Cálculo diferencial

Dep. Matemáticas.

Matemáticas II luns, 28 de abril de 2014

Cálculo diferencial. Páx. 1

◦ Tes que ser capaz de:

1. Saber aplicar os conceptos de límite dunha función nun punto e de límites laterais para …(a) Estudar a continuidade dunha función e se é descontinua, clasificar a descontinuidade (evitable,

salto finito, infinita).(b) Obter de asíntotas verticais, horizontais e oblicuas.

2. Coñecer as propiedades alxébricas do cálculo de límites, tipos de indeterminacións e técnicas para resolvelas.

3. Enunciar e dar a interpretación xeométrica dos teoremas de Bolzano e Weierstrass para funcións continuas nun intervalo pechado.

4. Definir derivada dunha función nun punto, dar a súa interpretación xeométrica e interpretar o concepto de derivada como razón de cambio dunha magnitude respecto a outra.

5. Determinar as ecuacións da recta tanxente e da normal á gráfica dunha función nun punto.

6. Coñecer a relación entre continuidade e derivabilidade dunha función nun punto. Saber estudar a continuidade e a derivabilidade dunha función definida a anacos.

7. Coñecer os conceptos de función derivada, derivadas de orde superior, e a súa notación.

8. Calcular funcións derivadas aplicando as regras de derivación:(a) Derivada da suma, do produto e do cociente de funcións.(b) Derivada da función composta (regra da cadea).

9. Definir función crecente e decrecente nun punto, extremos relativos nun punto e diferencialos dos extremos absolutos dun intervalo.

10. Aplicar os criterios para a determinación de extremos relativos.

11. Determinar os intervalos de monotonía, o cálculo de extremos e puntos de inflexión, así como os intervalos de concavidade e convexidade 1.

12. Aplicar os criterios para a determinación de puntos de inflexión.

13. Resolver problemas de optimización.

14. Enunciar a regra de L'Hôpital e saber aplicala á resolución de límites indeterminados.

15. Enunciar e dar a interpretación xeométrica dos teoremas de Rolle e do valor medio do cálculo diferencial.

16. Representar a gráfica de funcións polinomiais e racionais. Indicaranse os elementos estudables:

(a) Dominio. (b) Puntos de corte cos eixes.(c) Simetrías. (d) Puntos críticos ou estacionarios.(e) Intervalos de crecemento e decrecemento. (f) Máximos e mínimos relativos.(g) Intervalos de concavidade e convexidade. (h) Puntos de inflexión.(i) Asíntotas.

◦ Exercicios teóricos de continuidade:

1. Define función continua nun punto. ¿Cando se di que unha descontinuidade é evitable?

(a) ¿Que tipo de descontinuidade ten en 0x = a función ( )2x

f xx

= ?

(b) Dada ( )2

2

1 se 2

2 se 2x

ax xf x

xe -

ì + <ï= í+ ³ïî

. Calcula a para que ( )f x sexa continua en 2x = .

1 Enténdese que unha función é convexa nun punto do seu dominio de definición se, nun contorno dese punto, a

gráfica se mantén por encima da tanxente á curva nese punto; é dicir a parábola 2y x= é un exemplo de función convexa.

Páx. 2 Matemáticas II

(c) ¿Que tipo de descontinuidade presenta a función ( )( )2ln 1 x

f xx

+= en 0x = ?

2. Enunciado e interpretación xeométrica do teorema de Bolzano.

(a) Proba que a función ( ) 3 2 4f x x x= + - corta ao eixe OX nalgún punto do intervalo [ ]1, 2 .

¿Pode cortalo en máis dun punto?

(b) ¿Podemos asegurar que a gráfica da función ( ) ( ) ( )2

23sen cosxf x x= - corta ao eixe OX

nalgún punto do intervalo ( )0, p ? Razoa a resposta.

(c) Dada a función ( ) ( )23 ln 1xf x x xe= + + , xustifica se podemos asegurar que a súa gráfica

corta ao eixe OX nalgún punto do intervalo [ ]1, 0- .

3. Enunciado e interpretación xeométrica do teorema de Weierstrass.

(a) ¿A función ( ) 2 4f x x= - alcanza os seus extremos absolutos no intervalo [ ]1, 3 ? Calcula o

valor do mínimo absoluto e do máximo absoluto de ( )f x en [ ]1, 3 .

(b) Se unha función ( )f x é continua en [ ],a b e é estritamente decrecente nese intervalo, ¿onde

alcanza a función o máximo e o mínimo absoluto?(c) Sexa ( ) ( )1 , 0 2f x x x x= - £ £ . Razoa se ( )f x ten máximo e mínimo absolutos no intervalo

[ ]0, 2 . En caso afirmativo, calcúlaos.

◦ Solucións:

1. • Unha función real de variable real , ( )f x , é continua en x a= , se está definida ( )f a Î ¡ , existe

( )limx a

f x®

Î ¡ e ( ) ( )limx a

f x f a®

= . Ou equivalentemente, ( )f x é continua en x a= se existen

( )f a Î ¡ , ( )limx a

f x-®

Î ¡ e ( )limx a

f x+®

Î ¡ , e coinciden no seu valor, é dicir,

( ) ( ) ( )lim limx a x a

f x f x f a- +® ®

= = .

• A función ( )f x ten unha descontinuidade evitable en x a= se existe ( )limx a

f x®

Î ¡ e non

existe ( )f a Î ¡ , ou ben, ( ) ( ) ( )lim limx a x a

f x f x f a- +® ®

= ¹ .⦿

(a) A función ( )2x

f xx

= non está definida en 0x = . ( )2

0 00lim lim

x x

xx

x® ®= =

⤷ Polo tanto, esta función presenta, en 0x = unha descontinuidade evitable .• Evítase esta descontinuidade definindo ( )f x x= ⦿

(b) ( ) ( )2

2 21 4 1lim lim

x xf x ax a

- -® ®= + = + ; ( ) ( )2 0

2 22 2 3lim lim x

x xf x e e

+ +

-

® ®= + = + = ;

( ) 02 2 3f e= + = ⟹ para que a función, ( )f x , sexa continua en 2x = ten que cumprirse

4 1 3a + = ⟹ 4 2a = ⟹ 1 2a = .

⤷ a función só é continua para 1 2a = . ⦿

(c) A función ( )( )2ln 1 x

f xx

+= non está definida en 0x = .


•( )2

20 (1) 0

ln 1 2 00

11lim limx x

x x

x x® ®

+= =

+=

(1) Como ( )2

0ln 1 ln 1 0lim

xx

®+ = = é unha indeterminación 0 0 , que resolvese aplicando a regra de

L'Hôpital. ( )22

2ln 1

1n n

xy x y

x¢= + Þ =

+; 1d dy x y¢= Þ =

⤷ Polo tanto, esta función presenta, en 0x = unha descontinuidade evitable .

⤷ Evítase esta descontinuidade definindo ( )( )2ln 1

se 0

0 se 0

xxf x xx

ì +ï ¹= íï =î ⦿

2. • Teorema de Bolzano: Se ( )f x é continua en [ ],a b e toma valores de signo contrario nos

extremos do intervalo, é dicir ( ) ( ) 0f a f b× < , entón existe algún punto ( ),c a bÎ onde a

función se anula, é dicir ( ) 0f c = . (Nota: Pode existir mais dun punto onde a función anúlase).

• Interpretación xeométrica:• Se unha función continua nun intervalo pechado e toma valores de distinto signo nos extremos do intervalo, entón a función corta ao eixe OX polo menos nun punto. ⦿

(a) A función ( ) 3 2 4f x x x= + - é continua en (por ser polinómica), e polo tanto en [ ]1, 2 .

⤷ ( )1 1 2 4 1 0f = + - = - < ; ( )2 8 4 4 8 0f = + - = > ⟹ Aplicando o teorema de Bolzano,

existe polo menos un punto ( )1, 2c Î no que ( )f x corta ao eixe OX.

⤷ ( ) 23 2 0f x x x¢ = + > " Î ¡ ⟹ ( )f x é crecente en todo ⟹ se verifica que

( )( )

0 se

0 se

f x x c

f x x c

< <ìí > >î

, xa que ( ) 0f c = ⟹ ( )f x non corta ao eixe OX

se x c¹ . ⦿

(b) ( ) ( ) ( )2

23sen cosxf x x= - é continua en (por selo as funcións polinómicas e as funcións

seno e coseno), e polo tanto en [ ]0, p .

⤷ ( )0 0 1 1 0f = - = - < ; ( ) ( )23 cos 0 xa que, cos 1,f p p q q= - > £ " Î ¡

• Polo teorema de Bolzano, ( )f x corta ao eixe OX nalgún punto ( )0,c pÎ . ⦿

(c) 21 1 0x+ ³ > , para todo x Î ¡ ⟹ ( ) ( )23 ln 1xf x e x x= + + é continua no

dom f = ¡ , e polo tanto, ( )f x é continua en [ ]1, 0- .

• ( ) 11 3 ln 2 1,71 0f

e- = - @ - < ; ( )0 1 0 1 0f = + = > ⟹ Aplicando o teorema de Bolzano,

existe polo menos un punto ( )1, 0c Î - no que ( )f x corta ao eixe OX. ⦿3. • Teorema de Weierstrass: Se unha función, ( )f x , é continua nun intervalo pechado [ ],a b , existe al

menos un punto [ ],c a bÎ no que ( )f x acada o valor máximo (absoluto) en [ ],a b e al menos

outro punto [ ],d a bÎ no que acado o valor mínimo (absoluto) en [ ],a b .

⤷ É dicir, se ( )f x é continua en [ ],a b , existen al menos dous puntos [ ], ,c d a bÎ que verifican

que ( ) ( ) ( )f c f x f d£ £ para calquera valor de [ ],x a bÎ .


• Interpretación xeométrica:• Se unha función continua nun intervalo pechado, entón a gráfica función está entre dúas rectas horizontais que tocan á gráfica en polo menos nun punto cada unha. Neses puntos a función acada os valores máximo absoluto e mínimo absoluto na recta superior e inferior, respectivamente.

• No debuxo:⤷

[ ]( ) ( )

,máxx a b

f x f aÎ

= e [ ]

( ) ( ),

mínx a b

f x f dÎ

= .⦿

(a) ( ) ( )2 4 2 2x x x- = + - (−∞, −2) (−2, 2) (2, +∞)

(−)(−) = (+) (+)(−) = (−) (+)(+) = (+)(x + 2) (x − 2)

⤷ Polo tanto, ( )

2

2 2

2

4 2

4 4 2 2

4 2

x se x

f x x x se x

x se x

ì - £ -ïï= - = - - < <íï

- ³ïî

. E como só nos interesa estudala no

intervalo [ ]1, 3 , considérase ( )2

22

4 1 24

4 2 3

x se xf x x

x se x

ì - £ <ï= - = í- £ £ïî

• Para poder aplicar o teorema de Weierstrass ten que ser ( )f x continua en [ ]1, 3 , e como en cada

subintervalo é polinómica, falta só comprobar a súa continuidade en 2x = .

• ( ) ( )2

2 24 4 4 0lim lim

x xf x x

- -® ®= - = - = ; ( ) ( ) ( )2

2 24 4 4 0 2lim lim

x xf x x f

+ +® ®= - = - = =

⤷ Polo tanto, ( )f x é continua en [ ]1, 3 ⟹ alcanza os seus extremos absolutos .

• Como os extremos absolutos, se están no interior do intervalo, tamén son extremos relativos.

⤷ ( )2 1 2

2 2 3

x se xf x

x se x

- < <ì¢ = í < <î ⟹

( ) ( )( ) ( )

Se 1 2 0 decrece

Se 2 3 0 crece

x f x f x

x f x f x

¢< < Þ < Þìí ¢< < Þ > Þî

⤷ Ademais, como é continua en 2x = ⟹ ( )f x ten un mínimo relativo en 2x = .

• ( )1 4 1 3f = - = ; ( )2 4 4 0f = - = ; ( )3 9 4 5f = - = ⟹ ( )f x ten o valor mínimo

absoluto en 2x = , e o máximo absoluto en 3x = ⟹ [ ]

( )1,3

5máxx

f xÎ

= e [ ]

( )1,3

0mínx

f xÎ

=⦿

(b) Por ser ( )f x continua en [ ],a b , polo teorema de Weierstrass, alcanza nese intervalo o

máximo e o mínimo absolutos. Entón, como por hipótese a función é estritamente decrecente,⤷ se x a> ⟹ ( ) ( )f x f a< ⟹ ( )f x alcanza o máximo absoluto en x a= .

⤷ se x b< ⟹ ( ) ( )f x f b> ⟹ ( )f x alcanza o mínimo absoluto en x b= . ⦿

(c) ( ) ( ) 21f x x x x x= - = - é continua en (por ser polinómica), e polo tanto en [ ]0, 2 . Polo

teorema de Weierstrass, ( )f x alcanza en [ ]0, 2 o máximo e o mínimo absolutos.

• ( ) 2 1f x x¢ = - , polo tanto, ( ) 0f x¢ = ⟺ 2 1 0x - = ⟺ 1 2x = .

⤷ ( ) 2f x¢¢ = ⟹ ( )1 2 2 0f ¢¢ = > ⟹ ( )f x ten un mínimo relativo en 1 2x = .

• ( ) ( )1 11 12 42 2

f - -= × = ; ( ) ( )0 0 1 0f = - = ; ( ) ( )2 2 2 1 2f = - = .

⤷ ( )f x alcanza o máximo absoluto en 2x = , e o mínimo absoluto en 1 2x = . ⦿


◦ Exercicios teóricos de derivadas:

1. Definición e interpretación xeométrica da derivada dunha función nun punto.(a) ¿Pode haber dúas funcións distintas que teñan igual función derivada? Se a resposta é afirmativa,

poña un exemplo. Se, polo contrario, a resposta é negativa, xustifica que non existen.(b) Calcule a derivada da función ( ) 2f x x= - en 2x = , se é posible. Represente a gráfica da

función e, sobre ela, razoe a súa resposta.

2. Enunciado e interpretación xeométrica do teorema de Rolle.

(a) Se 2c > , calcula os valores de a , b , c para que a función ( )2 se 2

1 se 2

x ax b xf x

x x

ì + + <= í+ ³î

cumpra as hipóteses do teorema de Rolle no intervalo [ ]0, c .

(b) Calcula o valor de k para que a función ( ) 3 10f x x k x= - + cumpra as hipóteses do teorema de Rolle no intervalo [ ]2, 0- e para ese valor determina un punto do intervalo no que se anule a

derivada de ( )f x .

3. Enunciado e interpretación xeométrica do teorema do valor medio do cálculo diferencial.

(a) Dada ( )2 2 2

4

x xf x

x

- +=

-, escriba a ecuación da secante a ( )f x que une os puntos

( )( )2, 2f- - e ( )( )2, 2f . ¿Existe algún punto c no intervalo [ ]2, 2- verificando que a tanxente á

gráfica de ( )f x en ( )( ),c f c é paralela á secante anterior? En caso afirmativo, razoa a túa

resposta e calcula c ; e en caso negativo, xustifica que non existe.

(b) Determina o valor de m e n para os que ( )2

3

se 2

se 2

x nx xf x

x m x

ì + < -ï= í+ ³ -ïî

cumpra as hipóteses

do teorema do valor medio do cálculo diferencial no intervalo [ ]4, 2- . Para eses valores determina

os puntos do intervalo que teñen garantida a existencia por dito teorema.

◦ Solucións:

1. • A función ( )f x é derivable no punto x a= se existe e é finito o seguinte límite:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

lim limx a h

f x f a f a h f af a

x a h® ®

- + - ¢= = Î-

¡ .

A este límite chámaselle derivada de ( )f x en x a= .

• Interpretación xeométrica:

• O cociente ( ) ( )f a h f a

h

+ - coincide ca pendente

da recta secante á gráfica de ( )f x polos puntos

( )( ),a f a e ( )( ),a h f a h+ + .

• A medida que vai diminuíndo a amplitude, h , do intervalo [ ],a a h+ , os puntos de corte,

( )( ),a h f a h+ + , determinados polas distintas secantes fanse máis e máis próximos ao punto

( )( ),a f a . No límite, a secante convértese na tanxente.

• Polo tanto, a derivada de ( )f x en x a= coincide ca pendente da recta tanxente á gráfica de

( )f x no punto ( )( ),a f a . ⦿(a) Dúas funcións que se diferencien nun valor constante, k Î ¡ , teñen a mesma derivada.


• Por exemplo: ( ) 2 3f x x x= + e ( ) 2 3 5g x x x= + + son funcións distintas.

⤷ Pero ( ) 2 3f x x¢ = + e ( ) 2 3g x x¢ = + son iguais. ⦿

(b) 2 0x - < ⟺ 2x < . Polo tanto, ( )2 se 2

22 se 2

x xf x x

x x

- £ì= - = í - >î é continua e

derivable en ( ), 2-¥ e en ( )2, +¥ por ser polinómica en cada un dos intervalos abertos.

• ( )1 se 2

1 se 2

xf x

x

- <ì¢ = í >î⤷ ( ) ( ) ( )

2 22 1 1lim lim

x xf f x

- -

-

® ®¢ ¢= = - = -

⤷ ( ) ( ) ( )2 2

2 1 1lim limx x

f f x+ +

+

® ®¢ ¢= = =

• Dado que ( ) ( )2 2f f- +¢ ¢¹ ⟹ ( )f x non ten derivada en 2x = . É dicir, a función non é

derivable no punto 2x = , dado que a gráfica non ten tanxente nese punto. ⦿2. • Teorema de Rolle: Se ( )f x é unha función continua en [ ],a b , derivable en ( ),a b e ademais

( ) ( )f a f b= , entón existe polo menos un punto ( ),c a bÎ onde se anula a derivada, ( ) 0f c¢ = .

(Nota: Pode existir mais dun punto onde a derivada da función anúlase). • Interpretación xeométrica:

• Se ( )f x é unha función continua en [ ],a b e

derivable en ( ),a b e ademais ( ) ( )f a f b= ,

podemos garantir a existencia de polo menos un punto ( ),c a bÎ tal que a recta tanxente á gráfica

de ( )f x no punto ( )( ),c f c é paralela ao eixe OX ,

é dicir, é horizontal. ⦿

(a) ( )2 se 2

1 se 2

x ax b xf x

x x

ì + + <= í+ ³î

é continua e derivable en ( ), 2-¥ e en ( )2, +¥ por ser

polinómica en cada un dos intervalos abertos.• ( )f x é continua en 2x = se ( ) ( ) ( )

2 22lim lim

x xf x f x f

- +® ®= = .

⤷ ( ) ( )2

2 24 2lim lim

x xf x x ax b a b

- -® ®= + + = + + ; ( ) ( ) ( )

2 21 3 2lim lim

x xf x x f

+ +® ®= + = = .

⤷ 4 2 3a b+ + = ⟺ 2 1a b+ = - . Entón, ( )f x é continua en 2x = ⟺ 2 1a b+ = - .

• ( )2 se 2

1 se 2

x a xf x

x

+ <ì¢ = í >î ⟹ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2

2 2

2 2 4

2 1 1

lim lim

lim lim

x x

x x

f f x x a a

f f x

- -

+ +

-

® ®

+

® ®

¢ ¢= = + = +

¢ ¢= = =

⤷ ( )f x é derivable en 2x = se ( ) ( )2 2f f- +¢ ¢= ⟺ 4 1a+ = ⟺ 3a = -

⤷2 1

53

a bb

a

+ = - ü Þ =ý= - þ ⟹ ( )

2 3 5 se 2

1 se 2

x x xf x

x x

ì - + <= í+ ³î

• Para verificar o teorema de Rolle no intervalo [ ]0, c , se 2c > , debe verificarse que ( ) ( )0f f c=⤷ Entón, 5 1c= + ⟹ 4c = . ⦿

(b) ( ) 3 10f x x k x= - + é continua en [ ]2, 0- e derivable en ( )2, 0- , por ser polinómica.


⤷ ( )2 8 2 10 2 2f k k- = - + + = + ; ( )0 10f = .

⤷ ( ) ( )2 0f f- = ⟺ 2 2 10k + = ⟺ 2 8k = ⟺ 4k = .

• En consecuencia, ( )f x cumpre as hipóteses do teorema de Rolle en [ ]2, 0- se 4k = .

• ( ) 3 4 10f x x x= - + ⟹ ( ) 23 4f x x¢ = -

⤷ ( ) 0f x¢ = ⟺ 23 4 0x - = ⟺ 2 4 3x = ⟺ 4 3 1,15x = ± @ ±

• ( )4 3 2, 0Ï - ⟹ Anúlase a derivada de ( )f x en ( )4 3 2, 0- Î - . ⦿3. • Teorema do valor medio do cálculo diferencial: Se ( )f x é unha función continua en [ ],a b e

derivable en ( ),a b , entón existe polo menos un punto ( ),c a bÎ tal que ( ) ( ) ( )f b f a

f cb a

- ¢=-

(Nota: Pode existir mais dun punto onde a función derivada toma dito valor).• Interpretación xeométrica:

• Se ( )f x é unha función continua en [ ],a b e derivable en

( ),a b , entón existe polo menos un punto intermedio,

( ),c a bÎ , tal que a recta tanxente á gráfica de ( )f x no

punto ( )( ),c f c é paralela á corda que une os puntos

( )( ),a f a e ( )( ),b f b . ⦿

(a) ( )2 2 2

4

x xf x

x

- +=

- ⟹ ( ) 10

6

52

3f

-- = = - ; ( ) 2

22 1f

-= = - .

•1 5 3 2 3 1

2 2 4 6m

- += = =

+ é a pendente da corda que une puntos

52,

3A æ ö- -ç ÷

è ø e ( )2, 1B -

⤷ ( )12 1

6y x= - - ⟹

1 8

6 6y x= - ⟹ 6 8x y- = ecuación da recta secante AB.

• ( )2 2 2

4

x xf x

x

- +=

- é continua e derivable en ( ), 4-¥ e en ( )4, +¥ por ser cociente de

polinomios en intervalos abertos nos que non se anula o denominador.⤷ Polo tanto, ( )f x é unha función continua en [ ]2, 2- e derivable en ( )2, 2- , entón, polo

teorema do valor medio do cálculo diferencial, existe polo menos un punto ( )2, 2c Î - , tal que a

recta tanxente á gráfica de ( )f x no punto ( )( ),c f c é paralela á corda que une os puntos A e B

• ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2

2 2 4 2 2 2 10 8 2 2 8 6

4 4 4

x x x x x x x x x xf x

x x x

- - - - + - + - + - - +¢ = = =- - -

• O punto ( )2, 2c Î - buscado verifica ( ) 1

6f x¢ = ⟺ ( ) ( )226 8 6 4x x x- + = -

⤷ 2 26 48 36 8 16x x x x- + = - + ⟺ 25 40 20 0x x- + = ⟺ 2 8 4 0x x- + =

⤷

8 4 3

2

8 4 3

2

4 2 3 7,468 64 16 8 48

2 2 4 2 3 0,54x

+

-

ì = + @± - ± ï= = = íï = - @î

• ( ) ( )4 2 3 2, 2c = - Î - é o punto no que a tanxente á gráfica de ( )f x é

paralela á corda que une os puntos A e B. ⦿


(b) ( )2

3

se 2

se 2

x nx xf x

x m x

ì + < -ï= í+ ³ -ïî

é continua e derivable en ( ), 2-¥ - e en ( )2,- +¥ por ser

polinómica en cada un dos intervalos abertos.• ( )f x é continua en 2x = - se ( ) ( ) ( )

2 22lim lim

x xf x f x f

- +® - ® -= = - . ( )2 8f m- = - +

⤷ ( ) ( )2

2 24 2lim lim

x xf x x nx n

- -® - ® -= + = - ; ( ) ( )3

2 28lim lim

x xf x x m m

+ +® - ® -= + = - +

⤷ 4 2 8n m- = - ⟺ 2 12m n+ = . Entón, ( )f x é continua en 2x = - se 2 12m n+ = .

• ( ) 2

2 se 2

3 se 2

x n xf x

x x

+ < -ì¢ = í

> -î ⟹ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2

2

2 2

2 2 4

2 3 12

lim lim

lim lim

x x

x x

f f x x n n

f f x x

- -

+ +

-

® - ® -

+

® - ® -

¢ ¢- = = + = - +

¢ ¢- = = =

⤷ ( )f x é derivable en 2x = - se ( ) ( )2 2f f- +¢ ¢- = - ⟺ 4 12n - = ⟺ 16n =

⤷2 12

2016

m nm

n

+ = ü Þ = -ý= þ ⟹ ( )

2

3

16 se 2

20 se 2

x x xf x

x x

ì + < -ï= í- ³ -ïî

Cumpre as condiciónsdo teorema do valor

medio do cálculodiferencial en [ ]4, 2-

• Como ( )f x cumpre o teorema do valor medio do cálculo diferencial no intervalo [ ]4, 2- , existe

al menos un ( )4, 2c Î - tal que ( ) ( ) ( )2 4

2 4

f ff c

- -¢ =+

⟺ ( ) 12 48 366

2 4 6f c

- +¢ = = =+

⤷ ( ) 2

2 16 se 2

3 se 2

x xf x

x x

+ < -ì¢ = í

³ -î ⟹ 2

se 2 2 16 6 5 4

2 2se 2 3 6

2 2

c c c

cc c

c

< - ® + = ® = - < -ìï ì = > -í ï³ - ® = ® íï = - > -ïîî

• Os puntos son ( )1 2 4, 2c = Î - e ( )2 2 4, 2c = - Î - . ⦿

◦ Exercicios de límites, continuidade e derivabilidade:

1. Calcula o valor dos seguintes límites:

(a)2

1

20

2

2lim

x

x

x

x x®

æ ö+ç ÷

+ +è ø(b) ( )20

2 cos

senlim

x x

x

x

x

e e-

®

+ -(c)

2 40

sen

2lim

x

x

x x

x x

e®

-

+

2. Calcula o valor de m para que: ( )2

20

1 cos0

senlimx

mx x

x®

- +=

3. ¿Para que valores de k , a función ( ) 2

x

f xx k

e=

+ é continua en todos os puntos da recta real?

4. Calcula, se existen, os valores de a e b , para que sexa derivable a función

( )2

1se 0

se 0

x

xx

f x

x ax b x

e-ì <ï= í

ï + + ³î

5. Calcula os valores de a e b para que a función ( )( )

se 0

sen 2 1 se 0

ax b xf x

x x

+ £ì= í + >î

sexa continua

e derivable en 0x = .


6. Determina os valores de a para que a función, ( )

2 se 1

2se 1

a x xf x

xax

ì - £ï= í

>ïî

sexa continua en .

¿É derivable en 1x = para algún valor de a ?

◦ Solucións:

1.

(a)2

1

20

2

2lim

x

x

x

x x®

æ ö+ç ÷

+ +è ø é unha indeterminación do tipo 1+¥ .

•2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 2 1 11

2 2 2 2 2

x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

æ ö æ öæ ö+ + + + - -- = - = =ç ÷ ç ÷ç ÷

+ + + + + + + + + +è ø è ø è ø

⤷2

20

11

220

1 2lim2 1

2lim xx x x

x

x

x x ee e

®

-

+ +

®

-æ ö+= = =ç ÷

+ +è ø ⦿

(b) ( )20

2 cos

senlim

x x

x

x

x

e e-

®

+ - é unha indeterminación do tipo

0

0. (1) Aplícase a regra de L'Hôpital.

• ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 20 (1) 0 (1) 0

2 cos 2 sen 2 cos

sen 2 cos 2 cos 4 senlim lim lim

x x x x x x

x x x

x x x

x x x x x x

e e e e e e- - -

® ® ®

+ - - + + += =

-

⤷ ( ) ( ) ( )2 2 2 20 0

2 cos 2 cos 42

2sen 2 cos 4 senlim lim

x x x x

x x

x x

x x x x

e e e e- -

® ®

+ - + += = =

- ⦿

(c)2 40

sen

2lim

x

x

x x

x x

e®

-

+ é unha indeterminación do tipo

0


•2 4 30 (1) 0 (1)

sen sen cos 1

2 4 4lim lim

x x x

x x

x x x x

x x x x

e e e® ®

- + -= =

+ +

2 2(1) 0 0

sen cos cos sen 2 cos 2 1

4 24 12 4 12lim lim

x x x x x

x x

x x x x x

x x

e e e e e® ®

+ + -= = = =

+ + ⦿2.

• ( )2

20

1 cos

senlimx

mx x

x®

- + é unha indeterminación do tipo

0


• ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 2 2 20 (1) 0 (1) 0

1 cos 2 sen 2 cos 2 1

2sen 2 cos 2 cos 4 senlim lim limx x x

mx x mx x m x m

x x x x x x® ® ®

- + - - -= = =

-

⤷ ( )2

20

1 cos0

senlimx

mx x

x®

- += ⟺ 2 1 0m - = ⟺

1

2m =

⦿3. • , é un cociente de funcións continuas en . Polo tanto, ( )f x é continua en se non se anula o

denominador para todo x Î ¡ . Entón tense que determinar os valores de k para os que a

ecuación, 2 0x k+ = , non ten solución real.

⤷ 2 0x k+ = ⟺ 2x k= - , non ten solución real se 0k- < ⟺ 0k > .

⤷ ( )f x é continua en todo , se 0k > . ⦿


4.

• ( )2

1se 0

se 0

x

xx

f x

x ax b x

e-ì <ï= í

ï + + ³î

é continua e derivable no intervalo ( ), 0-¥ por ser cociente

de funcións continuas e derivables, e non anularse o denominador.

⤷ Ademais, ( )f x é continua e derivable no intervalo ( )0, +¥ por ser polinómica.

• Para que ( )f x sexa continua en 0x = debe verificarse ( ) ( ) ( )0 0

0lim limx x

f x f x f b- +® ®

= = =

• ( )0 0

1 11

1lim lim

xx x

xf x

e- -® ®

-= = = ; ( ) ( )2

0 0lim lim

x xf x x ax b b

+ +® ®= + + = ⟹ 1b =

• Calcularei de dúas formas o valor ( )0 2a f ¢= = -

i. Calculando as derivadas laterais por definición. ( )[ ]0 1f b= =

• ( ) ( ) ( )(1)0 0 0

11

0 10

0lim lim lim

xx

xx x x

xf x f x

fx x x

eee- - -

-

® ® ®

--- - -¢ = = = =

-

(1) É unha indeterminación

da forma 00 e aplícase a

regra de L'Hôpital.

⤷0

1 22

1 0lim

x

x xx x

ee e-®

- - -= = = -

++

• ( ) ( ) ( ) ( )2

0 0 0

0 1 10

0lim lim lim

x x x

f x f x axf x a a

x x+ + +

+

® ® ®

- + + -¢ = = = + =-

• Para que ( )f x sexa derivable en 0x = debe verificarse ( ) ( )0 0f f- +¢ ¢= ⟹ 2a = -

ii. Calculando a función derivada, e a partir dela as derivadas laterais.

• ( )( )

2

1 2se 0

2 se 0

x x

x x

x xx

f x

x a x

e ee e

ì- - - -= <ï¢ = í

ï + >î

( ) ( )

( ) ( ) ( )0 0

0 0

20 2

0 2

lim lim

lim lim

xx x

x x

xf f x

f f x x a a

e- -

+ +

-

® ®

+

® ®

-¢ ¢= = = -

¢ ¢= = + =

• Para que ( )f x sexa derivable en 0x = debe verificarse ( ) ( )0 0f f- +¢ ¢= ⟹ 2a = - ⦿5.

• ( )( )

se 0

sen 2 1 se 0

ax b xf x

x x

+ £ì= í + >î

⟹ ( )0f b=


0lim limx x

f x f x f- +® ®

= =

• ( ) ( )0 0

lim limx x

f x ax b b- -® ®

= + = ; ( ) ( )[ ]0 0

sen 2 1 1lim limx x

f x x+ -® ®

= + = ⟹ 1b =

• Para que sexa derivable en 0x = debe verificarse ( ) ( )0 0f f- +¢ ¢= ( )[ ]0 1f b= =

• ( ) ( ) ( )0 0 0

0 1 10

0lim lim lim

x x x

f x f ax axf a

x x x- - -

-

® ® ®

- + -¢ = = = =-

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(1)0 0 0

0 sen 2 1 1 sen 20

0lim lim lim

x x x

f x f x xf

x x x+ + +

+

® ® ®

- + -¢ = = = =-

(1) É unha indeterminación da forma 00 e aplícase a regra de L'Hôpital.

⤷( )

0

2 cos 22

1lim

x

x+®

= = ⟹ 2a = e ( )( )

2 1 se 0

sen 2 1 se 0

x xf x

x x

+ £ì= í + >î ⦿


6.

• ( )

2 se 1

2se 1

a x xf x

xax

ì - £ï= í

>ïî

é continua e derivable no intervalo ( ), 1-¥ por ser una función

polinómica.é continua e derivable no intervalo ( )1, +¥ por ser cociente de

funcións continuas e derivables, e non anularse o denominador.

• ( ) ( ) ( )2

1 11 1lim lim

x xf x a x a f

- -® ®= - = - = ; ( )

1 1

2 2lim limx x

f xax a+ +® ®

= =


1lim limx x

f x f x f- +® ®

= =

• Entón debe ser 2

1aa

- = ⟺ 2 2a a- = ⟺ 2 2 0a a- - =

⤷

4

22

2

21 1 8 1 3

2 2 1a

-

ì =± + ± ï= = = íï = -î

⟹ ( )f x é continua se 1 ou 2a a= - = .

• Como para poder ser derivable nun punto, ten que ser continua nese punto, entón( )f x non é derivable en 1x = se 1 e 2a a¹ - ¹ .

• Se 1a = - ⟹ ( )21 se 1

2se 1

x xf x

xx

ì- - £ï= í

- >ïî

⟹ ( )2

2 se 1

2se 1

x x

f xx

x

- <ìï¢ = í >ïî

⤷ ( ) ( ) ( )1 1

1 2 2lim limx x

f f x x- -

-

® ®¢ ¢= = - = - ; ( ) ( ) 21 1

21 2lim lim

x xf f x

x+ +

+

® ®

æ ö¢ ¢= = =ç ÷è ø

⤷ Como ( ) ( )1 1f f- +¢ ¢¹ ⟹ ( )f x non é derivable en 1x = se 1a = - .

• Se 2a = ⟹ ( )22 se 1

1se 1

x xf x

xx

ì - £ï= í

>ïî

⟹ ( )2

2 se 1

1se 1

x x

f xx

x

- <ìï¢ = í- >ïî

⤷ ( ) ( ) ( )1 1

1 2 2lim limx x

f f x x- -

-

® ®¢ ¢= = - = - ; ( ) ( ) 21 1

11 1lim lim

x xf f x

x+ +

+

® ®

æ ö¢ ¢= = - = -ç ÷è ø

⤷ Como ( ) ( )1 1f f- +¢ ¢¹ ⟹ ( )f x non é derivable en 1x = se 2a = .

• En resumo, ( )f x non é derivable en 1x = sexa cal sexa o valor de a. ⦿

◦ Exercicios de recta tanxente:

1. Calcula os valores de a , b e c sabendo que 2 1y a x b x= + + e 3y x c= + , teñen a mesma

recta tanxente no punto ( )1, 2 .

2. Calcula a ecuación da recta tanxente á gráfica de ( ) ( )21 xf x x e-= + no punto de abscisa 0x = .

3. Calcula un punto da gráfica da función ( )( )21

x

xf x

e

e=

+ no que a recta tanxente sexa paralela ao

eixe OX ; escribe a ecuación desa recta tanxente.

◦ Solucións:

1. • A gráfica dunha función ( )f x pasa polo punto ( )1, 2 se ( )1 2f = .

⤷ Se 2 1y a x b x= + + ⟹ 1 2a b+ + = ⟹ 1a b+ =


⤷ Se 3y x c= + ⟹ 1 2c+ = ⟹ 1c =• Como teñen a mesma recta tanxente no punto ( )1, 2 , teñen a mesma derivada se 1x = .

⤷ Para 2 1y a x b x= + + ⟹ 2y a x b¢ = + ⟹ ( )1 2y a b¢ = +

⤷ Para 3 1y x= + ⟹ 23y x= ⟹ ( )1 3y¢ =

• Para calcular a e b temos que resolver o sistema:1

2 3

a b

a b

+ =ìí + =î

•1 1

1 2 1 02 1

= - = - ¹ ⟹ O sistema é compatible determinado.

⤷ ( )1 11

1 3 23 11

a = = - - =-

; ( )1 11

3 2 12 31

b = = - - = --

.

⤷ Os valores para que as dúas funcións teñan as mesma tanxente no punto ( )1, 2

son 1a = - , 2b = e 1c = ⦿2. • A ecuación da recta tanxente á gráfica de ( ) ( )21 xf x x e-= + no punto de abscisa 0x = , ven

dada por: ( ) ( ) ( )0 0 0y f x f¢= × - + .

⤷ ( ) 00 1f e= = ; ( ) ( ) ( )2 22 1 1 2x x xf x x x x xe e e- - -¢ = - + = - - + ⟹ ( ) 00 1f e¢ = - = -

⤷ A ecuación da recta tanxente no punto de abscisa 0x = , é 1y x= - + ⦿3. • As rectas paralelas ao eixe OX teñen pendente 0 . Como a pendente da recta tanxente á gráfica

dunha función coincide coa derivada da función nese punto, temos que encontrar os valores que

anulan a derivada de ( )( )21

x

xf x

e

e=

+.

• ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

2 2 2

4 3 3

1 2 1 1 2 1

1 1 1

x x x x x x x x x

x x xf x

e e e e e e e e e

e e e

+ - + + - -¢ = = =

+ + +

• Tendo en conta que 0xe > para todo x Î ¡ , ( ) 0f x¢ = ⟺ 01 xe =- ⟺ 1xe =

⤷ En consecuencia, ( ) 0f x¢ = ⟺ 0x = . ( )( )

0

20

10

41f

e

e= =

+

• A recta tanxente á gráfica de ( )f x no punto ( )0, 1 4 é paralela ao eixe OX

e ten por ecuación 1 4y = . ⦿

◦ Problemas de máximos y mínimos:

1. Se a función ( ) 3 29 24B x x x x= - + da o beneficio mensual (en miles de euros) dunha empresa

metalúrxica depende da cantidade de metal, x (en toneladas). Se a cantidade mensual máxima que pode transformar é de 4 toneladas , determina o beneficio máximo e a cantidade de metal que utilizanese caso.

2. Calcula os extremos relativos da función ( ) 4 28 1f x x x= - + . Calcula tamén o máximo absoluto

e o mínimo absoluto desta función no intervalo [ ]3, 3- .

3. Descompón o número 40 en dous sumandos tales que o produto do cubo dun deles polo cadrado do outro sexa máximo. ¿Canto vale ese produto?


4. Nunha circunferencia de radio 10 cm , divídese un dos seus diámetros en dúas partesque se toman como diámetros de dúas circunferencias tanxentes interiores a ela. ¿Quelonxitude debe ter cada un destes dous diámetros para que sexa máxima a áreadelimitada polas tres circunferencias (rexión sombreada)?

5. Determina os valores de a , b , c e d para que a función ( ) 3 2f x ax bx cx d= + + + teña un

máximo relativo no punto ( )0, 4 e un mínimo relativo no punto ( )2, 0 .

6. Nunha circunferencia de centro O e radio 10 cm trázase un diámetro AB e unhacorda CD perpendicular a ese diámetro. ¿A que distancia do centro, O , dacircunferencia debe estar a corda CD , para que a diferencia entre as áreas dostriángulos ADC e BCD sexa máxima?

◦ Solucións:

1. • ( ) 3 29 24B x x x x= - + é continua e derivable en (por ser polinómica)

⤷ Polo tanto, ( )B x é continua en [ ]0, 4 ⟹ polo teorema de Weierstrass ( )B x alcanza os seus

extremos absolutos en [ ]0, 4 .

• Como os extremos absolutos, se están no interior do intervalo, tamén son extremos relativos.• Como os extremos relativos dunha función derivable son puntos críticos, determinaranse os

valores ( )0, 4x Î para os que ( ) 0B x¢ = ⟹ 23 18 24 0x x- + = ⟹ 2 6 8 0x x- + =

⤷

8

24

2

46 36 32 6 2

2 2 2x

ì =± - ± ï= = = íï =î

⟹ o único punto crítico a considerar é 2x = .

• Determinaranse os beneficios nos estremos do intervalo en no punto crítico:⤷ ( )0 0B = ; ( )4 64 144 96 16B = - + = ; ( )2 8 36 48 20B = - + = (máximo absoluto).

⤷ En consecuencia, o beneficio máximo mensual é de 20.000 €,utilizando 2 toneladas de metal. ⦿

2. • ( ) 4 28 1f x x x= - + é continua e derivable en (por ser polinómica).

• ( ) 4 28 1f x x x= - + ⟹ ( ) ( ) ( ) ( )3 24 16 4 4 4 2 2f x x x x x x x x¢ = - = - = - +

• Puntos críticos: ( ) 0f x¢ = ⟺ 0x = ou 2x = ou 2x = - .

• ( ) ( )2 212 16 4 3 4f x x x¢¢ = - = - . ( )0 1f = ; ( ) ( )2 2 16 32 1 15f f= - = - + = -

⤷ ( )0 16 0f ¢¢ = - < ⟹ ( )f x ten un máximo relativo en ( )0, 1

⤷ ( ) ( )2 2 48 16 32 0f f¢¢ ¢¢= - = - = > ⟹ ( )f x ten un mínimo relativo en ( )2, 15- , e

outro en ( )2, 15- -

• Polo teorema de Weierstrass, xa que ( )f x é continua en [ ]3, 3- , ( )f x alcanza o mínimo e o

máximo absolutos nese intervalo nos extremos relativos en ( )3, 3- ou nos extremos de [ ]3, 3- .

• ( ) ( )3 3 81 72 1 10f f= - = - + = ; ( )0 1f = ; ( ) ( )2 2 16 32 1 15f f= - = - + = -

⤷ O valor mínimo absoluto de ( )f x en [ ]3, 3- é −15, e alcánzase en 2x = e en 2x = - ,

o valor máximo absoluto de ( )f x en [ ]3, 3- é 10, e alcánzase en 3x = e en 3x = - . ⦿3. • Sumandos: ( )e 40x x- . Hai que maximizar a función ( ) ( ) [ ]23 40 en 0, 40f x x x= - .

• ( ) ( ) ( )23 3 2 5 4 340 1600 80 80 1600f x x x x x x x x x= - = - + = - + é continua e derivable en


(por ser polinómica), polo tanto, é continua en [ ]0, 40 . ( ) ( )0 40 0f f= = .

• Aplicando o teorema de Weierstrass no intervalo [ ]0, 40 , está garantido que ( )f x alcanza os

valores máximo e mínimo absoluto do intervalo [ ]0, 40 , nalgún punto crítico en ( )0, 40 ou nalgún

dos extremos do intervalo.

• Puntos críticos: ( ) ( )4 3 2 2 25 320 4800 5 64 960f x x x x x x x¢ = - + = - +

⤷ ( ) 0f x¢ = ⟺ 20 64 960 0x ou x x= - + =

⤷

80

248

2

4064 4096 3840 64 256 64 16

2 2 2 24x

ì =± - ± ± ï= = = = íï =î

⤷ ( )f x ten un único punto crítico ( )24 0, 40c = Î . ( ) 3 224 24 16 3.538.944f = × =⤷ O produto máximo é 3.538.944, se alcanza cos sumandos 16 e 24. ⦿

4. • Se represéntase por x a un dos diámetros diámetros das circunferencias interiores, o outro diámetro será ( )20 x- . Xa que son circunferencias interiores, [ ] [ ]0, 20 e 20 0, 20x xÎ - Î .

• A área delimitada polas tres circunferencias en función do diámetro dunha das circunferencias interiores ven dada por:

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 220

2 210 400 400 40 40 2

4 4x xA x x x x x x

p pp p p- é ù= - - = - - - + = -ë û

⤷ ( ) ( ) ( )2

2 220 20A x x x x x

p p= - = - é continua e derivable en (por ser polinómica),

polo tanto, é continua en [ ]0, 20 .

• Aplicando o teorema de Weierstrass no intervalo , está garantido que ( )A x alcanza os valores

máximo e mínimo absoluto do intervalo [ ]0, 20 , nalgún punto crítico ( )0, 20c Î ou nalgún dos

extremos do intervalo. ( ) ( ) 20 20 0A A cm= = .

• Puntos críticos: ( ) ( ) ( )2

20 2 10A x x xp p¢ = - = -

⤷ ( ) 0A x¢ = ⟺ 10 20 10x x= ® - = ⟹ ( ) 220 50 157,08 A cmp= @ (área máxima)

• Se as dúas circunferencias interiores teñen 10 cm de diámetro a área delimitada é máxima. ⦿5. • ( ) 3 2f x ax bx cx d= + + + ⟹ ( ) 23 2f x ax bx c¢ = + + ⟹ ( ) 6 2f x ax b¢¢ = +

• ( )f x ten un máximo relativo no punto ( )0, 4 ⟹ ( )( )0 4 4

0 0 0

f d

f c

= Þ =ìí ¢ = Þ =î

⤷ Polo tanto, ( ) 3 2 4f x ax bx= + + ⟹ ( ) 23 2f x ax bx¢ = +

• ( )f x ten un mínimo relativo no punto ( )2, 0 ⟹( )( )2 0 8 4 4

2 0 12 4 0

f a b

f a b

= Þ + = -ìí ¢ = Þ + =î

⤷2 1

3 0

a b

a b

+ = -ìí + =î

É un sistema compatible determinado, xa que 2 1

2 3 1 03 1

= - = - ¹ .

⤷ 1 1

1 1

1 11

0 1a

-- -

-= = = ; 1 3

1 1

2 13

3 0b

- -

-= = = -

⤷ Polo tanto verifícanse as condicións se 1; 3 ; 0 ; 4a b c d= = - = = ⦿


6. • Sexa x a distancia do centro, O , da circunferencia á corda CD , ey a metade da lonxitude da corda CD .

• Triángulo ADC : se considérase como base CD , que mide 2y , entón a súa altura mide 10 x+ (todo en cm).

⤷ A súa área mide: ( ) ( )21 10A y x cm= + .

• Triángulo BCD : se considérase como base CD , que mide 2y , entón a súa altura mide 10 x- (todo en cm)

⤷ A súa área mide: ( ) ( )22 10A y x cm= -

⤷ A diferenza das áreas: ( ) ( )1 2 10 10 2A A y x y x x y- = + - - =

• O teorema de Pitágoras proporciónanos unha relación entre x e y : 2 210y x= -

• Polo tanto, da función da diferenza das áreas, ( ) 22 100d x x x= - , temos que atopar o seu

valor máximo no intervalo dos posibles valores da variable x , [ ]0, 10 .

• ( )d x Î ¡ se 2100 0x- ³ ⟺ ( ) ( )10 10 0x x- + ³ .

⤷ Se [ ]0, 10x Î ⟹ ( ) ( )10 10 0

10 10 010 10 20

xx x

x

³ - ³ì Þ - + ³í £ + £î ⟹ ( ) 0d x ³ en

[ ]0, 10 , por ser produto de números positivos.

• ( )d x é continua en [ ]0, 10 , por estar definida operando funcións elementais.

• ( )d x é derivable en [ ]0, 10 , sendo ( )2

2

2

42 100

2 100

xd x x

x¢ = - -

-

⤷ ( )( ) ( )2 2 22

2

2 2 2

2 100 2 4 5022 100

100 100 100

x x xxd x x

x x x

- - -¢ = - - = =

- - -

⤷ ( ) 0d x¢ = ⟺ 250 0x- = ⟺ 50 5 2x = ± = ±

⤷ [ ]5 2 0, 10- Ï ⟹ [ ]5 2 0, 10Î é o único punto crítico de ( )d x en ( )0, 10 .

• Xa que ( )d x é continua en [ ]0, 10 , polo teorema de Weierstrass, ( )d x alcanza os seus extremos

absolutos en [ ]0, 10 . Os extremos absolutos están nos extremos relativos en ( )0, 10 ou nos

extremos do intervalo [ ]0, 10 .

• Xa que ( )d x é derivable en ( )0, 10 , os extremos relativos en ( )0, 10 son puntos críticos. Polo

tanto, os posibles extremos son os puntos críticos e os extremos do intervalo [ ]0, 10 .

⤷ ( )50 2 50 50 100d = × × = ; ( )0 0 100 0d = × = ; ( )10 20 0 0d = × = ⟹ O máximo

absoluto en [ ]0, 10 da función ( )d x é 100, e alcánzase en 50 5 2x = =

⤷ A diferencia máxima alcánzase a 5 2 7,07 cm@ do centro da circunferencia. ⦿

◦ Exercicios de estudo de funcións:

1. Calcula as asíntotas e os intervalos de crecemento e decrecemento de ( ) ( )2

2

1

1

xf x

x

-=

+.

2. Calcula o dominio e os intervalos de crecemento e decrecemento da función ( )2

2

1ln

1

xg x

x

æ ö-= ç ÷

+è ø.


3. Calcula os valores de a e b para que a función ( ) 2 lnf x ax bx x= + teña un punto de inflexión

no punto ( )1, 2 . Para estes valores de a e b , calcula o dominio e os intervalos de concavidade e

convexidade de ( )f x .

4. Calcula o dominio, as asíntotas, os intervalos de crecemento e decrecemento e os extremos

relativos da función ( )2

2 1

xf x

x=

-.

5. Calcula os intervalos de crecemento e decrecemento, os extremos relativos e os puntos de inflexión

da función ( ) 3 22 3f x x x= - .

6. Calcula as asíntotas, se as ten, de ( )( )21

x

xf x

e

e=

+.

7. Dada a función real de variable real ( ) 3 24 4f x x x x= - + . Calcula os intervalos de crecemento e

decrecemento e os intervalos de concavidade e convexidade da función ( )f x .

◦ Solucións:

1.• Dominio de ( ) ( )2

2

1

1

xf x

x

-=

+: 2 1 1 0x + ³ > para todo x Î ¡ ⟹ ( )dom f x = ¡

⤷ ( )dom f x = ¡ ⟹ Non ten asíntotas verticais.

•( )2 2

2 2

11

1lim lim

x x

x x

x x® ±¥ ® ±¥

-= =

+ ⟹ 1y = é asíntota horizontal nas dúas ramas infinitas.

•( ) ( ) ( )2 22

2 2 2

2 1 11 2 21 0

1 1 1lim lim lim lim

x x x x

x x xx x

xx x x+

® -¥ ® ±¥ ® -¥ ® -¥

- + - +æ ö- - -- = = = =ç ÷ç ÷+ + +è ø

•( )2

2

1 21 0

1lim lim

x x

x

xx-

® +¥ ® +¥

æ ö- -- = =ç ÷ç ÷+è ø

. Polo tanto,

• Por ter asíntota horizontal na dúas ramas infinitas ⟹ Non ten asíntotas oblicuas.

• ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

22 3 2 2

2 22 2

2 1 1 2 1 2 1 2 2 1

1 1

x x x x x x x x x xf x

x x

- + - - - + - - - +¢ = = =

+ +

( )( )

( ) ( )

( )

2

2 22 2

2 1 2 1 1

1 1

x x x

x x

- + -= =

+ + ⟶ ( ) 0f x¢ = ⟺ 1 ou 1x x= = -

⤷ ( ), 1-¥ - ( )1, 1- ( )1, +¥

( ) ( ) ( )

( )22

2 1 1

1

x xf x

x

+ -¢ =+

( ) ( )( )

20

- ->

+( ) ( )( )

20

+ -<

+( ) ( )( )

20

+ +>

+

( )f x Crecente Decrecente Crecente

⤷ Polo tanto, ( )f x é crecente en ( ) ( ), 1 1,-¥ - +¥U e decrecente en ( )1, 1- . ⦿2.

• ( )2

2

1ln

1

xg x

x

æ ö-= ç ÷

+è ø. Posto que ( ) ( )dom ln 0,x = +¥ ⟹ Debe verificarse

2

2

10

1

x

x

->

+


• 2 1 1 0x + ³ > para todo x Î ¡ ⟶ ( ) ( )2

2

10 1 1 0

1

xx x

x

-> Û + - >

+⤷ ( ), 1-¥ - ( )1, 1- ( )1, +¥

( ) ( )1 1x x+ - ( ) ( ) 0- - > ( ) ( ) 0+ - < ( ) ( ) 0+ + >

⟹

( ) ( ) ( )dom , 1 1,g x = -¥ - +¥U

• ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22

2 2 2 2 22

2 1 2 11 4 4

1 1 1 1 1 11

x x x xx x xg x

x x x x x xx

+ - -+¢ = × = =- - + + - ++

⤷ ( ) 0 0 domg x x g¢ = Û = Ï ( ), 1-¥ - ( )1, 1- ( )1, +¥

( )g x¢ ( )( )( )( )

40

-- - +

< Non está nodominio

( )( )( )( )

40

++ + +

>

( )g x Decrecente Crecente

• A función ( )g x é crecente en ( )1, +¥ e decrecente en ( ), 1-¥ - . ⦿3. • ( ) 2 lnf x ax bx x= + ⟶ ( )1f a= . Como pasa polo punto ( )1, 2 ⟹ 2a =

⤷ ( ) 22 lnf x x bx x= + ⟹ ( ) 4 lnf x x b x b¢ = + + ⟹ ( ) 44

b x bf x

x x

+¢¢ = + =

• Ten un punto de inflexión en ( )1, 2 ⟹ ( )1 0f ¢¢ = ⟹ 4 0b+ = ⟹ 4b = -

• ( ) ( )22 4 ln 2 2 lnf x x x x x x x= - = - . Xa que ( ) ( )dom ln 0,x = +¥ ⟹ ( )dom 0,f = +¥

• ( ) ( )4 14 4 44

xxf x

x x x

--¢¢ = - = = ⟶ ( ) 0 1 domf x x f¢¢ = Û = Î

• ( )0, 1 ( )1, +¥

( )f x¢¢ ( )( )

40

-+

< ( )( )

40

++

>

( )f x Cóncava Convexa A función ( )f x é cóncava en ( )0, 1 e convexa en ( )1, +¥

⦿4. •

5. •

6. •

7. •

Date post:	11-Aug-2015
Category:	Science
Upload:	xurxorigueira
View:	44 times
Download:	0 times

Cálculo diferencial

Science