1

COLEGIO DE BACHILLERES

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

FASCÍCULO 1. LA INTEGRAL DEFINIDA UNA VISIÓN ESTÁTICA

Autores: Guadalupe Chávez Pérez Sergio Sánchez Carrillo

2

COLEGIO DEBACHILLERES

Colaboradores: Asesoría Pedagógica: Revisión de Contenido:

Diseño Editorial: Leonel Bello Cuevas Javier Darío Cruz Ortiz

3

INTRODUCCIÓN 5

PROPÓSITO 7

CUESTIONAMIENTO GUÍA 9

BOSQUEJO HISTÓRICO 13

CAPÍTULO 1. INTEGRAL DEFINIDA 15

1.1 ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA RECTA 15 1.2 ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA CURVA 23 1.3 INTEGRAL DEFINIDA 37 1.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 40 1.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 42

RECAPITULACIÓN 46

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN 47

AUTOEVALUACIÓN 49

ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN 50

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA 51

Í N D I C E

4

5

Antes de estudiar Cálculo Integral podíamos calcular áreas de figuras regulares, como el cuadrado, rectángulo, triángulo, etc., ahora tendrás la posibilidad de calcular el área de figuras irregulares como las siguientes:

Figura 1.

El método para encontrar el área de estas figuras se conoce como método de exahución. Definir el área para figuras geométricas en general, implica un proceso de límite.

Obtendrás aproximaciones de los resultados de problemas que impliquen sumas infinitas, calcularás el área exacta bajo una curva para establecer la Integral Definida y concluirás con el Teorema Fundamental de Cálculo.

I N T R O D U C C I Ó N

6

7

El problema básico de la derivación es:

dado el recorrido de un punto móvil, calcular su velocidad, o bien, dada una curva, calcular su pendiente. El problema básico de la integración es el inverso: dada la velocidad de un punto móvil en cada instante, hallar su trayectoria, o bien, dada la pendiente de una curva en cada uno de sus puntos, calcular la curva.

Hans Hahn (1897-1934)

El contenido de este fascículo pretende que al finalizar su estudio: ¿QUÉ APRENDERÁS? ¿CÓMO LO APRENDERÁS? ¿PARA QUE TE VA A SERVIR?

P R O P Ó S I T O

A obtener el área bajo la gráfica de una función f(x) en un intervalo de valores [a,b], estimar áreas por métodos numéricos, el concepto de integral definida, sus propiedades y relación con la derivada, además del Teorema Fundamental del Cálculo.

Por medio del desarrollo y solución de problemas en los que se requiera conocer el resultado acumulado de procesos de cambio y situaciones problemáticas en rectángulos.

Para resolver problemas cuya solución esté dada por el cálculo de integrales definidas.

8

9

Desde épocas remotas el hombre se enfrentó al problema de la cantidad y la medida, sobre todo de medir longitudes, áreas y volúmenes. Cuando estas longitudes eran segmentos de rectas o una sucesión finita de dichos segmentos, el problema de medir su longitud no representaba gran dificultad.

Figura 2.

Análogamente, cuando se quería medir áreas de polígonos, aunque fueran irregulares, el problema se resolvía dividiendo el polígono regular en triángulos –esto demuestra que siempre lo podemos hacer−, y calculada el área de cada triángulo, se decía que el problema estaba resuelto.

Figura 3.

A

B

C

F

D

E

G

CUESTIONAMIENTO GUÍA

10

De la misma manera, nuestros antepasados podían calcular con extraordinaria exactitud el volumen de cuerpos cuyas fronteras (caras) fueran superficies planas (polígonos), como paralelepípedos, pirámides, etcétera.

Figura 4. Estos conocimientos se aplicaron de manera excepcional en la construcción de grandes obras que hoy nos sorprenden. Pero no solamente en la construcción se tiene dicho conocimiento sino también en muchas otras ramas del saber humano, como el conocimiento del movimiento de los astros. Sin embargo, calcular la longitud de una línea cuando ésta es curva, o encontrar el área de una región determinada por una curva cerrada o encontrar el volumen de un cuerpo cuya superficie ya no es plana sino curva, constituyó un verdadero reto en la Antigüedad. Un problema famoso característico es encontrar el área del círculo, esto es, aproximarnos al área del círculo por medio de una red de cuadrados cada vez más fina. Esto se consideró imposible, pues por muy fina que fuera la red siempre tendrían el problema del elemento.

Figura 5.

¿Qué significa que un círculo mida x metros cuadrados de área?, ¿Significa que podemos cubrir con x metros cuadrados la superficie del círculo? Para responder resuelve el siguiente ejemplo:

11

Dibuja un círculo con un radio (r) de 20 cm y calcula su área mediante la fórmula A = πr2. Ahora dibuja un cuadrado de 35.449 cm de lado y recórtalo. ¿Cuál es el área de este cuadrado? Después de recortar el cuadrado en partes iguales e irlas acomodando dentro del círculo, hasta llenarlo completamente, ¿qué sucede? Al principio podrás acomodar partes del cuadrado relativamente grandes, pero conforme avances observarás que tienes que ir cortando partes cada vez más pequeñas hasta quedar algunos huecos por llenar y pedazos del cuadrado por acomodar. ¿Qué pasa entonces? ¿Tienen o no el círculo y el cuadrado aproximadamente la misma área? ¿Tenían o no razón en la Antigüedad respecto a la conclusión que llegaron? Este tipo de problemas y otros podrás resolver por medio del estudio de este fascículo.

12

13

Entre los precursores del Cálculo Integral está Arquímedes (287-212 a. C.), quien logró calcular el área de la superficie de un segmento parabólico mediante integraciones y descomponiendo una superficie plana en fajas rectangulares sumamente estrechas. Képler, quien descubrió la ley de las áreas con base en integraciones, también concibió a los sólidos como formados por un número sumamente grande de elementos infinitesimales, ya sean triángulos, rectángulos, discos o conos. Buenaventura Cavalieri (1598-1647), en su Geometría de los Indivisibles calculó la longitud de líneas, áreas de volúmenes, recurriendo a sumas; John Wallis (1616-1703) estableció cuadraturas y curvaturas con base en los descubrimientos de Cavalieri. Puesto que el concepto de integral se deriva de la suma, en un principio se le concibió como la suma de una infinidad de rectángulos con una dimensión infinitesimal. Después de que Barro (1669) descubrió que el problema de calcular el área con arreglo a curva es el inverso del cálculo de la pendiente de la tangente y que Newton y Leibniz reconocieron, a su vez, que la integración y la diferenciación son procesos inversos, se definió la integral de una función de cierta variable independiente por la diferencial de esta variable, como otra función cuya derivada era la función propuesta. Los trabajos de Newton relativos al cálculo son anteriores a los de Leibniz, pero el primero nada publicó en un principio, limitándose a exponer en sus cátedras los descubrimientos que había hecho; no así Leibniz, quien publicó una notación distinta a las de Newton, el cual basó su concepción en la noción de velocidad de partículas, considerando lo que él llamó crecimiento instantáneo, mientras que Leibniz partió del concepto de diferencias sumamente pequeñas. El método de las fluxiones, que concibió Newton a los 20 años y redactó a los 23, se dio a conocer después de su muerte; pero insertó una breve nota que da a conocer este método en sus memorias, Philosophia Naturalis Principia Matemática, en donde utiliza este método, aplicado no sólo a problemas de Matemática pura, sino a fenómenos celestes. Leibniz, durante su primera estancia en París (1692), creó los procedimientos infinitesimales de indiscutible originalidad y admirable potencia, en que destaca la tendencia simbolizadora. Estudió el problema de las tangentes y su inverso.

BOSQUEJO HISTÓRICO

14

Respecto a la tangente y su inversa, Leibniz introdujo el nuevo signo de la integral, representando con ∫ y la misma cantidad que Cavalieri consideraba como suma de ordenadas y designaba por omn (omnia, o sea, la suma de todas las y). Al ver como en la operación indicada por el signo ∫ se eleva el grado, infirió que la

operación lo rebaja, y como esto suele suceder en la división, creó la notación dx , que

luego abandono para adoptar dx, de cuyo significado sólo dio Leibniz esta explicación: diferencia entre dos x próximas. Son suyas las notaciones dx, dy/dx, lo mismo que la palabra derivada. Numerosos matemáticos completaron la obra iniciada por Newton y Leibniz. Deben citarse, entre ellos, a Jacobo Bernoulli (1654-1705), quien escribió una carta a Leibniz en 1687 para solicitarle esclareciera la comprensión del nuevo cálculo; pero como Leibniz estaba de viaje la carta le llegó hasta 1690. La tardanza de la respuesta causó que Jacobo Bernoulli se dedicase a la tarea de penetrar los secretos del Cálculo Diferencial, Tanto él como su hermano Juan (1667-1748) dieron muestras de aptitudes excepcionales para la investigación matemática, por lo que Leibniz declaró que ésta era tanto de ellos como suya. El barón Agustín Luis Cauchy (1789-1857) fue el primero en demostrar, de manera rigurosa y plenamente satisfactoria y con base en el método de los límites, la consistencia de sus principios fundamentales. A Jacobo Bernoulli se debe la denominación de Cálculo Integral, sugerida en 1690 y adoptada por Leibniz en 1696. La integración por sustitución fue aplicada por Jacobo Bernolli desde los primeros tiempos del cálculo y la expresión cambio de variable se encuentra en las obras de Cauchy. La integración por partes, consecuencia inmediata de la fórmula de la diferencial de un producto, se encuentra accidentalmente en Brook Taylor, pero la denominación se debe a Silvestre F. Lacroix (1765-1843).

La notación ∫b

a

es de José Fourier (1768-1830) y se publicó por primera vez en la

Théorie analytique de la Chaleur, de 1822, innovación que se adoptó de inmediato.

15

CAPÍTULO 1. INTEGRAL DEFINIDA 1.1 ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA RECTA Para contestar las preguntas del Cuestionamiento guía, primero calcularemos áreas de rectángulos. Supongamos que tenemos la función constante ƒ(x) = 1.

Figura 6.

Primero se calcula el área comprendida bajo esta función; entre las rectas x = 0, x = 1 y el eje X, se sabe que el área de un cuadrado es l 2, y como el lado mide 1, entonces el área es 1.

Figura 7.

Ahora calculemos el área comprendida bajo la misma función; las rectas x = 0,x = 2 y el eje X.

X 0

1

f(x) = 1

Y

X 0

f(x) = 1

Y

x = 1 x = 0

16

Figura 8. Vemos en la figura 8 que se trata de un rectángulo, por lo tanto, el área es 2. Con los mismos datos, sólo variando la recta cuya ecuación al principio fue x = 1 y luego x = 2, ahora por x = 3, tenemos que el área del nuevo rectángulo es 3 y así sucesivamente.

Figura 9. El valor de la base de los rectángulos la denotaremos como ∆x. Completa la tabla 1.

Tabla 1.

x ∆x ƒ(x) A1(x) 1 1 1 1 2 1 2 3 3 1 3 4 4 1 4 5 5 6 1 7 7 7 8 9 1

10 10 1 10

X 0

f(x) = 1

Y

x = 3

1 2 3

X 0

f(x) = 1

Y

x = 2 x = 0

17

Se advierte que el cálculo del área nos lleva a obtener una nueva función A1(x); el valor del área A1(x) depende de x. La gráfica de la nueva función queda como sigue:

Figura 10.

Esta función es continua ya que sólo calculamos el valor del área para valores de x enteros positivos, pero también se puede calcular el valor para x en todos los reales

positivos; por ejemplo, si 21

=x , entonces el área es 21 .

¿Cómo se llama la nueva función? Ahora podemos pensar en calcular el área bajo la función identidad (anterior), la recta x = 1 y el eje X.

Figura 11.

Como se trata de un triángulo rectángulo, el área se obtiene mediante la fórmula

2 alturaxbase , mas como la base y la altura valen 1, entonces el área es

21 .

X

Y

A1(x) = x

x = 1

1

0 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y

5

X

4 3 2 1

10 9 8 7

6

0

18

Al calcular el área bajo la función identidad, la recta x = 2 y eje X, análogamente nos queda un triángulo rectángulo cuya base y altura valen 2.

Figura 12.

Por consiguiente, el área es 2. para comprenderlo mejor observa la tabla 2.

Tabla 2,

x ƒ(x) A1(x) A2(x)

21

24

29

2

16

2

25

2

36

2

49

2

64

281

2

100

1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 6 1 6 7 1 7 8 1 8 9 1 9 10 1 10

X

Y A1(x) = x

x = 2 1

0 1 2

2

19

La primera columna de la tabla 2 es el valor de x; la segunda son valores de la función constante, en este caso 1; la tercera es el valor de las áreas de la función constante conforme cambia el valor de x que da como resultado otra función llamada identidad, y la cuarta columna son los valores del área delimitada por la función identidad, el eje X y las rectas que van variando x = 1, x = 2, ..., x = 10. ¿Qué se observa en los resultados de la última columna de la tabla 2? ¿Cuál es el área de la región comprendida debajo de la función identidad, el eje X y la recta x = n cuando

n es número real positivo? Es 2

2n .

Podemos generalizar que para cualquier valor de x real positivo el área es 2

2x , lo que

nos conduce a otra función que es la mitad de la función cuadrática (figura 13).

Figura 13.

Deriva la función 2

)(2

2xxA = . ¿Qué función obtuviste? ¿Tiene alguna relación con la

función A1(x) = x? Es la misma función y si ahora derivas A1(x) = x obtendrás la función constante 1, que es la función inicial. ¿Pasará siempre lo mismo con cualquier otra función constante? Para contestar veamos otro ejemplo.

X

Y

2)(

2

2xxA =

2

0 1 2

8

3 4 21

29

20

Si 21)( =xf , calculemos las áreas que se forman con ésta función, el eje X, el eje Y y las

rectas x = 1, x = 2, x = 3,..., x = 10.

Figura 14.

Pon los datos y los resultados de las áreas en los espacios vacíos de la tabla 3.

Tabla 3.

x ƒ(x) A1(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 Ahora podemos ver el área como una función que depende del valor de x, esto es,

xxA21)(1 = , que es una función. Su gráfica es:

Y

X 0

21)( =xf1

X 0

21)( =xf

Y

x = 1

1

1

X 0

21)( =xf

Y

x = 10

10

1

21

Figura 15.

En esta gráfica de nuevo podemos calcular el área comprendida entre la función

xxA21)(1 = , el eje X y las rectas x = 1,x =2,x = 3,...,x = 10, respectivamente.

Figura 16. Haz la gráfica de las áreas para x = 5 y x = 8.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y

X

3

4

2

1

0

xxA21)(1 =

1

Y

X

21

0

xxA21)(1 =

1 2 3 4

Y

X

2

1

0

xxA21)(1 =

22

Tabla 4.

x ƒ(x) A1(x) A2(x)

21

21

41

21

21

23

49

21

21

25

425

21

21

27

449

21

21

29

481

21

La tabla 4 muestra el valor de todos los cálculos de las áreas. De éstas, la columna 4

nos induce a otra función, 22 4

1)( xxA = . Deriva esta función dos veces y observa el

resultado en cada caso. Con base en estos ejemplos podemos generalizar, es decir, cualquier función constante al calcular sus áreas parciales nos conduce a una función lineal de la cual también podemos ir calculando las áreas en relación con éstas, que nos lleva a una función cuadrática. ¿El cálculo de las áreas parciales bajo las gráficas de las funciones cuadráticas nos conducirá a una función cúbica? ¿Cómo calcularemos áreas de regiones irregulares?

Llamaremos Integral Definida al valor del área bajo una curva en un intervalo.

La integral es la operación inversa de la derivada, lo cual se advierte en los dos ejemplos analizados.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

23

1.2 ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA CURVA Se ha calculado el área bajo la gráfica de ciertas funciones elementales, de cierto modo sencillas, que son de tipo lineal, es decir, son rectas o segmentos de recta y el cálculo de las áreas se reduce a determinar el área de rectángulos o triángulos. Del cálculo del área con base en la gráfica de la función constante 1)( =xf , resulta la función xxA =)(1 . Y al calcular el área bajo la gráfica de la función xxA =)(1

obtenemos la función 2

)(2

2xxA = .

También vimos que si derivamos la función A2(x) con respecto a x, obtenemos la función A1(x) = x; es decir,

xxdx

xd

dxxdA

2

2 2 )(

2

2 ===

Mas si derivamos la función A1(x) = x con respecto a x, obtenemos )(xf , esto es:

1 )(1 ==

dxdx

dxxdA

Es decir, la función de donde partió el cálculo. Para calcular el área bajo la gráfica de una función que no sea necesariamente lineal, esto es, el área bajo la gráfica de una curva, usaremos el método de exahución, que sirve para determinar áreas de regiones que no sean de tipo poligonal, sino curvo, como el círculo. Para esto usaremos tres resultados elementales.

1. El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura.

a = bh.

2. Si tenemos una región conformada por un conjunto de rectángulos adyacentes que no se traslapan, entonces el área de la región es igual a la suma de las áreas de cada uno de los rectángulos.

24

654321 AAAAAAA +++++=

Figura 17.

3. Si una región R1 está completamente contenida en una región R2, entonces área de R1 ≤ que área de R2.

Figura 18.

Ahora calcularemos el valor del área bajo la gráfica de una parte de parábola, aproximando el área de la región por medio de una sumatoria de áreas de rectángulos construidos de tal manera que se aproximen cada vez más al área de la región deseada. Sea R la región comprendida entre la gráfica de la función ƒ(x) = x2, el eje X y la recta x = 2, construyamos los rectángulos de la siguiente manera:

1. Dividimos el intervalo [0, 2] en 4 subintervalos de igual longitud.

42

402=

−=∆x

Esto nos proporciona un conjunto de puntos {x0, x1, x2, x3, x4} con

00 =x

R1 R2

1 2 3 4 5 6

25

42

420 01 =+=∆+= xxx

44

42

42 12 =+=∆+= xxx

46

42

44 23 =+=∆+= xxx

48

42

46 34 =+=∆+= xxx

que nos determinan los 4 subintervalos;

42,0 ,

44,

42 ,

46,

44 ,

48,

46 .

2. En cada subintervalo construimos un rectángulo con base igual a la longitud del

subintervalo 42

=∆x y la altura igual al valor máximo que toma la función en dicho

subintervalo. Como la función es continua, entonces ésta alcanza su valor máximo en algún punto del intervalo cerrado [a, b]; además, como la función ƒ(x) = x2 es una función creciente, toma el valor máximo en el extremo derecho del subintervalo. ¿Por qué?

Figura 19.

24

23

22

21

X

Y

0

f(x) = x2

26

Estos rectángulos adyacentes así construidos forman un polígono rectangular circunscrito P, cuya área es igual a la suma de las áreas de los rectángulos que lo conforman. El área de cada rectángulo es igual a:

=∆

=∆=21

21

21 )(

2

11 xfxxfA

=∆

=∆=21

22

22 )(

2

22 xfxxfA

=∆

=∆=21

23

23 )(

2

33 xfxxfA

=∆

=∆=21

24

24 )(

2

44 xfxxfA

El área del polígono rectangular P es:

+

+

+

=+++=21

24

21

23

21

22

21

21

2222

4321 AAAAP

Tras factorizar y asociar términos tenemos:

[ ] ( ) 75.3 830 16941

81 4321

21 2222

3

==+++

=+++

=PA

Como el polígono rectangular contiene a la región R, entonces tenemos que área de R es ≤ que área de P = 3.75. Si dividimos el intervalo [0,2] en 8 subintervalos, con base en el mismo procedimiento tenemos:

41

82==∆x

que determina el conjunto de puntos

48,

47,

46,

45,

44,

43,

42,

41,0 y los subintervalos:

41,0 ,

21,

41 ,

43,

21 ,

1,43 ,

45,1 ,

23,

45 ,

47,

23 ,

2,47 .

Nuestro conjunto de rectángulos lo construiremos con base en la longitud del intervalo y como altura el valor máximo que alcanza la función ƒ(x) = x2 en cada subintervalo.

27

Figura 20.

Antes de continuar analicemos más de cerca nuestro procedimiento. Tenemos 82

=∆x ,

donde 2 es la longitud del intervalo que estamos partiendo y 8 es el número de subintervalos que estamos tomando.

00 =x

82

82001 =+=∆+= xxx

=+=∆+=822

82

82

12 xxx

=+

=∆+=823

82

82223 xxx

=+

=∆+=824

82

82334 xxx

=+

=∆+=825

82

82445 xxx

=+

=∆+=826

82

82556 xxx

Y

X 0

f(x) = x2

48

47

46

45

44

43

42

41

28

=+

=∆+=827

82

826 67 xxx

=+

=∆+=828

82

827 78 xxx

El área de cada rectángulo formado es:

( )232

11 182

82

82 )(

=

=∆= xxfA

( )232

22 282

82

822 )(

=

=∆= xxfA

( )232

33 382

82

823 )(

=

=∆= xxfA

( )232

44 482

82

824 )(

=

=∆= xxfA

( )232

55 582

82

825 )(

=

=∆= xxfA

( )232

66 682

82

826 )(

=

=∆= xxfA

( )232

77 782

82

827 )(

=

=∆= xxfA

( )232

88 882

82

828 )(

=

=∆= xxfA

Por lo tanto, el área del nuevo polígono rectangular P será:

AP = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8. Factorizando y asociando términos tenemos:

[ ] ( ) 1875.3 20482 87654321

82

3

322222222

3

=

=+++++++

=PA

De esta expresión vemos que la suma de las áreas de los rectángulos construidos es igual a la longitud del subintervalo (∆x) elevado al cubo, multiplicada por la suma de los cuadrados de los ocho primeros números naturales.

29

Si partimos ahora el intervalo [0,2] en n = 16 subintervalos tendremos:

162

=∆x ∴ ( ) ( ) 9218.2 1496512

1 1615....321162 22222

3

=

=+++++

=PA

Si lo dividimos en n = 32 subintervalos tendremos:

322

=∆x ∴ ( ) ( ) 7929.2 114404096

1 3231....321322 22222

3

=

=+++++

=PA

Si dividimos en n = 64 subintervalos tendremos:

642

=∆x ∴ ( ) ( ) 7294.2 8944032768

1 6463....321642 22222

3

=

=+++++

=PA

De la operación anterior uno de los factores es la suma de los cuadrados de los 64 primeros números naturales. Como este proceso es muy laborioso, ¿qué ocurre al hacer la siguiente operación?

[ ]6

1)64(2)164(64 ++ . Compara este resultado con el que ya teníamos. De aquí en adelante usaremos una operación similar para cada uno de los siguientes casos. Si dividimos en n = 128 subintervalos tendremos:

1282

=∆x ∴

( ) ( ) 6979.2 707264262144

1 128127....321128

2 222223

=

=+++++

=PA

Si dividimos n = 256 subintervalos tendremos:

2562

=∆x ∴

( ) ( ) 6823.2 56252162097152

1 256255....3212562 22222

3

=

=+++++

=PA

Si dividimos en n = 512 subintervalos tendremos:

30

5122

=∆x ∴

( ) ( ) 6744.2 4487040016777216

1 512511....3215122 22222

3

=

=+++++

=PA

Si dividimos en n = 1024 subintervalos tendremos:

10242

=∆x ∴

( ) ( ) 6705.2 358438400134217728

1 10241023....3211024

2 222223

=

=+++++

=PA Ahora calcularemos el área bajo la gráfica de la misma función ƒ(x) = x2, comprendida entre el eje X y la recta x = 3. Mediante el mismo procedimiento tendremos, para una partición en n = 4 subintervalos.

43

=∆x ∴ ( ) 6562.12 64

27(30) 4

43213 432143

3

222232222

3

==

+++=+++

=PA

Si n = 8 ; 83

=∆x ∴

( ) 7578.10 512

27(204) 8

8....213 8....2183

3

2223222

3

==

+++=+++

=PA

Si n = 16 ; 163

=∆x ∴

( ) 8613.9 4096

27(1496) 16

16....213 16....21163

3

2223222

3

==

+++=+++

=PA

Si n = 32 ; 323

=∆x ∴

( ) 4262.9 32

32....213 32....21323

3

2223222

3

=

+++=+++

=PA

Si n = 64 ; 643

=∆x ∴

31

( ) 2120.9 64

64....213 64....21643

3

2223222

3

=

+++=+++

=PA

Si n = 128 ; 128

3=∆x ∴

( ) 1057.9 128

128....213 128....21128

33

2223222

3

=

+++=+++

=PA

Si n = 256 ; 2563

=∆x ∴

( ) 0528.9 256

256....213 256....212563

3

2223222

3

=

+++=+++

=PA

Si n = 512 ; 5123

=∆x ∴

( ) 0263.9 512

512....213 512....215123

3

2223222

3

=

+++=+++

=PA

Si n = 1024 ; 1024

3=∆x ∴

( ) 0131.9 1024

1024....213 1024....211024

33

2223222

3

=

+++=+++

=PA

Al generalizar nuestro procedimiento, se observa que cuanto mayor es el número de subintervalos en que dividimos el intervalo inicial, menor es el área que resulta de sumar las áreas de los rectángulos construidos. Para explicarlo analicemos qué sucede en un subintervalo cualquiera, dada una participación. Tenemos:

32

Figura 21.

Al duplicar en cada paso el número de subintervalos, significa que para la siguiente participación el intervalo [xk−1,xk] lo dividimos en 2; y al construir los nuevos rectángulos eliminaremos una parte original. En la siguiente partición el intervalo queda dividido en 4 subintervalos, con lo cual al construir los nuevos rectángulos eliminamos otra parte del área original. Al dividir nuevamente el intervalo en 8 subintervalos y construir los rectángulos eliminamos otra parte del área original. Por lo tanto, para cada nueva partición del área del polígono rectangular construido se va reduciendo, ajustándose al área que deseamos calcular. Cuando el número de subintervalos es muy grande (n muy grande) entonces el área del polígono rectangular, así construido, es prácticamente igual al área bajo la gráfica de la función. Si calculamos ahora el área bajo la gráfica de la función ƒ(x) = x2, el eje X y la recta x = b, tenemos:

X

Y

0

33

Figura 22

1. Dividimos el intervalo [0,b] en n subintervalos nbx =∆ . Esto nos proporciona la

partición { }nxxx ,.....,, 10 con. 00 =x

nb

nbxx =+= 01

=+=nb

nbxx 212

. . .

bnbn

nbxx nn =

=+= −1

Y las áreas de los rectángulos son:

3

32

11 )( nb

nb

nbxxfA =

=∆=

3

32

2

22 2 2 )( nb

nb

nbxxfA =

=∆=

X

Y

0

x = b

f(x) = x2

R

34

3

32

2

33 3 3 )( nb

nb

nbxxfA =

=∆=

. . .

3

32

2

n )( nb

nb

nbnxxfA nn =

=∆=

Sumando estas áreas y factorizando tenemos:

( )22223

3

321 ...321... nnbAAAAA n ++++=++++=

++++= 3

22223 ...321

nnbA

Para determinar cada valor debemos establecer qué valor toma la cantidad entre paréntesis cuando n es muy grande.

Como recordarás de tus fascículos de primer semestre, 1 + 2 + 3 +...+ n = ( )2

1+nn . De

acuerdo con esta expresión ¿habrá una expresión general que nos dé la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales?, es decir, 12 + 22 + 32 + ... + n2 = ? ¡Sí! Esta sumatoria es igual a:

( )( )6

121...321 2222 ++=++++

nnnn

Demuestra esta fórmula mediante el método de inducción matemática. Sustituyendo este resultado, tenemos:

( )( )

++= 3

3

6121

nnnnbA

Efectuando el producto y la división indicadas nos queda:

++= 23

61

21

31

nnbA

35

Cuando n es muy grande (n →∞), el segundo y tercer término dentro del paréntesis tienden a ser cero; por consiguiente:

3

3bA = .

Si b = 1 ; 3333.031==A ;

Si b = 2 ; 666.238==A ;

Si b = 3 ; 00.9327

==A .

Compara estos valores con los obtenidos. Si b = x, entonces el área es una función de x, esto es,

Si ƒ(x) = x2 ;

3

)(3xxA = .

Qué obtienes si derivas la función A(x) con respecto de x? Determinemos por medio del mismo procedimiento el área bajo la gráfica de la función ƒ(x) = x3, el eje X y la recta x = b.

1. Partimos el intervalo [0, b] en n subintervalos: nbx =∆

Obtenemos la partición:

00 =x

nbx =1

=nbx 22

. . .

bnbnxn =

=

36

2. En cada subintervalo tomemos el valor máximo que alcanza la función ƒ(x) = x3 . Como esta función es creciente, el máximo lo alcanza en el extremo derecho de cada subintervalo. ¿Por qué? Construyamos el conjunto de rectángulos de base igual a la longitud del subintervalo y altura igual al valor máximo de la función en el subintervalo; por consiguiente, sus áreas son:

4

43

11 )( nb

nb

nbxxfA =

=∆=

4

43

3

22 2 2 )( nb

nb

nbxxfA =

=∆=

4

43

3

33 3 3 )( nb

nb

nbxxfA =

=∆=

. . .

3

32

2

n )( nb

nb

nbnxxfA nn =

=∆=

nAAAAA ++++= ...321

4

43

4

43

4

43

4

4

...32nbn

nb

nb

nbA ++++=

++++= 4

33334 ...321

nnbA

Investiga hacia dónde tiende el valor de la cantidad que está entre paréntesis cuando n es muy grande (n → ∞). ¿Hay una fórmula general que nos da la suma de los cubos de los n primeros números naturales

13 + 23 + 33 + ... + n3 =?

37

1.3 INTEGRAL DEFINIDA Ahora calcularemos el área bajo la gráfica respecto de una función ƒ(x) cualquiera.

1. Sea ƒ(x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] 2. Tomemos una partición del intervalo [a, b] en n subintervalos de igual magnitud:

nabx −

=∆

Esto nos proporciona un conjunto de puntos {x0, x1, x2,...,xn} que conforman un conjunto de intervalos cerrados [x0, x1], [x1, x2], [x2, x3],..., [xn−1,x n]. Con x0 = a x1 = a + ∆x x2 = x1 + ∆x = a + 2∆x . . .

xn = xn-1 + ∆x = bn

abna =−

+

3. Construyamos una serie de rectángulos cuya base sea igual a la longitud de los subintervalos y cuya altura sea igual al valor que toma la función en un punto cualquiera vk de cada subintervalo [xk−1, xk].

Figura 23

X0 = ax1, x2, x3, ... ... →∆x← b = xn

Y

0 X

f(x)

38

Esta serie de rectángulos nos determina un polígono P cuya área será igual a la suma de las áreas de los rectángulos así construidos.

xvfA ∆= )( 11

xvfA ∆= )( 22

xvfA ∆= )( 33 . . .

xvfA nn ∆= )(

xvfxvfxvfxvfAAAAA nnp ∆++∆+∆+∆=++++= )(...)()()( ... 321321 4. Tomamos particiones con un número n cada vez más grande de subintervalos; es

decir, que sumaremos las áreas de una infinidad de rectángulos con áreas infinitamente pequeñas ya que al incrementarse el número de subintervalos ∆x tiende a ser muy pequeño.

Por lo tanto, si

[ ]∞→

∆++∆+∆+∆

nxvfxvfxvfxvflìm n )(...)()()( 321

existe, entonces este límite será igual al área bajo la gráfica de la función ƒ en el intervalo [a, b] y a esta cantidad le llamaremos integral definida de la función ƒ en el

Intervalo [a,b]; la denotaremos por ∫b

adxxf

)( , es decir,

[ ]

∞→∆∞→

∆++∆+∆+∆=∫

xn

xvfxvfxvfxvflìmdxxfb

a n

)(...)()()( )(

321

Al símbolo ∫ se le llama integral; a, b se conocen como límite inferior y superior

respectivamente.

∫b

adxxf

)( se lee, integral de a a b de la función ƒ(x).

dx es la diferencial de x y se considera una cantidad infinitamente pequeña. La diferencia es que ∆x la usamos cuando tenemos sumas finitas y dx cuando tenemos sumas infinitas, es decir, límites.

39

La función ƒ(x) pude tomar valores negativos, entonces ƒ(vk)∆x pueden ser cantidades negativas. Gráficamente esto nos induciría a que el rectángulo construido está por debajo del eje X y el área del rectángulo estaría multiplicando por –1. Esto nos lleva a la siguiente conversión: si la región bajo la gráfica está sobre el eje X

[ƒ(x)>0] desde x = a hasta x = c, su área es ∫c

adxxf

)( , que es un valor positivo, pero si la

región entre la gráfica y el eje X está por debajo de éste [ƒ(x)<0] desde x = c hasta x = b,

el área estará dada por ∫b

cdxxf

)( .

Figura 24.

a c b

Y

X

x = a

Área ∫c

adxxf

)(

f(x)

x = b 0

Área ∫b

cdxxf

)(

40

1.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA A partir de la definición de la Integral Definida podemos establecer las siguientes propiedades. Sean ƒ(x) y g(x) funciones integrales en el intervalo [a,b].

1. 0)(

=∫

a

adxxf ; si f(a) existe

2. ∫∫ =b

a

b

adxxfcdxxcf

)()(

La integral de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

3. [ ] ∫∫∫ +=+b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf

)()()()(

La integral de una suma (f + g) de funciones es igual a la suma de las integrales.

4. Sea c un punto entre a y b; a < c < b , entonces ∫∫∫ +=b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf

)()()( .

Figura 25.

5. ∫∫ −=a

b

b

adxxfdxxf

)()( .

Si cambiamos los límites de la integral entonces el valor de la integral cambiará de signo.

Y

X

f(x)

a c b 0

41

Expresando los resultados obtenidos anteriormente en términos de la nueva terminología tenemos:

1. Si f(x) = 1 ; [0,b] , bdxdxxfbb

== ∫∫

0

0 )( .

2. Si f(x) = x , 2

)(2

0

0

bxdxdxxfbb

== ∫∫ .

3. Si f(x) = x2 , 3

)(3

0

2

0

bdxxdxxfbb

== ∫∫ .

4. Si f(x) = x3 , ? )(

0

3

0 == ∫∫

bbdxxdxxf

Con base en estos resultados y de las propiedades de la integral podemos calcular la integral de la siguiente función: ƒ(x) = 3x2 − 2x + 4, sobre el intervalo [0,2].

12 848 )2(4222

323 23 )423( )(

0

2

0

2

0

232

0

2

0

22 =+−=+

−

=+−=+−=∫ ∫ ∫ ∫∫

bdxxdxdxxdxxxdxxf

1. Interpreta este resultado en cuanto al área bajo la curva, para esto construye la gráfica de ƒ(x).

2. Determina el valor de la integral para la función ƒ(x) = x3 + 3x2 – 5x + 7, sobre el

intervalo [0,3].

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

42

1.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Como se advierte, encontrar el valor de una integral mediante sumas es bastante difícil; si la función es polinomial podríamos con dificultad determinar su integral; si la función es más compleja, como ƒ(x) = sen x ó ƒ(x) = x cos x, podríamos auxiliarnos de una computadora para encontrar las integrales de estas funciones. Sin embargo existe una relación entre el concepto de derivada y el de integral que nos permite determinar las integrales de una manera relativamente sencilla. Este método se basa en el teorema fundamental del cálculo. Consideremos una función ƒ(x) definida sobre el intervalo [a,b]. Si F(x) es una función tal

que )()( xfdx

xdF= , entonces F(x) se dice que es una antiderivada o una primitiva de ƒ(x).

Sabemos que si ƒ(x) = c, entonces 0)(==

dxdc

dxxdf , es decir, la derivada de una

constante es igual a cero, pero además el resultado inverso también es cierto:

Si 0)(=

dxxdf , entonces f(x) = c

La definición de antiderivada y el resultado anterior nos lleva a que si ƒ(x) y g(x) son dos funciones tales que ƒ’(x) = g’(x), o bien ƒ’(x) – g’(x) = 0 equivalente a [ƒ(x) – g(x)]’ = 0, significa que ƒ(x) y g(x) difieren a los más en una constante, es decir, ƒ(x) = g(x) + c. Si ƒ(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces la función F(x) definida como

∫=x

adxxfxF

)()( con x ∈ [a,b]

Figura 26.

Y

X

f(x)

a x b 0

F(x)

43

es una función continua y derivable y

)()()(

xfdx

dxxfd

dxxdF

x

a ==∫ ;

es decir, F(x) es una antiderivada o función primitiva de ƒ(x),

F ’(x) = ƒ(x) . Esto concuerda con los resultados obtenidos en los cálculos que hemos hecho en este fascículo. Sea G(x) una antiderivada de la función ƒ(x), esto es,

G’(x) = ƒ(x) ,

Entonces como F(x) = ∫x

adxxf

)( es tal que F ’(x) = ƒ(x) ,

tenemos F ’(x) = G’(x). Lo anterior implica que F(x) y G(x) son funciones que difieren a lo más de una constante, por lo tanto, F(x) = G(x) + C.

Como F(a) = 0)(

=∫

a

adxxf (primera propiedad de la integral), entonces

0 = F(a) = G(a) + C; por lo tanto, G(a) + C = 0; C = G(a); es decir, el valor de la constante C es igual a menos el valor que toma la función primitiva en el punto a y:

F(b) = )()()(

aGbGdxxf

b

a−=∫ .

A este resultado, el teorema fundamental del cálculo, llegaron Newton y Leibniz.

Si G(x) es una función primitiva de ƒ(x), entonces

∫ −=b

aaGbGdxxf

)()()(

44

Este teorema nos facilita el cálculo de la integral de muchas otras funciones, como lo podrás comprobar en los siguientes fascículos. En particular como

( ) nn

n

xn

xndxnxd

=+

+=+

−+

+

)1()11 11

1

Esto es, )1(

1

+

+

nx n

es antiderivada de xn, por lo tanto, tenemos:

)1()1(

)1(

111

+−

+=

+=

+++

∫ na

nb

nxdxx

nnb

a

nb

a

n

que es congruente con los resultados obtenidos y que nos permite calcular integrales de funciones tales como ƒ(x) = 5x6 – 7x4 + 2x2 – 5, en el intervalo [−2,3].

∫ ∫− −−+−=

3

2

3

2

246 )5275( )( dxxxxdxxf

∫ ∫∫∫ − −−−−+−=

3

2

3

2

23

2

43

2

6 5275 dxdxxdxxdxx

3

2

121416

512

214

716

5−

+++

−

+

+

+

−

+

= xxxx

3

2

357

53

25

77

5

−

−+−= xxxx

−−

−+

−−

−−−+−= )2(5

3)2(2

5)2(7

7)2(5)3(5

3)3(2

5)3(7

7)3(5 357357

1033.218.4442.9115182.34014.1562 −+−+−+−=

89.1282=

45

Calcula la integral de las siguientes funciones en los intervalos indicados.

1. ƒ(x) = 4x2 – 5x + 2 ; [–4,5]

2. ƒ(x) = 3x3 – 2x ; [–3,3]

3. ƒ(x) = 2x4 – 7x2 + 2 ; [–4,4]

4. ƒ(x) = 5x4 – 3x3 + 2x2 – 5x ; [1,2]

5. ƒ(x) = 6x6 – 4x4 + 2x3 – 3x ; [–1,1]

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

46

El siguiente esquema te proporcionará los elementos necesarios para elaborar una Recapitulación.

Área

Área bajo la gráfica de una recta

Área bajo la gráfica de una curva

Integral Definida

Área bajo la gráfica de una curva

RECAPITULACIÓN

47

1. Calcula el área bajo la gráfica de la función ƒ(x) = 2 sobre el eje X, entre el eje Y

y las rectas x = 1, x = 2, x = 3, ... , x = 10.

2. Calcula por el método de exahución el área bajo la gráfica de la función ƒ(x) = 25 – x2; sobre el eje X, entre el eje Y y la recta x = 4. Para construir los rectángulos toma el valor mínimo de la función en cada subintervalo.

3. Calcula por medio del método de exahución el área de la región determinada por la gráfica de la función ƒ(x) = x3; el eje X y las rectas x = –2 y x = 2.

Figura 26.

f(x) = x3

Y

1 2 0 X

-2 -1

ACTIVIDAD DE CONSOLIDACIÓN

48

En los siguientes ejercicios utiliza las propiedades de la integral, el Teorema

Fundamental del Cálculo y el resultado ∫ +=

+b

a

b

a

nn

nxdxx

1

1

para determinar el valor de la

integral que se te pide.

4. Sea ƒ(x) = 3x2 – 2x + 1 ; [0,5]

5. Sea ƒ(x) = 4x5 – 6x3 + 3x ; [–2,2]

6. Sea ƒ(x) = −x7 + 8x4 − 3x2 + 5 ; [–1,2]

7. Sean ƒ(x) = 3x – 2 y g(x) = 2x − 3 ; [ ] =+∫ )()(5

0 dxxgxf

8. Sea

≤<≤≤

=42 20 )(

2

xsibxsixxf calcula el área bajo la función ƒ(x), sobre el eje X

y la recta y = 4.

Figura 27.

4

0 2 4

Y

X

49

Con la intención de corroborar tu aprovechamiento se te proporcionan algunas respuestas a las Actividades de consolidación.

1. Ya que ƒ(x) = 2 es una función constante, ¿puedes tomar el extremo derecho de cada subintervalo para tener la altura de los rectángulos? ¿Cuál es la altura de éstos?, ¿cuál es su base?, ¿sucede lo mismo para las rectas x = 2, x = 3, ..., x = 10? Abreviando el desarrollo:

Para x = 1 el área es A1 = 2 u2

x = 2 el área es A2 = 4 u2 x = 3 el área es A3 = 6 u2 . . . x = 10 el área es A10 = 20 u2.

2. ¿Se llegará al mismo resultado si tomamos los máximos de la función en cada uno de los subintervalos?

3. Como ƒ(x) = x3 toma valores negativos en el intervalo [−2,0]; el valor de la

integral será negativo. Además, por la simetría de la gráfica, el área por arriba del eje X es igual al área por abajo del eje X. Entonces, ¿Cuál es el valor de la integral? ¿Cómo puede determinarse el área verdadera? ¿cuál es la propiedad de la integral que te permite lograr esto?

Después de haber realizado tu desarrollo, conforme a lo anterior, compara tu resultado con: Área = 8 u2.

4. 105 u2 5. 0 6. 40

1077 u2 7. 2

75 u2 8. 332 u2

AUTOEVALUACIÓN

50

Se recomienda visitar el Museo de las Ciencias “Universum”, donde encontrarás diferentes apoyos para la comprensión analítica de las cuestiones básicas de las Matemáticas. También te sugerimos ver la película con ganas de triunfar (que se proyecta en varios planteles del Colegio de Bachilleres) para tener actitud crítica y reflexiva en cuestiones relacionadas con el cálculo.

ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN

51

ANFOSSI, A. Y Fores Meyer M. A. Cálculo Diferencial e Integral, 9ª. Ed. Progreso, México, 1954. BOSCH, Guerra, Hernández y Oteyza. Cálculo Diferencial e Integral. Publicaciones Cultural, México, 1995. CRUSE, A.B. y Lehman M. “Introducción a la Integral”, en Lecciones de Cálculo 2. Fondo Educativo Interamericano, México, 1982. GÓMEZ, José Luis. Introducción al Cálculo Diferencial e Integral, 2ª. Ed. Limusa, México, 1987. HOCKETT, Shirley O. y Sternstein Martín. Cálculo por objetivos y aplicaciones. CECSA, México, 1985. LARSON, Hostetler. Cálculo y Geometría Analítica. McGraw-Hill, México, 1986. SALAS, S.L. y Hille E. Cálculos de una y varias variables, 2ª. Ed. Reverté, España, 1982. SWOKOWSKI, E.W. Cálculo con Geometría Analítica. Iberoamérica, México, 1979. WENZELBURGER, E. Cálculo Integral. Módulo introductorio. Universidad Iberoamericana, México, 1985. Revista del Seminario de Enseñanza y Titulación, año II, núm. 6, diciembre de 1985.

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA