Date post: | 22-Jan-2016 |
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Campos magnéticos
Chinos: siglo XIII a.C.Arabes, indios,…Griegos: 800 a.C., magnetita Fe3O4, del pastor Magnus
Pierre de Maricourt 1269
N
S
N
S
“Tetraóxido de trifierro”
La tierra tiene un campo magnético
N
S
Norte geográfico
Sur geográfico
N
S
William Gilbert 1600
Tierra
1750
r
2
1r
F
F
No existen monopolos magnéticos.
Magnetismo y electricidad
H. C. Oersted: 1819 Gian Dominico Romognosi 1802Gazetta de Trentino.
+
Ibrújula
Ampère (1775-1836) : Fuerza entre conductores.
1820 Faraday. Inducción.
J. Henry(1797-1878)
Maxwell: un campo eléctrico variable origina un campo magnético.
Un campo magnético variable produce unacorriente eléctrica.
mAN
T
11 Tesla
BqFB
v
v
B
BF
La fuerza magnética no trabaja cuandose desplaza una partícula.
El campo magnético se define en términos de la fuerza que actúa sobre una partícula cargada en movimiento.
EXPERIMENTOS
BLIBLAnqBnqLAF
vv
BlIdFd
Lv
Fuerza sobre un circuito cerrado en un campo magnético constante:
0 BldIBlIdF
B
I
L
BLIF
Fuerza sobre un alambre curvo en un campo magnético constante.
B
Es el mismo que el sobre el circuitorojo.
Momento de torsión (torque) sobre una espira de corriente.
I
B
A
a
b
x
y
z
I
B
A
a
b
x
y
z
1F
2F
3F
4F
iIbBjBjbkbIF ˆsinˆ)ˆcosˆsin(3
iIbBjBjbkbIF ˆsinˆ)ˆcosˆsin(4
A
kIaBjBiIaF ˆˆˆ1
kIaBjBiIaF ˆˆˆ2
BI
A21
AIB
iIAB
kIaBjkb
Fb ˆcos
2)ˆ(ˆcosˆsin
22 11
1
iIAB
kIaBjkb
Fb ˆcos
2)ˆ(ˆcosˆsin
22 22
2
BIiIAB
iIAB
A2
1ˆsin2
ˆ)2
cos(21
BIiIAB
iIAB
A2
1ˆsin2
ˆ)2
cos(22
luego:
Partícula de masa m y carga q en un campo magnético iBB ˆ
z
y
y0
Lanzamos la carga desde este puntocon velocidad inicial vz
Bv
qF
jzqBkyqBiBkzjyixqF ˆˆˆˆˆˆ
jzqBkyqBiBkzjyixqF ˆˆˆˆˆˆ
Luego las ecuaciones de movimiento son:
yqBzm
zqBym
xm
0
Definiendo la frecuencia de ciclotrón mqB
tenemos:
yz
zy
x
0
La primera ecuación dice
txtx 00 x)( es decir si lanzamos la carga en el plano z-y , con velocidad sin componente xse moverá sobre tal plano. No hay aceleración en la dirección x.
yz
zy
Consideremos las otras dos:
Integrando, una vez, la primera :
zyzy )0(
ya que la velocidad inicial no tiene componente y.
Reemplazando esto en la segunda obtenemos:
02
2
zz
zz
o bien
Cuya solución general es: tAtAtz sincos)( 21
2z
21
1
v)0(
cossin)(
0)0(
Az
tAtAtz
Az
luego:
ttz
sinv
)( z
Para la componente y tenemos:
303z
z
cosycosv
)(
senv
)()(
AtAtty
ttzty
0)0( 3300 AAyyy
Condición inicial permite calcular 3A
luego tenemos la solución para las tres componentes:
z00
0
vycon t sen )(
cos)(
0)(
ytz
tyty
tx
z
y
y0
Lanzamos la carga desde este puntocon velocidad inicial kvz
Luego hacemos desaparecer elcampo magnético.
Si la velocidad inicial de la carga hubiera tenido una componente x, el movimiento sería:
x
Ley de Biot-Savart
20 ˆ
4 rrsId
Bd
sd
rrsd ˆr
Isd
r
Bd
AmT 7
0 104
Permeabilidad del vacío
2
0 ˆ4 r
rsdIB
Ejemplo: Conductor recto delgado.
O x
y
sd
r a
1 2
i
j
k
ˆˆ4 2
0 dBrrsId
Bd
sd
r
r
Módulo:
sen4 2
0
rdxI
dB
coscos
222
dr
r
rdr
x
rdrdx
xdxrdr
axr
da
rdrdr
r
ad
r
acoscossen
2
2
dar
dx 12
da
I
r
dxIdB sen
4sen
40
20
210
0
coscos4
sen4
2
1
a
I
da
IB
Si alambre es muy largo:
2
1 0
a
I
a
IB
2)1(1
400
Segundo Control; Primera parte. Problema 4
Tres largos alambres están colocados perpendicularmente entre ellosde manera que cada uno corresponde a un eje de coordenada cartesiano.
x
y
z
xI
yIzI
zyx III ,,Las corrientes sobre los respectivos ejes son .
Encuentre la fuerza sobre una partícula de carga q, que se encuentra enel punto yx ˆˆ con velocidad yv0 .Encuentre el flujo magnético a través de una espira rectangular cuyos vérticesson: yxaybxaybxyx ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ 0, ba
Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme
BqF
v
mqBFrecuencia de ciclotrón
B
+
~
+
-+++
qE
mdtt
m
qEzqEzm d
2
22
m
qEd
qE
md
m
qE 22vd
q
mEd
Bm
qEd
qB
mmrq d
212
qB
v
r
mvvB d
2
qB
mrTTr drrd dd
d
d vv
Con el teorema trabajo-energía se puede demostrar que los círculosse van abriendo con un factor n
om
qEdmmqEd v3v
2
2v
2 12
1
En la primera atravesada la velocidad es m
qEd2v0
En la siguiente:
om
qEdmmqEd v5v
23
2v
2 22
2
en la siguiente:
on n
m
qEdnmmqEd v12v
212
2v
22
n
oo v1212
121
v12 nq
Emdn
Bnr
cqBm
n
Selector de velocidades
x x x x x x
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
x x x x x x
x x x x x x
BqEqF
vFuerza de Lorentz
BEv
Estas cargas siguen sin desviarse y tienen una velocidad igual a :
kEE ˆ
iBB ˆ i
j
k
Se seleccionan las partículas sobre las cuales 0F
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
E
rBBrB
q
m
qB
mr
m
qBrr
0
v
bien o v
luego v
Espectrómetro de masas
0B
E
B
r
Ley de Ampère:
Irr
IdsBsdB 0
0 22
I
alambre infinito
Vale para cualquier trayectoria y corrientes.
...210
IIsdB
1I
2I
B
rR0
R
Aplicación ley de Ampère
0I Corriente homogénea
ˆ2
00
rI
B Rr si
ˆ2 2
00 rRI
B
si Rr
Solenoide:
xxxxxx
xxxxxx
NIBlsdB 0
donde n es el número de vueltaspor unidad de largo.
luego:
nIB 0l
Flujo magnético:
adBB
Ley de Gauss:
0adBB
N
No existen monopolos.
El flujo magnético a través decualquier superficie cerrada essiempre igual a cero.
I
c a
b
Flujo magnético a través de una espira rectangular
caIb
B 1ln20
dtd BVeremos más adelante: Ley de inducción de Faraday:
29-11
Un protón se mueve con una velocidad sm
kj4-i2v
en una región donde el campo magnético es:
TkjiB ˆ3ˆ2ˆ
¿Cuál es la magnitud de la fuerza magnética que esta carga experimenta en ese instante?
Solución:
Nijkqjkik
kjijkijiq
kjiqF
)ˆ10ˆ7ˆ8()ˆˆ2ˆˆ
ˆˆ12ˆˆ4ˆˆ6ˆˆ4(
ˆ3ˆ2ˆkj4-i2qBv
NsTm
CF 1819 1034.2)213()106.1(
Se recomienda la siguiente notación:
321
142
ˆˆˆ
kji
qF
29-20
Una barra de masa m y radio R descansa sobre dos rieles paralelos, separados por una distancia d, y tienen un largo L. La barra conduce una corriente I y rueda sobre los rieles sin deslizarse. Si la barra parte del reposo¿cuál es su velocidad cuando deja los rieles si hay un campo magnéticouniforme B, perpendicular a la barra y al plano de los rieles?
dI B
L
xy
z
Solución:
La fuerza sobre la barra es:
jIdBkBiIdBdIF ˆ)ˆ(ˆ
Si la barra no rueda tendremos:
2
21
tmIdB
ytmIdB
yIdBym
Cuando deja los rieles:
IdBmL
ttmIdB
L LL
221 2
mdLIB
yL2 velocidad con que deja los rieles
en caso que no ruede.
Si rueda debemos agregar la existencia de un momento de inercia.
La fuerza que actúa sobre la barra durante la distancia L le entrega unaenergía igual a:
IdBLLFE la cual se transforma en energía cinética de rotación y de traslación, es decir:
22
222
22
v43
Rv
21
21
v21
21
v21
mmRm
ImIdBLE
3m4IdBL
v 132
vv
rodarsin
rodando
29-27
Un alambre de 0.4 m de largo conduce una corriente de 20 A. Se dobla en una espira y se coloca con su normal perpendicular a un campo magnético con una intensidad de 0.52 T. ¿Cuál es el momento de torsión sobre la espira si se doblaen la forma de a) un triángulo equilátero, b) un cuadrado, c) un círculo?
Solución:
B
a)B
AI
23222
107.710640
340
340
21
mA
NmTmA 323 101.80)52,0()107.7()20(
b)
B
NmTmA 104.0)52,0()10()20( 22
c)
B
NmTmA 132.0)52,0()1027.1()20( 22 es el que tiene el momento de torsión mayor entre los tres.
29-64
Una barra metálica con una masa por unidad de longitud igual a conduce una corriente . La barra cuelga cuelga de dos alambres en un campo magnético vertical uniforme. Si los alambres forman un ángulocon la vertical cuando están en equilibrio, determine la intensidad del campo magnético.
I
Solución:
En el equilibrio:
0cos
0sen
mgT
ILBT
luego:
jILmg
B ˆtan
Ig
29-67
Considere un electrón que orbita alrededor de un protón y mantiene una órbita circular fija de radio R = 5.29 x 10-11 debido a la fuerza de Coulomb.Tratando a la carga orbital como una espira de corriente, calcule el momento de torsión resultante cuando el sistema está en un campo magnético de 0.4 Tdirigido perpendicularmente al momento magnético del electrón.
Solución:
Tq
I v
2 RT
Rm
Rqke
2
2
2 v
luego:
mRk
Rqq
I e
2R2v 2
mRk
Rqq
I e
2R2v 2
ˆ)107.3(ˆ2
ˆ2
242
22
mNRBmRkq
BRmRk
Rq
B
e
e
29-72
yvv
h
rmv
vB2
q
ym
qBhˆvf
velocidad crítica para que lleguejusto al borde de arriba:
m
qBhcv
Si cvv
r
h1-sen
r
yvcosxvsenvf
x
y
qB
vmr
r
30-56
2q
Tq
I
23
22
20
2 Rx
IRB
2R
x
0
R
qBR
55.2
0
2
Anillo cargado uniformemente con carga total positiva q.
2
ˆ
4 r
rsdIBd o
sd
rBd
24 r
dsIdB o
y
24 r
dsIdB o
Componentes radiales se anulan. Luego:
xRx
RIxRd
r
RIx
r
ds
r
RIB ooo ˆ
2
4ˆ
4ˆ
4 2/322
22
032
x
Rx
IRB ˆ
2 23
22
20
23
22
20
2 rx
dIrdB
En el anillo circula una corriente dI
2
dQdQ
T
dQdI
rdrdxdVdQ 2
23
22
30
2 rx
drdxrdB
32
2
2/322
3
0
22
R
rx
drdxrB o
xR
r
oR
Rx
)rtomar v( 22 x
30.73 x
dx
dr
x
R
Segundo Control; Primera parte. Problema 3
R
Una esfera no conductora cargada uniformemente con carga Q, rota en torno a uneje que pasa por su centro, con velocidad angular
Encuentre el campo magnético en el centro de la esfera.