Cálculo integral

Historia El origen del cálculo integral se remonta a la

época de Arquímedes (287-212 a.C.), matemático griego de la antigüedad, que obtuvo resultados tan importantes como el valor del área encerrada por un segmento parabólico.

El descubrimiento más importante del cálculo infinitesimal (creado por Barrow, Newton y Leibniz) es la relación entre la derivada y la integral definida. Una vez conocida la conexión entre derivada e integral (teorema de Barrow), el cálculo de integrales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas.

Introducir el cálculo integral, se logro con el estudio de J.Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual.

El Cálculo Integral incluía los problemas y la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional, la teoría de funciones especiales, etc. Tal formulación general creció inusualmente  rápido. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes volúmenes para dar una exposición sistemática de él.

 Según Euler el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración.

Teorema fundamental del cálculo Consiste (intuitivamente) en la afirmación de

que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma.

Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores pequeños de h.

Integral definidaEs un concepto utilizado para determinar el valor

de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

PropiedadesToda integral extendida a un intervalo de un

solo punto, [a, a], es igual a cero.Cuando la función f (x) es mayor que cero, su

integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.

La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.

(se puede «sacar» la constante de la integral).Al permutar los límites de una integral, ésta

cambia de signo.Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces

se cumple que (integración a trozos):

Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:

Integral indefinidaIntegrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir,

dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:F'(x) = f(x).Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.Se lee : integral de x diferencial de x.f(x) es el integrando o función a integrar.dx es diferencial de x, e indica cuál es la

variable de la función que se integra.C es la constante de integración y puede tomar

cualquier valor numérico real.Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:∫ f(x) dx = F(x) + CPara comprobar que la primitiva de una función

es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida1. La integral de una suma de funciones es igual

a la suma de las integrales de esas funciones.∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

Suma de Riemann Es un método de integración numérica que nos

sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo.

La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada sub-intervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cada sub-intervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los sub-intervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.

Consideremos lo siguiente:

una función 

donde D es un subconjunto de los números reales

I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.

Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2... < xn = b

crean una partición de I

P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}

Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.

Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.

Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma trapezoidal.

Métodos de integraciónCambio de Variable

Integración por partes Integrales de funciones trigonométricas

Sustitución Trigonométrica Fracciones parciales

Método de integración por sustitución o cambio de variable 

Se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Ejemplo:1º  Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inical:

INTEGRACIÓN POR PARTESLa regla que corresponde a la regla del producto

de la derivación se llama regla de la integración por partes.

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Ejemplo: