TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS
CALCULO INTEGRAL
PROBLEMARIO
∫∫ −−=
a
a
a
adxxfkdxxfk )()(
M. en C. FAUSTO ALARCON HERNANDEZ
La serie de ejercicios propuestos en el presente problemario esta dirigida a los estudiantes de segundo semestre de las diferentes carreras de ingeniería del Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec y para todo estudiante que este interesado o tenga la necesidad de ejercitar los conceptos del calculo integral. La serie de ejercicios ha sido seleccionada para el estudiante promedio Los prerrequisitos necesarios para ser abordados son; algebra, geometría y trigonometría y geometría analítica de nivel bachillerato.
ÍNDICE DIFERENCIALES
1
INTEGRACIÓN
2
INTEGRACIÓN DE UNA FUNCION COMPUESTA POR SUSTITUCION
5
INTEGRACION POR PARTES
13
INTEGRALES TRIGONOMETRCAS
21
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
25
INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES
29
CALCULO DE AREA
33
VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
34
VOLÚMEN DE SÓLIDOS CON SECCIONES CONOCIDAS
36
INTEGRALES IMPROPIAS
38
Diferenciales Definición. Supóngase que y = f(x) representa una función diferenciable en un intervalo abierto que contiene a x. La diferencial de x (denotada por dx) es cualquier número real diferente de cero. La diferencial de y (denotada por dy) es.
dy = f ’ (x) dx
En los siguientes ejercicios use la información con el fin de evaluar y comparar yΔ y dy. 1. y = 1 – 2x2 x = 2 1.0dxx ==Δ 2. y = x4 + 1 x = - 1 01.0dxx ==Δ
3. x1y = x = 2 001.dxx ==Δ
En los problemas 4 y 5 complete la tabla siguiente para cada función. x xΔ yΔ dy dyy −Δ
2 1 2 0.5 2 0.1 2 0.01
1
4. y = 5x2 5. x1y =
Encuentre la diferencial dy de la función dada.
6. 2x9y −= 7. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛= −
21x6
51 Seny π
8. 9. CosxxSenxy −= ( ) 41
5x8y 3 +=
10. 1x1xy 2
2
+
−= 11. )3x(Lney x −=
12. x
1xy += 13.
1x
xSecy
2
2
+=
Utilice el concepto de diferencial para encontrar para encontrar una aproximación a la expresión dada.
14. 35 15. 991
16. 1)9.0(
)9.0( 4
+ 17. ( )1.0Tan 4 +π
18. Sen 31º 19. (1.1)2 + 6(1.1)2 20. Se encuentra que la medida del lado de un cuadrado es de 12 pulgadas, con un error posible de 64
1 pulgada. Use diferenciales para obtener una
aproximación del error propagado posible en el cálculo del área del cuadrado. 21. El radio de una esfera mide 6 pulgadas, con un error posible de 0.02 pulgadas. Use diferenciales para obtener una aproximación del error máximo posible en el cálculo del a) volumen de la esfera, b) el área superficial de esta y c) los errores relativos en los incisos a y b. 22. El alcance R de un proyectil es
( )θ2Sen32vR
20=
Donde v0 es la velocidad inicial, en pies por segundo, y θ es el ángulo de elevación. Si v0 = 2200 pies por segundo y se cambia el ángulo de 10º a 11º, use diferenciales para obtener una aproximación del cambio en el alcance. 23. Un tanque de almacenamiento de aceite en forma de cilindro circular vertical tiene una altura de 5 m. El radio mide 8 m, con un error posible de
25.0± m. Utilice diferenciales para calcular el error máximo en el volumen. Encuentre el error relativo aproximado y el porcentaje aproximado de error.
Integración Una función F es una primitiva o antiderivada de f sobre un intervalo I si f(x)(x)'F = para todos los x
en I. Observe que
31 2)( xxF = , , y 32)( 3
2 += xxF 102)( 33 −= xxF
Son antiderivadas de . En general para cualquier constante C, la función es
una antiderivada de f.
26)( xxf = CxxF += 32)(
Si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f sobre el intervalo I si y sólo si G tiene la forma CxFxG += )()( En la solución de una ecuación diferencial de la forma
)(xfdxdy
=
Es conveniente escribirla en su forma diferencial equivalente dxxfdy )(= A la operación de hallar todas las soluciones de esta ecuación se le llama antiderivacion o mejor aún
integración (integración indefinida) la cual se indica con el signo de integración . Así la solución de la
ecuación se denota como ∫
∫ +== CxFdxxfy )()(
en donde f(x) es el integrando dx indica la variable de integración. C es la constante de integración La integración y derivación tiene un carácter inverso, para comprobarlo basta sustituir )´(xF por )(xf en la definición.
2
La integración como “inversa de la derivación. ∫ += CxFdxxF )()('
Ahora bien, si , entonces. ∫ += CxFdxxf )()(
)()( xfdxxfdxd
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∫ La derivación como operación “inversa” de la integración.
Estas dos expresiones permiten obtener las formulas básicas de integración de las formulas de derivación. REGLAS BASICAS DE INTEGRACION Formulas de derivación
Formulas de integración
( ) 0=Cdxd
∫ =Cdx0
( ) kkxdxd
= ∫ += Ckxdxk
( ) )(')( xkfxkfdxd
= ∫ ∫= dxxfkxkf )()(
( ) )(')(')()( xgxfxgxfdxd
+=+ [ ]∫ ∫ ∫±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
( ) 1−= nn nxxdxd
1,1
1−≠+
+=∫
+nC
nxdxx
nn
( ) CosxSenxdxd
= ∫ += CSenxdxCosx
( ) SenxCosxdxd
−= ∫ +−= CCosxdxSenx
( ) xSecTanxdxd 2= ∫ += CTanxdxxSec2
( ) xCscCotxdxd 2−= ∫ +−= CCotxdxxCsc2
( ) TanxSecxSecxdxd
= ∫ += CSecxdxTanxSecx
( ) CotxCscxCscxdxd
−= ∫ +−= CCotxdxCotxCscx
3
ESQUEMA GENERAL DE INTEGRACION
4
Ejemplo: Integral dada Reexpresar Integrar Simplificar
i) ∫ dxx42
= = ∫ − dxx 42 Cx+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−
32
3 = C
x+− 33
2
ii) ∫ dxx35 = ∫ dxx 31
5 = Cx+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
34
43
5 = Cx +43
415
iii) = = ∫ dxSenx3 ∫Senxdx3 ( ) CCosx +−3 = CCosx +− 3
iv) ∫ + dxx
x 2 = ∫ ∫ −
+ dxxdxx 21
21
2 = Cxx+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
21
23
21
23
2 = Cxx ++− 21
23
432
PROCEDIMIENTOS PARA AJUSTAR INTEGRANDOS A LAS FORMULAS BASICAS Técnica
Ejemplo
Desarrollar ( ) xxx eee 22211 ++=+
Separar el numerador
111
11
222 ++
+=
++
xx
xxx
Completar el cuadrado
22 )1(1
1
2
1
−−=
− xxx
Dividir si la función racional es impropia Sumar y restar términos al numerador
111
1 22
2
+−=
+ xxx
2222 )1(2
1222
12222
122
+−
+++
=++−+
=++ xxx
xxx
xxx
x
Usar identidades trigonométricas Multiplicar y dividir por el conjugado pitagórico
122 −= xCscxCot
xCosSenxxSec
xCosSenx
xSenSenx
SenxSenx
SenxSenx 22
221
11
11
11
11
−=−
=−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=+
Integral dada Reexpresar Integrar Simplificar
5
NTEGRACIÓN DE UNA FUNCION COMPUESTA POR SUSTITUCION
ean f y g funciones que satisfacen las condiciones de la regla de la cadena para la función compuesta
I S
))(( xgfy = . Si F es una primitiva de f, entonces.
( I )
Haciendo ∫ += CxgFdxxgxgf ))(()('))((
)(xgu = , entonces dxxgud )(')( = y sustituyendo en I
∫ ∫ +=+== CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()('))((
jemplo:
1)
E
∫ ∫ ∫ ++=+===+
− CxCuduuduu
dxx
x 2
212
525
23515
35 2
1
21
xdxdudxxduxu
=
=+=
21
2
23
) 2
( ) ( )∫ ∫ ∫ +++
−=+−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
===++
+ −− C
xxC
uuduudu
udx
xx
x622
121
12115
62
12
1
212
21
222
( ) ( )( )dxxdu
dxxdxxduxxu
1
122262
21
2
+=
+=+=++=
3) ( ) CeLnududx
ee x
x
x++==
+ ∫∫ 22
dxedu
eux
x
=
+= 2
∫ ∫ +−=−= CxCosduudxSenxxxCos 24813
21223 4)
dxxSenxdu
dxxCosxdu
Cosxu
221
2
2
2
=−
−=
=
6
valuar las siguientes integrales
1.
2.
3.
4.
13.
Ey comprobar el resultado por diferenciación
dxxa5 62∫
( ) dxxx∫ ++ 386 2
( ) ( ) dxbxaxx ++∫
∫ dxpx2
5.
6.
( ) dxbxa2
3∫ +
∫ n xdx
7. ( )∫ −dxnx n
n1
8. dxxa3
32
32
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
9. ( )∫ − dxax
xa 4
10. ( )( )dx1xx1x∫ +−+
11. ( )( ) dxx
2x1x3 2
22
∫ −+
12. ( )∫ − dxxxx
2nm
∫ +7xdx
2
14. ∫ − 10xdx
2
15.
dxx4
x2x24
22
∫ −
−−+
16.
∫ − 2x8
dx
17. ∫ + 2x4
dx
18. ∫ xdxTan2
19. xdxCot2∫
20. ∫ dxe3 xx
21. ∫ − xaadx
22. ∫ +− dx
x23x31
23. ∫ + bxaxdx
24. dx1x23x2∫ +
+
25.
dxbaxbax∫ −
+
26. dx1x1x2
∫ −+
27. dx3x
7x5x2
∫ +++
28. dxax
ba2
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
29. ( )∫ +
dx1x
x2
dx1x
1xx 24
∫ −++ 30.
31. .y1
bdy∫ −
32. ∫ − dxbxa
33. dx1x
x2∫ +
34. ∫ + 5x3dx2
35. ∫ − 8x7dx2
36. dxx
xlnx∫ +
37. ( ) ( )∫ −−+ 2xbaba
dx
38. dx2x
x2
2
∫ +
39. ∫ −dx
xax
22
3
7
40. ∫ + 2x87
dx
41. ∫ − 2x57
dx
42. ∫ +
+− dx4x
6x5x2
2
43. ∫ −
− dx2x3
5x22
44. ∫ +
− dx7x5x23
2
45. ∫ +
+ dx1x5
1x32
46. ∫ − 5xxdx2
47. ∫ + 3x2xdx2
48. dx4x
3x2∫ −
+
49. ∫ +
+ dxbxa
bax222
50. ∫
51. dx1∫ + 6
2
x
x
∫ +dx
x4
arctg22x
− 4xa
xdx4
52.
54. ∫ −dx
x1arcsenx
2
55. ∫ +
−dx
x41
x2arctgx2
56.
( )∫ 2 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +++ 2 11 xxLnx
dx
57.
dx4 x32∫ −
58. ( )∫ −− tee tt d
59. ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−dxee
2ax
ax
60. dxae mx∫ −
61. ( ) dxbabaxx
2xx
∫ −
68. ∫ − dxa
1ax
x2
69. ( ) dxxe 1x2∫ +−
70. ∫ dxxe
2
x1
71. ∫ x
dx5 x
72. ∫ dx7x2x
73. ∫ −dx
1eex
x
74. ∫ − dxbeae xx
dxe1e ax3
1
ax
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ 75.
76. ∫ + x2
x
a1dxa
77. ∫ −
−
−dx
e1e
bx2
bx
78. ∫ x2dx
79. ∫ − t2
t
e1dte
80. ∫ ( )+ dxbxaSen
81. ∫ dx2xCos
8
82. ∫ xdxxCos
83. ( )∫ xdxxLogSen
87.
84. 2( )∫ + dxSenaxCosax
85. ∫ xdxSen2
86. ∫ xdxSen2
∫ axdxCot 2
88. ∫axSen
dx
89. ( )∫ − 4x5Cos3dx
π
90. ( )∫ + dxbaxSec2
91. ( )∫ + baxSendx
92. ∫ 22 xCosxdx
93. ( )∫ − dxx1xSen 2
94. ∫ dxTanx
98. ∫ dxxCot
99. dx1Senx
12
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
100. ∫ −dx
baxCot
101. ∫5xTan
dx
102. ∫ xdxxTan
103. ∫ dxaxSen
axCos
104. ∫ CosxSenxdx
105. ( )∫ + dx1xxcTan 2
106. ∫ dxx6xCos6Sen3
107. ∫ dxaxSen
Cosax5
108. ∫ +dx
x3Cos3x3Sen
109. ∫ + dxx2xSenCos31 2
110. dx3xSec
3xTan 23∫
111. dxxSenxCos
SenxCosx22∫ −
112. ∫ dxxCos
Tanx2
113. dxxSen
xCot232
∫
114. ∫ + dxx3cosx3sen1
2
115. dxx3aCot6
x3Csc2
∫ −
116.
( ) dxSenax
SenaxCosax 2
∫ +
117.
∫ xdxsh2
118. ∫ shxdx
119. ∫ chxdx
120. ∫ thxdx
9
121.
122.
∫ cthxdx
∫ shxchxdx
123. ∫ − dxx5x 5 25
124.
∫ +−
− dx1x4x
1x4
3
125. ∫ +dx
5xx
8
3
126. ∫ +
+−dx
x32
x3232
2
127. ∫ +− dx1x1x3
128.
∫ − dxxe
2x
129. ∫ xe
dx
130. ∫ +− dx
CosxxSenx1
131. ∫ − dxx3Sen
x3Cotx3Tan
∫ −dx
2xTan
xSec2
2 132.
133. ∫ dxxxLn
dx2
134.∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++ dx
1x2x2 2
135. ∫ Cosxdxa xsec
136. ∫ +dx
1x
2x3 3
137. ∫ − 4x1
xdx
138. ∫ dxaxTan2
139. dx2xSen2∫
140. ∫ − xTan4dxxSec2
2
141. ( )∫ 2xSendxx
42.
1
( )∫ +
+++ dxx1
12x1ear Lnx2
xcot
143.
∫ −−
1xdx1xTan
144. ∫ +− dx
CosxSenxCosxSenx
145. ∫⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
dxSen
Sen1
2x
2
2x
146. ∫ −dx
2xx
2
2
dx2Sene xSen2
147. x∫
148. ( )( )∫ +
+ dxx1xx1
2
2
149. ∫ −
− dxx34
x352
150. ∫ + 1edxx
151. ( ) ( )( )ab0
xbabadx
2
<<−++∫
152. ∫ −dx
2e
ex2
x
153. ∫ CosaxSenaxdx
154. (∫ )xLn4xdx
2
155. ∫ − dxxsece 2Tanx
156. dxx4
arccos22x
∫ −
157. ∫ −d
10
xx4sen2
CosxSenx
158. ∫ xCosxSendx
22
159. ∫ +dx
1xSecTanxSecx
2
160. ∫ −
+ dxx1
xarcsenx2
161. ∫ +dx
x22Cos4x2Cos2
162. ∫ + xCos1dx
2
163.
( )∫ +
++ dxx1
12xxLn2
164.
166.
( )∫ + dx3xchx 32
165. ( )∫ + dx5x2x 10
∫ dxxch
thx32
167. ∫ + 1x2xdx
168. ∫ − 1e
dxx
169. xdx
x4Lnx2Ln∫
170. ∫ +dx
1e
ex
x2
171. ( ) dxx1
arcsenx2
2
∫ −
172. dxCosx
x3Sen∫
173. ∫ + 2x1x
dx
174. ∫ − 2
2
x1
dxx
175. ∫ − 2
3
x2
dxx
176. ∫ − 1xx
dx2
177. ( )∫ − x1xdx
Sugerencia; hacer x = Sen2 t
178. dxx
ax 22
∫ −
179. ∫ +dx
x1x2
180. ∫ − 22 x4x
dx
181. ∫ − dxx1 2
182. ∫ dxarcsenx
183. ∫actgxdx
184. ∫ dxLnx
185. ∫ dxxsenx
186. ∫ dxx3cosx
187. ∫ dxexx
188. ∫ dxexx32
189. ( )∫ −+− dxe5x2x x2
190. ∫ − dx2x x
191. ∫−
dxex 3x
3
11
192. ∫ dxxSenxCosx
193. ∫ dxLnxx2
194. dxxxLn∫
195. x∫ dxarctgx
196. ∫ dxxLn2
197. ∫ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++ dxx1xLn 2
198. ∫ dxxarcsenx
199. ∫ xSenxdx
2
200. ∫ dxCosx3x
201. ∫ dxsenxe x
202. dxxSen
xCosx2∫
203. ∫ dxSenbxeax
204. ( )∫ dxLnxSen
∫ dx3 x
205.
206. ( )∫ +− dxLnx3x2x2
207. ∫ +− dx
x1x1xLn
208. ∫ − dxex2x3
209. ( )∫ dxarcsenx 2
210. ∫ dxx
arcsenx2
211. ( )∫ dxarctgxx 2
212. ∫ −dx
x1xarcse
213. ∫ dxx2xtg 2
214. ∫ dxe
xSenx
2
215. ( )∫ dxxLnCos2
216. ( )∫ +
dx1x
x22
2
217. ( )∫ +
222 ax
dx
218. ∫ − dxxa 22
219. ∫ + dxxa 2
220. ∫ − 2
2
x9
dxx
221. ∫ ++ 5x2xdx
3
222. ∫ + x2xdx
2
223. ∫ +− 1xx3dx
2
224. ∫ + x2xdx
2
225. ∫ −+ 2x2x32
dx
226. ∫ − 2xx
dx
227. ∫ ++ qpxxdx
2
228. dx5x4x
6x32∫ +−
−
229. ∫ dxx
xLn2
2
12
230. ( )∫ dxxLnxLn
231. d∫ xx3arctgx2
232. dxxx1
8x22∫ −−
−
233. dx1x2x5
x2∫ +−
234. ∫ − 2x1x
dx
235. ∫ −+ 1xxx
dx2
236. ( )∫ −− 2x1x
dx2
237. ∫ ++ dx5x2x2
238. ∫ − dxxx 2
239. ∫ −− dxxx2 2
240. ∫ +− 3x4xxdx
24
241. ∫ 12+−dx
Senx6xSenCosx
2
242. ++ x2x
x
ee1
dxe
243.
∫
∫ ++ 1Cosx4xCos
Senxdx2
244. ∫ −− xLnLnx41x
dxLnx2
245. ( ) ( )∫ ++ bxaxdx
246. ( )( )( )∫ ++− 3x2x1xdx
247. ∫ +−
+− dx6x5x9x5x
2
2
248.
( )( )( )∫ −+−−+ dx
4x3x1x91x41x2 2
9.
24 ∫ +−
+ dxx4x5x
2x523
3
250. ( )∫ − 21xx
dx
251. dxxx4
1x3
3
∫ −
−
252.
∫ −+−
++− dx8x12x6x6x12x6x 24
23
3
53.
2 ( ) ( )∫ +−
++ dx1x3x9x6x5
22
2
( )∫ −−
+− dx10x3x
7x8x22
2
254.
255. ( )∫ +−
− dx2x3x
3x232
256. ( )∫ +
++ dx1xx1xx
2
3
∫ −dx
1xx4
4 257.
258.
( )( )∫ +++− 5x4x3x4xdx
22
59.
2 ∫ + 1xdx3
260. ∫ + 1xdx3
∫ + 1xdx3 261.
262. ( )∫ +
22x1
dx
263. ( )∫ ++
+ dx2x2x
5x322
264. ( )( )∫ +++
22 1xx1x
dx
265. ( )∫ +−
+ dx5x4x
1x22
3
13
266. ( )( )∫ +++ 21x2x1x
dx
67. 2 ( ) ( )∫ ++
222 1x1x
dx
68. 2 ( )∫ −
24 1x
dx
269. ( )∫ +
42 1x
dx
270. ( )∫ +−
+− dx2x2x
2x2x22
24
271. ( )( ) dx8x1x
x33
5
∫ ++
72. 2 dx1x2x
xx412
37
∫ +−
+
73. 2 ( ) ( )
dx2x4x
14xx3
2
∫ −−
+−
274. ( )∫ +
234 1xx
dx
275. ( )∫ +
234 1xx
dx
276. ( )∫ + 1xxdx7
77. 2 ( )∫ +
25 1xx
dx
78. 2 ∫ −+− 2x52x4xdx
3
279. ( )∫ + 1xxdx7
280. ( )∫ +
25 1xx
dx
281.
( )∫ ++++ 5x2x2x2xdx
22
282. ( )∫ − 10
2
1xdxx
283. ∫ + 68 xxdx
284. ∫ −dx
1xx3
289. ∫ +3 baxxdx
290. ( )∫ +++ 31x1x
dx
291. ∫ + 3 xxxdx
292. ∫ +
−dx
1x
1x3
293. ( )∫ +−+
++dx
1x1x
21x2
294. ( )∫ − 10
2
1xdxx
295. ( )∫ −− x1x2
dx
∫ +− dx
1x1x
3 296.
297. ∫ +
+ dx3x2x
3x3
298. ∫ +− 1xx
dxx2
2
299. ∫−
dxx
x2
5
1
300. ∫ −dx
x1
x2
6
301. ∫ − 1xx
dx25
302. ( )∫ ++ x2
x1x
dx23
03. 3 ∫ +−
++ dx1xxx
1xx2
2
304. ( ) dxx21x23
23−
∫ +
05. 3 ∫ +4 4x1
dx
06. 3 ∫ +4 2x1
dx
14
307. ∫ +3 5x1x
dx ∫ dxxCosSen 42 ∫ xxCosSendx
42324. 316.
308. ∫ dxxCos3 ∫ x5Sendx
( )∫ + 35
3x2x
dx2
317. 325.
326.
309. ∫ xSendx
4
∫⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
dxSenxCosx
4xSen π
∫ +3 4 33 xx1x
dx 318.
310.
311.
12.
319.
∫ dxxCos3 ∫ dxxxCosSen 32 ∫ dxx4Sec5
20. ∫ dxxSen5
3 ∫ dx2xCos
2xSen 53
313.
14.
∫ dxxSen4
3 ∫ dxxxCosSen 22
3 ∫ xCosdx
6
321. ∫ dxxSenxCos
6
2
322. ∫ xxCosSendx
35
327.
328.
329.
15.
∫ dxx5Tan2
∫ dxxCot 3
∫ dxxSenxCos
3
5 3 324. 323. ∫
2x3
2x CosSendx
INTEGRACION POR PARTES De la regla para derivar el producto de dos funciones
( )dxduv
dxdvuuv
dxd
+= ( I )
donde u y v son funciones de x La integración de I da lugar a una formula
( ) dxdxduv
dxdvudxuv
dxd ∫∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∫∫ += duvdvuuv
Llamada fórmula de integración por partes ∫∫ −= duvuvdvu
Al aplicar esta formula la idea es resolver la integral ∫udv por medio de la evaluación de la integral
, la cual se espera sea mas sencilla. ∫ vdu
Ilustremos este método con un ejemplo.
Ejemplo 1. Hallar ∫ dxxex
Hagamos: xu = y dxedv x=
dxdu = ∫∫ = dxedv x
xev = Entonces al integrar por partes
15
( )∫∫ +−=+−=−= CexCexedxexedxxe xxxxxx 1
Ejemplo 2. Hallar ∫ dxxxLn2
Hagamos xLnu 2= y xdxdv =
Entonces x
du 1= 2
21 xv =
CxxLnxdxxxLnxdxxxLn +−=−= ∫∫ 3612
212
212
21 222
Ejemplo 3. Hallar ∫ dxSenxex
Hagamos y xeu = Senxdxdv = Entonces xedu = Cosxv −=
∫∫ +−= dxxeCosxedxSenxe xxx cos
Para la última integral, sea y xeu = dxCosxdv = ; entonces, xedu = y ; así dxCosxdv =
∫∫ −+−= dxSenxeSenxeCosxedxSenxe xxxx
Trasladando la última integral
SenxeCosxedxSenxe xxx +−=∫2
Finalmente,
( ) CCosxSenxedxSenxex
x +−=∫ 2
16
Compruebe las siguientes integrales, utilizando integración por partes.
1. ∫ +−= CxxLnxdxLnx
2. ∫ ++= CCosxxSenxdxxCosx
3. Cxxarcsenxdxarcsenx +−+=∫ 21
4. ∫ +−= Cexedxxe xxx 2412
212
5. ∫ +−= CxLnxxdxxLnx 2412
21
6. ∫ +++−= CCosxxSenxCosxxdxSenxx 2222
7. ∫ ++−= CxxLnxxxLndxxLn 2222
8. ∫ +−= CCosxSenxdxSenxexex )(2
9. ( ) Cexxdxex xx +−−=∫ 63 233
10. ( )∫ +−+−+= −− CxxxxSenxdxxSenx )1(1 2322213
311
11. ∫ ++−= CxLnxxdxx )1(arctanarctan 221
12. ∫ +−= CxLnxxdxx
xLnx 42
13. ( )∫ +++= CTanxSecxLnSecxTanxdxxSec )(213
17
14. ∫ ++−= CCosxLnxTanxdxxxTna x )(22 2
15. ( )∫ +−+=+ Cxxdxxx 23)1(1 23
152
16. ( ) ( )∫ +−= CLnxxCosLnxSendxLnxSen )()(21
17. CLnxLnxLnxLndxxLnxLn
+−=∫ )()(
18. Cxxdxxx ++−−=−∫ )6()9(9 225123 2
3
19. ( )∫ +−+=++ CLnxxdx
xxLn 212
1)1(
20. ( )∫ ++−= CCosxSenxe
dxe
Senxxx 2
1
21. ( )∫ ++−= CLnaaxxdxax
xx 2222
22. [ ]∫ +++−= CLnxxLnx
dxx
xLn 14832
1 245
2
23. ( )∫ +++
= CSenxCosxLnLn
dxCosxx
x )2(12
22 2
18
MÉTODO TABULAR PARA EL USO REPETIDO DE LA INTEGRACIÓN POR PARTES. ESTE MÉTODO FUNCIONA BIEN PARA INTEGRALES DE LOS TIPOS SIGUIENTES.
∫ Senaxdxxn , ∫ Cosaxdxxn , ∫ dxex axn
EJEMPLO, HALLAR: xdxSenx 4∫ SOLUCIÓN: COMO DE COSTUMBRE, EMPEZAMOS HACIENDO , dv = Sen4x dx A 2xu = CONTINUACIÓN, CREAMOS UNA TABLA DE TRES COLUMNAS COMO SIGUE.
u Y SUS DERIVADAS
SIGNOS ALTERNADOS
dv
Y SUS PRIMITIVAS
2x
+
19
Sen 4x
2x - xCos4
4
1−
2 + xSen4
16
1−
0 - xCos464
1
↑ DERIVAR HASTA OBTENER CERO. FINALMENTE, LA SOLUCIÓN SURGE DE MULTIPLICAR LOS PRODUCTOS CON SIGNO DE LAS ENTRADAS DIAGONALES, LO QUE CONDUCE A.
∫ +++−= cxCosxxSenxCosxxdxSenx 444432
1
8
12
4
12
USA EL MÉTODO TABULAR PARA EVALUAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES.
21. 22. ∫ − dxex x3 ∫ xdxCosx 23
23. 24. ∫ xdxxSec2 ( ) dxxx∫ − 232 2
25. 26. ∫ dxex x22 ∫ Senxdxx3
RESUMEN DE ALGUNAS INTEGRALES POR PARTES COMUNES.
1. , ∫ ,dxex axn ∫ Senaxdxxn ∫ Cosaxdxxn
Tomar: .cos, dxaxosenaxdxdxedvyxu axn ==
2. ∫ ,dxxLnnx ∫ ,axdxarcsenxn ∫ axdxarctgxn
Tomar: ., dxxdvyaxarcsenxLnu n==
3. ∫ ,dxbxSeneax
Tomar: menterespectivaSenbxdxodxedvyeobxSenu axax == ,
20
INTEGRALES TRIGONOMETRCAS Evaluación de integrales de la forma.
duuCosuSen nm∫ y duuTanuSec nm∫
donde m y n es un entero positivo.
Para la solución de estas integrales se intenta descomponerlas en combinaciones de integrales
trigonométricas, a las que es posible aplicar la regla de la potencia Cnuduu
nn +
+=
+
∫ 1
1.
i) Para la duuCosuSen nm∫ 1. Si m es impar, dejar un factor seno y los factores restantes se convierten en cosenos usando la identidad,
Sen2x + Cos2x = 1, desarrollar e integrar.
( ) ( )∫∫∫ −===+ duuSenuCosuCosduSenuuCosuSenduuCosuSen nknknk 2212 1 2. Si n es impar, dejar un factor coseno y los factores restantes se convierten en senos usando la identidad,
Sen2x + Cos2x = 1, desarrollar e integrar.
( ) ( )∫∫∫ −===+ duCosuuSenuSenduCosuuCosuSenduuCosuSen kmkmkm 2212 1 3. Si m y n son pares, usar en forma repetida las identidades ( xCosxSen 212
12 −= ) y ( )xCosxCos 21212 +=
Para convertir el integrando en potencias impares de coseno, Aplicar las indicaciones de (2) Ejemplo 1: Hallar ∫ dxxxSenCos 43
( )∫ ∫ ∫ −== dxxCosxSenxsendxxCosxxSenCosdxxxSenCos 424243 1
∫ ∫ +−=− CxSenxSendxxCosxSendxCosxxSen 7
715
5164
21
Ejemplo 2: Hallar ∫ dxCosx
xSen3
( )∫ ∫∫ −− −== dxxSenxCosxCosdxxSenxxCosSendxCosx
xSen2
12
1 223
1
∫ ∫ +−=−= − CCosxxCosdxxSenxCosxSenxCos 22
52
32
1
52
Ejemplo 3: Hallar dxxSen∫ 24
( ) ( ) [ ]∫ ∫ ∫∫ ∫∫ +−=−== dxxCosdxxCosdxdxxCosdxxSendxxSen 4424122 241
2
41224
( ) CxSenxxSenxdxxCosxSenx +++−=++−= ∫ 84814 64
181
81
41
81
81
41
CxSenxSenx ++−= 84 64
181
6417
ii) Para la ∫ duuTanuSec nm
1) Si m es par, dejar un factor de la secante al cuadrado y convertir los factores restantes en tangente,
desarrollar e integrar.
( ) ( )∫∫∫−−
+=== duuuSecTanuTanduuSecuTanuSecduuTanuSec nknknk 2122122 1 2) Si n es impar, dejar un factor Secante-Tangente y convertir los factores restantes en secantes, desarrollar
e integrar.
( ) ( )∫ ∫∫ −== −−+ duSecuTanuuSecuSecduSecuTanuuTanuSecduuTanuSec kmkmkm 1212112 Si no aplica las indicaciones anteriores, intentar convirtiendo a senos y cosenos.
Ejemplo 4: Hallar ∫ dxSecx
xTan3
( )∫ ∫∫ −− == dxxSecxTanxxTanSecdxxTanxSecdxSecx
xTan 233
23
21 =
22
( )∫ ∫ ∫ −− −=−= dxxSecxTanxSecdxxSecxTanxSecdxSecxTanxxSecxSec 23
21
23 12
CSecxxSec ++= 22
3
32
Ejemplo 5: Hallar ∫ dxxTanxSec 22 34
( )∫ ∫∫ +== dxxxSecTanxTandxxxSecxTanSecdxxTanxSec 222122222 23223234
∫∫ += dxxxSecTandxxxSecTan 2222 2523 CxTanxTan ++= 33 6
1814
121
EJERCICIOS LAS SIGUIENTES IDENTIDADES SE UTILIZAN PARA HALLAR ALGUNAS DE LAS INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS SIGUIENTES. 1. 2. 122 =+ xCosxSen xSecxTag 221 =+
3. 4. xCscxCot 221 =+ ( )xCosxSen 21212 −=
5. ( )xCosxCos 21212 += 6. ( ) ( )[ ]yxCosyxCosSenxCosx +−−=
2
1
7. ( ) ( )[ ]yxSenyxSenSenxCosy ++−= 21 8. ( ) ( )[ ]yxCosyxCosSenxSeny +−−= 2
1
9. ( ) ( )[ ]yxCosyxCosCosxCosy ++−= 21 10. xSenCosx 2
1221 =−
11. xCosCosx 21221 =+ 12. ( )xCosSenx −±=± 211 π
EVALUA LAS SIGUIENTES INTEGRALES:
1. ∫ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ cxCosxCosxCosdxxSen
251
32
22
2533
2. ∫ +−+−= cxCosxCosCosxxdxSen 535
51
32
3.∫ ++= cxSenxxdxCos 241
212
4.∫ ++= cxSenxxdxCos 481
212
5.∫ +++−= cxSenxSenxSenxxdxSen 24814
6432
41
165 36
23
6.∫ +−= cxCosCosxxdxSenxCos 361
212
7.∫ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ cxCosxCosdxxxCosSen
27
71
25
51
23
8.∫ +−= cxSenSenxxSenxdxSen 361
212
9.∫ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ cxTgdxxSecxTg
256
223 524
10.∫ += cabxTgab
abxdxTgabxSec 22 24
11. ( )∫ ++−= cCosxCosxdxCosx
xSen2
5
522
3
12.∫ +++= cxSenxSenxdxCos 43212
41
834
13. ( )∫ ++= cSecx
SecxdxSecx
xTan 232
23
3
14. cxTanxTanxdxxTanSec ++=∫ 3613
4133 6434
15.∫ +−−= cxCotxCotxdxxCotCsc 7544
71
51
16.∫ +−= cCscxdxTanxSecx
17.∫ ++= cxTagxTagxdxSec 2612
212 34
18.∫ +−= cSenxxSenxdxxCosSen51
31 322
24
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Con el Teorema de Pitágoras y una sustitución trigonométrica adecuada pueden simplificarse integrales que involucre expresiones de la forma
22 ua − 22 ua +
22 au − Para integrales que contienen la:
1. 22 ua − , hacer
a u
22 ua −
θ
θ
θθθ
aCosua
dCosduSenu
=−
==
22
2. 22 ua + , hacer
a
u
22 ua +
θ
θ
θθ
θ
aSecua
dSecdu
Tanu
=+
=
=
22
2
3. 22 au − , hacer
a
u22 au −
θ
θ
θθθθ
aTanau
dTanSecduSecu
=−
==
22
Ejemplo1: Hallar ∫ − 2
2
9 xdxx
25
θ=−
−=θ
θθ=θ=
=θ
Cosx
xCos
dCosdxSenx
xSen
39
39
33
3
2
2
3 x
29 x−
( )∫ ∫ ∫∫ θθ−=θθ=θ
θθθ=
−dCosdSen
CosdCosSen
xdxx 219
3)3(9
9 292
2
2
2
CxxSenCCosSenCSen x +−−=+θθ−θ=+θ−θ= − 229
31
29
29
29
29 42
49
Ejemplo 2: Hallar ( )∫ + 2
342x
dx
θ=+
θθ=
θ=
Secx
dSecdx
Tanx
24
2
2
2
2
2
24 x+ x
θ
( ) ∫∫ ∫ ++
=+θ=θθ=θθθ
=+
Cx
xCSendCosSec
dSec
x
dx24
141
3
2
2 4482
4 23
Ejemplo 3: ∫ +− 542 xx
dx
=−−
=−+−
=+− ∫ ∫∫ 1)2(14434 222 x
dxxxdx
xxdx
θ=−−
θθθ=θ+=
−=θ
Tanx
dTanSecdxSecxxSec
1)2(
22
2
1
x-2 1)2( −−x 2
θ
26
Ejercicios: Integrando verifica las siguientes integrales.
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +++=
+
+−+−−=−
+−
−=−
+=−
+−+−−=−
+=−
+−−−=−
+−+=+
+−−=−
−
CxxxLnxx
dx
CxxxxSendxxx
Cxx
xx
dx
Carcsenx
dx
CxxLnxxdxx
Carcsenx
dx
Cxxxarcsendxxx
x
Cxxxdxx
x
Cxxarcsenxx
dxx
x
x
x
122.9
4424.8
1
1.7
9.6
)4(244.5
9.4
)12(.3
2arctan)1(
1.2
11
.1
22
23412
21
2122
2
22
32
22212
22
221
2
221
2
221
21
2
2
27
( )
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+−+
+=
−+
+−
=−
+−+=+
+=−
+−+=−
+=−
+−−
=−
+−
−=−
+−
=−
−+
Cxx
xLnxx
dx
Cxarcsenxx
dx
Cxxx
dxx
Carcxx
dx
CxxLnx
dx
CLnxx
dx
Carcsenxx
xxdxx
Cxx
arcsenx
dxx
Cx
xx
dx
x
xx
x
|2
1|2
.18
44
8.17
1899
.16
sec25
.15
|142|14
.14
925.13
1)1(.12
24
24
.11
2525)25(.10
232
2
2
2231
2
3
551
2
221
2
92553
51
2
22
2
2
22
2
25
2
23
28
INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES
Descomposición de )()(
xQxP , donde P y Q son polinomios, en fracciones simples.
1. Dividir si es impropia: Si)()(
xQxP es una fracción impropia (el grado del numerador es mayor o
igual que el grado del denominador ), entonces dividir el numerador por el denominador para obtener:
)()()(
)()( 1
xQxPpolinomioun
xQxP
+=
donde el grado de P1(x) es de menor que el grado de Q(x). A continuación aplíquese los pasos 2, 3
y 4 a la expresión racional propia )()(1
xQxP .
2. Factorizar el denominador: Factorizar completamente el denominador en factores de la forma
( ax + b )m y ( ax2 + bx + c )n
donde ax2 + bx + c es irreducible. 3. Factores lineales: Por cada factor de la forma ( ax + b )m, la descomposición en fracciones simples debe incluir la suma de m fracciones de la forma:
mm
baxA
baxA
baxA
)()()( 221
+++
++
+K
4. Factores cuadráticos: Por cada factor de la forma (ax2 + bx + c)n, la descomposición en fracciones simples debe incluir la suma de n fracciones de la forma:
nnn
cbxaxCxB
cbxaxCxB
cbxaxCxB
)()( 22222
211
+++
++++
++
+++
K
.
29
Ejercicios: Verifica las siguientes integrales
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+−+=−−
−
++
=+
++−
+=−
−
+−
+=
−
−−
++−=−
−−
++
−=
−+
−
+−+=−+
−
++−=−+
+
++−=−
+
++−
=−+
++
=+
+
++−
=−
CxxLndxxx
x
Cx
xLnxx
dx
Cxx
xLnxdxxx
x
Cx
xxLndxxx
xx
CxxxLndxxx
xx
Cx
xLndx
xxx
CxxLndxxxx
CxxLndxxx
x
CxxLndxx
x
CxxLndx
xx
Cx
xLndxxx
x
CxxLndx
x
13561
2
21
2
97
16
161
3
3
3
2
323
2
42
22
522
232
2
3
5
2
21
2
)5()1(54
23.12
22.11
)12(()12(441.10
)3(
)3(9
33.9
)1()1(16.8
)3(
12
35277.7
412
5.6
)3()1(32
17.5
)2()2(425.4
11
23.3
)1(52.2
11
11.1
61
65
31
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+++
+−
=++−−
+−
+−
−+−=
−−
+++++
=++−−−
+++
+++
+=
++
++
++=−
++−
+−+−−
=−
+−
+−+=+−+
−−
++
++
=+++−
+−+
+−
−=−+
+
++++
=+
++−
+=−+
+−
+−=
+−−
CxxLn
xdx
xxxx
Cx
xLnxx
xxdxxx
x
CxxLnxx
xdxxxx
xxx
CxxLn
xxxdx
xxx
Cx
xLnx
xdxxxxxx
CxLnx
xdxx
xx
CxxLndxxxx
xx
Cx
xLnx
dxxxx
xx
CxxLn
xdx
xxx
CxLnx
dxx
x
CxxLnxdx
xx
Cx
xxLnxxx
dx
52
2
163
2
2
32
3
3222
23
2
2
2
23
34
223
2
2
2
5
6
23
2
43
2
2
2
2
)1()32(
13
)1)(32(73.25
2)2(841711
)2(1.24
)1(26)12(234.22
124
)2)(1(65
)2()1(.21
1212
1.20
)2()2(812
)2(443.19
|)2)(3(|)44)(3(
232.18
)1(112
265.17
11
227
)1)(1(52.16
|2|2
2)2(
.15
11
11.14
)1()3()2(
)3)(2)(1(.13
211
41
201
51
30
31
INTEGRAL DEFINIDA
A la expresión se le llama integral definida. ∫b
adxxf )(
Teorema fundamental del cálculo Si una función f es continua en el intervalo cerrado [ ]ba, y F es una antiderivada de f sobre el intervalo
, entonces [ ba, ]
)()()()( aFbFxFdxxf ba
b
a−==∫
Ejemplo: Evaluar ( )dxx∫ −2
1
2 3
( ) [ ]323
316
3833
2
13
31
2
1
2 −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−=−∫ xxdxx
Evalúa las siguientes integrales.
( )∫ =+−
3
0
2 923.1 dxxx ( )∫ −=−
4
1
15116
1.2 duuu
∫ =+
8
1
2631.3 dxx ∫ =−
4
3
2 23
51
25.4 Ln
xdx
∫−
−=++
0
21
2
3
85
93
1.5
πxxdxx ( )∫ −+=+
1
0
2 22
21.6 πLndxxLn
∫ =
π2
0
421.7 dttSen 1522
154223
34
1.8
1
2
2−+
−−
=+−
−∫−
−
Lndxxx
x
( )∫ −=
3
0
22 42713.9
π
πdxxSenx ( )∫ +=
2
0
223 121.10 edxex
32
33
) [ ]3,0;
CALCULO DE AREA
En los problemas 1-10 calcula el área limitada por la grafica de la función dada y el eje x en el intervalo indicado.
[ ]1,1;1.1 2 −−= xy
[ ]2,0;1.2 2 −= xy
[ ]2,0;1.3 3xy −=
[ ]3,0;3.4 2 xxy −=
[ ]1,1;6.5 3 −−= xxy
( )( )( 321.6 −−−= xxxy
[ ]3,21;1.72xy −
= 2x
[ ]4,0;1.8 −= xy
[ ]3,2;.9 3 −= xy
[ ]223 ,;1.10 ππ−+−= Senxy
3, =x
1−=y
En los problemas 11-32 calcula el área de la región limitada por las graficas de las funciones dadas.
2,.11 −== xyxy
4,.12 2 == yxy
,8,.13 3 == yxy
33 ,.14 xyxy ==
( ) 22 1,1415 xyxy −=−= .
3,1,.16 2 === xxyxy
xxyxy 4,6.18 22 +=+−=
4,.19 == yxy 32
[ ]6,1,2 −+ enx2,32.20 2 =−−= yxxy
x2
,4.21 2 =+=
1,1,4 =−= xx
yxxy 3
6,3.22 2 == xyx
22,.23 yxyx −=−=
22,22.24 22 +−−=++= yyxyyx
12,16.25 22 ++−=+−= yyxyyx
,.26 3 +=−= xyxxy
0,.27 3 =−= xyyx
π2,0,,.28 ==== xxSenxyCosxy
2,,2.29 π=−== xxySenxy
[ ]65,6,2,4.30 ππenySenxy ==
22 ,10.31
xyxy =+=
9
xxyxxxy 2,103.32 222 +−=−−=
RESPUESTAS
1. 4/3 2. 4/3 3. 11/4 4. 9/2
5. 11/2 6. 11/4 7. 11/6 8. 2
9.3/4(24/3+34/3) 10. 2π 11.27/2 12.32/3
13. 81/4 14. 1 15. 4 16. 10/3
17. 58/3 18. 64/3 19.128/5 20.118/3
21. 25/48 22. 8 2 23. 9/2 24. 8/3
25. 1/2 26. 8 27. 1/2 28.2 2
29. 42π+4 30.4 3
43 π− 31. 32. 24 3
16
VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Los problemas 1- 6 se refieren a la figura A. utiliza el método de los discos o el de las arandelas para evaluar el volumen del sólido de revolución que se forma haciendo girar la región dada en torno a la recta indicada. 1. R1 en torno a OC 2. R1 en torno a OA 3. R2 alrededor de OA 4. R1 en torno a AB 5. R2 en rededor de OC 6. R2 en torno a AB
34
En los problemas 7-32 obten el volumen del solido de revolucion que se forma haciendo rotar la region limitada por las graficas de las ecuaciones dadas en torno a la recta o eje indicado.
15. xejexyxy ;411,4 22 −=−=
16. xejexyxy ;1,1 22 −=−=
17. yejexxyyx ;0,2,3 ===+ 18. xejeyyxyx ;1,0,0,2 ====+
19. 5;0,5,1 ===−= xyxxy
20. 1;1,2 === xxyx21. 2;1,0,31 ==== yyxxy
22. 2;0,22 ==+−= xxyx23. yejexyx ;5,1622 ==−
24. xejexyxxy ;219,96 22 −=+−=
25. yejexyyx ;6,2 −==C
0 A
B (1,1)
R1
y = x2
R2
x
y
FIGURA A
26. yejeyxxy ;9,0,13 ==+=
27. yejeyyxxy ;9,0,3 ==−=28. xejexysenxy ;0,0, π≤≤==
29. xejexyxy ;20,0,cos π≤≤==
30. xejeyxxxy ;0,4
,4
,sec ==−==ππ
31. xejexyxy ;4
,0,tan π===
32. xejexxysenxy ,0,cos, ===
RESPUESTAS 1. 2π 3. 54π 5. 6π
7. 51296π 9. 2π 11. 38π
13. 532π 15. π32 17. π8
19. 15256π 21. 53π 23. π36
25. 3500π 27. 10516π 29. 2π31. ( ) 44 2ππ −
33. Un mecánico perfora un agujero de 3 pulgadas de radio, a través del centro de una esfera de metal de 5 pulgadas de radio, ¿Cuál es el volumen del anillo resultante?
Solución: 3
256π
7. xejeyxy ;0,9 2 =−=
8. yejeyxxy ;5,0,12 ==+=
9. yejeyxx
y ;21,1,1
===
10. xejeyxxx
y ;0,3,21,1
====
11. yejexyxy ;2,2 ==
12. xejexyxy ;,2 ==
13. ( ) xejeyxxy ;0,0,2 2 ==−=
14. ( ) yejeyxxy ;0,0,1 2 ==+=
Solución: π7384 34. Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje “x” la región acotada por la parábola y la recta . 12 += xy 3+= xy
f) OAC gira alrededor de CA.
Solución: π5576 g) OAC gira alrededor de AB. 35. Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor de la recta la región acotada por las parábolas
.
4−=x
322 −=−= yxyyyx
Solución: π353456 h) OAC gira alrededor de OX.
Solución: 8
255 Solución: π192
36. La ecuación de la curva OA de la figura B es
. Hallar el volumen del sólido que se engendra cuando la superficie:
32 xy =
35
Y
B
C A(4,8)
X 0
Figura B a) OAB gira alrededor de OX.
Solución: π64 b) OAB gira alrededor de AB.
Solución: π351024 c) OAB gira alrededor de CA.
Solución: π5704 d) OAB gira alrededor de OY.
Solución π7512 e) OAC gira alrededor de OY.
VOLÚMEN DE SÓLIDOS CON SECCIONES CONOCIDAS
1. Calcular el volumen del sólido cuya base esta acotada por el circulo x2 + y2 = 4, con las secciones indicadas, tomadas perpendicularmente al eje x.
a) cuadrados b) triángulos equiláteros
3
128sol 3
332sol
c) semicírculos d) triángulos rectángulos isósceles
3
16. πsol 3
32.sol
2. Hallar el volumen del sólido cuya base esta limitada por las graficas
y = x + 1 e y = x2 –1, con las secciones indicadas, tomadas perpendicularmente al eje x.
a)cuadrados b) rectángulos de altura 1
c) semielipses de altura 2 (A =π ab) d) triángulos equiláteros
36
3. La base de un sólido está limitada por y = x3, y = 0 y x = 1 . Calcular su volumen para las siguientes secciones (perpendiculares al eje y).
37
a) Cuadrados.
Sol. 1/10
b) Semicírculos. Sol. π /80
c) Triángulos equiláteros. Sol.
3 /40
d) Trapecios con h = b1 = b2/2, donde b1 y b2 son las longitudes de las bases. Sol. 3/80
e) Semielipses cuyas alturas son dos veces las longitudes de sus bases. Sol. π /20
4. Un poste de energía eléctrica de 75 pies de
altura tiene una sección transversal en forma de triangulo equilátero. Dado que la longitud de un lado sea ( ) 1075 x− , de donde x es la distancia en pies desde el suelo, obtenga el volumen del poste.
12003875,421
.sol
5. La sección transversal de una pirámide es un cuadrado de x pie de lado, ubicado a x pie de su vértice. Dado que la pirámide tenga 100 pies de altura, halle su volumen.
6. Un sólido tiene una sección transversal
cuadrada perpendicular a su base. Dado que la base es un circulo de radio r=4 pies, Obtener el volumen del sólido.
31024
.sol
7. Las secciones transversales perpendiculares a la base de un sólido son triángulos equiláteros. Dado que la base sea un circulo de radio r=4 pies, Halle el volumen del sólido.
8. La base de un sólido esta limitada por las
curvas en el plano xy. Las secciones transversales perpendiculares al eje x son rectángulos para los que la altura es 4
tantos de la base. Determine el volumen del sólido.
42 == xyyx
128.sol
9. La base de un sólido esta limitada por la curva
Las secciones transversales perpendiculares al eje x son triángulos equiláteros. Encuentre el volumen del sólido.
.2 xejeelyxy =
10. La base de un sólido es un triángulo isósceles
cuya base es cuatro pies, y altura, 5 pies. Las secciones transversales perpendiculares a la altura son semicírculos. Encuentre el volumen del sólido.
310. πsol
11. Los ejes de dos cilindros circulares rectos, que
tienen cada uno un radio r = 3 pies, se interceptan en ángulos rectos. Halle el valor del volumen resultante.
12. La base de un sólido es un triangulo rectángulo isósceles formado por los ejes de coordenadas y la recta 3=+ yx . Las secciones transversales perpendiculares al eje y son cuadradas. Obtenga el volumen del sólido.
9.sol
13. Un agujero de un pie de radio se forma por el
centro de una esfera maciza de radio r = 2 pies. Evalué el volumen del sólido restante
14. Cortamos una caña de un cilindro circular
recto de “r” pulgadas de radio mediante un plano que pasa por el diámetro de la base, formando un ángulo de 45° en el plano de dicha base. Calcular el volumen de la cuña.
15. La base de un sólido es un círculo que tiene un
radio de 5 unidades. Encontrar el volumen del sólido si todas las secciones planas perpendiculares a un diámetro fijo de la base son triángulos equiláteros.
INTEGRALES IMPROPIAS
Si en la integral definida ∫b
adxxf )(
1. El integrando es discontinua en uno o mas puntos en el intervalo [ ]ba, 2. Al menos uno de los límites de integración es infinito.
Se le llama integral impropia. INTEGRANDO DISCONTINUO i) Si f(x) es continua en el pero discontinua en x = b, entonces [ )ba,
∫∫ +→=
b
abx
b
adxxfLimdxxf )()( , si el límite existe.
ii) Si f(x) es continua en el intervalo pero discontinua en x = a, entonces ( ]ba,
∫∫ +→=
b
aax
b
adxxfLimdxxf )()( , si el límite existe.
iii). Si f(x) es continua para toda x en el intervalo [ ]ba, excepto en x = c, con a < c < b, entonces
∫∫∫ ++ →→+=
b
ccx
c
acx
b
adxxfLimdxxfLimdxxf )()()( , si el límite existe.
Ejemplo 1: Evaluar la ∫ −
2
0 24
1 dxx
π===⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
−=
− −−− →→→ ∫∫ 21
2
2
02
2
0 22
2
0 21
22
2441 arcsenarcsenLimxarcsenLim
xdxLimdx
x xxx
38
Ejemplo 2: Evaluar ∫9
0 xdx
Observe que ∞→=x
xf 1)( cuando 0→x
[ ] 6)3(2322 21
212
1
0
9
0
9
0
9
0==−=⎥⎦
⎤==+++ →→
−
→ ∫∫ xLimxLimdxxLimx
dxaaaaa
Ejemplo 3: ( )∫ −
5
1 31
2xdx
Observe que ( ) 3
12
1)(−
=x
xf , es discontinua en x = 2
( )( ) ( )∫ ∫∫ −− −+−=
−
5
1
5
2
2
13
13
1
31 22
2dxxdxx
xdx
Ahora bien,
( )( ) ( ) ( )[ ] 2
3
323
123
312
2
11222
23
23
23
1
31 −=−−=⎥⎦
⎤−=−=− −−− →→
−
→ ∫∫ sLimxLimdxxLimx
dxs
s
s
s
s
( )( ) ( ) ( )[ ] 2
3
223
5
23
2
5
2
5
2
35
323
23
23
1
31 2322
2=−−=⎥⎦
⎤−=−=− +++ →→
−
→ ∫∫ tLimxLimdxxLimx
dxttttt
Luego entonces
( )∫ +−=−
5
1 23
23
2
35
31
xdx
39
Ejemplo 4: Probar que ∫ −
4
0 41 dx
x no tiene sentido
El integrando es discontinuo en x = 4
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
−=
−=
− −−− →→→ ∫∫ 41
41
41
41
41
40404
4
0Ln
tLnLim
xLnLimdx
xLimdx
x t
t
t
t
t
El limite no existe, luego la integral no tiene sentido LIMITES DE INTEGRACION INFINITOS i). Si f es continua en [ , entonces )∞,a
∫∫∞
∞→=
t
aa tdxxfLimdxxf )()(
ii). Si f es continua en ( ]a,∞− , entonces
∫∫ ∞− −∞→=
a
t
a
tdxxfLimdxxf )()(
iii). Si f es continua para todo x, y a es cualquier numero real, se tiene que
∫∫∫∞
∞−
∞
∞−+=
a
adxxfdxxfdxxf )()()(
Si los limites (i) y (ii) existen, se dice que la integral converge. Si el límite no existe entonces diverge.
40
En (iii) la integral converge si y sólo tanto la integral ∫∞
∞−dxxf )( ∫ ∞−
adxxf )( y la integral ∫
∞
adxxf )(
ambas convergen.
Ejemplo 1: Calcular ∫∞
+02 9xdx
[ ]6
arctan99 033
1
02
02
π==+
=+ ∞→
∞
∞→ ∫∫ txt
t
tLim
xdxLim
xdx
Ejemplo2: Calcular dxe
ex
x
∫∞
∞− + 21
dxe
edxe
edxe
ex
x
x
x
x
x
∫∫∫∞
∞−
∞
∞− ++
+=
+ 02
0
22 111
[ ] [ ]tx
ttx
teLimeLim 0
0arctanarctan
∞→−∞→+=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ π−+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −π=
∞→−∞→ 4arctanarctan
4t
t
t
teLimeLim
420
4π
−π
+−π
=
2π=
41
EJERCICIOS: Calcular la integral para comprobar el resultado.
1. 631
0=∫ x
dx
2. 8424
0=
−∫ xdx
3. )(1
1
0noexiste
xdx
=−∫
4. π=−∫− 2
422
2 2xdx
5. 11
0−=∫ dxLnx
6. 212
1
0−=∫ dxxLnx
7. 34
24
2 4π
=−∫ xx
dx
8. divergedTan =θθ∫π
2
0
9. 01
2
23 =
−∫ xdx
42
10. divergexdx
=∫1
02
11. 11
2 =∫∞
xdx
12. divergedxCosx =∫ ∞−
0
13. edxe x =∫∞
−
−
1
14. 11
=+∫
∞
∞−x
x
edxe
15. π=+∫
∞
∞−21 x
dx
16. ( ) 2
13 =∫
∞
e Lnxxdx
17. 2
23 −
∞− =∫ edzze z
18. 21
0=∫
∞− dxSenxe x
41
21 3 =
+∫∞
dxx
x19.
37
41
22 56
Lnxx
dx=
++∫∞
20.