Curso 2005/2006 Joaquín Bernal Méndez 1
Tema 1: Análisis vectorial
Campos Electromagnéticos2º Curso Ingeniería IndustrialDpto.Física Aplicada III
Dpto. Física Aplicada III 2C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Tema 1: Índice (I)
IntroducciónCampos escalares y vectorialesIntegrales de los campos
CirculaciónFlujo
Derivadas de los camposGradienteDivergenciaRotacional
Dpto. Física Aplicada III 3C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Tema 1: Índice (II)
Herramientas matemáticasCoordenadas cilíndricas y esféricas Operador nablaDelta de Dirac
Tipos especiales de campos:Campos irrotacionalesCampos solenoidalesCampos armónicos
Teorema de Helmholtz
Dpto. Física Aplicada III 4C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Introducción
Escalar: cantidad caracterizada por su magnitud.Ejemplo: masa de una persona
Vector: cantidad caracterizada por su magnitud, dirección y sentido.Ejemplo: velocidad de un automóvil
Dpto. Física Aplicada III 5C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Campos escalares (I)
Definición: Función de la posición que a cada punto del espacio asigna una magnitud escalar.
Campo de temperaturas: T(x,y,z) Altitud geográfica: h(x,y)Campo de densidades de un material
Función debe ser monovaluada
Dpto. Física Aplicada III 6C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Campos escalares (II)
Representación: Superficies equiescalares( , , )x y z Cϕ =
-4 -2 0 2 4-4
-2
0
2
4
-2
-1
0
1
2 -2
-1
0
1
2
-2-1
0
1
-2
-1
0
1
Dpto. Física Aplicada III 7C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Campos escalares (III)Ejemplo: Campo de presiones
( , , )x y z Cϕ =
Dpto. Física Aplicada III 8C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Campos vectoriales (I)
Definición: Función de la posición que a cada punto del espacio asigna una magnitud vectorial.
Campo de gravedad terrestreCampo de velocidad de un fluidoCampo eléctrico y campo magnético
Ha de ser monovaluada
Dpto. Física Aplicada III 9C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Campos vectoriales (II)Ejemplo:
Dpto. Física Aplicada III 10C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Campos vectoriales (III)
Representación: Líneas de campo: curvas tangentes al campo en todo punto
x y z
dx dy dzF F F
= =
Dpto. Física Aplicada III 11C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Campos vectoriales (IV)
Ejemplo: Campo eléctrico de una carga puntual
Carga positiva
Dpto. Física Aplicada III 12C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Campos vectoriales (V)
Ejemplo: líneas de campo para dos cargas puntuales
•-q
•+q•q
•q
Cargas positivas Cargas de distinto signo
Dpto. Física Aplicada III 13C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Integrales sobre campos
Dos tipos de campos: escalares y vectorialesEs posible realizar integrales de línea, superficie y volumen.Dos tipos de integrales nos interesan por su sentido físico:
CirculaciónFlujo
Dpto. Física Aplicada III 14C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Circulación (I): definición
Integral de línea de un campo vectorial:
,
B
AF dr
γΓ = ⋅∫
Propiedades importantes:El resultado es un escalarEl resultado depende del camino
Ejemplo: trabajo de una fuerza
Dpto. Física Aplicada III 15C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Circulación (II): sentido físicoLínea cerrada: es una medida del giro del campo
·L
C F dl= ∫
0C =L
0C ≠L
Para un campo de fuerzas: trabajo sobre una curva cerrada
Dpto. Física Aplicada III 16C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Circulación (III): cálculo
¿Cómo se calcula?Se parametriza la curva:
Calculamos la integral:
,
B
AF dr
γΓ = ⋅∫
{ }: ( ), t ( , )A Br r t t tγ = ∈
( ( ))B
A
t
t
drF r t dtdt
Γ = ⋅∫
Dpto. Física Aplicada III 17C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Flujo (I): definición
Integral de superficie de un campo vectorial
Propiedades:Es un escalarDepende de la S escogidaDebe especificarse el sentido de Si la superficie es cerrada: es saliente
SF dsΦ = ⋅∫
ss
Dpto. Física Aplicada III 18C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Flujo (II): sentido físicoEs una medida de la cantidad de campo que atraviesa una superficieEjemplo: campo de velocidades de un fluido
VSΦ =
·S
V dSΦ = ∫·V SΦ =
Dpto. Física Aplicada III 19C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Flujo (III): cálculo
Si parametrizamos la superficie:
Entonces:
Calculamos la integral:
{ }1 2 1 2: ( , ), ( , ), ( , )S r r α β α α α β β β= ∈ ∈
r rdS d dα βα β
⎛ ⎞∂ ∂= ×⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
( ( , )) r rF r d dα β α βα β
⎛ ⎞∂ ∂Φ = ⋅ ×⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∫∫
Dpto. Física Aplicada III 20C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Resumen
Los campos pueden ser escalares o vectorialesPara describir los campos escalares se usan las superficies equiescalares.Para describir los campos vectoriales se emplean las líneas de campoLa circulación mide el giro del campoEl flujo mide cuanto campo atraviesa una superficie
Dpto. Física Aplicada III 21C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Derivadas de los campos
Del mismo modo que podemos realizar integraciones de campos escalares y vectoriales, podemos derivarlos.Campos escalares: gradienteCampos vectoriales: divergencia y rotacional
Dpto. Física Aplicada III 22C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Gradiente (I)( )f xPara una función de una variable:
0
0 0
0
( ) ( ) ( )lim
x
df x f x f xdx ε
ε
ε→
+ −=
( )f x
xε
0( )f x ε+
0( )f x
La derivada nos informa de la variación de la función con x
Dpto. Física Aplicada III 23C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Gradiente (II): derivada direccional
¿Cómo expresar la variación de una función de varias variables (c.escalar)?Hay que especificar la dirección:
vector unitario:Derivada direccional:
( , , )x y zv v v v=
0
( , , ) ( , , )lim x y zx v y v z v x y zd
ds ε
ϕ ε ε ε ϕϕε→
+ + + −=
Dpto. Física Aplicada III 24C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Gradiente (III)
Usando el concepto de derivada parcial:
Definición:
Por tanto:
x y zd v v vds x y zϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂
, , vx y zϕ ϕ ϕ⎛ ⎞∂ ∂ ∂
= ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
grad x y zu u ux y zϕ ϕ ϕϕ ∂ ∂ ∂
= + +∂ ∂ ∂
d =gradds
vϕ ϕ ⋅
Dpto. Física Aplicada III 25C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Gradiente (IV): significado físicod =gradds
vϕ ϕ ⋅gradϕ
vα
d = grad cosdsϕ ϕ α⋅
El módulo del gradiente coincide con el valor máximo que puede tomar la derivada direccional en ese punto
La dirección del gradiente coincide con la dirección hacia la que la derivada direccional es máxima (máximavariación de la función p.u.l. en ese punto)
Dpto. Física Aplicada III 26C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Gradiente (V)Variación de la función al desplazarnos:
El gradiente es perpendicular a las superficies equiescalares en cada punto:
grad gradd v ds drϕ ϕ ϕ= ⋅ = ⋅
0 gradd drϕ ϕ= = ⋅Cteϕ =
drgradϕ |grad drϕ −
Dpto. Física Aplicada III 27C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Gradiente (VI): Resumen
Es un campo vectorial.Su módulo en cada punto nos da el valor de la derivada direccional máxima.Su dirección en cada punto nos indica la dirección de máxima variación de la función.Es perpendicular en todo punto a las superficies equiescalares del campo.
Dpto. Física Aplicada III 28C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Divergencia (I)
Dado un campo vectorial, se define el campo escalar divergencia:
Divergencia en cartesianas:
0
1div ( ) limS
F r F dSτ
τ τ∆
∆ →= ⋅
∆ ∫
div ( ) yx zFF FF rx y z
∂∂ ∂= + +∂ ∂ ∂
Dpto. Física Aplicada III 29C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Divergencia (II):sentido físico
La divergencia no nula indica fuente o sumidero de líneas de campo
Puntos de divergencia nulaPunto de divergencia no nula
Dpto. Física Aplicada III 30C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Divergencia (III)
Teorema de la divergencia:
Útil en la evaluación de integralesFundamental en el desarrollo teórico de la asignatura
div ( )S
F r d F dSττ
τ = ⋅∫ ∫
z
xySτ
τ
Dpto. Física Aplicada III 31C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Rotacional(I)
Definición intrínseca:
Cálculo en cartesianas:
0
1rot ( ) limS
F r dS Fτ
τ τ∆
∆ →= ×
∆ ∫
rot ( )
x y z
x y z
u u u
F r y zxF F F
∂ ∂ ∂=∂ ∂∂
Dpto. Física Aplicada III 32C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Rotacional (II):sentido físico
Está relacionado con el giro local de las líneas de campo (torbellinos):
Rotacional no nulo Rotacional nuloRotacional nulo
Dpto. Física Aplicada III 33C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Rotacional (III)
Teorema de Stokes:
La curva se recorre siguiendo el criterio de la mano derecha respecto al Útil para:
Evaluación de integralesDesarrollo teórico de la asignatura
rotsS
F dS F drγ
⋅ = ⋅∫ ∫
dSsγ
Dpto. Física Aplicada III 34C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Divergencia y rotacional: resumen
Derivadas de los campos vectorialesDivergencia: campo escalar relacionado con la existencia de fuentes o sumideros.Rotacional: campo vectorial relacionado con los giros locales de las líneas de campoTeoremas fundamentales:
Teorema de la divergencia Teorema del rotacional
Dpto. Física Aplicada III 35C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Coordenadas curvilíneasHasta ahora hemos trabajado en cartesianasA veces los problemas se simplificanusando otro sistemas de coordenadas:
CilíndricasEsféricas
No son las únicas alternativas que existen, pero sí las únicas que nosotros vamos a usar.
Dpto. Física Aplicada III 36C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Coordenadas cartesianas (I)Asignan a cada punto la distancia a tres planos ortogonales (x,y,z)Líneas coordenadas: rectas paralelas a los ejes de coordenadasSuperficies coordenadas: planos paralelos a los planos coordenados
X
Y
Z
r
xy
z z = cte
y = cte
x = cte
X
Y
Z
x
y
z
•P
Dpto. Física Aplicada III 37C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Coordenadas cartesianas (II)Base vectorial:
Vector de posición:
x y zr xu yu zu= + +
x y zdr dxu dyu dzu= + +Y
X
Z
r0
i j
k
uz
uy
ux
P
Diferenciales de superficie:
xy zdS dxdyu= zx ydS dxdzu=yz xdS dzdyu=
d dxdydzτ =Diferencial de volumen:
Dpto. Física Aplicada III 38C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Coordenadas cilíndricas (I)Fija la posición de P mediante tres parámetros diferentes:
X
Y
Z
r
ρ
z
φ
ρ (coordenada radial): distancia al eje Zφ (c. acimutal): ángulo que la proyección sobre el plano XY forma con el eje Xz (c. vertical): distancia al plano XY
00 2π
z
≤ < ∞≤ <
−∞ < < ∞
ρϕ
cossen
xyz z
===
ρ ϕρ ϕ ρ
φ
x
yX
Y
Z
Dpto. Física Aplicada III 39C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Coordenadas cilíndricas (II)
z=cte
z
ϕ=cte
ϕ
ρ
ρ=cteX
Y
Z
•P
Líneas coordenadas:ρ: Semirrectas horizontalesφ: Circunferencias horizontalesz: Rectas verticales
Superficies coordenadas:ρ=cte.: Cilindros verticalesφ=cte: Semiplanos verticalesz=cte: Planos horizontales
Dpto. Física Aplicada III 40C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Coordenadas cilíndricas (III)Base vectorial
cos senx y zr u u zuρ ϕ ρ ϕ= + +Vector de posición:
zr u zuρρ= +
Y
X
Z
r0
ρ
uρ
ux uy
uz
φ uφ
z
uz
P
zdr d u d u dzuρ ϕρ ρ ϕ= + +Desplazamiento infinitesimal:
Esta base dependede la posición
Dpto. Física Aplicada III 41C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Coordenadas cilíndricas (IV)
z=cte
z
ϕ=cte
ϕ
ρ
ρ=cteX
Y
Z
•P
Diferenciales de superficie:
cte : dS d dzuρρ ρ ϕ= =
cte : zz dS d d uρ ϕ ρ= =
cte : dS dzd uϕϕ ρ= =
Diferencial de volumen:d d dzdτ ρ ρ ϕ=
En esta base a veces se usa la variable r en lugar de ρ
Dpto. Física Aplicada III 42C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Gradiente, divergencia y rotacional en cilíndricas
1grad zf f ff u u u
z∂ ∂ ∂
= + +∂ ∂ ∂ρ ϕρ ρ ϕ
( )1 1div zF F FFz
∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂ρ ϕρ
ρ ρ ρ ϕ
1 1rot ( )z zz
F F FF FF u u F uz z
∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂= − + − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ϕ ρ ρρ ϕ ϕρ
ρ ϕ ρ ρ ρ ϕ
Dpto. Física Aplicada III 43C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Coordenadas esféricas (I)
X
Y
Z
r
φ
θ r
r (coordenada radial): distancia al origenθ (c. polar): ángulo que el vector de posición forma con el eje Zφ (c. acimutal): ángulo que la proyección sobre el plano XY forma con el eje X
00 π0 2π
r≤ < ∞≤ ≤≤ <θϕ
sen cossen sencos
x ry rz r
θ ϕθ ϕθ
===
ρφ
x
yX
Y
Z
ρ
θ z
Z
r
Dpto. Física Aplicada III 44C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Coordenadas esféricas (II)Líneas coordenadas:
r: Semirrectas radiales desde el origenφ: Circunferencias horizontales (paralelos)θ: Semicírculos verticales (meridianos)
Superficies coordenadas:r=cte.: Esferas concéntricasφ=cte: Semiplanos verticalesθ=cte: Conos con vértice el origen
ϕ=cte ϕ
θ=cte
θr=cte
r
X
Y
Z
•P
Dpto. Física Aplicada III 45C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Coordenadas esféricas (III)Base vectorial
Vector de posición:
Y
X
Z
r0
ρ
ux uy
uz
urφ
uφ
z
P
uθθ
sen cos sen sen cosx y zr r u r u r uθ ϕ θ ϕ θ= + +
Esta base dependede la posición
rr ru=
senrdr dr u rd u r d uθ ϕθ θ ϕ= + +
Desplazamiento infinitesimal:
Dpto. Física Aplicada III 46C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Coordenadas esféricas (IV)
ϕ=cte ϕ
θ=cte
θr=cte
r
X
Y
Z
•P
Diferenciales de superficie:2cte : sen rr dS r d d uθ ϕ θ= =
cte : sendS r d druθθ θ ϕ= =
cte : dS rd druϕϕ θ= =
Diferencial de volumen:2 send r drd dτ θ θ ϕ=
Dpto. Física Aplicada III 47C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Gradiente, divergencia y rotacional en esféricas
1 1gradsenr
f f ff u u ur r r∂ ∂ ∂
= + +∂ ∂ ∂θ ϕθ θ ϕ
22
1 1 1div ( ) (sen )sen senr
FF r F F
r r r r∂∂ ∂
= + +∂ ∂ ∂
ϕθθ
θ θ θ ϕ(sen ) ( )1 1 1rot
sen sen
1 ( )
rr
r
F rFF FF u ur r r
rF F ur r
ϕ ϕθθ
θϕ
∂ θ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂= − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥θ ∂θ ∂ϕ θ ∂ϕ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∂ ∂⎡ ⎤−⎢ ⎥∂ ∂θ⎣ ⎦
Dpto. Física Aplicada III 48C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Operador nabla (I): definición
Permite una notación más cómoda.Se define el operador nabla:
Operador diferencial y vectorial:Se aplica a la función a su derechaObedece a las leyes del álgebra vectorial
x y zu u ux y z∂ ∂ ∂
∇ = + +∂ ∂ ∂
Dpto. Física Aplicada III 49C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Operador nabla (II)
grad
div
x y z
yx z
u u ux y z
FF FF Fx y z
ϕ ϕ ϕϕ ϕ∂ ∂ ∂= + + = ∇∂ ∂ ∂
∂∂ ∂= + + = ∇ ⋅∂ ∂ ∂
rotzyx
yx z
uuu
F Fy zxF F F
∂ ∂ ∂= = ∇×∂ ∂∂
Dpto. Física Aplicada III 50C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Operador nabla (III)
Nabla puede expresarse en otros sistemas de coordenadas.Las operaciones realizadas con nabla son independientes del sistema de coordenadas.Cualquier identidad que pueda probarse con nabla en cartesianas es válida en otro sistema de coordenadas.
Dpto. Física Aplicada III 51C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Nabla sobre un producto (I)Pueden obtenerse campos escalares como producto de campos
Dos campos escalares:Dos campos vectoriales:
¿Cómo se calcula el gradiente?
ψϕ
F G⋅
( )ϕψ ϕ ψ ψ ϕ∇ = ∇ + ∇
( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F∇ ⋅ = × ∇× + ⋅∇ + × ∇× + ⋅∇
x y zF F F Fx y z∂ ∂ ∂
⋅∇ = + +∂ ∂ ∂ ( ) ( )F G F G⋅∇ ≠ ∇ ⋅
Dpto. Física Aplicada III 52C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Nabla sobre un producto (II)También se obtienen campos vectoriales
Escalar y vectorial:Dos campos vectoriales: F G×
Fϕ
( )( )F F Fϕ ϕ ϕ∇ ⋅ = ∇⋅ + ∇ ⋅
( ) ( )F F Fϕ ϕ ϕ∇× = ∇× + ∇ ×
( ) ( ) ( )F G F G F G∇⋅ × = ∇× ⋅ − ⋅ ∇×
( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F∇× × = ∇ ⋅ − ⋅∇ − ∇ ⋅ + ⋅∇
Divergencia:
Rotacional:
Dpto. Física Aplicada III 53C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Nabla sobre un producto: resumen
( )ϕψ ϕ ψ ψ ϕ∇ = ∇ + ∇
( )( )F F Fϕ ϕ ϕ∇ ⋅ = ∇⋅ + ∇ ⋅( ) ( ) ( )F G F G F G∇⋅ × = ∇× ⋅ − ⋅ ∇×
( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F∇ ⋅ = × ∇× + ⋅∇ + × ∇× + ⋅∇
Gradiente:
Divergencia:
( ) ( )F F Fϕ ϕ ϕ∇× = ∇× + ∇ ×( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F∇× × = ∇ ⋅ − ⋅∇ − ∇ ⋅ + ⋅∇
Rotacional:
Dpto. Física Aplicada III 54C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Aplicación doble de nabla (I)Es posible aplicar nabla dos veces, hay 5 posibilidades:
El gradiente es un vector:Divergencia del gradienteRotacional del gradiente
La divergencia es un escalar:Gradiente de la divergencia
El rotacional es un vectorDivergencia del rotacionalRotacional del rotacional
( )ϕ∇ ⋅ ∇( )ϕ∇× ∇
( )F∇⋅ ∇×( )F∇× ∇×
( )F∇ ∇⋅
Dpto. Física Aplicada III 55C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Aplicación doble de nabla (II)2 2 2
22 2 2( )
x y zϕ ϕ ϕϕ ϕ∂ ∂ ∂
∇ ⋅ ∇ = + + = ∇∂ ∂ ∂
( ) 0ϕ∇× ∇ =
Laplaciano2( )∇
Muy importante
( ) 0F∇⋅ ∇× =
2( ) ( )F F F∇× ∇× = ∇ ∇ ⋅ −∇
( )F∇ ∇⋅ Aparece poco2¡ ( ) ( ) !F F F∇ ∇⋅ ≠ ∇ ⋅∇ = ∇
Muy importante
Ya definidas
Dpto. Física Aplicada III 56C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Función delta de Dirac (I)
Supongamos el campo vectorial:Es radial y saliente, pero:
Ahora bien, integrando en una esfera (R):
2 3ru rv
r r= =
22 2
1 1 0v rr r r
∂ ⎛ ⎞∇ ⋅ = =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
2 220 0
sen 4rr
S
uv d v dS u R d dR
τ
π π
τ
τ θ θ ϕ π∇⋅ = ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫Teorema de la divergencia
Dpto. Física Aplicada III 57C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Función delta de Dirac (II)El problema está en
En resumen, la función cumple:
Hemos “encontrado” una función peculiar: la delta de Dirac
0r =2
2 20
1 1¡¡ !!r
v rr r r =
∂ ⎛ ⎞∇ ⋅ = = ∞⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
2ru
r∇⋅
2 2
0 0 con 4
0r rru u d
rr rτ
τ π≠⎧
∇ ⋅ = ∇ ⋅ =⎨∞ =⎩∫
Dpto. Física Aplicada III 58C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Función delta de Dirac (III)Función delta de Dirac monodimensional:
Distribución: límite de una sucesión de funciones
-
0 0( ) con ( ) 1
0x
x x dxx
δ δ∞
∞
≠⎧= =⎨∞ =⎩
∫
2
2
0 0
1( ) lim ( ) lim eπ
x
x x−ε
εε→ ε→δ = δ =
ε
Dpto. Física Aplicada III 59C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Función delta de Dirac (IV)
0
1
2
3
4
5
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2x
ε=1ε=0.5ε=0.25
ε=0.125
2
2εε
1( ) eε π
x
xδ−
=
δε(x
)
Dpto. Física Aplicada III 60C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Función delta de Dirac (IV)Producto por una función:
Es suficiente que el intervalo de integración incluya el máximo:
El máximo de la delta puede desplazarse:
( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0)x f x x f x f x fδ δ δ∞
−∞
= ⇒ =∫
( ) ( ) (0)x f x fε
ε
δ−
=∫
∞
( ) ( ) ( )x a f x f aδ−∞
− =∫
Dpto. Física Aplicada III 61C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Función delta de Dirac (V)
z
x
y
τ
Delta de Dirac tridimensional:
En general:
3( ) ( ) ( ) ( )r x y zδ δ δ δ=
( )( ) ( )
0a a
r r a daτ
ϕ τϕ δ τ
τ∈⎧
− = ⎨ ∉⎩∫
3( ) ( ) ( ) ( )x y zr a x a y a z aδ δ δ δ− = − − −
aa
Dpto. Física Aplicada III 62C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Función delta de Dirac (VI)Volviendo a la función
Podemos escribir:
2ru
r∇⋅
2 2
0 0 con 4
0r rru u d
rr rτ
τ π≠⎧
∇ ⋅ = ∇ ⋅ =⎨∞ =⎩∫
2 4 ( )ru rr
πδ∇ ⋅ =
003
0
4 ( )r r r rr r
πδ⎛ ⎞−
∇ ⋅ = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠0
30 0
1 r rr r r r
⎛ ⎞ −∇ ⋅ = −⎜ ⎟− −⎝ ⎠
20
0
1 4 ( )r rr r
πδ⎛ ⎞
∇ = − −⎜ ⎟−⎝ ⎠
Dpto. Física Aplicada III 63C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Campos irrotacionalesCampos vectoriales que cumplen:
Propiedades:
Deriva de un potencial:
0F∇× =
0F drγ
⋅ =∫
1 2, ,
B B
A A
F dr F drγ γ
⋅ = ⋅∫ ∫
F = −∇ϕA
B
1γ2γ
( ) 0S
F dr F dSγγ
⋅ = ∇× ⋅ =∫ ∫
Dpto. Física Aplicada III 64C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Campos solenoidalesCampos vectoriales que cumplen:Propiedades:
Flujo cte en tubos de campo:
Deriva de un potencial vectorial:
0F∇⋅ =
0S
F dSτ
⋅ =∫
1 2
1 2
si s sS S
F dS F dS⋅ = ⋅ γ = γ∫ ∫
F A= ∇×
0S
F dS F dτ τ
⋅ = ∇⋅ τ =∫ ∫
S1
S2
SL
2dS
1dS1 2s sγ = γ
Dpto. Física Aplicada III 65C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Tipos de campos vectoriales
0
0
F
F
∇⋅ ≠
∇× ≠
Campo solenoidal
Solenoidal e irrotacional
Campo irrotacional
0
0
F
F
∇⋅ ≠
∇× =
0
0
F
F
∇⋅ =
∇× ≠
0
0
F
F
∇⋅ =
∇× =
Dpto. Física Aplicada III 66C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Campos armónicos
Campos escalares que cumplen:
Ejemplo: Sea un campo vectorial irrotacional y solenoidal:
2 0∇ ϕ = Ecuación de Laplace
0F∇× = F⇒ = −∇ϕ
0F∇⋅ = ( ) 0⇒ ∇⋅ −∇ϕ = 2 0⇒ ∇ ϕ =
Caso práctico: campo electrostático en una región sin fuentes
Dpto. Física Aplicada III 67C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Teorema de Helmholtz (I)
Dado podemos calcular: y ¿Podemos calcular dados y ?Supongamos:
Fuentes escalaresFuentes vectoriales
Si la información es insuficiente: muchas solucionesSi la información es excesiva: puede no existir solución
F∇⋅ F∇×F
F F∇⋅ F∇×
F∇⋅ = ρF c∇× = ( 0)c∇⋅ =
Dpto. Física Aplicada III 68C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial
Teorema de Helmholtz: enunciado
El sistema con definido en todo el espacio con:
Tiene solución única dada por:con:
;F∇⋅ = ρ F c∇× = 0c∇⋅ =
2 2lim ( ) 0 ; lim ( ) 0 ; lim ( ) 0r r r
r r r c r F r→∞ →∞ →∞
ρ = = =
F A= −∇ϕ+∇×
1 1
1
1 ( )( ) y4 esp
r drr r
ρ τϕ =
π −∫ 1 1
1
1 ( )( )4 esp
c r dA rr r
τ=
π −∫potencial escalar potencial vector
punto campopunto fuente