Date post: | 17-Feb-2016 |
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Valores extremos de funciones de varias variables
Extremos de una función de varias variables. Condiciones suficientes para la
existencia de extremos locales.
En esta sección estudiaremos algunos problemas de optimización para campos
escalares, es decir, analizaremos la existencia, clasificación y obtención de
extremos (máximos y mínimos) relativos y absolutos de una función escalar 2 f xy
U f xy :( , ) ( , ) , ∈⊆ → ∈ \ \ de dos variables (respectivamente, tres variables 3 f
xyz U f xyz :( , , ) ( , , ) ∈⊆ → ∈ \ \ ). La función f de la que se desean conocer sus
extremos se llama función objetivo. Los resultados que estudiaremos en esta
sección guardan una gran analogía con el estudio de los máximos y mínimos de
una función de una única variable.
Definición. Una función tiene un máximo (mínimo) en un
punto si el valor de la función en este punto es mayor (menor) que su
valor en cualquier otro punto X(x,y) de algún entono de P. Condiciones necesarias
de extremo. Si una función diferenciable alcanza un extremo en el
punto entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto
son iguales a cero, o sea:
;
Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntos
críticos o estacionarios. No todo punto crítico es un punto extremo. Condiciones
suficientes para la existencia de extremos.
(a) Caso de dos variables. Sea un punto crítico de una función
con las derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y sea el
determinante de su matriz hessiana, entonces:
Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da , si es
negativa máximo y si es positiva mínimo). Si el hessiano es negativo no hay
extremo. Y si el hessiano es cero hay duda (que habrá que resolver por otro
método)
(b) Caso de tres o más variables. Calculamos los siguientes determinantes:
; ; ;...;
i. Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la función tiene
un mínimo en
ii. Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor
negativo ), entonces la función tiene un máximo en
iii. En cualquier otro caso hay duda.
Ejemplo1:
Halla los extremos de la función
Solución:
(a) Calculamos las derivadas parciales de primer orden.
;
Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.
y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=3. Luego P(0,3) es el único punto
crítico de la función.
Hallamos la matriz hessiana de f en P (0,3).
Con lo cual tenemos H (0,3)=+3 luego hay extremo y como se trata
de un mínimo. El valor de la función en el mínimo es f(0,3)=-8.
Ejemplo 2:
Halla los extremos de la función
Solución:
(a) Calculamos las derivadas parciales de primer orden.
;
Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.
y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=0. Luego P(0,0) es el único punto
crítico de la función.
Hallamos la matriz hessiana de f en P (0,0).
Con lo cual tenemos H (0,0)=0 luego hay duda.
Para determinar la naturaleza del punto crítico hay que acudir a otros criterios, en
este caso basta observar la función para que se trata de un mínimo ya que
El valor de la función en el mínimo es f
(0,3)=-8.
Ejemplo 3:
Halla los extremos de la función
Solución:
(a) Calculamos las derivadas parciales de primer orden.
; ;
Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.
y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=0, z=0. Luego P(0,0,0) es el único
punto crítico de la función.
Hallamos la matriz hessiana de f en P(0,0,0).
Con lo cual tenemos los siguientes determinantes:
; ;
Con lo cual ni son todos positivos ni de signos alternos, luego hay duda.
Para determinar la naturaleza del punto crítico hay que acudir a otros criterios, en
este caso basta observar la función para que se trata de un punto silla
para los puntos del tipo
(0,0,z) y para los puntos del tipo (x,y,0).
Observación: Un punto silla no significa que la gráfica tenga necesariamente la
forma de una “silla de montar”, sino simplemente que cerca del punto crítico la
función toma valores superiores y otros inferiores al valor que toma en dicho
punto.
Integrales dobles en coordenadas polares
Definición: Cambio a coordenadas polares en una integral doble
Si deseamos integrar función definida dentro de una región , generalmente lo
haríamos evaluando la integral doble sobre la región de integración
que definiríamos utilizando los métodos que hemos visto antes en coordenadas
rectangulares. Un problema que puede presentarse seria si se deseara trabajar
con ciertas figuras circulares (p.ej. círculos, paraboloides, elipsoides, etc.), la
definición de su región de integración se vuelve algo complicada.
Una forma en la que nos facilitamos el trabajo es el trabajar para coordenadas
polares, dado que estas se adecuan de mejor manera a las formas circulares.
Recordemos las ecuaciones que relacionan coordenadas polares con
rectangulares
Entonces, haciendo esta transformación, tendríamos que ahora la región está
definida como
el diferencial de área se definiría como
y la integral quedaría como
Teorema
Si es continua en un rectángulo dado por ,
donde entonces,
Procedimiento: Cuando se va a calcular una integral doble en coordenadas
polares, podemos considerar tres tipos diferentes de regiones: (a) Regiones de
Rectángulos Polares, en las que los 4 límites son constantes, (b) Regiones Tipo I,
en las que debe integrarse primero la variable r, y (c) Regiones Tipo 2, en las que
debe integrarse primero la variable θ. Ambas regiones se ilustran gráficamente, y
simbólicamente, en la Tabla de la página 86. Esta tabla debe estudiarse
detenidamente antes de proceder a resolver los ejercicios siguientes
Diferencial de área en coordenadas polares:
Recordando la relación entre el radio y la longitud de arco en un sector circular
está dada por: s = rθ, tenemos entonces que el diferencial de área en
coordenadas polares está dado por dA = (dr)(rdθ ) como se muestra en la figura.
Se acostumbra escribir como dA = r dr dθ
Algunas integrales dobles son mucho más fácil de calcular en forma polar que en
forma rectangular. Esto es especialmente cierto para regiones circulares, en forma
de cardiode o de pétalo de curvas de rosa, y para integrados donde aparezca x2 +y2.
La relación entre Las coordenadas polares (r, 0) y las rectangulares (x,y) de un
punto, a saber
X = r cos 0 e y = r sen 0
R2 = x2 + y2 y tg 0 = y/x
De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable
definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la
función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y)
de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el
volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al
realizar una “integral triple” de una función f (x, y, z) definida en una región del
espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f
(x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de
integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico
corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.
La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de
integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es
el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de
ejecución. El Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada
diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en
el signo de integral de más a la derecha:
Es importante destacar que es imposible calcular la antiderivada de una función de
más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.
Ejemplo 1
Recordatorio Evaluar:
donde R es la región del semi-plano superior limitado por los círculos
Y .
Ejemplo # 2
Determinar el volumen del sólido acotado por el plano y el
paraboloide
Resolviendo:
Después de Integrar:
Ejemplo # 3
Calcular el volumen de un sólido que está debajo del paraboloide ,
encima del plano y dentro del cilindro .
Complementando al cuadrado:
Ahora procedemos a integrar:
Ejemplo # 4
Encuentre la masa y el centro de masa de un triángulo con vértices en
. Densidad
Ejemplo # 5
La densidad en cualquier punto en una lámina semicircular es proporcional a la
distancia al centro. Encuentre el centro de masa.
Ejemplo # 6
inside the sphere outside the cylinder
Ahora despejo para " z " ya que es la función que me da la altura de la siguiente
forma:
Factorizo un signo menos:
Y como sabemos que: entonces
Ahora aplicamos la integral doble:
Ahora multiplicar x 2 ya q esto solo es la mitad de la
esfera.
Ejemplo # 7
Círculos:
Entonces aplicamos los completación al cuadrado a la siguiente ecuación para llegar a la forma del círculo:
Entonces obtenemos los límites de integración:
Aplicamos la integral doble:
Ejemplo # 8
Utilice coordenadas polares para encontrar la integral de la región dentro del
paraboloide y dentro del cilindro
Para este problema nuestra región la limita el cilindro
La altura la limita la función del paraboloide
Entonces tenemos la integral
Resolvemos la integral y la respuesta es:
Ejemplo # 9
Utilizar una integral doble para encontrar el área encerrada por un pétalo de la
rosa de 4 hojas
BibliografíaHostetler, R. E. (2008). Calculo Para Ingeniería. En R. P., CalculoTomo II (pág. 465). Grupo Editorial
Iberamericano.
Vandasker, K. (2007). Integral Doble en Coordenadas Polares. En S. E. W., Cálculo con Geometría Analítica (pág. 564). Grupo Editorial Iberamericano.