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Integral IndefinidaMetodos de integracion
Integrales Definidas
Calculo Integral
Eduardo Mena Caravaca
2 de septiembre de 2015
Centro de Educacion MatematicaCEMATH
Eduardo Mena Caravaca Calculo Integral
Integral IndefinidaMetodos de integracion
Integrales Definidas
Indice
1 Integral IndefinidaConocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
2 Metodos de integracionSustitucion o cambio de variablePor partesIntegrales racionales
3 Integrales DefinidasConocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
Eduardo Mena Caravaca Calculo Integral
Integral IndefinidaMetodos de integracion
Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Eduardo Mena Caravaca Calculo Integral
Integral IndefinidaMetodos de integracion
Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Eduardo Mena Caravaca Calculo Integral
Integral IndefinidaMetodos de integracion
Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Ejemplo
Sea f (x) = x2 + 1, calcular ∆f (x) y df (x) cuando x pasa de 1a 1,15
Calculamos ∆f (1)
∆f (1) = f (1, 15)− f (1) = 1, 152 + 1− (12 + 1) = 1, 152 − 12 =1,3225− 1 = 0,3225
Calculamos df (1)
f ′(x) = 2x
df (1) = f ′(1) ·∆(1) = 2 · 1 · (1, 15− 1) = 2 · 0, 15 = 0,30
Vemos que ∆f (1) ∼= df (1)
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Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
PRIMITIVA DE UNA FUNCION
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Integral IndefinidaMetodos de integracion
Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Definicion
Sea f : R −→ R se dice que una funcion F es una primitiva de fsi se verifica F ′(x) = f (x) ∀x ∈ Dom(f )
Una definicion que equivale a resolver la siguiente ecuacion(ecuacion diferencial)
F ′(x) = f (x)⇒ dF (x)
dx= f (x)⇒ dF (x) = f (x) · dx
dF (x) = f (x) · dx
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Integral IndefinidaMetodos de integracion
Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Si la ecuacion F ′(x) = f (x) tiene solucion, entonces, tieneinfinitas soluciones.
En efecto:La funcion F + C donde C ∈ R tambien es solucion, ya que:
(F + C )′ (x) = F ′(x) + C ′ = F ′(x) + 0 = F ′(x) = f (x)
(F + C )′ (x) = f (x)
Por tanto, F + C es una primitiva de f
A las infinitas primitivas de f se le llama integral indefinida y larepresentamos por: ∫
f (x) dx = F (x) + C
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Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
INTEGRAL INDEFINIDA
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Integral IndefinidaMetodos de integracion
Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Definicion
Si F : R −→ R es una primitiva de la funcion f : R −→ R a laexpresion F (x) + C se le llama integral indefinida de la funcionf y se representa por el sımbolo:∫Sımbolo de la operacion inversa de la derivada, por ello, a laintegral indefinida tambien se le llama antiderivada y tiene la formade una S (suma)
dF (x) = f (x) · dx ⇒∫
dF (x) =
∫f (x) dx = F (x) + C
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Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Elementos que componen la expresion de la integral indefinida:
Signo de la integral, una S deformada
f (x)
f (x) · dx∫f (x) dx
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Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Elementos que componen la expresion de la integral indefinida:∫
f (x)
f (x) · dx∫f (x) dx
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Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Elementos que componen la expresion de la integral indefinida:∫Integrando
f (x) · dx∫f (x) dx
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Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Elementos que componen la expresion de la integral indefinida:∫f (x)
f (x) · dx∫f (x) dx
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Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Elementos que componen la expresion de la integral indefinida:∫f (x)
Elemento de integracion
∫f (x) dx
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Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Elementos que componen la expresion de la integral indefinida:∫f (x)
f (x) · dx
∫f (x) dx
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Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Elementos que componen la expresion de la integral indefinida:∫f (x)
f (x) · dxExpresion completa
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Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Elementos que componen la expresion de la integral indefinida:∫f (x)
f (x) · dx∫f (x) dx
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Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Corolarios
1 La derivada de una integral es igual al integrando(∫f (x) dx
)′
= (F (x) + C )′ = f (x)
2 La diferencial de una integral es igual al elemento de integracion
d
(∫f (x) dx
)=
(∫f (x) dx
)′
dx = f (x) dx
3 La integral indefinida de la diferencial de una funcion es igual a lafuncion mas una constante∫
df (x) =
∫f ′(x) dx = f (x) + C
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Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Corolarios
1 La derivada de una integral es igual al integrando(∫f (x) dx
)′
= (F (x) + C )′ = f (x)
2 La diferencial de una integral es igual al elemento de integracion
d
(∫f (x) dx
)=
(∫f (x) dx
)′
dx = f (x) dx
3 La integral indefinida de la diferencial de una funcion es igual a lafuncion mas una constante∫
df (x) =
∫f ′(x) dx = f (x) + C
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Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Corolarios
1 La derivada de una integral es igual al integrando(∫f (x) dx
)′
= (F (x) + C )′ = f (x)
2 La diferencial de una integral es igual al elemento de integracion
d
(∫f (x) dx
)=
(∫f (x) dx
)′
dx = f (x) dx
3 La integral indefinida de la diferencial de una funcion es igual a lafuncion mas una constante∫
df (x) =
∫f ′(x) dx = f (x) + C
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Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Propiedades de la integral indefinida
1 La integral de una suma es igual, a la suma de las integrales∫(f (x) + g(x)) dx =
∫f (x) dx +
∫g(x) dx
2 La integral de una constante por una funcion es igual, a laconstante por la integral de la funcion∫
k · f (x) dx = k ·∫
f (x) dx
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Integral IndefinidaMetodos de integracion
Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Propiedades de la integral indefinida
1 La integral de una suma es igual, a la suma de las integrales∫(f (x) + g(x)) dx =
∫f (x) dx +
∫g(x) dx
2 La integral de una constante por una funcion es igual, a laconstante por la integral de la funcion∫
k · f (x) dx = k ·∫
f (x) dx
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Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
INTEGRALES INMEDIATAS
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Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
∫xn dx =
xn+1
n + 1+ C
∫ax dx =
ax
ln a+ C
∫sin x dx = − cos x + C
∫1
cos2 xdx = tan x + C
∫1√
1− x2dx = arcsin x + C
∫1
xdx = ln x + C
∫ex dx = ex + C
∫cos x dx = sin x + C
∫−1
sin2 xdx = cot x + C
∫1
1 + x2dx = arctan x + C
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Integral IndefinidaMetodos de integracion
Integrales Definidas
Sustitucion o cambio de variablePor partesIntegrales racionales
METODOS DE INTEGRACION
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Integral IndefinidaMetodos de integracion
Integrales Definidas
Sustitucion o cambio de variablePor partesIntegrales racionales
Cambio de variable
∫f (x) dx
Hacemos el cambio x = g(t)⇒ dx = g ′(t) dt
∫f (x) dx =
∫f (g(t)) g ′(t) dt
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Integrales Definidas
Sustitucion o cambio de variablePor partesIntegrales racionales
Ejemplo
Calcular
∫ln x
xdx
Hacemos el cambio ln x = t ⇒ 1x dx = dt
∫ln x
xdx =
∫t dt =
1
2t2 =
1
2ln2 x + C
O bien, sin cambio, si observa que:∫ln x
xdx =
∫ln x d(ln x) =
1
2ln2 x + C
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Integrales Definidas
Sustitucion o cambio de variablePor partesIntegrales racionales
Por partes
Sabemos que:
d(u(x) · v(x)) = v(x) · u′(x) · dx + u(x) · v ′(x) · dx
d(u(x) · v(x)) = v(x) · d(u(x)) + u(x) · d(v(x))
Despejando, nos queda:∫u(x) · d(v(x)) =
∫d(u(x) · v(x))−
∫v(x) · d(u(x))
∫u(x) · dv(x) = u(x) · v(x)−
∫v(x) · du(x)
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Integrales Definidas
Sustitucion o cambio de variablePor partesIntegrales racionales
Ejemplo
Calcular
∫(2x + 1)ex dx
Tomamos las partes
{u(x) = 2x + 1⇒ du(x) = 2dxdv(x) = exdx ⇒ v(x) = ex∫
(2x + 1)ex dx = (2x + 1)ex −∫
2ex dx
= (2x + 1)ex − 2ex + C = (2x − 1)ex + C
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Integrales Definidas
Sustitucion o cambio de variablePor partesIntegrales racionales
Racionales
∫P(x)
Q(x)dx
Donde P(x) y Q(x) son dos polinomios.
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Integral IndefinidaMetodos de integracion
Integrales Definidas
Sustitucion o cambio de variablePor partesIntegrales racionales
Ejemplo
Calcular
∫x3 − 4
x2 + x − 2dx
1 El grado P(x) > grado Q(x) tenemos que dividir,
x3 − 4
x2 + x − 2= x − 1 +
3x − 6
x2 + x − 2
2 Descomponemos3x − 6
x2 + x − 2, en fracciones simple
3x − 6
x2 + x − 2=−1
x − 1+
4
x + 2
3
∫x − 1− 1
x − 1+
4
x + 2dx =
1
2x2−x− ln |x−1|+4 ln |x+2|
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Integrales Definidas
Sustitucion o cambio de variablePor partesIntegrales racionales
Ejemplo
Calcular
∫x3 − 4
x2 + x − 2dx
1 El grado P(x) > grado Q(x) tenemos que dividir,
x3 − 4
x2 + x − 2= x − 1 +
3x − 6
x2 + x − 2
2 Descomponemos3x − 6
x2 + x − 2, en fracciones simple
3x − 6
x2 + x − 2=−1
x − 1+
4
x + 2
3
∫x − 1− 1
x − 1+
4
x + 2dx =
1
2x2−x− ln |x−1|+4 ln |x+2|
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Integrales Definidas
Sustitucion o cambio de variablePor partesIntegrales racionales
Ejemplo
Calcular
∫x3 − 4
x2 + x − 2dx
1 El grado P(x) > grado Q(x) tenemos que dividir,
x3 − 4
x2 + x − 2= x − 1 +
3x − 6
x2 + x − 2
2 Descomponemos3x − 6
x2 + x − 2, en fracciones simple
3x − 6
x2 + x − 2=−1
x − 1+
4
x + 2
3
∫x − 1− 1
x − 1+
4
x + 2dx =
1
2x2−x− ln |x−1|+4 ln |x+2|
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Integrales Definidas
Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
INTEGRAL DEFINIDA
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Integrales Definidas
Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
CONOCIMIENTOS PREVIOS
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Integrales Definidas
Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
TEOREMA de WEIERSTRASSSi la funcion f : [a, b] −→ R es continua en [a, b] entonces alcanza elmaximo y el mınimo absoluto en dicho intervalo.
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Integrales Definidas
Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
TEOREMA de BOLZANOSi f : [a, b] −→ R es continua en [a, b] y el signo{f (a)} 6= signo{f (b)}entonces ∃c ∈ (a, b)/f (c) = 0.
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Integrales Definidas
Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIOSi f : [a, b] −→ R es continua en [a, b] y α ∈ R/f (a) < α < f (b)entonces ∃c ∈ (a, b)/f (c) = 0.
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Integrales Definidas
Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
Corolario
Si f : [a, b] −→ R es continua en [a, b] y α ∈ R/m < α < Msiendo m = mın {f }[a,b] y M = max {f }[a,b] entonces∃c ∈ (a, b)/f (c) = α
DemostracionPor el teorema de Weierstrass f alcanza elmaximo y el mınimo en [a, b]. Sea A(x1, f (x1))donde alcanza el mınimo y M(x2, f (x2)) dondealcanza el maximo. Tomamos el intervalo[x1, x2] ⊂ [a, b] y definimos en el la funciong(x) = f (x)− α.g cumple Bolzano en el intervalo [x1, x2] yaque es contınua y se verifica:g(x1) = f (x1)−α < 0 y g(x2) = f (x2)−α > 0,por tanto ∃c ∈ (a, b)/g(c) = 0⇒ f (c) = α
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Integrales Definidas
Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
EL AREA COMO PRIMITIVA DEUNA FUNCION
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Integrales Definidas
Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
Cosideremos el area plana delimitada por la grafica de la funcion f ,el eje OX y las ordenadas correspondiente a los valores x = a yx = b
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Integrales Definidas
Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
m(b − a) ≤ S
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Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
S ≤ M(b − a)
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Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
m(b − a) ≤ S ≤ M(b − a)
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Integrales Definidas
Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
m ≤ S
b − a≤ M
Y por el teorema del valor intermedio ir al teorema
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Integrales Definidas
Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
∃c ∈ [a, b] /S
b − a= f (c)⇒ S = f (c)(b − a)
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Integrales Definidas
Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
S(x)
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Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
S(x + ∆x)
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Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
S(x + ∆x)− S(x)
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Integrales Definidas
Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
S(x + ∆x)− S(x) = f (c) ·∆x con c ∈ (x , x + ∆x)
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Integrales Definidas
Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
Teorema Fundamental del Calculo Integral
lım∆x→0
S(x + ∆x)− S(x)
∆x= lım
c→xf (c) = f (x)
S ′(x) = f (x)⇒ S(x) =
∫ x
af (x) dx
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Integrales Definidas
Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
Regla de Barrow
Si F : [a, b] −→ R es una primitiva de f : [a, b] −→ R se verifica:∫ b
af (x) dx = F (b)− F (a)
DemostracionSi F (x) es una primitiva de f (x), sabemos que
S(x) =
∫ x
af (x) dx tambien es una primitiva de f (x).
Pero dos primitivas cualesquiera se diferencian en unaconstante C .Por tanto, podemos escribir: S(x)− F (x) = CHaciendox = a⇒ S(a)− F (a) = C ⇒ 0− F (a) = Cx = b ⇒ S(b)− F (b) = C ⇒ S(b) = F (b)− F (a)⇒∫ b
af (x) dx = F (b)− F (a)
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Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
APLICACIONES DE LA INTEGRALDEFINIDA
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Integrales Definidas
Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
Ejemplo
Calcular el area comprendida entre la curva f (x) = ln x , el ejeOX y las ordenadas correspondientes a x = 2 y x = 5
Solucion
S =
∫ 5
2ln x dx . Calculamos por partes la
integral.
Tomamos las partes{u(x) = ln x ⇒ du(x) =
1
xdx
dv(x) = dx ⇒ v(x) = x∫ln x dx = x · ln x−
∫x
1
xdx = x · ln x−x
S = x · ln x − x]52 = 5 ln 5− 5− (2 ln 2− 2)
S = 5 ln 5− 2 ln 2− 3 ∼= 3, 661 u2
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Integrales Definidas
Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
Ejemplo
Calcular el area comprendida entre las curvas f (x) = x3 − 2x2 + x − 1, yg(x) = −x2 + 3x − 1 y que se encuentra en el primer y cuarto cuadrante.
Solucion
Calculamos los puntos de corte de las dos curvas.
x3 − 2x2 + x − 1 = −x2 + 3x − 1⇒
x3 − x2 − 2x = 0
x1 = −1x2 = 0x3 = 2
En nuestro problema tomamos x2 = 0 y x3 = 2
El area viene dada por:
S =
∫ 2
0g(x)− f (x) dx =
∫ 2
0(−x3 + x2 + 2x) dx
=−x4
4+
x3
3+ x2
]2
0
= −4 +8
3+ 4 =
8
3u2
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