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Mecánica Estructural Escuela de Posgrado PUCP
CAPITULO 5: Torsión de Barras Prismáticas
Profesor: José Acero Martínez
230
5.2. Método del Semi-inverso de Saint Venant para secciones no circulares
Sea un elemento de sección transversal constante, sometido a torsión. Una distribución de
esfuerzos aplicada en sus extremos produce un momento torsor T.
En general, diversas distribuciones de esfuerzos en los extremos pueden producir un
momento torsor T; de acuerdo al Principio de Saint Venant, si el elemento es
suficientemente largo, la distribución de esfuerzos en la mayor parte del mismo dependerá
del momento torsor T, y no de la distribución de esfuerzos en los extremos.
Se analizará los cambios geométricos en el elemento deformado; en base a los resultados de
este análisis se asumirá expresiones aproximadas de las componentes de los
desplazamientos, debido a la acción del momento torsor T.
Geometría de la Deformación
Como en el caso de las secciones circulares, se asume que el elemento tiene un eje de
torsión, y que cada sección transversal gira alrededor de este eje aproximadamente como un
cuerpo rígido (Figura 5.6). Sea z este eje.
Figura 5.6. Deformación de una sección no circular sometida a un momento torsor T
Antes de la deformación OA y OB coinciden con los ejes “x” e “y” respectivamente.
Después de la deformación, mediante desplazamientos de cuerpo rígido es posible hacer
que O* (nueva posición de O) coincida con O y alinear el eje de rotación con el eje z.
Asimismo se puede rotar el cuerpo para que la proyección de O* A* sobre el plano xy
coincida con el eje x.
En general O*A* no está sobre el plano xy, debido a que hay desplazamientos (alabeo de la
sección transversal) en el sentido del eje z. Sin embargo, este alabeo es pequeño para
pequeñas deformaciones, y por esta razón la recta OA y la curva O*A* son casi
coincidentes, y así se muestran en el gráfico.
Los ensayos realizados permiten afirmar que el alabeo (o distorsión) de cada sección
transversal es esencialmente el mismo y que las dimensiones de cada sección no varían de
manera significativa. En otras palabras la deformación en el plano de la sección transversal
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es despreciable y por lo tanto la proyección transversal es despreciable y por lo tanto la
proyección de O*B* sobre el plano xy coincide aproximadamente con el eje y. (Por lo tanto
la deformación xy es muy pequeña, y puede considerarse igual a 0).
Sea un punto ),,( zyxP , que pasa a la posición P* después de la deformación. En general P
sufre un desplazamiento "w" paralelo al eje z, debido al alabeo de la sección, y
desplazamientos "u" y "v", paralelos a los ejes x e y respectivamente. Los desplazamientos
"u" y "v" se deben principalmente a que la sección transversal a la que pertenecen P gira un
ángulo con respecto a la sección transversal en el origen.
En base a estas observaciones Saint Venant supuso que z· , siendo el ángulo de
torsión por unidad de longitud. Así las expresiones de las componentes de los
desplazamientos son:
yxwzxvzyu ,· (5.7)
Donde es la función de distorsión. Se demostrará que la función ),( yx , se puede
determinar de modo que se satisfagan las ecuaciones de la elasticidad.
Como se ha asumido componentes de los desplazamientos (u, v, w), las ecuaciones de
compatibilidad de pequeños desplazamientos, se satisfacen automáticamente.
Al reemplazar (5,7) en las ecuaciones de desplazamientos pequeños, se obtendrá el estado
de deformaciones en un punto del elemento:
0 xyzzyyxx
y
xxzxz
2 (5.8a)
x
yyzyz
2 (5.8b)
Con la finalidad de eliminar la función de distorsión, se deriva la ecuación (5.8a) respecto a
“y”; la ecuación (5.8b) respecto a “x”, y se resta los resultados, para obtener la ecuación
5.9:
11
22
yxyxxy
yzxz
2
xy
yzxz (5.9)
Si el problema de torsión se formula en términos de las deformaciones por corte de
ingeniería ),( yzxz , la ecuación (5.9) es la condición geométrica (de compatibilidad) a ser
satisfecha.
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Esfuerzos en un punto y ecuaciones de equilibrio
Si se reemplaza los valores de las componentes de la deformación unitaria (5.8) en la Ley
de Hooke, se obtendrá:
000 yzxzxyzzyyxx
Si se desprecia las fuerzas de masa (Bx, By y Bz), al aplicar las ecuaciones diferenciales de
equilibrio en un cuerpo deformable (ecuaciones 2.59, ítem 2.6) se obtendrá:
0
z
xz (5.10a)
0
z
yz (5.10b)
0
yx
yzxz
(5.10c)
Por lo tanto xz y yz son independientes de z; de otro lado la ecuación (5.10c) expresa
la condición necesaria y suficiente para que exista una función de esfuerzos ),( yx
(denominada función de esfuerzos de Prandtl), tal que:
yxz
(5.11a)
xyz
(5.11b)
El problema de torsión se ha convertido así en la determinación de la función de esfuerzos
),( yx
Condiciones de borde
Como no hay fuerzas aplicadas en las caras laterales de un elemento sometido a torsión, el
esfuerzo cortante , en los bordes de la sección transversal, debe tener dirección
perpendicular a la normal al borde (es decir debe ser tangente al borde).
Las componentes del esfuerzo cortante xz y yz se pueden poner en función de :
cos yzxz sen
Siendo: ds
dy
ds
dxsen cos
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233
Como la componente de en la dirección de la normal N al borde es CERO, la suma de
las proyecciones de xz y yz en la dirección de la normal deber ser CERO.
Figura 5.7. Sección transversal de un elemento sometido a torsión
0cos senyzxz
La ecuación anterior, es lo mismo que:
0ds
dx
ds
dyyzxz (5.12)
Reemplazando (5.11) en (5.12):
00
ds
d
ds
dx
xds
dy
y
Esto permite afirmar que la función es constante en la frontera S. Como solamente
interesa las derivadas parciales de , se puede definir arbitrariamente esta constante como
CERO:
0 , en la frontera de la superficie S
A partir del desarrollo anterior es posible demostrar que el esfuerzo cortante:
22
yzxz
En cualquier punto de la sección transversal es tangente a la curva K (constante) en
ese punto.
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Esfuerzo en la sección transversal y equilibrio
Los esfuerzos xz y yz deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio en la sección
transversal:
dxdy
ydxdyFx xz0
dxdy
xdxdyFy yz0
dxdyy
yx
xdxdyyxTM xzyzz
Los signos en la expresión anterior se justifican si se toma en cuenta que, para x > 0 e y > 0,
yz produce un momento en sentido antihorario, y xz en sentido horario.
Para efectuar las integrales dobles, se tomará franjas de espesor infinitesimal. Sea por
ejemplo una franja horizontal (figura 5.8), de espesor “dy”
Figura 5.8. Franja Horizontal
Para la 0Fy , se tiene la franja de la figura 5.8, el valor de "y" es constante, y por lo
tanto es posible utilizar dxd / , en lugar de x / ; de esta manera:
ABdyddydxdx
ddydx
xdy
B
A
B
A
Pero 0)()( AB , pues se trata de valores en la frontera S; como esto es válido en
cualquier franja, es posible asegurar que:
0
dx
xdy
Y así se cumple la ecuación 0 yF
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235
Si ahora se toma las franjas verticales, de espesor “dx”, se puede verificar que la ecuación
0 XF , también se cumple.
Finalmente para analizar la tercera ecuación, considérese el término:
-
dxdy
xx
Si se toma una franja horizontal, este término se convierte en:
-
B
A
xddydxdx
dxdy
Si se integra por partes la segunda integral:
xu ddv
dxdu v
B
A
B
A
AB
B
A
B
A
B
A
dxdxAXBXdxxxd
Pues 0 AB por lo tanto:
-
B
A
dxdydxdyx
x (*)
Si se trabaja de manera similar con una franja vertical, se obtendrá:
-
B
A
dydxdxdyy
y (**)
Considerando la suma de (*) más (**), la ecuación ZM , quedará como sigue:
dxdyT 2 (5.13)
Puede considerarse que la función de esfuerzos representa a una superficie ubicada
sobre la sección transversal (figura 5.9), y que está en contacto con ella en sus bordes
.0 De esta manera la ecuación 13.5 permite afirmar que el momento torsor T, es
equivalente al doble del volumen encerrado entre la función de esfuerzos y el plano de
la sección transversal.
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Figura 5.9. Representación de la función de esfuerzos, en un elemento sometido a torsión T
Todas las ecuaciones derivadas hasta aquí son aplicables a elementos de sección transversal
constante, de material isotrópico, en los cuales existan pequeñas deformaciones.
Solución para el caso de material linealmente elástico
Si se utilizan las relaciones que proporciona la Ley de Hooke, se puede escribir:
XZ = yG
Gy
XZXZ
12 a14.5
YZ = xG
Gx
YZYZ
12 b14.5
Reemplazado estos valores en la ecuación :9.5
2
xy
yzxz
211
2
2
2
2
xGyG
Gxy
22
2
2
2
(5.15)
El miembro de la izquierda de la ecuación 5.15, se le conoce como Laplaciana, el miembro
derecho indica que esta laplaciana es constante e igual a G2
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Casos particulares
La solución elástica del problema de torsión requiere métodos especiales para hallar la
función . A continuación se formula un método indirecto que permite hallar la solución
en ciertos problemas particulares.
Sea un elemento sometido a un momento torsor T. Los bordes de la sección transversal de
este elemento están definidos por una ecuación del tipo:
0, yxF
Si la función de esfuerzos se define como:
yxFB ,. 16.5
Donde B es una constante, la solución se puede determinar si al reemplazar 16.5 en
15.5 el primer miembro de esta ecuación es una constante, y por lo tanto es posible hallar
B. Este método indirecto se puede hallar para los casos de sección elíptica y triángulo
equilátero.
Ejemplo 5.1. Sea una sección transversal elíptica, de semiejes a y b. Determinar la
distribución de esfuerzos y el desplazamiento “w”. Si la ecuación de la elipse es:
12
2
2
2
b
y
a
x
La función de esfuerzos será:
1
2
2
2
2
b
y
a
xB
Derivando la función de esfuerzos dos veces, en función de “y”, se tiene:
2
2
b
yB
y
22
2 2
b
B
y
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238
Derivando en función de “x”, se tiene:
2
2
a
xB
x
22
2 2
a
B
x
Sumando obtenemos la laplaciana:
Ga
B
b
B
xy2
22222
2
2
2
Y entonces, obtenemos la constante B:
22
22
ba
GbaB
22
2
2
22
ba
yGa
b
By
yXZ
22
2
2
22
ba
xGb
a
Bx
xYZ
Para hallar la relación entre el momento torsor T y el ángulo de torsión por unidad de
longitud se reemplaza B y yxF , en la ecuación (5.16):
1
2
2
2
2
22
22
b
y
a
x
ba
Gba
Y este resultado se reemplaza en (5.13):
dxdyT 2
dxdydxdyy
bdxdyx
aba
GbaT 2
2
2
222
22 112
Si la sección es elíptica se sabe que:
4
322 ba
IdAxdxdyx y
A
4
322 ab
IdAydxdyy x
A
abAdAdxdyA
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239
De esta manera:
22
33
22
22
44
2
ba
bGaab
abab
ba
GbaT
33
22
bGa
baT
Se denomina rigidez torsional del elemento (C) a la relación:
22
33
ba
GbaC
T
Reemplazando en la constante B: 22
22
ba
GbaB
ab
T
bGa
Tba
ba
GbaB
33
22
22
22
.
Y entonces la función de esfuerzos será:
1
2
2
2
2
b
y
a
x
ab
T
Al derivar la función de esfuerzos con respecto a “y” y a “x”, en las ecuaciones de esfuerzo:
yxz
;
xyz
Se tiene:
y
ab
T
bGa
baT
ba
GyaXZ 333
22
22
2 22
xba
TYZ 3
2
Si a>b se puede demostrar que el valor máximo ocurre en el punto 0x , , es decir en los
extremos del eje menor.
2
2
ab
Tmáx
Falta determinar las componentes del desplazamiento: u, v y w, si se conoce , se puede
hallar:
yzu xzv
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Para determinar yxw , es necesario hallar la función de alabeo yx, , Para ello,
en las ecuaciones (5.8 a y b) se tenía:
yy
xGy
xXZXZXZ
2
xx
yGx
yYZYZYZ
2
Entonces se despeja x
:
yGab
Ty
b
y
ab
T
Gy
yGx
32
21
211
y
ba
aby
ba
ay
Gabba
baG
x 22
22
22
2
322
33 21
21
yba
ab
x 22
22
Del mismo modo, se despeja y
xba
ab
y 22
22
El sistema de ecuaciones diferenciales equivale a:
xdyba
abydx
ba
abd
22
22
22
22
Cuya integración es:
Kxyba
abyx
22
22
,
Si se establece que 0w , cuando 0x e 0y 0 K y entonces.
xy
ba
baxy
ba
abw
22
22
22
22
Para a>b
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241
Se trata de una familia de hipérbolas, en las cuales para:
La línea continua indica que los desplazamientos debido al alabeo se producen hacia el
lector, la línea discontinua indica que la los desplazamientos debido al alabeo se producen
en sentido contrario. A continuación se muestran la interpretación matemática según los
cuadrantes:
0x , 0y cuadranteer.1
0x , 0y cuadranteer.3
Se tiene 0w (ingresa al papel)
0x , 0y cuadrantedo.2
0x , 0y cuadranteto.4
Se tiene 0w (sale del papel)
Podemos concluir que los desplazamientos de una sección trasversal elíptica, son:
yz
bGa
baTu
33
22
xz
bGa
baTv
33
22
xy
bGa
baTxy
ba
abw
33
22
22
22
Otra sección que se puede resolver con una función de esta tipo yxFB ,. , es una
sección triangular equilátera, se deja al lector la deducción de ella.
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242
Sección Triángulo Equilátero
Si se ubican los ejes x e y en el centroide del triángulo, las ecuaciones de cada una de sus
fronteras son:
3
hx
paraAB
3
23
hyx paraAC
3
23
hyx paraBC
Por lo tanto se puede tomar:
3
23
3
23
3),(
hyx
hyx
hxyxF
3
23
3
23
3),(
hyx
hyx
hxByx
Derivando dos veces la función de esfuerzos con respecto a “x” y luego derivando la
función de esfuerzos dos veces con respecto a “y”, posteriormente se suman ambos
resultados, se obtiene el valor de B:
h
GBGBhhxhxB
yx 224)2626(
2
2
2
2
3
23
3
23
32,
hyx
hyx
hx
h
Gyx
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243
)27
43(
2,
32223 hhyxyhxx
h
Gyx
yhxyh
G
yXZ 26
2
22 3232
yxhxh
G
xYZ
Si se procede de manera similar al caso de la sección elíptica se obtendrá:
dxdyT 2
dxdyh
hyxyhxxh
GT )
27
43(
2·2
32223
318
422 h
IdAxdxdyx y
A
318
422 h
IdAydxdyy x
A
3
2hAdAdxdy
A
3135
53 hdxdyx
3135·
52 hdxdyyx
Finalmente, se tiene:
315
5h
h
GT
4
315
Gh
T
Para el punto )0,3/(),( hyx , se tendrá:
0XZ
max32
315
2
h
ThGYZ
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244
El signo negativo obedece a la dirección negativa de “y”
Se puede tener una ecuación del esfuerzo cortante resultante, como se muestra a
continuación y obtener una distribución de esfuerzo como el mostrado:
22
yzxz
222232326
2yxhxyhxy
h
G
También se puede hallar la función de alabeo, la cual es la siguiente: 22 32
xyh
y
Este método no es aplicable a las secciones rectangulares, es mejor utilizar la analogía de la
membrana.
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245
5.3 Analogía de la membrana de Prandtl
Prandtl encontró ciertas relaciones entre la ecuación diferencial que permite hallar la
función de esfuerzos y la que proporciona el desplazamiento de una membrana
sometida a una presión uniforme “p”.
Sea una placa rígida, ubicada sobre el plano x-y, en la cual se corta una abertura que tiene
la misma forma que la sección transversal cuyo comportamiento a la torsión se desea
determinar. Se cubre la abertura con una membrana de material elástico, homogéneo y se
aplica presión en uno de sus lados. La presión hace que la membrana tome la forma de una
superficie curva.
Si la pendiente en la superficie de la membrana es suficientemente pequeña, se puede
demostrar que la ecuación diferencial que permite hallar el desplazamiento de la membrana
es similar a la que proporciona la función de esfuerzos .
La ecuación que permite hallar yx, es la (5.15):
Gxy
22
2
2
2
Y ahora se hallará la ecuación de la membrana.
Figura 5.10. Deformación de la membrana al aplica una presión “p”
La membrana está sometida a la acción de una presión "p" (que actúa en dirección
perpendicular a ella, ver figura 5.10) y a una fuerza de tracción "S" por unidad de longitud.
Se considerará la ecuación de equilibrio de fuerzas verticales en un elemento ABCD de la
membrana, de dimensiones “ dx ” y “ dy ”. Las fuerzas que actúan son: la presión "p" sobre
el área dxdy , y la fuerza "S" en los bordes AB, BC, CD y DA.
La componente vertical de la fuerza “S” a lo largo del borde DA es: -S dy sen (el signo
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negativo se debe a que su dirección es en el sentido negativo del eje z); como el ángulo
es muy pequeño: sen = tg y está componente será:
x
zSdySdytg
De manera similar, la componente vertical de la fuerza “S” a lo largo del borde opuesto BC
será:
dx
xSdytg
=
dx
x
zz
xSdy
Del mismo modo en los bordes AB y CD se tendrá:
y
zSdx
y
dy
y
zz
ySdx
La ecuación de equilibrio será:
02
2
2
2
pdxdydy
y
zSdx
y
zSdx
y
zSdxdx
x
zSdy
x
zSdy
x
zSdy
02
2
2
2
pdxdydy
y
zSdxdx
x
zSdy
S
p
y
z
x
z
2
2
2
2
(5.17)
Gxy
22
2
2
2
(5.15 repetida)
Si se comparan las ecuaciones (5.15) y (5.17) se puede establecer ciertas analogías. Así,
por ejemplo, si se define C como una constante de proporcionalidad, tal que:
CGS
pCz ··2·
Al despejar C:
SG
pzC
··2
z
p
SG ··2
Como el desplazamiento "z" de la membrana es proporcional a , puede decirse que son
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247
proporcionales a las derivadas de "z" con respecto a x e y.
y
z
yXZ
x
z
xYZ
Con lo que se tiene:
y
z
p
SG
yXZ
··2
x
z
p
SG
xYZ
··2
Esto es que las componentes de esfuerzo XZ y YZ son proporcionales a la pendiente de
la membrana en el punto (x,y) correspondiente. De esta manera es posible visualizar la
distribución de esfuerzos en la sección formándose una imagen de la pendiente de la
membrana. Además, el momento torsor será proporcional al volumen encerrado entre la
membrana y el plano XY.
Sin necesidad de efectuar ensayos, es posible llegar a ciertas conclusiones. Por ejemplo, si
una sección rectangular "delgada" (con una dimensión mucho menor que la otra) tiene la
misma área que una sección circular, es obvio que la sección circular soportará un
momento torsor mucho mayor.
En el caso de una sección con esquinas convexas, la distribución de esfuerzos tendrá
variaciones importantes. Así, en la sección mostrada, mientras que en las esquinas A, B, D,
E y F la pendiente de la membrana será pequeña (y por lo tanto los esfuerzos también), en
la esquina C se presentarán esfuerzos muy altos.
o
x
y
x
B
A
C
A B
C D
EF
Figura 5.11. Sección asimétrica en torsión
Sección Rectangular Delgada
Las secciones transversales de muchos elementos estructurales y de máquinas son por lo
general rectangulares. Estos elementos usualmente soportan esfuerzos de tracción,
compresión y flexión; es posible que además deban soportar esfuerzos secundarios por
torsión.
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248
Figura 5.12. Torsión en elementos rectangulares delgados
Sea una sección rectangular de lados 2a y 2b respectivamente, siendo b>>a (figura 5.12).
Al considerar la deformación de la membrana asociada a esta sección transversal es posible
afirmar que, excepto en las cercanías de x = b (esto es en los extremos de la sección) la
deflexión es independiente de x.
Figura 5.13. Analogía de la membrana en una sección rectangular delgada.
De otro lado se puede asumir que la deflexión en el sentido "y" es parabólica, y entonces la
ecuación del desplazamiento "z" será:
2
2
1z za
yo (5.18)
Donde: oz es la máxima deflexión en la membrana. Esta ecuación cumple con la condición
de que z = 0 (equivalente a 0 ) en la frontera, pues para ay , 0z
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249
Además, si p/s es constante, el parámetro oz puede hallarse de manera que (5.18) sea una
solución de (5.17). Es decir que la ecuación (5.18) es una solución aproximada del
desplazamiento en la membrana.
En (5.18):
02
2
x
z
x
z
2
2
a
yz
y
z o
y
22
2 2
a
z
y
z o
Por lo tanto.
22
2
2
2 2
a
z
ay
z
x
z o
si 2
2
a
z
S
p o S
pazo
2
2
2
22
12 a
y
S
paz
y además:
2
22
12
··2··2
a
y
S
pa
p
SGz
p
SG
2
22 1
a
yaG
Al aplicar ahora las ecuaciones (5.11):
yGy
XZ 2
0
xYZ
aXZ 2G = max max para y = a
En la ecuación (5.13):
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250
a
a
b
b
dxdyT 2
a
a
b
b
dya
ydxaG
2
22 12
b
b
a
a
b
b
dxa
aGa
yydxaGT
3
42
32 2
2
32
JGabGba
GT 33
)2)(2(3
12
3
42 (5.19)
Donde
3)2)(2(3
1abJ (5.20)
Es necesario recordar que esta es una solución aproximada, en la cual la condición de borde
para bx no se satisface.
J
Ta
GJ
TaG
22 max y
GJ
T
Secciones formadas por varios rectángulos delgados
Si los rectángulos están rígidamente unidos entre sí, la suposición de que el giro por torsión
i de cada una de los rectángulos es igual al giro de todo el elemento, permite afirmar
que el factor de rigidez a la torsión será:
3
) )2(2(3
1ii abCJ (5.21)
"C" es un factor de corrección. Si en todos los rectángulos se cumple que ib > 10 ia , C = 1;
si en uno o más rectángulos se tuviera ib < 10 ia , se debe tomar 91.0C . Además:
J
Tamax
= max
2 (5.22)
donde a max es el máximo de los valores de a .i
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251
Existen otras fórmulas para evaluar el esfuerzo cortante, como la ecuación de Beer &
Johnston.
)63.01(3
1
b
ak ………….para b/a>5
)())(( 3 baGk
Tii
2))((max
abk
T
Ejemplo 5.2. Un elemento de acero de 8 pies de largo con sección W12x50 se somete a un
torsor de 20 kip-plg. Sabiendo que G=11 .2x106 psi=11.2x10
3, hallar:
a. El máximo esfuerzo cortante en la línea a-a y en la línea b-b.
b. El ángulo de torsión.
Considerar el alma y las alas como secciones rectangulares y evaluar las propiedades
usando las fórmulas aproximadas de Beer & Johnston.
bf=8.08 plg
tf=0.64 plg
tw=0.37 plg
d=12.19 plg
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252
Para las alas:
625.1264.0
08.8
a
b
De Beer se toman los datos:
a=0.64 b=8.08 b/a=12.625 >5 ok
3167.0)625.12
63.01(
3
1)63.01(
3
1
b
ak
Para el alma: (12.19-2*0.64=10.91)
49.2937.0
91.10
a
b
Por equilibrio:
3262.0)49.29
63.01(
3
1k
2T ala + T alma=20...................(A)
Por compatibilidad:
ala= alma................................(B)
)08.8()64.0(3167.0 3G
Talaala
)91.10()37.0(3262.0 3G
Talmaalam
De las ecuaciones (B) y (C)
10.91
..................(C)
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253
)(....................7212.3180.06708.0
DTalmaTalaG
Talma
G
Tala
De (A) y (D)
2T ala + T alma=20
2x3.7212 T alma+T alam=20
8.4424 T alma=20
Talma=2.369 kip-plg
Tala= 8.8155 kip-plg
a) Esfuerzo cortante en las líneas a-a y b-b
2
22lg/411.8
64.008.83167.0
8155.8)max( pkip
kba
Talaaa
2
22
22
lg/862.437.91.103262.0
369.2
2)max( pkip
tsk
Talmabb
b) b) Ángulo de torsión:
lg/10173.1102.116708.0
8155.8
6708.0
8155.8 3
3prad
GL
radLrad 1126.012810173.1110173.11 33
rad1126.0