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8/8/2019 Cap 2 y 3 CAMPO ELCTRICO Y LEY DE GAUSS.pdf
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Cuaderno de Trabajo: Fsica II
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 19
22)) CCAAMMPPOO EELLCCTTRRIICCOOYY LLEEYY DDEE GGAAUUSSSS
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Cuaderno de Trabajo: Fsica II
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 20
22..11)) DDeeffiinniicciinn ddee ccaammppoo eellccttrriiccoo,,Er
El vector Er
describe las propiedades elctricas del espacio {medio}.
Donde:
CCaammppoo eellccttrriiccoo:: DDiissccuussiinn
Las interacciones del campo no son instantneasLa carga q modifica el medio que la rodea (campo)
0 0
0
: ,
0
q Carga de prueba q
q
+
Er
0
eEq
=
rr
eFr
q
0q
P
Er
P
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Cuaderno de Trabajo: Fsica II
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 21
EEccuuaacciioonneess ddee EE
ii)) qq
( )
( )
0
3
3
3
( )
0
,
:
( )
0r
q
q
kqq r r
r r kqrE s
kq r r
E rr
i rq r
En gener
r
al
= =
=
r
r r
r r rrr r
r rr r
r r
r
iiii)) DDiissttrriibbuucciioonneess DDiissccrreettaass,, DDDD
( ) ( )( )
31 1
i
i n i ni iqDD
i i i
kq r r E r E r
r r
= =
= =
=
r rr rr r
r r
iiiiii)) DDiissttrriibbuucciioonneess ccoonnttiinnuuaass::
jj)) VVoolluummttrriiccaa
( )
( )3
,r
vk dv r r
Er r
: representa el volumen
=
r
r rr
r r
( )
q
rE rr
rr
rr
q P
( )iq
rE r
r
rr
'ir r=r r
iq P
iq
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Cuaderno de Trabajo: Fsica II
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 22
jjjj)) SSuuppeerrffiicciiaall
( )
( )3
,r
ak da r r
E
r r
o s : representa el rea
=
r
r rr
r r
jjjjjj)) LLiinneeaall
( )
( )3
,r
l :k
rd
el
pr
resenta la longir
E dr
ur
t
=
r
r rr
r r
Las distribuciones de carga crean el campo
OObbsseerrvvaacciioonneess
j) Nu EC
r
jj)0
eFEq
=
rr
: definicin operacional
jjj)
0 0
0
, : " "
:
.
e e F q E F Fuerza sentida por q .
E creado por cierta distribucin de
cargas en la posicin de q
=r r r
r
jv) El Er
es usado intensivamente en las ecuaciones.
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Cuaderno de Trabajo: Fsica II
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 23
22..22)) LLiinneeaass ddee ffuueerrzzaa,, LLFF
( )
( ) ( )3r
k r dv r r E
r r
, E se obtiene por definicion
=
rr r rr
r r
r
LEY DE GAUSS: dealta simetra .
til slo para de alta simetra: Er
fcil de calcular. LF / LF=simetra .
DDeeffiinniicciinn ddee lliinneeaass ddee ffuueerrzzaa
SSoonn llaass ttrraayyeeccttoorriiaass ddeessccrriittaass ppoorr llaass 0q ddeebbiiddoo aa llaa ( )eF qE r r
ggeenneerraaddaa ppoorr
cciieerrttaa ..
La forma de las LF esta ligada a cmo se distribuye la q
rr
rr
P( )r
r
LF
( )'rr
0q
eFr
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Cuaderno de Trabajo: Fsica II
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 24
LLFF ppaarraa ddiivveerrssaass ddiissttrriibbuucciioonneess ddee ccaarrggaa
ii)) q
ii) 1 2: q q
|q|
+-
d
Caso especial:
1 2
1
2
" "
q q q
q
q
d pequea
+
0q
q
eF
r
q
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Cuaderno de Trabajo: Fsica II
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 25
iiiiii))
iivv))
q -q
d
O
O
Dipolo elctrico:MMooddeelloo mmss ssiimmppllee ppaarraaddeessccrriibbiirr ssiisstteemmaass ccaarrggaaddooss
((ccuuaannddoo dd ssee aapprrooxx.. aa 00))
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Cuaderno de Trabajo: Fsica II
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vv)) ( )0 r
CCaarraacctteerrssttiiccaass
jj))E tg LFr
jjjj))
jjjjjj)) NNoo ssee ccrruuzzaann
jjvv)) DDiissttrriibbuucciinn ddee LLFF::
kk)) DDeennssiiddaadd LLFF:: RReellaacciioonnaaddaa aa llaa iinntteennssiiddaadd..
kkkk)) UUnniiffoorrmmiiddaadd LLFF:: RReellaacciioonnaaddaa aa ccaammppooss ccoonnssttaanntteess..
?? PPrreeppaarree mmaaqquueettaass ddee LLFFss
+
Q dv= Q
0q Er
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Cuaderno de Trabajo: Fsica II
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 27
22..33)) LLeeyy ddee GGaauussss
EEssttaabblleeccee llaaproporcionalidad eennttrree eell fflluujjoo eellccttrriiccoo aa ttrraavvss ddee cciieerrttaa ssuuppeerrffiicciieecceerrrraaddaa,, llllaammaaddaa ggaauussiiaannaa yy llaa ccaarrggaa eellccttrriiccaa eenncceerrrraaddaa ppoorr ddiicchhaa ssuuppeerrffiicciiee..
DDeeffiinniicciinn ddeell fflluujjoo eellccttrriiccoo,, Er
Es la cantidad fsica escalar que informa acerca de cuanto Er
atraviesa lasuperficie.
. ,.
:
ES E
S S
ds da vector de area elementa
E ds E da
l
=
rr rr
r
r
r
da da
da da
ad
r
r
r
dar
da
Er
S A=
Johann CarlFriedrich Gauss,El prncipe de lasmatemticas.
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Cuaderno de Trabajo: Fsica II
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 28
LLeeyy ddee GGaauussss
,. NEE SG
SG
E da q = rr r
0
. NE
SG
qE da
r r
PPaarraa ssiimmpplliiffiiccaarr llooss ccllccuullooss vveerr qquuee::
cosE da E da r rr
{ }
1
2
0
E da E da
E cte E da E da E saledela
r rr r
r r r rr
*SG, Superficie gaussiana {superficie. cerrada}
? Investigue por lo menos una biografa del Prncipe de las Matemticas.
? Que otros flujos se usan en la Fsica.
? Ser posible matematizar las LF
SG
NESG
q dV
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Cuaderno de Trabajo: Fsica II
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 29
EEjjeemmpplloo
1 Por la definicin deEr
( )
( )3r
k dl r r E
r r
=
r
r rr
r r
( ) ( ) 2 2
r rj r r rj zk r r r z
r zk
= +
=
r r r r r
r
( )( )
{ }
{ }
{ }
3 22 2
3 22 2
3 22 2
0,
?
y z
y
z po
k dz rj zk E r E j E k
r z
dz
r
E k r
simetria
r z
zdzE k
r z
= = +
+
= =+
= +
r r
Z
YEr
rr
rr
dl dz
dq dz
=
=
X
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Cuaderno de Trabajo: Fsica II
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 30
22 aallttaa ssiimmeettrraa GGaauussss
{ }
0
0
0
0
0 0 ,
2
2
NE
SG SCL STS STI
NE
SCL
SCL
qE da
da || E da E
q SG : E cteEda
HE d
E
a E r
r
H
+ + =
= + + =
= = =
=
=
r r
678 678r rr r
r
r r
r
r
Er
SG=SCL+STS+STI
Er
H
O
dar
rr r
H
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Cuaderno de Trabajo: Fsica II
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 31
S1P22)a) Localice en la figura los puntos donde el campo elctrico es cero.b) Trace un dibujo cualitativo que muestre las lneas de fuerza del campo
resultante.c) Haga un grfico cualitativo de E vs. x, dnde E se evale en puntos del ejeX.
Solucin:
a) Para el punto S: kE E+ 2q kd+
{ }2
0
2 qqd d
+
25 q
d 2
1
2d
+
2 212 54
d d d
+ +
2
1,2 1
12 4 4 3
21 2 10
3 2 0 0,92 2 3 6d d d d
+
Igual en Q:
kE+
2 q( )2
1
1
2
kE
d
+
5 q( )2 2
1 1 12
1
52 5 5
4d d d
d + +
2
1 1 11,2
5 25 45
3 5 04
d d d
+ +
53
4
5 100,3; 1,4
2 3 6
Q q- q+ E- P E+ Sx
d1 0 d0 d x
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Cuaderno de Trabajo: Fsica II
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 32
b)
c) Para el punto S:
{ } { }2 2 2 2
2 5 2 5
1 1
2 2
T T
k q k qE i i kq i E i
x xx x
+
+
r
2 2
2 5 1,
21
2
TE kq xx
x
>
Lhay que especificar para cada regin
- + x
E-y ET
E+
0,90 0,5 x
E+ E+
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Cuaderno de Trabajo: Fsica II
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 33
S1P7) En la distribucin mostrada 0 esconstante y q0 es una carga puntual.Calcule la fuerza sobre q0 si d >> R0.
Solucin:
Por superposicin:
( )0 0 0' 2
0
' ;/ 2
q Qq Q q
kQ kQE E E i
d Rd
+ +
r r r
3
3 00 0 0
4 4, '
3 3 2 8
R QQ R Q
R0 0 centro de la circunferenciaq0
R0/2
d
0 0 qr
R0 /2 dR0
0
Q Q
0 0+ r
-0
0
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0 0
3
0 0 2 2
0
4 1 1 3
8
2
q qE k R i
d RE
d
i
r
00 1
RSi d R
d>>
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Cuaderno de Trabajo: Fsica II
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 35
S1P19) Un anillo fino aislante de radio R tiene una carga con densidad lineal
()= 0 cos, donde 0 es una constante positiva y el nguloazimutal, Cul es el modulo del vector campo elctrico?a) En el centro del anillo
b) En su eje a una distancia d de su centro. Analice la expresinobtenida para d >> R.
a) ( )( )
3
( ) '0
'
k dl r r E
r r
r rr
r r
0, ' cosr r R i Rsen j +rr r
( ) ' cosr r R i Rsen j r
3
1 3r r R r r
; dl Rd
( ){ {
220
0
1 0 cos 22
kE d i sen d j
R
+
r
( )1
1 cos22
+
( ) ( )0 00 0k
E i ER
k
r r
b)
, ' cosr zk r R i Rsen j +
r r
( ) ' cosr r R i Rsen j zk +r r
{ }3/ 23 2 2' ; Rr r R z dq d +
r r
ZP
z d
0 y R
x dq
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( ){ }
{ { {
22
20
3/ 2 02 2
1 cos 2 cos2
k R zE z d i sen d j d k
RR z
+
+
r
( ){ }
( ){ }
20
20
3/ 22 2
3/ 22 2
,k R
E z ik R
R zE z
R z
+
+
rr
( )2
0
3limz R
k RE z
z
>>
r
S1P47) Determine el campo elctrico de un disco de radio R con densidadsuperficial de carga uniforme, sobre puntos en el eje axial del disco.
Solucin:
A)Usando coordenadas polares ( coordenadas cilndricas en el plano)
y
da=(rd)drdr
d rx
( )( )
3
'
'
kdq r r E r k I
r r
r rr rr
r r
( )dq da rd dr = =
( )0,0,r zr
z
r
r
r y'r
r
x
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Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 37
( )' cos , ,0r r rsen r
( )( )
( )3/ 2
2 2
cos , ,
s
k rd dr r rsen z I
r z
+
r
( )
( )
2
3/ 20 0 2 2
cos , ,R r rsen z rd dr
r z
+
2
0cos d
= 0
2
0sen d
= 0 (por evaluarse en sus periodos)
( )
2
3/ 20 0 2 2
R rzdrd
I kr z
+
r
{ } ( )
2
3/ 2
0 0 2 2
R zrdr
d k
r z
+
( )( )
3/ 20 2 2
2R rdr
kr z
+
( ) ( ) 2 2 2 z zE z k k z R z
+
r
? Encuentre este resultado usando la definicin con un elemento de reacartesiano. Analice la expresin integral.
? Qu ocurre si R
R
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
k kz
E z k k z k k
r
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( ) ( ) ( )0 0
12 2
4 2E z k
r
: El E de un plano!
(verifquelo usando LG)
B) Usando anillos de =dr
b) , ' cosr zk r r i rsen j +r r
( ) ' cosr r r i rsen j zk +r r
{ }3/ 23 2 2' ;r r r z dq rd +
r r
( ){ }
{
2
3/ 2 02 2
cosk rdr
dE z r d i rsen d j zd k r z
+ +
r
14243
( ){ }
( ){ }
3/ 2 3/ 22 2 2 2
0
(2 ) (2 ) R
k zrdr k zrdr dE z k E z k
r z r z
+ +
r r
( ) ( )2 2
2z z
E z k k z R z
+
r
zrr
r y
'rr
x