c) Problemas de Programacion Lineal Resueltos

Investigacin Operativa I Programacin Lineal

Oswaldo Paul Rivadeneira Pgina: 1

EJERCICIOS DE PROGRAMACION LINEAL 1. RMC es una empresa pequea que produce diversos productos qumicos. En un

proceso de produccin en particular se utilizan tres materia primas para elaborar dos productos: un aditivo para combustible y una base disolvente. El aditivo para combustible se vende a empresas petroleras y se utiliza en la produccin de gasolina y otros combustibles relacionados. La base disolvente se vende a varias empresas qumicas y se utiliza tanto para productos de limpieza para el hogar como industriales. Para formar el aditivo para combustible y la base de disolvente de mezclan tres materia primas, segn apara ce en la siguiente tabla.

NECESIDADES DE MATERIA PRIMA POR TONALADA

Producto

Materia Prima

1 2 3

Aditivo para combustible 2/5 0 3/5

Base disolvente 1/2 1/5 3/10

Utiliza toneladas de materia prima 1 en cada tonelada de base de disolvente.

La produccin de RMC est limitada por la disponibilidad de las tres materia primas. Para el perodo de produccin actual, RMC tiene disponibles las cantidades siguientes de cada una de las materia primas

Materia Prima

Cantidades disponibles para la produccin

Materia prima 1 20 toneladas

Materia Prima 2 5 toneladas

Materia prima 3 21 toneladas

Debido a deterioro y la naturaleza del proceso de produccin, cualquier materia prima que no se utilice para produccin actual resulta intil y debe descartarse.

El departamento de control de calidad ha analizado las cifras de produccin, asignando todos los costos correspondientes, y para ambos productos lleg a precios que resultarn en una contribucin a la utilidad de 40 dlares por tonelada de aditivo para combustible producida y de 30 dlares por cada tonelada de base disolvente producido. La administracin de RMC, despus de una anlisis de la demanda potencial, ha concluido que los precios establecidos asegurarn la venta de todo el aditivo para combustible y de toda la base disolvente que se produzca.

El problema de RMC es determinar cuntas tonelada de cada producto deber producir para maximizar la contribucin total de la utilidad. Si Ud. Estuviera a cargo de la programacin de la produccin para RMC. qupe decisin tomara? Esto es, Cuntas tonaladas de aditivo para combustible y cuntas toneladas



de base disolvente producira usted para el perodo actual de produccin? Escriba sus decisiones abajo y encuentre sus resultados.1

Solucin: Diseo del modelo matemtico:

Definicin de variables

X1 = nmero de toneladas de aditivo para combustible X2 = nmero de toneladas de base disolvente

Funcin objetivo: Maximizar la contribucin a la utilidad, Z = 40 X1 + 30 X2

Restricciones Toneladas de materia prima 1 2/5X1 + 1/2X2 20 Toneladas de materia prima 2 1/5X2 5 Toneladas de materia prima 3 3/5X1 + 3/10X2 21

No negatividad Xi 0; i=1,2

Entrada de datos para Solver

Salida de resultados

1 Anderson Sweeney Willams. Mtodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edicin. Editorial

Thomson. Pgina 220.



Informe del problema:

Orden de produccin: 25 toneladas de aditivo 20 toneladas de base disolvente

con: 20 toneladas de materia prima 1, 4 toneladas de materia prima 2, y 21 toneladas de materia prima 3

2. Innis Investments administra fondos de empresas y clientes pudientes. La

estrategia de inversin se adecua a las necesidades de cada cliente. Para un cliente nuevo, a Innis se le ha autorizado invertir hasta 1200.00 dlares en fondos de inversin: un fondo de acciones y un fondo del mercado de dinero. Cada unidad del fondo de acciones cuesta 50 dlares, con una tasa de rendimiento anual de 10%; cada unidad del fondo de mercado de dinero cuesta 100 dlares, con una tasa de rendimiento anual de 4%.

El cliente desea minimizar el riesgo, pero quiere tener un ingreso anual sobre la inversin de por lo menos 60.000 dlares. De acuerdo con el sistema de medicin del riesgo del Innis, cada unidad adquirida en el fondo de acciones tiene un ndice de riesgo del 8, y cada unidad adquirida en el fondo de mercado de dinero tiene un ndice de riesgo de 3. El ndice de riesgo ms elevado con el fondo de acciones indica, simplemente que se trata de un a inversin ms riesgosa. El cliente de Innis tambin ha especificado que se inviertan por lo menos 3.000 dlares en el fondo de mercado de dinero. Cuntas de cada uno de los fondos deber adquirir Innis para el cliente, si el objetivo es minimizar el ndice de riesgo total para esa cartera?2

Solucin: Diseo del modelo matemtico:

Definicin de variables X1 = nmero de unidades adquiridas en el fondo de acciones X2 = nmero de unidades adquiridas en el fondo del mercado de dinero

Funcin objetivo: Minimizar el riesgo, Z = 8 X1 + 3 X2

Restricciones Fondos disponibles 50X1 + 100X2 1200.000 Ingreso anual 5 X1 + 4X2 60.000 Unidades en fondo 100X2 3.000


Thomson. Pgina 242.




Entrada de datos para Solver

Datos de salida del Solver

Informe de asesora: Innis Investments aconseja al cliente que adquiera 400 unidades a 50 dlares cada una en Acciones y 10.000 unidades a 100 dlares cada en el mercado de dinero para obtener una ganancia de 62.000 dlares al ao.

3. PAR es un pequeo fabricante de equipo y accesorios para golf cuyo distribuidor lo convenci de que existe un mercado tanto para la bolsa de golf de precio medio, conocida como modelo estndar, como para una bolsa de golf de precio elevado, conocida como modelo deluxe. El distribuidor tiene tanta confianza en el mercado que si PAR puede fabricar las bolsas a un precio competitivo, el distribuidor est de acuerdo en adquirir todas las bolsas que PAR pueda fabricar en los siguientes tres meses. Un anlisis cuidadoso de los requerimientos de fabricacin dieron como resultado la tabla siguiente, que muestra las necesidades de tiempo de produccin para las cuatro operaciones de manufactura requeridas y la estimacin por parte del departamento de contabilidad de la contribucin a la utilidad por bolsa.

Tiempo de produccin Utilidad por Corte y Costura Terminado Inspeccin



Producto teido y empaque Bolsa

Estndar 7/10 1/2 1 1/10 $10

Deluxe 1 5/6 2/3 1/4 $9

El director da manufactura estima que durante los siguientes tres meses estarn disponibles 630 horas de tiempo de corte y teido, 600 horas de tiempo de costura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspeccin y empaque para la produccin de las bolsas de golf.

a) Si la empresa desea maximizar la contribucin total a la

utilidad,Cuntas bolsas de cada modelo deber fabricar? b) Qu contribucin a la utilidad puede obtener PAR de estas cantidades

de produccin? c) Cuntas horas de produccin se programarn para cada operacin? d) Cul es el tiempo de holgura de cada operacin?3

Solucin: Formulacin del modelo: Definicin de variables

X1 = Cantidad de unidades de bolsas de golf estandar X2 = Cantidad de unidades de bolsas de golf de lujo

Funcin Objetivo Z max = 10X1 + 9X2

Restricciones 0.7X1 + 1.0X2 630 Horas de Corte y teido 0.5X1 + 0.8334X2 600 Horas de Costura 1.0X1 + 0.6667X2 708 Horas de Terminado 0.1X1 + 0.25X2 35 Horas de Inspeccin y Empaque


Solucin grfica:


Thomson. Pgina 264. Problema 15.



Entrada de datos Solver:

Solucin Solver:



a) Debe fabricar 539,98 bolsas de golf estndar y 252,01 bolsas de golf de Lujo.

b) Contribucin total = $ 7.667,942 c) Se programarn 620 horas de Corte y Teido, 480.02 horas de Costura,

708 horas de Terminado y 117 horas de Inspeccin y Empaque. d) Los tiempos de holgura son de 119.98 para Costura y 18 horas para

Inspeccin y Empaque. Las operaciones de Corte y Teido, y Terminado no tienen holgura.

4. PAR es un pequeo fabricante de equipo y accesorios para golf cuyo distribuidor

lo convenci de que existe un mercado tanto para la bolsa de golf de precio medio, conocida como modelo estndar, como para una bolsa de golf de precio elevado, conocida como modelo Deluxe. El distribuidor tiene tanta confianza en el mercado que si PAR puede fabricar las bolsas a un precio competitivo, el distribuidor est de acuerdo en adquirir todas las bolsas que PAR pueda fabricar en los siguientes tres meses. Un anlisis cuidadoso de los requerimientos de fabricacin dieron como resultado la tabla siguiente, que muestra las necesidades de tiempo de produccin para las cuatro operaciones de manufactura requeridas y la estimacin por parte del departamento de contabilidad de la contribucin a la unidad por bolsa.

Producto

Tiempo de produccin Utilidad por Bolsa

Corte y teido

Costura Terminado Inspeccin y empaque

Estndar 7/10 1/2 1 1/10 $10

Deluxe 1 5/6 2/3 1/4 $9

El director da manufactura estima que durante los siguientes tres meses estarn disponibles 630 horas de tiempo de corte y teido, 600 horas de tiempo de costura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspeccin y empaque para la produccin de las bolsas de golf. Resuelva el problema descrito y luego responda a las siguientes preguntas:

a) El departamento de contabilidad revisa su estimacin de contribucin a la utilidad para la bolsa Deluxe a 18 dlares por bolsa.

b) Aparece disponible una nueva materia prima de bajo costo para la bolsa estndar, y la contribucin a la unidad por la bolsa estndar puede incrementarse a 20 dlares por bolsa. (suponga que la contribucin a la utilidad por la bolsa Deluxe es el valor original de 9 dlares)

c) Se puede obtener nuevo equipo de costura que incrementar la capacidad de operacin de costura a 750 horas.(suponga que 10X1 + 9X2 es la funcin objetivo apropiada)



Si cada una de estas situaciones se encuentra por separado, Cul sera la solucin ptima y la contribucin total a la utilidad?4

Solucin: Formulacin del modelo:

Definicin de variables X1 = Cantidad de unidades de bolsas de golf estandar X2 = Cantidad de unidades de bolsas de golf de lujo


Restricciones 0.7X1 + 1.0X2 630 Horas de Corte y teido 0.5X1 + 0.8334X2 600 Horas de Costura 1.0X1 + 0.6667X2 708 Horas de Terminado 0.1X1 + 0.25X2 135 Horas de Inspeccin y Empaque


Solucin GLP

4 Anderson Sweeney Willams. Mtodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edicin. Editorial Thomson. Pgina 265. Problema 16.

0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 780 840 900 960 1020 1080 1140 1200

0

35

70

105

140

175

210

245

280

315

350

385

420

455

490

525

560

595

630

665

700X2

X1

: 0.7000 X1 + 1.0000 X2 = 630.0000

: 0.5000 X1 + 0.8334 X2 = 600.0000

: 1.0000 X1 + 0.6667 X2 = 708.0000

: 0.1000 X1 + 0.2500 X2 = 135.0000

Payoff: 10.0000 X1 + 9.0000 X2 = 7667.9417

Optimal Decisions(X1,X2): (539.9842, 252.0110)

: 0.7000X1 + 1.0000X2



Entrada de datos Solver:

Solucin Solver:

a)

b)



c)

La solucin ptima es la alternativa b) donde se incrementa la contribucin a la utilidad de las bolsas estndar a $20 y su contribucin total es de $ 14.160 fabricando slo bolsas de golf estndar.

5. Kelson Sporting Equipment fabrica dos modelos de guantes de bisbol: uno normal y una manopla de catcher. La empresa tiene disponibles 900 horas de tiempo de produccin en su departamento y corte y costura, 300 horas disponibles en el departamento de terminado y 100 horas disponibles en el departamento de empaque y embarque. Los requerimientos de tiempo de produccin y la contribucin a la utilidad de cada uno de losa productos es:

Modelo

Tiempo de produccin(horas) Utilidad por Guante

Corte y costura

Terminado Empaque y embarque

Normal 1 1/2 1/8 $5

Catcher 3/2 1/3 1/4 $8

Suponga que la empresa est interesada en maximizar la contribucin total de la utilidad. a) Cul es el modelo de programacin lineal para este problema? b) Encuentre la solucin ptima. Cuntos guantes de cada modelo deber

fabricar Kelson?



c) Cul es la contribucin total a la utilidad que puede ganar Nelson con las cantidades de produccin arriba citadas?

d) Cuntas horas de produccin seran programadas en cada departamento?

e) Cul es el tiempo libre de cada departamento?5 Solucin: a) Formulacin del modelo: Definicin de variables

X1 = Cantidad de guantes de Bisbol normal X2 = Cantidad de guantes de Bisbol tipo Manopla


Restricciones X1 + 1.5X2 900 horas de Corte y Costura 0.5X1 + 0.3334X2 300 horas de Terminado 0.125X1 + 0.25X2 100 horas de Empaque y Embarque


Solucin GLP




Datos de entrada de Solver:

Salida del Solver:

0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 780 840 900 960 1020 1080 1140 1200

0

35

70

105

140

175

210

245

280

315

350

385

420

455

490

525

560

595

630

665

700X2

X1: 1.0 X1 + 1.5 X2 = 900.0

: 0.5 X1 + 0.3 X2 = 300.0

: 0.1 X1 + 0.3 X2 = 100.0

Payoff: 5.0 X1 + 8.0 X2 = 3699.9


: 1.0X1 + 1.5X2



6. George Johnson hered recientemente una gran suma de dinero; desea utilizar

parte de este dinero para establecer un fideicomiso para sus dos hijos. El fideicomiso tiene dos opciones de inversin: (1) un fondo de bonos y (2) un fondo de acciones. Los rendimientos proyectados durante la vida de las inversiones son 6% para el fondo de bonos y 10% para el de acciones. Independientemente de la porcin de la herencia que finalmente decida comprometer al fideicomiso, desea invertir por lo menos 30% de dicha cantidad en el fondo de bonos. Adems, desea seleccionar una combinacin que le permita obtener un rendimiento total de por lo menos 7.5%.

a) Formule un modelo de programacin lineal que pueda utilizarse para determinar el porcentaje que debe asignarse a cada una de las posibles alternativas de inversin.

b) Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solucin grfica y por solver6

Solucin: Definicin de variables

X1 = cantidad de dinero invertido en fondo de bonos X2 = cantidad de dinero invertido en fondo de acciones

Funcin Objetivo Zmax = 1X1 + 1X2

Restricciones X1 30% (100) inversin en fondo de bonos 6% X1 + 10% X2 7.5% (100) rendimiento total X1 + X2 100 relacin entre inversiones

No negatividad Xi 0; i=1,2 Datos entrada Solver




Resultados del Solver:

Solucin grfica:

7. El propietario de Sea Warf Restaurant deseara determinar cual es la mejor forma de asignar un prosupuesto mensual de publicidad de 1.000 dlares entre



peridicos y la radio. La administracin ha decidido que por lo menos 25% del presupuesto debe utilizarse en cada uno de estos dos tipos de medios y que el monto del dinero gastado en publicidad en peridicos locales debe tener por lo menos el doble de los que se gaste en radio. Un asesor de mercadotecnia ha desarrollado un ndice que mide la exposicin del auditorio por dlar de publicidad en una escala de 0 al 100, donde valores ms elevados del ndice indican mayores exposiciones al auditorio. Si el valor del ndice para publicidad en los peridicos locales es de 50, y para el anuncio de radio es de 80, Cmo debera asignar la administracin el presupuesto de publicidad, a fin de maximizar el valor de exposicin total en el auditorio? a) Formule un modelo de programacin lineal que se pueda utilizar para

determinar la manera en que la administracin debe asignar el presupuesto de publicidad a fin de maximizar el valor de la exposicin total del auditorio.

b) Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solucin grfica y por solver7


Definicin de variables X1 = Cantidad de dlares asignados a peridicos X2 = Cantidad de dlares asignados a radio

Funcin Objetivo Zmax= 50X1 + 80X2

Restricciones X1 0.25(X1 + X2) mnimo para peridicos X2 0.25(X1 + X2) mnimo para radio X1 2X2 relacin peridicos y radio X1 + X2 1000 presupuesto


Solucin GLP




8. Invesment Advisors es una empresa de corretaje que administra carteras de valores para clientes. Un cliente nuevo ha solicitado que la empresa maneje una cartera de inversiones de $80.000. Como estrategia inicial de inversin, el cliente desea restringir la cartera a una combinacin de las acciones siguientes:

Accin Precio por Accin

Rendimiento anual estimado por accin

ndice de riego

U.S. OIL $25 $3 0.50

Hub Properties $50 $5 0.25

El ndice de riesgo por accin es una clasificacin del riesgo relativo de dos alternativas de inversin. Para los datos dados, se piensa que U.S. OIL es la inversin sujeta a ms riesgo. Al restringir el riesgo total de la cartera, la firma de inversiones evita colocar cantidades excesivas de la cartera en inversiones potencialmente de rendimiento alto y riesgo elevado. Para la cartera actual se ha establecido un lmite superior a 700 para el ndice de riesgo total de todas las inversiones, tambin la empresa ha establecido un lmite superior de 1.000 acciones para los valores U.S. OIL ms riesgosos. Cuntas acciones de cada uno de estos valores deben ser adquiridos a fin de maximizar en rendimiento anual total?8 Solucin:


0 33 66 99 132 165 198 231 264 297 330 363 396 429 462 495 528 561 594 627 660

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

400

X2

X1

: 0.75 X1 - 0.25 X2 = 0.00

: -0.25 X1 + 0.75 X2 = 0.00

: 1.00 X1 - 2.00 X2 = 0.00

: 1.00 X1 + 2.00 X2 = 1000.00

Payoff: 50.00 X1 + 80.00 X2 = 46000.00


: 0.75X1 - 0.25X2 >= 0.00

: -0.25X1 + 0.75X2 >= 0.00

: 1.00X1 - 2.00X2 >= 0.00

: 1.00X1 + 2.00X2



Formulacin del modelo:

Definicin de variables X1 = Cantidad de acciones en U.S.Oil X2 = Cantidad de acciones en Hub Properties


Restricciones 0.50X1 + 0.25X2 700 por riesgo X1 1000 inversin en U.S. OIL 25X1 + 50X2 = 80.000 inversin en acciones


Solucion GLP

Datos de entrada SOLVER

0 49 98 147 196 245 294 343 392 441 490 539 588 637 686 735 784 833 882 931 980

07915823731639547455363271179086994810271106118512641343142215011580

X2

X1: 0.50 X1 + 0.25 X2 = 700.00

: 1.00 X1 + 0.00 X2 = 1000.00

: 25.00 X1 + 50.00 X2 = 80000.00

Payoff: 3.00 X1 + 5.00 X2 = 8400.00


: 0.50X1 + 0.25X2



PLANIFICACION TRABAJO INVESTMENT ADVISORS

Acciones U.S.Oil HUB Cantidad 1 1 max

Contrib. Utilidad 3 5 8

Restricciones Utilizado

Lmite No Utiliz

Riesgo 0,5 0,25 0,75 700 699,25

En U.S.Oil 1 1 1000 999

Inversin 25 50 75 80000 79925

Datos de salida SOLVER

PLANIFICACION TRABAJO INVESTMENT ADVISORS

Acciones U.S.Oil HUB Cantidad 800 1200 max



Lmite No Utiliz

Riesgo 0,5 0,25 700 700 -7,4E-10

En U.S.Oil 1 800 1000 200

Inversin 25 50 80000 80000 -7,3E-08

9. Toms produce varios productos alimenticios mexicanos y los vende a Western

Foods, cadena de tiendas de abarrotes localizada en Texas y Nuevo Mxico. Toms fabrica dos salsas: Western Foods Salsa y Mxico City Salsa. Esencialmente, ambos productos son mezclas de tomates enteros, 30% de salsa de tomate y 20% de pasta de tomate. La Mxico City Salsa, que tiene una consistencia ms espesa y troceada, est elaborada con 70% de tomates enteros, 10% de salsa de tomate y 20% de pasta de tomate. Cada tarro de salsa producida pesa 10 onzas. Para el perodo de produccin actual, Toms puede adquirir hasta 280 libras de tomates enteros, 130 libras de salsa de tomate y 100 libras de pasta de tomate, el precio por libra de estos ingredientes es $0.96, $0.64 y $0.56 respectivamente. El costo de las especias y de los dems ingredientes es de aproximadamente $0.10 por recipiente. Toms compra tarros de vidrio vacos a $0.02 cada uno, y los costos de etiquetado y llenado se estiman en $0.03 por cada tarro de salsa producido. El contrato de Toms con Western Foods resulta en ingresos por ventas de $1.64 por cada tarro de Western Foods Salsa y de $1.93 por cada tarro de Mxico City Salsa.

a. Desarrolle un modelo de programacin lineal que le permita a Toms determinar la mezcla de salsa que maximice la contribucin total a la utilidad.

b. Haga una grfica de la regin factible. c. Resuelva las ecuaciones lineales simultneas apropiadas a fin de determinar

las coordenadas de cada punto extremo.

MI5881Sticky NoteSalsa mexicana



d. Encuentre la solucin ptima9 Solucin: Formulacin del modelo: Definicin de variables

X1 = Cantidad de tarros de salsa Western Foods X2 = Cantidad de tarros de salsa Mxico City

Funcin Objetivo Z max =

(1.64 (0.10+0.02+0.03+50%(10)(0.96)/16+30%(10)(0.64)/16+20%(10)(0.56)/16))X1 + (1.93 (0.10+0.02+0.03+70%(10)(0.96)/16+10%(10)(0.64)/16+20%(10)(0.56)/16))X2

Z max = (1.64 (0.15 + 0.3 + 0.12 + 0.07))X1 + (1.93 (0.15 + 0.42 + 0.04 + 0.07))X2

Z max = 1X1 + 1.25X2

Restricciones 5X1 + 7X2 4480 libras de tomates enteros 3X1 + 1X2 2080 libras de salsa de tomate 2X1 + 2X2 1600 libras de pasta de tomate


Solucin con GLP




Datos entrada SOLVER

Planificacin para Toms

SALSA

Western Foods

Mxico City

Cantidad de tarros 1 1 Max Utilidad 1 1.25 2.25

Restricciones Utilizado Lmite No utiliz

tomates enteros 5 7 12 4480 4468

salsa de tomate 3 1 4 2080 2076

pasta de tomate 2 2 4 1600 1596

Salida de datos SOLVER

Planificacin para Toms

SALSA

Western Foods

Mxico City

Cantidad de tarros 560 240 Max Utilidad 1 1.25 860

1 50 99 148 197 246 295 344 393 442 491 540 589 638 687 736 785 834 883 932 981

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

1000X2

X1

: 5.00 X1 + 7.00 X2 = 4480.00

: 3.00 X1 + 1.00 X2 = 2080.00

: 2.00 X1 + 2.00 X2 = 1600.00

Payoff: 1.00 X1 + 1.25 X2 = 860.00


: 5.00X1 + 7.00X2



Restricciones Utilizado Lmite No utiliz

tomates enteros 5 7 4480 4480 -6.2E-09

salsa de tomate 3 1 1920 2080 160

pasta de tomate 2 2 1600 1600 -3.7E-09

10. El editor de produccin de Rayburn Publishing Company tiene 1.800 pginas de manuscrito que debe ser revisadas. Debido al poco tiempo involucrado, slo hay dos revisores disponibles Erhan Mergen y Sue Smith. Erhan tiene diez das disponibles y Sue doce das. Erhan puede procesar 100 pginas de manuscrito por da, y Sue 150 pginas diarias. Rayburn Publishing Company ha desarrollado un ndice para medir la calidad general de un revisor en una escala de 1 (peor) a 10 (mejor). La calidad de Erhan es 9 y la de Sue es 6, adems, Erhan cobra 3 dlares por pgina de manuscrito revisado, Sue cobra 2 dlares por pgina. Se ha asignado un presupuesto de $4.800 para la revisin, cuntas pginas deben ser asignadas a cada revisor para completar el proyecto con la calidad ms elevada posible?10


X1 = cantidad de pginas revisadas por Erhan X2 = cantidad de pginas revisadas por Sue


Restricciones 3X1 + 2X2 4.800 presupuesto X1 + X2 = 1.800 nmero de pginas X1/100 10 das disponibles de Erhan X2/150 12 das disponibles de Sue


Solucin GLP





Pginas revisadas Ehran Sue Cantidad 1 1 Max

Calidad 9 6 15

Restricciones Utilizado Limite No utiliz

Presupuesto 3 2 5 4800 4795

Horas Ehran 1 1 1000 999

Horas Sue 1 1 1800 1799

Nm. Pginas 1 1 2 1800 1798

Salida SOLVER

PLANIFICACIN TRABAJO RAYBURN

Pginas revisadas Ehran Sue Cantidad 1000 800 Max

Calidad 9 6 13800


Presupuesto 3 2 4600 4800 200

0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 780 840 900 960 1020108011401200

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

2000X2

X1

: 3.0 X1 + 2.0 X2 = 4800.0

: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 1800.0

: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 1000.0

: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 1800.0

Payoff: 9.0 X1 + 6.0 X2 = 13800.0


: 3.0X1 + 2.0X2



Horas Ehran 1 1000 1000 -1,1E-10

Horas Sue 1 800 1800 1000

Nm. Pginas 1 1 1800 1800 -4,2E-09

11. Car Phones vende dos modelos de telfono para automvil: X y Y Los registros

muestran que se utilizan 3 horas de tiempo de ventas por cada modelo de telfono X vendido, y 5 horas de tiempo de ventas por cada telfono de modelo Y. Estn disponibles un total de 600 horas de venta para el siguiente perodo de cuatro semanas. Adems, las polticas de planeacin de la administracin exigen metas mnimas de ventas de 25 unidades, tanto para el X como para el Y.

a. Muestre la regin factible b. Si la empresa obtiene una contribucin a la utilidad de 40 dlares por cada

modelo X vendido y una contribucin a la utilidad de 50 dlares por cada modelo Y vendido. Cul es la meta ptima de ventas para la empresa durante el perodo de 4 semanas?

c. Desarrolle una restriccin y muestre la regin factible si la administracin agrega la restriccin que Car Phones debe vender por lo menos tantos telfonos Y como telfonos X.

d. Cul es la nueva solucin ptima si al problema se le agrega la restriccin del inciso (c)?11


Definicin de variables X1 = Nmero de unidades de telfonos modelo X X2 = Nmero de unidades de telfonos modelo Y


Restricciones 3X1 + 5X2 600 horas de venta disponibles X1 25 meta mnima de venta X2 25 meta mnima de venta


Solucin GLP





PLANIFICACION DE CAR PHONES

Telfono Modelo X

Modelo Y

Cantidad 1 1 Max Utilidad 40 50 90

Restricciones Utilizado Lmite No Utiliz

Horas disp. 3 5 8 600 592

Venta min X 1 1 25 -24

Venta min Y 1 1 25 -24

Datos de Salida SOLVER

PLANIFICACION DE CAR PHONES

Telfono Modelo X

Modelo Y

Cantidad 158,3333 25 Max Utilidad 40 50 7583,333

Restricciones Utilizado Lmite No Utiliz

Horas disp. 3 5 600 600 -1,4E-09

Venta min X 1 158,3333 25 133,3333

Venta min Y 1 25 25 2,64E-12

2

2X2

X1

: 3.0 X1 + 5.0 X2 = 600.0

: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 25.0

: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 25.0

Payoff: 40.0 X1 + 50.0 X2 = 7583.3


: 3.0X1 + 5.0X2 = 25.0

: 0.0X1 + 1.0X2 >= 25.0



12. Greentree Kennels proporciona alojamiento por una noche para mascotas. Una caracterstica particular en Greentree es la calidad del cuidado que reciben las mascotas, incluyendo una excelente alimentacin. La comida para perros de la perrera se elabora mezclado dos alimentos de marca para perros a fin de obtener lo que la perrera identifica como una dieta para perros bien balanceada. Los datos para las dos comidas con las siguientes:

Comida Costo/onza Protenas % Grasa %

Bark Bits 0.06 30 15

Canine Chow 0.05 20 30

Si Greentree desea asegurarse de que los perros reciban por lo menos 5 onzas de protenas y como mnimo 3 onzas de grasas cada da, Cul es la mezcla de costo mnimo de los alimentos para perros?12 Solucin: Formulacin del modelo: Definicin de variables

X1 = Cantidad de onzas de comida Bark Bits X2 = Cantidad de onzas de comida Canine Chow

Funcin Objetivo Zmin = 0.06X1 + 0.05X2

Restricciones 0.3X1 + 0.2X2 5 contenido de protenas 0.15 X1 + 0.3 X2 3 contenido de grasas

No negatividad Xi 0; i=1,2 Solucin GLP




Entrada de datos SOLVER PLANIFICACIN TRABAJO Greentree Kennels

Comida Bark Bits

Canine Chow

Cantidad 1 1 Min Calidad 0,06 0,05 0,11


Proteinas 0,3 0,2 0,5 5 4,5

Grasas 0,15 0,3 0,45 3 2,55

Salida de datos SOLVER PLANIFICACIN TRABAJO Greentree Kennels

Comida Bark Bits

Canine Chow

Cantidad 15 2,5 Min Calidad 0,06 0,05 1,025

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

0

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

78

84

90

96

102

108

114

120X2

X1

: 0.30 X1 + 0.20 X2 = 5.00

: 0.15 X1 + 0.30 X2 = 3.00

Payoff: 0.06 X1 + 0.05 X2 = 1.02


: 0.30X1 + 0.20X2 >= 5.00

: 0.15X1 + 0.30X2 >= 3.00




Proteinas 0,3 0,2 5 5 -3,3E-

12

Grasas 0,15 0,3 3 3 -2,2E-

12

13. La New England Cheese Company produce dos quesos crema mezclando quesos

chedar tanto suave como extrafuerte. Los quesos crema se empacan en recipientes de 12 onzas, que despus se venden a distribuidores en todo el noroeste. La mezcla Regular contiene 80% de chedar suave y 20% de extrafuerte y la mezcla Zesty contiene 60% de chedar suave y 40% de extrafuerte. Este ao, una cooperativa lechera local ha ofrecido entregar hasta 8.100 libras de queso chedar a $1.20 por libra y hasta 3.000 libras de queso chedar extrafuerte a $1.40 por libra. El costo de mezclar y empacar estos quesos crema, excluyendo el costo del queso mismo, es de $0.20 por recipiente. Si cada recipiente de Regular se vente a $1.95 y cada recipiente Zesty se vende a $2.20. Cuntos recipientes deber producir New England Cheese de Regular y Zesty?13 Solucin: Formulacin del modelo:

Definicin de variables X1 = Cantidad (en miles) de recipientes de queso Regular X2 = Cantidad (en miles) de recipientes de queso Zesty

Funcin Objetivo Zmax = (1.95 0.20 - 0.80*0.75*1.20 0.60*0.75*1.40)X1 + (2.20 2.0 0.20*0.75*1.20 0.40*0.75*1.40)X2 Zmax = 0.40X1 + 1.40X2

Restricciones 0.80*0.75X1 + 0.60*0.75X2 8,1 queso chedar suave 0.20*0.75X1 + 0.40*0.75X2 3,0 queso chedar extrafuerte


Solucin GLP




Datos de entrada SOLVER PLANIFICACION TRABAJO en New England Cheese Company

Recipientes queso Regular Zesty Cantidad en miles 1 1 max

Utilidad 0,4 1,4 1,8


Lmite No Utiliz

Queso Ch. suave 0,8 0,6 1,4 10,8 9,4

Tiempo prod. min 0,2 0,4 0,6 4 3,4


Recipientes queso Regular Zesty Cantidad en miles 0 10 max

Utilidad 0,4 1,4 14


Lmite No Utiliz

Queso Ch. suave 0,8 0,6 6 10,8 4,8

Tiempo prod. min 0,2 0,4 4 4 -5,5E-12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10X2

X1

: 0.8 X1 + 0.6 X2 = 10.8: 0.2 X1 + 0.4 X2 = 4.0

Payoff: 0.4 X1 + 1.4 X2 = 14.0

Optimal Decisions(X1,X2): ( 0.0, 10.0)

: 0.8X1 + 0.6X2



14. Los administradores de Healthtech Foods estn considerando desarrollar un nuevo bocadillo bajo en grasas. Se trata de una mescla de dos tipos de cereales, cada una de ellos con distintas caractersticas en fibras, grasas y protenas. La tabla siguiente muestra estas caractersticas por onza de cada tipo de cereal.

Cereal

Fibra diettica (gramos)

Grasas (gramos)

Protenas (gramos)

A 2 2 4

B 1.5 3 3

Note que cada onza de cereal A proporciona dos gramos de fibra diettica y que cada onza de cereal B da 1.5 gramos de fibra diettica, por lo que si Healthtech fuera a desarrollar el nuevo producto utilizando una mezcla formada de 50% de cereal A y 50% de cereal B, una onza de ste contendra 1.75 gramos de fibra diettica. Los requisitos nutricionales de Healthtech exigen que cada onza del nuevo alimento tenga por lo menos 1.7 gramos de fibra diettica, no ms de 2.8 gramos de grasa y no ms de 3.6 gramos de protenas. El costo del cereal A es de $0.02 por onza y el del B es de $0.025 por onza. Healthtech desea determinar cunto de cada cereal es necesario para producir una onza del nuevo producto al menor costo posible.

a. Formule el modelo de programacin lineal para esta situacin b. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solucin grfica c. Cules son las variables de holgura y de excedente d. Si Healthtech pone en el mercado el nuevo cereal en un paquete de 8 onzas.

Cul sera el costo del paquete?14 Solucin: Formulacin del modelo:

Definicin de variables X1 = Cantidad de onzas de cereal A X2 = Cantidad de onzas de cereal B

Funcin Objetivo Zmin = 0.02X1 + 0.025X2

Restricciones 2X1 + 1.5X2 1.7 por fibra diettica 2X1 + 3X2 2.8 por grasas 4X1 + 3X2 3.6 por protenas X1 + X2 = 1 onzas






Planificacion de Healthtech Foods

Cereal A B Cantidad en onzas 1 1 min

Costo 0,02 0,025 0,045


Lmite No Utiliz

fibra diettica 2 1,5 3,5 1,7 1,8

por grasas 2 3 5 2,8 -2,2

por proteinas 4 3 7 3,6 -3,4

Datos salida SOLVER

Planificacion de Healthtech Foods

Cereal A B Cantidad en onzas 0,85 0 min

0 1

0

1X2

X1: 2.000 X1 + 1.500 X2 = 1.700

: 2.000 X1 + 3.000 X2 = 2.800

: 4.000 X1 + 3.000 X2 = 3.600

Payoff: 0.020 X1 + 0.025 X2 = 0.017


: 2.000X1 + 1.500X2 >= 1.700

: 2.000X1 + 3.000X2



Costo 0,02 0,025 0,017


Lmite No Utiliz

fibra diettica 2 1,5 1,7 1,7 9,12E-

13

por grasas 2 3 1,7 2,8 1,1

por proteinas 4 3 3,4 3,6 0,2

15. MD Chemical produce dos productos que se venden como materia prima para empresas fabricantes de jabones para bao, detergentes para lavandera y otros productos de jabn. Apoyndose en un anlisis de los niveles actuales de inventarios y de la demanda potencial para el mes siguiente, la administracin

de MD ha especificado que la produccin total de los productos 1 y 2

combinados debe ser de por lo menos 350 galones. Adems debe cumplir con un pedido de un cliente de importancia de 125 galones del producto 1. El tiempo de procesado del producto 1 requiere dos horas por galn, y del producto 2 requiere de una hora; para el mes siguiente, hay disponibilidades de 600 horas de proceso. Los costos de produccin son 2 dlares por galn del producto 1 y 3 dlares del producto 2.

a. Determine las cantidades de produccin que satisfagan los requisitos especificados al costo mnimo.

b. Cul es el costo total del producto? c. Identifique la cantidad de cualquier produccin excedente.15 Solucin: Formulacin del modelo:

Definicin de variables X1 = Cantidad de galones del producto 1 X2 = Cantidad de galones de producto 2

Funcin Objetivo Zmin = 2X1 + 3X2

Restricciones X1 + X2 350 galones producidos X1 125 pedido de un cliente 2X1 + 1X2 600 horas de proceso






Planificacion de 55. M&D Chemical

Producto 1 2 Cantidad galones 1 1 min

Costo 2 3 5


Lmite No Utiliz

Galones producidos 1 1 2 350 -348

Pedido cliente 1 1 125 124

Horas proceso 2 1 3 600 597

Datos salida SOLVER

Planificacion de M&D Chemical

Producto 1 2 Cantidad galones 250 100 min

Costo 2 3 800

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

0

22

44

66

88

110

132

154

176

198

220

242

264

286

308

330

352

374

396

418

440

X2

X1: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 350.0

: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 125.0

: 2.0 X1 + 1.0 X2 = 600.0

Payoff: 2.0 X1 + 3.0 X2 = 800.0


: 1.0X1 + 1.0X2 >= 350.0

: 1.0X1 + 0.0X2 >= 125.0

: 2.0X1 + 1.0X2




Lmite No Utiliz

Galones producidos 1 1 350 350 8,11E-10

Pedido cliente 1 250 125 -125

Horas proceso 2 1 600 600 -2,9E-10

16. Photo Chemicals produce dos tipos de fluido para revelado fotogrfico. Ambos

productos le cuestan a la empresa un dlar por galn producirlos. Con base e una anlisis de niveles actuales de inventario y en las rdenes en mano para el mes siguiente, la administracin de Photo Chemicals ha decidido que durante las siguientes dos semanas se produzcan por los menos 30 galones del producto 1 y por lo menos 20 galones del producto 2. Tambin ha dicho la administracin que en el transcurso de las siguientes dos semanas debe utilizarse el inventario existente de una materia prima muy perecedera necesaria en la produccin de ambos fluidos. El inventario actual de esta materia prima muy perecedera es de 80 libras. Aunque de ser necesario se puede ordenar ms de esta materia prima, cualquier parte del inventario actual no utilizada se echar a perder dentro de las siguientes dos semanas; de ah el requerimiento de la administracin de que por lo menos se utilicen las 80 libras en las siguientes dos semanas. Adems, el producto 1 requiere de una libra de esta materia prima perecedera por galn, y el producto 2 requiere 2 libras de la materia prima por galn. Dado que el objetivo de la administracin es mantener los costos de produccin al mnimo nivel posible, estn buscando un plan de produccin de costo mnimo que utilice la totalidad de las 80 libras de la materia prima perecedera y que obtenga por lo menos 30 galones del producto 1 y por lo menos 20 galones del producto 2. Cul es la solucin de costo mnimo?16 Solucin: Formulacin del modelo:

Definicin de variables X1 = Cantidad de galones de fluido tipo 1 X2 = Cantidad de galones de fluido tipo 2

Funcin Objetivo Zmin = X1 + X2

Restricciones X1 30 produccin mnima de producto 1 X2 20 produccin mnima de producto 2 X1 + 2X2 80 libras de materia prima





Solucion GLP

17. Bryants Pizza es un productor de pizzas congeladas. La empresa tiene una

utilidad de un dlar por cada pizza normal que produzca y de 1.5 dlares por cada pizza de lujo. Cada pizza incluye una combinacin de pasta de harina y de mezcla de relleno. Actualmente la empresa tiene 150 libras de mezcla de pasta y de 50 libras de mezcla de relleno. Cada pizza normal utiliza una libra de mezcla de pasta de harina y 4 onzas de mezcla de pasta de relleno. Cada pizza de lujo utiliza una libra de mezcla de pasta de harina y 8 onzas de mezcal de relleno. Con base en la demanda del pasado, Bryant puede vender por lo menos 50 pizzas normales y por lo menos 25 pizzas de lujo. Cuntas pizzas normales y de lujo deber fabricar la empresa para maximizar la utilidad?

a. Cul es el modelo de programacin lineal para este problema? b. Escriba este programa lineal en su forma estndar. c. Encuentre la solucin ptima. d. Cules son los valores e interpretaciones de todas las variables de holgura y

de excedente? e. Qu restricciones estn asociadas con recursos limitantes?17 Solucin: Formulacin del modelo:


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

012345678910111213141516171819202122232425X2

X1

: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 30.0

: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 20.0

: 1.0 X1 + 2.0 X2 = 80.0

Payoff: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 60.0


: 1.0X1 + 0.0X2 >= 30.0

: 0.0X1 + 1.0X2 >= 20.0

: 1.0X1 + 2.0X2



Definicin de variables X1 = Cantidad de Pizzas Normales X2 = Cantidad de Pizzas De Lujo

Funcin Objetivo Zmax = 1X1 + 1.5X2

Restricciones X1 + X2 150 pasta de harina 0.25X1 + 0.5X2 50 pasta de relleno X1 50 venta de pizzas Normales X2 25 venta de pizzas De Lujo


Solucin GLP

Datos de entrada SOLVER PLANIFICACION TRABAJO BRYANT'S PIZZA

Pizzas Normal Lujo Cantidad 1 1 max

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

0

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

88

96

104

112

120

128

136

144

152

160

X2

X1

: 1.00 X1 + 1.00 X2 = 150.00

: 0.25 X1 + 0.50 X2 = 50.00

: 1.00 X1 + 0.00 X2 = 50.00

: 0.00 X1 + 1.00 X2 = 25.00

Payoff: 1.00 X1 + 1.50 X2 = 175.00


: 1.00X1 + 1.00X2 = 25.00



Utilidad 1 1,5 2,5


Lmite No Utiliz

Pasta harina 1 1 2 150 148

Relleno 0,25 0,5 0,75 50 49,25

Pizzas Normales 1 1 50 -49

Pizzas Lujo 1 1 25 -24

Datos de salida SOLVER PLANIFICACION TRABAJO BRYANT'S PIZZA

Pizzas Normal Lujo Cantidad 100 50 max

Utilidad 1 1,5 175


Lmite No Utiliz

Pasta harina 1 1 150 150 -3,4E-10

Relleno 0,25 0,5 50 50 -6E-11

Pizzas Normales 1 100 50 50

Pizzas Lujo 1 50 25 25

18. English Motors, Ltd. (EML), ha desarrollado un nuevo vehculo deportivo de

utilera, con traccin en la cuatro llantas. Como parte de la campaa de mercadotecnia, EML ha desarrollado una presentacin de ventas en video cinta que se enviar tanto a propietarios de vehculos de traccin en las cuatro ruedas EML actuales, como a propietarios de vehculos utilitarios deportivos de cuatro ruedas ofrecidos por los competidores EML se refiere a estos dos mercados objetivo como mercado de clientes actual y mercado de clientes nuevo. Los individuos que reciban el nuevo video promocional tambin recibirn un cupn para un recorrido de prueba del nuevo modelo EML, durante un fin de semana. Un factor clave en el xito de esta nueva promocin es la tasa de respuesta, es decir el porcentaje de individuos que reciban la nueva promocin y hagan el recorrido de prueba del nuevo modelo, EML estima que la tasa de respuesta para el mercado de clientes actual es de 25% y para el mercado de cliente nuevo es de 20%. La tasa de ventas es el porcentaje de individuos que reciba la nueva promocin, haga el recorrido de prueba y efecte la compra. Los estudios de investigacin de mercado indican que la tasa de ventas el de 12% para el mercado de clientes actual y de 20% para el mercado de clientes nuevo. El costo de cada promocin, excluyendo los costos de recorrido de prueba, es de 5 dlares por cada promocin enviada al mercado de clientes actual y de 4 dlares por cada promocin enviada al mercado de clientes nuevo. La administracin tambin ha decidido que se deber enviar la nueva promocin a un mnimo d 30.000 clientes actuales y a un mnimo de 10.000 clientes nuevos. Adems, el nmero de clientes actuales que haga el recorrido de prueba del



nuevo vehculo debe ser de por lo menos el doble del nmero de clientes nuevos que hagan recorrido de prueba del nuevo vehculo. Si el presupuesto de mercadotecnia, incluyendo los costos del recorrido de prueba, es de 1200.000 dlares, Cuntas promociones debern ser enviadas a cada grupo de clientes para maximizar las ventas totales?18 Solucin: Formulacin del modelo:

Definicin de variables X1 = Cantidad de promociones enviadas a clientes actuales X2 = Cantidad de promociones enviadas a clientes nuevos

Funcin Objetivo Zmax = 0.12*5X1 + 0.20*4X2

Restricciones X1 30.000 clientes actuales X2 10.000 clientes nuevos 0.25X1 2*0.20X2 relacin entre clientes que responden a la promocin 5X1 + 4X2 1200.000 presupuesto


Solucin GLP




Datos de entrada SOLVER PLANIFICACION TRABAJO ENGLISH MOTOR LTD.

Promociones Clientes Actuales

Clientes Nuevos

Cantidad en miles 1 1 max

Ventas 0,6 0,8 1,4


Lmite No Utiliz

Clientes actuales 1 1 30 29

Clientes nuevos 1 1 10 9

Relacion clientes 0,25 -0,4 -0,15 0 -0,15

Presupuesto 5 4 9 1200 -1191

Datos salida SOLVER PLANIFICACION TRABAJO ENGLISH MOTOR LTD.

Promociones Clientes Actuales

Clientes Nuevos

Cantidad en miles 160 100 max

Ventas 0,6 0,8 176

0 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260

0

13

26

39

52

65

78

91

104

117

130

143

156

169

182

195

208

221

234

247

260

273

X2

X1

: 1.00 X1 + 0.00 X2 = 30.00

: 0.00 X1 + 1.00 X2 = 10.00

: 0.25 X1 - 0.40 X2 = 0.00

: 5.00 X1 + 4.00 X2 = 1200.00

Payoff: 0.60 X1 + 0.80 X2 = 176.00


: 1.00X1 + 0.00X2 >= 30.00

: 0.00X1 + 1.00X2 >= 10.00

: 0.25X1 - 0.40X2 >= 0.00

: 5.00X1 + 4.00X2




Lmite No Utiliz

Clientes actuales 1 160 30 -130

Clientes nuevos 1 100 10 -90

Relacion clientes 0,25 -0,4 -1,1E-11 0 -1,1E-11

Presupuesto 5 4 1200 1200 2,78E-09

19. Creative Sports Designs (CSD) fabrica raquetas de tamao estndar y extragrande. Las raquetas de la empresa son extremadamente ligeras, debido a uso de una aleacin de magnesio y grafito inventada por el fundador de la empresa. Cada raqueta de tamao estndar utiliza 0,125 kilos de aleacin y cada raqueta extragrande utiliza 0,4 kilos; para el siguiente perodo de produccin de dos semanas slo hay disponibles 80 kilos de aleacin. Cada raqueta de tamao estndar ocupa 10 minutos de tiempo de fabricacin y cada raqueta de tamao extragrande ocupa 12 minutos. Las contribuciones a la utilidad son de 10 dlares por cada raqueta estndar y de 15 dlares por cada raqueta extragrande y estn disponibles 40 horas de tiempo de produccin por semana. La administracin ha especificado que por lo menos 20% de la produccin total debe ser de raqueta de tamao estndar. Cuntas raquetas de cada tipo deber fabricar CSD en las dos semanas siguientes, a fin de maximizar la contribucin a la utilidad? Suponga que, debido a la naturaleza nica de sus productos, CSD puede vender tantas raquetas como pueda producir.19 Solucin: Formulacin del modelo:

Definicin de variables X1 = Cantidad de unidades de raquetas estandar X2 = cantidad de unidades de raquetas extra grande


Restricciones 0.125X1 + 0.4X2 80 kilos de aleacin 10X1 + 12X2 40*60 minutos de tiempo de produccin X1 0.20(X1 + X2)






PLANIFICACION TRABAJO 59. Creative Sports Designs

Raquetas Estandar Extra G Cantidad 1 1 max



Lmite No Utiliz

Kilos aleacin 0,125 0,4 0,525 80 79,475

Tiempo prod. min 10 12 22 2400 2378

20% prod estand 0,8 -0,2 0,6 0 0,6

Datos salida SOLVER

PLANIFICACION TRABAJO 59. Creative Sports Designs

Raquetas Estandar Extra G Cantidad 41,37931 165,5172 max

Contrib. Utilidad 10 15 2896,552


Lmite No Utiliz

Kilos aleacin 0,125 0,4 71,37931 80 8,62069

Tiempo prod. min 10 12 2400 2400 3,03E-10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200X2

X1

: 0.125 X1 + 0.400 X2 = 80.000

: 10.000 X1 + 12.000 X2 = 2400.000

: 0.800 X1 - 0.200 X2 = 0.000

Payoff: 10.000 X1 + 15.000 X2 = 2896.551


: 0.125X1 + 0.400X2



20% prod estand 0,8 -0,2 9,03E-11 0 9,03E-11

20. La administracin de High Tech Service (HTS) desea desarrollar un modelo que le

ayude a asignar el tiempo de sus tcnicos entre llamada de servicio por contrato a clientes tanto normales como nuevos. En el perodo de planeacin de dos semanas hay disponible un mximo de 80 horas de tiempo de tcnico. A fin de satisfacer los requisitos de flujo de caja, deben generarse por lo menos 800 dlares de ingresos (por tcnico) durante el perodo de dos semanas. El tiempo de tcnico para los clientes normales genera 25 dlares por hora, pero para clientes nuevos slo genera un promedio de 8 dlares la hora, porque en muchos casos el contacto con el cliente no llega a generar servicios facturables. Para asegurarse de que se mantienen contactos nuevos, el tiempo de tcnico utilizado en contactos con clientes nuevos debe ser por lo menos 60% del tiempo utilizado en contactos con clientes normales. Para los requerimientos de ingresos y polticas enunciadas, HTS deseara determinar cmo asignar el tiempo de los tcnicos entre clientes normales y nuevos, a fin de maximizar el nmero total de clientes en contacto durante el perodo de dos semanas. Los tcnicos requieren un promedio de 50 minutos por cada contacto de cliente normal y de una hora por cada contacto con cliente nuevo.

a. Desarrolle un modelo de programacin lineal que le permita a HTS asignar el tiempo de los tcnicos entre clientes normales y nuevos.

b. Haga una grfica de la regin factible c. Resuelva las ecuaciones lineales simultneas apropiadas para determinar los

valores de X1 y X2 en cada punto extremo de la regin factible. d. Encuentre la solucin ptima20 REFERENCIA: Pgina 274 Problema 63. Mtodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edicin. Anderson Sweeney Willams. Editorial Thomson. Solucin: Formulacin del modelo:

Definicin de variables X1 = Numero de horas de tcnico asignado a clientes normales X2 = Numero de horas de tcnico asignado a clientes nuevos

Funcin Objetivo Zmax = 60X1/50+ 60X2/60 nmero de clientes

Restricciones X1 + X2 80 horas disponibles de tcnico X2 0.6X1 relacin de tiempo de tcnico 25X1 + 8X2 800 ingresos en dlares






Solucin GLP

Entrada de datos SOLVER

PLANIFICACION TRABAJO High Tech Service

Horas de trabajo Clientes normales

Clientes nuevos

Cantidad horas 1 1 max Nmero clientes 1.2 1 2.2


Lmite No Utiliz

Horas disponibles 1 1 2 80 78

Relacin tiempo -0.6 1 0.4 0 -0.4

Ingresos 25 8 33 800 -767


PLANIFICACION TRABAJO High Tech Service

Horas de trabajo Clientes normales

Clientes nuevos

Cantidad horas 50 30 max Nmero clientes 1.2 1 90

0 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220

0

13

26

39

52

65

78

91

104

117

130

143

156

169

182

195

208

221

234

247

260

273

X2

X1

: 1.00 X1 + 1.00 X2 = 80.00

: -0.60 X1 + 1.00 X2 = 0.00: 25.00 X1 + 8.00 X2 = 800.00

Payoff: 1.20 X1 + 1.00 X2 = 90.00


: 1.00X1 + 1.00X2 = 0.00

: 25.00X1 + 8.00X2 >= 800.00




Lmite No Utiliz

Horas disponibles 1 1 80 80 -1.8E-10

Relacin tiempo -0.6 1 -2.2E-11 0 2.18E-11

Ingresos 25 8 1490 800 690

21. Jackson Hole Manufacturing es un pequeo fabricante de productos de plstico

que se utilizan en las industrias automotrices y de computacin. Tiene un importante contrato con una empresa de computadoras que implica la produccin de cajas de plstico para las impresoras porttiles de dicha empresa. Las cajas de impresora se producen en dos mquinas de moldeo por inyeccin. La mquina M100 tiene una capacidad de produccin de 20 cajas de impresora por hora y la mquina M200 tiene una capacidad de 40 cajas por hora. Ambas mquina utilizan la misma materia prima qumica para producir las cajas de impresora.; la M100 utiliza 40 libras de materia prima por hora, y la M200 utiliza 50 por hora. La empresa de computadoras le ha pedido a Jackson Hole que produzca tantas cajas durante la semana que sigue como sea posible, y la ha dicho que le pagar 18 dlares por cada caja que pueda entregar. Sin embargo, la siguiente semana es un perodo normal de vacaciones programadas para la mayor parte de los empleados de produccin de Jackson Hole. Durante este tiempo, se efecta el mantenimiento anual de todo el equipo de la planta. Debido al tiempo parado para mantenimiento, la M100 no estar disponible durante ms de 15 horas y la M200 durante ms de 10 horas. Sin embargo, en razn del elevado costo de preparacin involucrado en ambas mquinas, la administracin requiere que, si el programa de produccin en cualquiera de estas mquinas, la mquina deber operar por lo menos durante 5 horas. El proveedor de la materia qumica utilizada en el proceso de produccin le ha informado a Jackson Hole que tendr disponible un mximo de 1.000 libras de la materia prima para la produccin de la siguiente semana. El costo de la materia prima es de 6 dlares por libra. Adems del costo de la materia prima, Jackson Hole estima que el costo horario de operacin de la M100 y la M200 son de 50 y 75 dlares, respectivamente.

a. Formule un modelo de programacin lineal que se pueda utilizar para maximizar la contribucin de la utilidad.

b. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solucin grfica.21 Solucin: Formulacin del modelo:

Definicin de variables X1 = Numero de horas de trabajo de maquina M100 X2 = Numero de horas de trabajo de maquina M200

Funcin Objetivo Zmax = (20X1*18 40X1*6 50X1) + (40X2*18 50X2*6 75X2)





Zmax = (360 240 50)X1 + (720 300 75)X2 Zmax = 70X1 + 345X2

Restricciones X1 15 horas mximas de trabajo M100 X2 10 horas mximas de trabajo de M200 X1 5 horas mnimas de trabajo de M100 X2 5 horas mnimas de trabajo de M200 40X1 + 50X2 1000 libras de materia prima disponibles



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

0

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

78

84

90

96

102

108

114

120

126

132

X2

X1: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 15.0

: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 10.0

: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 5.0

: 0.0 X1 + 2.0 X2 = 5.0

: 40.0 X1 + 50.0 X2 = 1000.0

Payoff: 70.0 X1 + 345.0 X2 = 4325.0


: 1.0X1 + 0.0X2 = 5.0

: 40.0X1 + 50.0X2




Horas de trabajo Maquina M100

Maquina M200

Cantidad horas 12.5 10 max Contrib. utilidad 70 345 4325


Lmite No Utiliz

Horas max M100 1 0 12.5 15 2.5

Horas max M200 0 1 10 10 -9.9E-13

Horas min M100 1 0 12.5 5 7.5

Horas min M200 0 1 10 5 5

Libras disponibles 40 50 1000 1000 -1.5E-09

22. Electronic Comunications fabrica radios porttiles que pueden utilizarse en

comunicaciones de dos vas. El nuevo producto de la empresa que tiene un rango de hasta 25 millas, es adecuado para una diversidad de usos comerciales y personales. Los canales de distribucin para el nuevo radio son:

1. distribuidores de equipo marino, 2. distribuidores de equipo de oficina, 3. cadenas nacionales de tiendas al menudeo, 4. pedidos por correo.

Debido a diferentes costos de distribucin y promocionales, la reditualidad del producto variar segn el canal de distribucin. Adems, el costo de publicidad y el esfuerzo de ventas personales requerido tambin variarn de acuerdo con los canales de distribucin. La tabla siguiente resume la distribucin de la utilidad, el costo de publicidad y los datos de esfuerzo de ventas personales correspondientes al problema de Electronic Comunications. La empresa a formulado un presupuesto de publicidad de 5.000 dlares, y est disponible un mximo de 1800 horas de la fuerza de ventas para asignar al esfuerzo de ventas. Finalmente, un contrato vigente con la cadena nacional de tiendas al menudeo requiere que por lo menos de distribuyan 150 unidades a travs de este canal de distribucin.

Datos de Utilidades, costos y esfuerzo del personal de ventas para Electronic

Canal de distribucin

Utilidades por unidad vendida

Costo de publicidad por unidad vendida

Esfuerzo del personal de ventas por unidad vendida

Distrib. Marinos $90 $10 2 horas

Horas min M100 1 0 1 5 -4

Horas min M200 0 1 1 5 -4

Libras disponibles 40 50 90 1000 910



Distrib. de oficinas $84 $8 3 horas

Tiendas nacionales $70 $9 3 horas

Pedidos por correo $60 $15 Ninguna

Electronic Comunications ahora se enfrenta al problema de establecer un estrategia de distribucin para los radios, que maximice la reditualidad general de la produccin de nuevos radios. Debe tomarse decisiones en relacin con cuantas unidades deben asignarse a cada uno de los cuatro canales de distribucin, as como asignar el presupuesto de publicidad y el esfuerzo de la fuerza de ventas a cada uno de los canales de distribucin.22 Solucin: Formulacin del modelo:

Definicin de variables X1 = Numero de radios asignados a distribuidores de equipo marino X2 = Numero de radios asignados a distribuidores de equipos de oficina X3 = Numero de radios asignados a cadenas nacionales de tiendas X4 = Numero de radios asignados a pedidos por correo

Funcin Objetivo Zmax = 90X1 + 84X2 + 70X3 + 60X4

Restricciones 10X1 + 8X2 + 9X3 + 15X4 5.000 por presupuesto 2X1 + 3X2 + 3X3 1.800 horas de esfuerzo en ventas X3 150 unidades mnimas para cadenas nacionales



ELECTRONIC COMUNICATION

Radios asignados a

Distribuidores Cadenas nacionales de tiendas

pedidos por

correo

Equipo Marino

Equipos de Oficina

Nmero de Radios 1 1 1 1 Max Utlidades 90 84 70 60 304

RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado

LIMITE No utiliz

Presupuesto 10 8 9 15 42 5000 4958.00

Esfuerzo laboral 2 3 3 8 1800 1792.00

Contrato cadena nacion 1 1 150 -149.00


Thomson. Pgina 298.




ELECTRONIC COMUNICATION

Radios asignados a

Distribuidores Cadenas nacionales de tiendas

pedidos por

correo

Equipo Marino

Equipos de Oficina

Nmero de Radios 10.71429 442.85714 150 0 Max Utlidades 90 84 70 60 48664.29


LIMITE No utiliz

Presupuesto 10 8 9 15 5000 5000 0.00

Esfuerzo laboral 2 3 3 1800 1800 0.00

Contrato cadena nacion 1 150 150 0.00

23. National Insurance Associates mantiene una cartera de inversiones en acciones,

bonos y otras alternativas de inversin. Actualmente hay fondos disponibles por 200.000 dlares y deben ser tomados en consideracin para nuevas oportunidades de inversin. Las cuatro opciones de valores que National est considerando as como los datos financieros relevantes correspondientes son los que siguen:

Accin

Datos financieros A B C D

Precio por accin ($) 100 50 80 40

Tasa anual de rendimiento 0.12 0.08 0.06 0.10

Medida de riego por dlar 0.10 0.07 0.05 0.08

La medida de riesgo indica la incertidumbre relativa asociada con la accin, en funcin de su capacidad de alcanzar su rendimiento anual proyectado; valores ms elevados indican mayor riesgo. Las medidas de riesgo son proporcionadas por el principal asesor financiero de la empresa. La administracin general de National ha estipulado las siguientes vas de accin para las inversiones:

1. La tasa de rendimiento anual de la cartera debe ser por lo menos 9% 2. Ninguno de los valores puede representar ms del 50% de la inversin

total en dlares.

a. Utilice la programacin lineal para desarrollar una cartera de inversiones que minimice el riesgo.

b. Si la empresa ignora el riesgo y utiliza una estrategia de mximo rendimiento sobre la inversin, Cul sera la cartera de inversiones?



c. Cul es la diferencia en dlares entre las carteras de inversiones de los incisos (a) y (b)? Por qu preferira la empresa la solucin desarrollada en el inciso (a)23

REFERENCIA: Pgina 316 Problema 16. Mtodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edicin. Anderson Sweeney Willams. Editorial Thomson. Solucin a): Formulacin del modelo: Definicin de variables

X1 = Cantidad de acciones asignados a opcin A X2 = Cantidad de acciones asignados a opcin B X3 = Cantidad de acciones asignados a opcin C X4 = Cantidad de acciones asignados a opcin D

Funcin Objetivo Zmin = 10X1 + 3.5X2 + 4.0X3 + 3.2X4

Restricciones 100X1 + 50X2 + 80X3 + 40X4 200.000 dlares disponibles 12X1 + 4.0X2 + 4.8X3 + 4.0X4 0.09*200.000 rendimiento 100X1 0.5*200.000 inversin mxima de X1 50X2 0.5*200.000 inversin mxima de X2 80X3 0.5*200.000 inversin mxima de X3 40X4 0.5*200.000 inversin mxima de X4

No negatividad Xi 0; i=1,4 Datos entrada SOLVER

National Insurance Associates

Accionea asignadas a

Acciones A B C D

Cantidad 1 1 1 1 Min Riesgo 10 3.5 4 3.2 20.7


LIMITE No utiliz

Dlares disponibles 100 50 80 40 270 200000 199730.00

Rendimiento annual 12 4 4.8 4 24.8 18000 -17975.20

Invesin mx en A 100 100 100000 99900.00

Invesin mx en B 50 50 100000 99950.00

Invesin mx en C 80 80 100000 99920.00

Invesin mx en D 40 40 100000 99960.00





Resultados del SOLVER

National Insurance Associates

Accionea asignadas a

Acciones A B C D Cantidad 333.3333 0 833.333333 2500 Min

Riesgo 10 3.5 4 3.2 14666.67


LIMITE No utiliz

Dlares disponibles 100 50 80 40 200000 200000 0.00

Rendimiento annual 12 4 4.8 4 18000 18000 0.00

Invesin mx en A 100 33333.33 100000 66666.67

Invesin mx en B 50 0 100000 100000.00

Invesin mx en C 80 66666.67 100000 33333.33

Invesin mx en D 40 100000 100000 0.00

24. La administracin de Carson Stapler Manufacturing Company pronostica para el

trimestre que viene una demanda de 5000 unidades para su modelo Sure-Hold. Esta engrapadora se ensambla a partir de tres componentes principales: la base, el cartucho de grapa y la manija. Hasta ahora Carson ha fabricado los tres componentes. Sin embargo, el pronstico de 5000 unidades es un nuevo volumen mximo de venta y la empresa quiz no tenga suficiente capacidad de produccin para la fabricacin de todos los componentes. La administracin est pensando contratar una empresa maquiladora local para producir por lo menos una parte de los componentes. Los requisitos de tiempos de produccin por unidad son como sigue:

Tiempo de produccin (horas)

Tiempo disponible (horas) Departamento Base Cartucho Manija

A 0.03 0.02 0.05 400

B 0.04 0.02 0.04 400

C 0.02 0.03 0.01 400

Note que cada componente fabricado por Carson ocupa tiempo de produccin en cada uno de los tres departamentos. Despus de tomar en consideracin los gastos generales, las materias primas y los costos de mano de obra de la empresa, el departamento de contabilidad ha llegado al costo unitario, en dlares, de manufactura de cada componente. Estos datos junto con las cotizaciones de la empresa maquiladora de los precios de compra, en dlares, son como sigue:

Componente Costo de manufactura Costo de adquisicin

Base 0.75 0.95

Cartucho 0.40 0.55

Manija 1.10 1.40



a. Determine cul sera la decisin de fabricar o comprar para Carson, que haga

que pueda cumplirse la demanda de 5000 unidades a un costo total mnimo. De cada componente, Cuntas unidades debern ser fabricadas y cuantas debern ser adquiridas?

b. Qu departamentos estn limitando el volumen de fabricacin? Si pudiera considerarse tiempo extraordinario a un costo adicional de $3 la hora, Qu departamento o departamentos deberan ser motivo de tiempo extra? Explique.

c. Suponga que en el departamento A se pueden programar hasta 80 horas de tiempo extra. Qu recomendara usted?24


X11 = Numero de bases para grapadoras producidas X12 = Numero de cartuchos para grapadoras producidos X13 = Numero de manijas producidas para grapadoras producidas X21 = Numero de bases para grapadoras adquiridas X22 = Numero de cartuchos para grapadoras adquiridos X23 = Numero de manijas para grapadoras adquiridas

Funcin Objetivo Zmin = 0.75X11 + 0.40X12 + 1.10X13 + 0.95X21 + 0.55X22 + 1.40X23

Restricciones 0.03X11 + 0.02X12 + 0.05X13 400 horas disponibles Dep. A 0.04X11 + 0.02X12 + 0.04X13 400 horas disponibles Dep. B 0.02X11 + 0.03X12 + 0.01X13 400 horas disponibles Dep. C X11 + X21 = 5.000 cantidad de bases X12 + X22 = 5.000 cantidad de cartuchos X13 + X23 = 5.000 cantidad de manijas

No negatividad Xij 0; i=1,2; j=1,3


Carson Stapler Manufacturing Company

Unidades de

Producidas Adquiridas Grapas Cartuchos Manijas Grapas Cartuchos Manijas Cantidad 1 1 1 1 1 1 Min

Costos 0.75 0.4 1.1 0.95 0.55 1.4 5.15






LIMITE No utiliz

Horas Departamento A 0.03 0.02 0.05 0.1 400 399.90

Horas Departamento B 0.04 0.02 0.04 0.1 400 399.90

Horas Departamento C 0.02 0.03 0.01 0.06 400 399.94

Cantidad de bases 1 1 2 = 5000 4998.00

Cantidad de cartuchos 1 1 2 = 5000 4998.00

Cantidad de manijas 1 1 2 = 5000 4998.00

Datos de salida de SOLVER

Carson Stapler Manufacturing Company

Unidades de

Producidas Adquiridas Grapas Cartuchos Manijas Grapas Cartuchos Manijas Cantidad 3750 5000 3750 1250 0 1250 Min

Costos 0.75 0.4 1.1 0.95 0.55 1.4 11875


LIMITE No utiliz

Horas Departamento A 0.03 0.02 0.05 400 400 0.00

Horas Departamento B 0.04 0.02 0.04 400 400 0.00

Horas Departamento C 0.02 0.03 0.01 262.5 400 137.50

Cantidad de bases 1 1 5000 = 5000 0.00

Cantidad de cartuchos 1 1 5000 = 5000 0.00

Cantidad de manijas 1 1 5000 = 5000 0.00

25. Golf Shafts (GSI) produce palos de grafito para varios fabricantes de palos de

golf. Dos instalaciones de fabricacin de GSI, una localizada en San Diego y otra en Tampa, tienen capacidad para producir palos en diversos grados de rigidez, desde modelos normales, principalmente utilizados por golfistas promedio, hasta modelos extrargidos, utilizados principalmente por golfistas con bajo handicap y profesionales. GSI acaba de recibir un contrato para la produccin de 200.000 palos normales y 75.000 rgidos. Dado que ambas plantas actualmente estn produciendo palos de golf para cumplir con rdenes anteriores, ningn de las plantas tiene capacidad suficiente, por si misma, para llenar el nuevo pedido. La planta de San diego puede producir hasta un total de 120.000 palos, y la de Tampa, hasta un total de 180.000 palos de golf. Debido a diferencias en equipamiento en cada una de las plantas y de distintos costos de mano de obra, los costos de produccin unitarios son distintos, como se muestra a continuacin:

Costo de San Diego Costo de Tampa

Palo normal $ 5.25 $ 4.95

Palo rgido $ 5.45 $ 5.70

a. Formule un modelo de programacin lineal para determinar la manera en que GSI deber programar la produccin de este nuevo pedido para minimizar el costo total de produccin.

b. Utilice cualquier cdigo de programacin lineal para resolver el modelo desarrollado en el inciso (a)

c. Suponga que algunas de las rdenes anteriores de la planta de Tampa podran ser reprogramadas para liberar la capacidad adicional para esta nueva orden. Merecera esto la pena? Explique.

d. Suponga que el costo de producir un palo de golf rgido en Tampa fue incorrectamente calculado, y que el costo correcto es de 5.30 dlares por palo.



Qu efecto, si es que hubiera alguno, tendra lo anterior sobre la solucin ptima desarrollada en el inciso (b)? Qu efecto tendra lo anterior sobre el costo total de produccin?25

Solucin a): Formulacin del modelo:

Definicin de variables X1 = Numero de unid. de palos de golf normales fabricados en San Diego X2 = Numero de unid. de palos de golf extrargidos fabricados en San Diego X3 = Numero de palos de golf normales fabricados en Tampa X4 = Numero de palos de golf extrargidos fabricados en Tampa

Funcin Objetivo Zmin = 5.25X1 + 5.45X2 +

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c) Problemas de Programacion Lineal Resueltos

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