas en aquellos valores de x y y que no puedan tomar el dominio y rango
respectivamente.
Ejemplo: Halla las asíntotas (si las hay) de la función 15
32)(
x
xxf
Solución:
Como vimos antes, cuando hayamos el dominio y rango de esta función, los valores 5
1x y
5
2y son los números
que no pueden hacer parte del dominio y rango respectivamente, significa que estas serán las asíntotas de dicha función, la primera será asíntota vertical y la segunda asíntota horizontal.
Crecimiento o decrecimiento: Para saber si una función crece o decrece en un intervalo, basta con tomar dos valores del intervalo, hallar el valor de la imagen de estos y comparar los resultados.
Es decir: si tomamos valores 21, xx que pertenezcan al dominio de xf donde 21 xx y obtenemos que
21 xfxf , podemos concluir que la función xf es creciente, en caso contrario es decir si 21 xfxf la
función será decreciente.
Ejemplo: Determinar el crecimiento o decrecimiento de la función15
32)(
x
xxf
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Solución: Cuando encontramos el dominio de esta función dijimos que x puede ser cualquier valor menos 5
1x , es
decir
5
1, y
,
5
1, para determinar el crecimiento y decrecimiento debemos analizar estos dos intervalos por
separado así:
Veamos que pasa en el intervalo
5
1, : Sean: 21 x y 12 x
11
11 xf y
6
12 xf , es decir 12 xfxf , significa que la función en este intervalo decrece.
Ahora analicemos lo que sucede en el intervalo
,
5
1: Sean: 11 x y 22 x
4
51 xf y
9
72 xf , es decir 12 xfxf , significa que la función en este intervalo también decrece.
Gráfica: Para elaborar la gráfica debemos tener en cuenta todo el análisis realizado anteriormente, es decir: dominio,
rango, interceptos, asíntotas, crecimiento y decrecimiento, de manera especial para la gráfica de las funciones racionales se cumple que están representadas por curvas, nunca líneas rectas.
Ejemplo: Elabore la gráfica de la función 15
32)(
x
xxf
I. Empiece por ubicar las asíntotas II. Ahora ubique los interceptos
III. Elabora la gráfica en cada uno de los intervalos, recuerde tener en cuenta que son curvas decrecientes
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Definición: La función valor absoluto es una función que le asigna a cada elemento x su valor absoluto, está definida
así:
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0
0)(
xx
xxxxf
si
si
Ejemplos: Son funciones de valor absoluto
13)( xxf 325)( 2 xxxg 25
2)(
x
xxh
Domino: Para encontrar el dominio de una función con valor absoluto, debemos analizar lo que hay dentro del valor
absoluto. Ejemplos:
Hallar el dominio de la función 13)( xxf
Solución: Lo que se encuentra dentro del valor absoluto es una función polinómica (lineal), como ya vimos esta
función tiene como dominio el conjunto de los números reales, por lo tanto 13)( xxf tiene como dominio a R .
Hallar el dominio de la función 25
2)(
x
xxh
Solución: Lo que se encuentra dentro del valor absoluto es una función racional, en ésta debemos analizar cuando el denominador se hace cero y quitar esto al conjunto de los números reales, es decir , el dominio de la función
25
2)(
x
xxh , es 5R .
Rango: Para encontrar el rango debemos tener en cuenta el término independiente que hay fuera del valor absoluto,
el rango será un intervalo que tiene como extremo dicho número y que se extiende al infinito, será extremo inicial (si antes del valor absoluto es positivo) o extremo final (si antes del valor absoluto es negativo). Es decir si la función es
axxf )( , el rango será ,a , y si es axxf )( , el rango será a, .
Ejemplos:
Hallar el rango de la función 13)( xxf
Solución: El término independiente fuera del valor absoluto es cero, además antes del valor absoluto está el signo
negativo, por lo tanto el rango de 13)( xxf será el intervalo 0,
Hallar el rango de la función 25
2)(
x
xxh
Solución: El término independiente es – 2 y el valor absoluto es positivo, entonces el rango de 25
2)(
x
xxh ,
es ,2 .
Interceptos: Se sigue procediendo como en las otras funciones, esto es: Interceptos con el eje x : Debemos reemplazar en la función a y por cero y luego resolver la ecuación resultante para
encontrar el o los valores de x .
Interceptos con el eje y : Debemos reemplazar en la función a x por cero y luego resolver la ecuación resultante para
encontrar el o los valores de y
Ejemplos:
Hallar los interceptos de la función 13)( xxf
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Solución:
Interceptos con el eje x :
13)( xxf 130 x 130 x 13 x 3
1x
Interceptos con el eje y :
13)( xxf 103 y 1y 1y
Respuesta:
Los valores encontrados representan que la gráfica cortará al eje x en el punto
0,
3
1 y al eje y en el punto 1,0 .
Hallar los interceptos de la función 25
2)(
x
xxh
Solución:
Interceptos con el eje x :
25
2)(
x
xxh 2
5
20
x
x
x
x
5
22 , acá debemos analizar dos situaciones:
Cuando 25
2
x
x y cuando 2
5
2
x
x, es decir vamos a tener dos puntos de corte con este eje, veamos:
Si 25
2
x
x xx 522 xx 2102 xx 2210 x12
Si 25
2
x
x xx 522 xx 2102 2102 xx 83 x
3
8x
Interceptos con el eje y :
25
2)(
x
xxh 2
05
20
y 2
5
2
y 2
5
2y
5
8y
Respuesta:
Los valores encontrados representan que la gráfica cortará al eje x en los puntos 0,12 y
0,
3
8 y al eje y en el
punto
5
8,0 .
Asíntotas: Esta función tendrá asíntotas, siempre y cuando lo que se encuentra en la función tenga parte racional.
Ejemplos:
Halla las asíntotas (si las hay) de la función 13)( xxf
Solución: Esta función no tiene asíntotas dado que está representada por una función lineal.
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Halla las asíntotas (si las hay) de la función 25
2)(
x
xxh
Solución:
Vamos a encontrar una asíntota vertical en 5x , recuerde que es el valor que quitamos de los números reales en el
dominio. No vamos a tener asíntotas verticales. Crecimiento o decrecimiento: La función valor absoluto decrece a un lado del valor de x que corresponde al
valor y inicial en el rango, o al valor x de la asíntota y crece al otro lado. Para esta clase se funciones, se
recomienda analizar intervalos como se hizo en la función racional. Ejemplos:
Determinar el crecimiento o decrecimiento de la función 13)( xxf
Solución: Como vimos anteriormente, el rango es 0, , el valor de x que corresponde a cero en y , será
130 x , es decir 3
1x .
Entonces: La gráfica de la función 13)( xxf , crece en el intervalo
3
1, y decrece en el intervalo
,
3
1
Determinar el crecimiento o decrecimiento de la función 25
2)(
x
xxh
Solución: Como vimos anteriormente, esta función tiene una asíntota en 5x , significa que el análisis lo debemos
hacer en los intervalos 5, y ,5 , pero además encontramos un punto crítico en 2x , significa que el
primer intervalo debe ser analizado en dos intervalos distintos 2, y 5,2 , de esta manera nos quedan
tres intervalos para analizar 2, , 5,2 , ,5
Analicemos el primer intervalo: sean 41 x y 32 x ,
245
24)( 1
xh 2
9
2)( 1
xh 2
9
2)( 1 xh
9
16)( 1 xh
235
23)( 2
xh 2
8
1)( 2
xh 2
8
1)( 2 xh
8
15)( 2 xh
Como )()( 21 xhxh , la función decrece en el intervalo 2,
Analicemos el segundo intervalo: sean 31 x y 42 x ,
225
22)( 1
xh 2
3
4)( 1
xh 2
3
4)( 1 xh
3
2)( 1 xh
245
24)( 2
xh 2
1
6)( 2
xh 26)( 2 xh 4)( 2 xh
Como )()( 21 xhxh , la función crece en el intervalo 5,2
Analicemos el tercer intervalo: sean 71 x y 102 x ,
275
27)( 1
xh 2
2
9)( 1 xh 2
2
9)( 1 xh
2
5)( 1 xh
2105
210)( 2
xh 2
5
12)( 2 xh 2
5
12)( 2 xh
5
2)( 2 xh
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Como )()( 21 xhxh , la función decrece en el intervalo ,5
Gráfica: Debemos tener en cuenta todo el análisis que se ha realizado y de esta manera elaborar la gráfica.
Ejemplo: Elabore la gráfica de la función 13)( xxf
I. Ubique los interceptos II. Grafique la parte izquierda del punto
0,
3
1, en ese
intervalo la gráfica crece, luego la parte derecha del mismo punto, en ese intervalo la gráfica decrece
Ejemplo: Elabore la gráfica de la función 25
2)(
x
xxh
I. Ubique los interceptos II. Grafique las asíntotas
III. Realicemos la gráfica teniendo en cuenta el crecimiento o decrecimiento de la función
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11º CÁLCULO
FUNCION PARTE ENTERA
Recuerda: Dado un número decimal, su parte entera corresponde al número que se encuentra antes de la coma
decimal. Ejemplos: Dado el número 2,45 ; su parte entera es el número 2 Si el número es - 4,18; la parte entera será – 4 En el número 0,2945; tenemos que su parte entera es 0
Definición: Se denomina función parte entera, a la función xxf , que asigna a cada número del dominio la
cantidad entera que tenga éste (por truncamiento). Existen otras formas de análisis de la función parte entera que se enuncian pero se dejan para el estudio individual: función techo, función piso, y función por redondeo.
Ejemplos: Son funciones parte entera
12)( xxf 23)( xxg 51
42)(
x
xxh
Domino: Para encontrar el dominio de una función parte entera, debemos analizar lo que haya dentro de ella y
proceder como se ha indicado hasta el momento en el estudio de las otras funciones.
Ejemplo: Hallar el dominio de la función 23)( xxg
Solución: Lo que se encuentra dentro de la parte entera es una función polinómica (lineal), entonces
23)( xxg tiene como dominio a R .
Rango: Para encontrar el rango debemos tener en cuenta tanto lo que está dentro como lo que está afuera de la
parte entera, para una función de la forma axxf )( su rango será el conjunto de elementos de la forman
am donde Zm .
Ejemplo: Hallar el rango de la función 23)( xxg
Solución: Como fuera del valor absoluto está el número 2, entonces el rango será de la forma 2m donde Zm ,
que en este caso genera el conjunto de los números Z. Interceptos: Se sigue procediendo como en las otras funciones, esto es
Ejemplo: Hallar los interceptos de la función 23)( xxg
Solución:
Interceptos con el eje x : 23)( xxg 230 x 32 x 233 x
3233 x 56 x Es decir el intervalo 5,6 .
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11º CÁLCULO
Interceptos con el eje y : 23)( xxg 230)( xg 23)( xg 23y
5y
Respuesta:
Los valores encontrados representan que la gráfica cortará al eje x en el intervalo 5,6 y al eje y en el punto
5,0 .
Asíntotas: Esta función tendrá asíntotas, siempre y cuando lo que se encuentra en la función tenga parte racional.
Ejemplo: Halla las asíntotas (si las hay) de la función 23)( xxg
Solución: Esta función no tiene asíntotas dado que está representada por una función lineal. Crecimiento o decrecimiento: La función parte entera no es creciente, ni decreciente, dado que su gráfica serán
segmentos de recta horizontales. Gráfica: Además de tener en cuenta los datos analizados anteriormente, es conveniente tomar algunos valores para poder graficar (en la medida que se practique podrás generalizar la gráfica de cualquier ejercicio que contenga a la función parte entera).
Ejemplo: Elabore la gráfica de la función 23)( xxg
ACTIVIDAD I. Realice el análisis completo de las funciones dadas:
1. 3
12)(
x
xxf
2. 32 xxf
3. 43
25)(
x
xxf
4. 52)( xxf
5. 134 xy
6. 1 xxf
7. 1042)( xxf
8. 132 xy
9. 23 xxf
10. 254 2 xxxf
11. 122 xxxf
12. 1
12
x
xf
13. 452 2 xxxf
14. 123 xy
15. 2
13)( xxf
II. Escriba dos ejemplos de cada una de las funciones estudiadas y realice su análisis completo
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LÍMITES
I. Responda cada una de las siguientes preguntas:
1. Intuitivamente ¿qué significa la expresión Lxfax
lim ?
2. Si xfax
lim existe, entonces ¿ af necesariamente existe?
II. Con base en las gráficas determina si los límites existen, en caso de que exista indique cuál es, de no
ser así diga porqué
3. xfx 3 lim
4. xfx 2 lim
5. xfx 1 lim
6. xfx 3 lim
7. xgx 1 lim
8. xgx 0 lim
9. xgx 1 lim
10. xgx 2 lim
III. Realizar la gráfica de cada función. Luego, determinar los límites que se indican:
11.
2 si 12
2 si 2
xx
xxxf
a. xfx 2lim b. xf
x 2lim c. xf
x 2lim
12.
xx
x-x
xx
xh
2 si 59
21 si 3
1 si 132
a. xhx 1lim
b. xh
x 2lim
13.
xx
x
xx
xx
xf
3 si 4
31 si 5
13 si 3
3 si 65
2
a. xfx 4lim
b. xfx 3lim
c. xfx 1lim
d. xfx 3lim
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CÁLCULO
EVALUACIÓN
IV. Elabora en cada caso, la gráfica de una función que cumpla las siguientes propuestas.
14. 0lim0
xfx
3lim2
xfx
1lim2
xfx
3lim1
xfx
2lim1
xfx
21;12;00 fff
15. 4lim3
xfx
xfxfxx
11
limlim
33 f
16. 3lim2
xfx
4lim2
xfx
existe No lim0
xfx
xfxfxx
22
limlim
V. Considera la función parte entera x xf
17. Si Zn , ¿cuánto valen los límites laterales de f en n?
18. ¿Existe x limnx
cuando Zn ?
19. Si Zn , ¿qué ocurre los límites laterales x limnx
y x limnx
?
VI. Determina el valor de los límites de acuerdo con la gráfica
20. xgx 0lim
21. xgx 0lim
22. xgx 2lim
23. xgx 2lim
24. xgx 2lim
25. xgx 4lim
VII. Responde las siguientes preguntas
26. Si cxfax
lim y cxfax
lim , ¿para qué valor de c xfax
lim existe?
27. Si 5lim 2
0
axf
x; 1lim
0
axf
x y además existe lim
0xf
x, ¿cuánto vale xf
x 0lim
?
VIII. Si 1
1
xfLim
x ; 3
1
xgLim
x y 2
1
xhLim
x , aplique las propiedades de los límites para que encuentre lo que se pide
28. xhxfLimx
31
29. xhxgxfLimx
1
30. 31
4 xgxfLimx
31.
xhxg
xfLimx 431
32. xg
xfxhLim
x 41
33.
xg
xhxfLimx
2
1
24
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EVALUACIÓN
IX. Calcula el valor de los siguientes límites
34. 453 2
1
xxLim
x
35. 22 232 axxLimax
36. 2
83
2
x
xLimx
37. 12
2
x
xeLim
38. 3
12
x
xLim
39. 22
123 xxLim
x
40.
54
433
2
x
xLimx
41. 3
652
3
x
xxLimx
42. 81
xxLimx
43. x
axLim
ax 3
22
con 0a
44. 2232
322 xxxLim
x
45. 3
12
x
xxLim
46. 3
2
11
x
xLimx
47. 5
23
0
x
eeLim
xx
x
X. Demuestra o refuta los siguientes resultados
48. Si cxfLimax
y dxgxfLimax
; entonces xgLimax
existe y equivale a cd .
49. Si xfLimax
existe, entonces 1
12 xf
Limax
también existe.
XI. Calcular el valor de cada límite
50. 21172
3522
2
7
xx
xxLimx
51. 42
13 2
2
x
xLimx
52. 23
32
1
x
xLimx
53. 1
42
3
x
xLimx
54. 2
113
2
x
xLimx
55.
h
xhxLimh
33
0
XII. Determina el valor de los siguientes límites
56. 32
122
2
1
xx
xxLimx
57. 1
133
1
x
xxLimx
58. 12
1582
2
3
xx
xxLimx
59. 6
3522
2
3
xx
xxLimx
60. 185
21
3
x
xLimx
61. 2
11
2
x
xLimx
62. 32
122
2
2
xx
xxLimx
63. 352
30112
2
5
xx
xxLimx
64. 1
133
5
x
xxLimx
65. xx
xxLimx 98
762
3
0
66. 2
11
10
x
xLimx
67. 12
162
2
4
xx
xLimx
68. 8
18923
23
2
x
xxxLimx
69. xx
xxLimx 98
762
3
1
70. 49
3227
x
xLimx
71. 12
1582
2
3
xx
xxLimx
72. x
xxLimx
11
0
73. 1
131
x
xLimx
74.
h
xhxLimh
22
0
75. h
xhxLimh
0
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EVALUACIÓN
XIII. Calcular el valor de cada límite
76.
x
xLimx
sec3
tan2
77. x
xLimx sin
csc2
2
78. x
xLimx
5sin
0
79. x
xLimx 4sin
3sin
0
80.
2
2
0 2
sin53
x
xxxLimx
XIV. Determina el valor de los siguientes límites
81. x
xLimx
4sin
2
82. x
xLimx 4sin
3cos1
0
83. x
xLimx cot
cos
2
84. xx
xLimx 2cos
3tan2
2
0
85. 20 5
5cos
x
xxxLimx
86. x
xLimx 3
cos1 2
0
XV. Responda la siguiente pregunta. ¿Para qué valores de a xLimax
tan
no existe?. Explique su
respuesta.
XVI. Demuestre que
n
m
nx
mxLimx
sin
0, con m y n diferentes de cero.
XVII. Demuestre formalmente que 0cos1
0
x
xLimx
. (Sugerencia: multiplique por la conjugada del
numerador y utilice el hecho de que 1sin
0
x
xLimx
)
XVIII. Determina, en caso de existir, el valor de los siguientes límites. Justifica los procedimientos.
87.
xxLimx
1
1
1
88. 5
762
x
xxLimx
89. 726
74
954
23
xxxx
xxxLimx
90. 24
1
xxLimx
91. x
xLimx 3
52
92. 14
8524
24
x
xxLimx
XIX. Encuentra una función que cumplas las condiciones propuestas en cada caso.
93.
xfLimx 0
94.
xfLimx 0
y
xfLimx 0
XX. Determine el valor de los siguientes límites
95. 57
48
0 4
23
xx
xxLimx
96. 1
32
1
x
xLimx
97. 5
13 2
5
x
xLimx
98. 2
14
2
x
xLimx
99. 9
5
23
x
xLimx
100. 20 1
1
xLimx