Date post: | 11-Aug-2015 |
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MODELOS DE MODELOS DE CONFIABILIDADCONFIABILIDAD
Capítulo 2•Exponencial
•Weibull•Lognormal
2
OBJETIVO
Presentar los modelos Exponencial, Weibull y Lognormal para la confiabilidad, sus características principales y guías para su empleo
Puntos:– Modelos Paramétricos de Confiabilidad– Distribuciones de Probabilidad– Parámetros– Propiedades– Situaciones para modelar– Guía para elección del modelo
ExponencialWeibull
Lognormal
3
Modelos Paramétricos de Confiabilidad
Distribuciones Paramétricas• Algunas Distribuciones de Probabilidad se pueden
expresar como una función matemática de la variable aleatoria.
• La función tiene además de la variable aleatoria, constantes que le dan comportamientos específicos a las distribuciones
Los parámetros definen:
•FORMA
•ESCALA
•LOCALIZACION
4
•Los Parámetros definen lo que esta detrás de cada distribución.
•Conociendo los parámetros de una distribución podemos inferir el comportamiento de la confiabilidad
•La Forma de la distribución
•La Escala de la distribución
•La Localización de la distribución
¿Qué hay atrás de una distribución?
5
Distribución Normal
• La Normal o Distribución Gaussiana es la distribución más conocida
• Tiene Media = Mediana = Moda• La Media , es también su parámetro de localización• La PDF normal tiene forma de una campana con
simetría sobre su media• La normal no tiene parámetro de forma. Esto significa
que la PDF normal sólo tiene una forma, “la campana” y esta forma no cambia
• La desviación estándar , es el parámetro de escala de la PDF normal
6
f tt
( ) exp
1
2
1
2
2
Función de Densidad de Probabilidad Normal
Distribución Normal
= 500 = 30 = 50 = 70
0.0000
0.0020
0.0040
0.0060
0.0080
0.0100
0.0120
0.0140
200 400 600 800 1000Tiempo
f(t)
7
R t f t dt z dzt z t
( ) ( ) ( )( )
donde z(t) = (t-/ y (z) = normal estandarizada pdfFunción de Confiabilidad Normal
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
200 400 600 800 1000Tiempo
R(t
)
= 500 = 30 = 50 = 70
Distribución Normal
8
Si X se distribuye como Normal con media y varianza , esto es, X~N(,) luego ¿Cuál es la probabilidad que X sea menor que x0, P(X< x0)?
Para determinar P(X< x0), realice una transformación a Normal Estándar
Z = (X-)/
P(X< x0) = P[(X-)/<(x0-)/] = P[Z< (x0-)/
Esta expresión está en la forma de la cdf (Función de distribución Acumulada), entonces podemos buscar en las tablas de la Normal Estándar el área correspondiente bajo la curva.
Distribución Normal
9
– Ejemplo: Dada X~N(100,400), encuentre P(70<X<110)
• Re-escriba en una forma que pueda ser buscada en las tablas
– P(X<110) - P(X<70)
• Realice la transformación a Normal Estándar– P[(X-100)/20<(110-100)/20] - P[(X-100)/20<(70 -100)/20]– P(Z<0.50) - P(Z< -1.50)
» Ambas se buscan en una tabla de Normal Estándar
• P(70<X<110) = 0.6915 - 0.0668 = 0.6247
Distribución Normal
10
donde (z) =normal estandarizada pdfFunción Normal de Tasa de Falla
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
200 400 600 800 1000Tiempo
h(t
)
= 500 = 30 = 50 = 70
Distribución Normal
h( t ) = tRz
11
EJERCICIO
El tiempo de falla para un componente está normalmente distribuido con un valor esperado de 20 horas y una desviación estándar de 3 horas. Deseamos responder las siguientes preguntas:
1.¿Cuál es la confiabilidad del componente a las 25 horas de tiempo de tiempo de operación?
2.¿Cuál es la probabilidad de que el componente fallará entre 25 y 28 horas?
3.¿Cuál es la tasa de falla del componente a las 25 horas de operación?
12
• Distribución Normal– ciclos para fallar de datos de componentes mecánicos
sometidos a niveles altos de estrés en los alrededores de los límites proporcionales pueden seguir una distribución normal
– útil si el coeficiente de variación es pequeño (<10%)– propiedades de varios materiales tienden a seguir una
distribución Normal– fallas a la tensión de muchos materiales estructurales siguen
una distribución Normal – puede representar el tiempo para fallar cuando un efecto
aditivo es involucrado, i.e., el Teorema del Límite Central (CLT)
Distribución Normal
13
• El modelo exponencial, con un solo parámetro, es el más simple de todos los modelos de distribución del tiempo de vida. Las ecuaciones clave para la exponencial se muestran:
Distribución Exponencial
h
)(:FALLA DETASA
1:VARIANZA
693.02ln:MEDIANA
1:MTBF
)(:DADCONFIABILI
1)(:CDF
2
t
m
etf
etR
etF
t
t
t
Función de Densidad de Probabilidad Exponencial
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
0.0030
0.0035
0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo
f(t)
= 0.003, MTBF = 333
= 0.002, MTBF = 500
= 0.001, MTBF = 1,000
14
R(t) = e(-t) (Confiabilidad)
Función de Confiabilidad Exponencial
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo
R(t
)
= 0.003, MTBF = 333
= 0.002, MTBF = 500
= 0.001, MTBF = 1,000
Distribución Exponencial
15
h(t) = MEDIA(Velocidad de Falla)
Función de la Tasa de Falla Exponencial
0.000
0.001
0.002
0.003
0.004
0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo
h(t
)
= 0.001, MTBF = 1,000
= 0.002, MTBF = 500
= 0.003, MTBF = 333
Distribución Exponencial
Note que la velocidad de falla se reduce a la constante para cualquier tiempo. La distribución exponencial es la única que tiene una velocidad de falla constante
16
EJERCICIO
Se sabe que el tiempo de falla de un cierto tipo de sello de motor se distribuye como una exponencial con una tasa de falla igual a 0.03x10-4 fallas por hora. Nos interesa responder las preguntas siguientes:
1.¿Cuál es la probabilidad de que un sello durará más de 10,000 horas?
2.¿Cuál es el tiempo medio de falla del sello?
3.¿Cuál es la Confiabilidad asociada al tiempo medio de falla?
4.Si la confiabilidad de la vida de diseño tiene que ser al menos 90%, ¿Cuál debería ser la vida de diseño recomendada?
17
• Distribución Exponencial – usada como el modelo, para la porción de la vida útil de la
curva de la tina de baño, i.e., porción de la tasa de falla constante
– sistemas complejos con muchos componentes y múltiples modos de falla tendrán tiempos para fallar que tiendan a la distribución exponencial
– desde una perspectiva de confiabilidad, es la distribución más conservadora para predicción.
Distribución Exponencial
La forma de la exponencial siempre es la misma
18
Distribución Exponencial
• ´La Distribución exponencial de 2 parámetros tiene las siguientes ecuaciones:
h
)(:FALLA DETASA
1:VARIANZA
693.02ln:MEDIANA
1MTBF
)(:DADCONFIABILI
1)(:CDF
2
)(
)(
)(
t
etf
etR
etF
t
t
t es el parámetro de localización, si es positivo, cambia el comienzo de la distribución por una distancia a la derecha del origen, significando que las posibilidades de falla empiezan a ocurrir sólo después de horas de operación, y no pueden ocurrir antes.
Note que la varianza y la tasa de falla son iguales a las de la exponencial de un parámetro
19
Distribución Weibull• La Weibull es un modelo de
distribución de vida muy flexible, este es el caso con 2 parámetros:
1
2
2
1
1
:FALLA DETASA
11
21:VARIANZA
2ln:MEDIANA
11MTBF
)(:DADCONFIABILI
1)(:CDF
t
et
tf
etR
etF
t
t
t
Donde es un parámetro de escala (la vida característica) y se conoce como el parámetro de forma (pendiente) y es la función Gamma con (N)=(N-1)! para N entero
20
Distribución Weibull
1
2
2
1
1
:FALLA DETASA
11
21:VARIANZA
2ln:MEDIANA
11MTBF
)(:DADCONFIABILI
1)(:CDF
t
et
tf
etR
etF
t
t
t
Una forma más general de 3 parámetros de la Weibull incluye un parámetro de tiempo de espera (localización ó desplazamiento). Las fórmulas se obtienen sencillamente de estas por reemplazar t por (t-) en donde aparezca t. No puede ocurrir una falla antes de horas, el tiempo comienza en no en 0.
21
EJERCICIO
Un componente tiene una distribución Weibull para el tiempo de falla con los siguientes parámetros: =1000, = 4.5 y = 2000.
Cien componentes son puestos a prueba en el tiempo cero y deseamos responder a las preguntas siguientes:1.¿Cuál es el número esperado de componentes que estarán funcionando a las 2000 horas?
2.¿Cuál es el número esperado de fallas en el intervalo de 2000 a 2100 horas?
3.¿Cuál es la tasa de falla a las 2000 horas?
22
f tt t
( ) exp
1
Función de Densidad de Probabilidad Weibull
0.0000
0.0010
0.0020
0.0030
0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo
f(t)
= 0.5 = 1000
= 1.0 = 1000
= 3.4 = 1000
Distribución Weibull
23
R tt
( ) exp
Función de Confiabilidad Weibull
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo
R(t
)
= 0.5 = 1000
= 1.0 = 1000
= 3.4 = 1000
Distribución Weibull
24
h
( )tt
1
Función Tasa de Falla Weibull
0.0000
0.0020
0.0040
0.0060
0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo
h(t
)
= 3.4 = 1000
= 1.0 = 1000
= 0.5 = 1000
Distribución Weibull
25
• Distribución Weibull– mientras la función pdf de la distribución exponencial
modela la característica de vida de los sistemas, la Weibull modela la característica de vida de los componentes y partes
– modela fatiga y ciclos de falla de los sólidos– es el traje correcto para datos de vida
• La función de distribución Weibull pdf es una distribución de la debilidad de los elementos de una muestra
• muy flexible y puede tomar diferentes formas
Distribución Weibull
26
Distribución Weibull
• Tiene usted una Distribución Weibull con =2 y =2, ¿Cuál es la media y la varianza?
2
2 11
21varianza
11
m
1111
22223333
Archivo Weibull.xls
27
tiempo
Índ
ice
de
falla
Tiempo de vida útilFallastempranas
Desgaste
decreciente
< 1
constante
= 1
creciente
> 1
< 1 disminuye la tasa de riesgo, implica mortalidad infantil = 1 tasa de riesgo constante, fallas aleatorias1< < 4 aumenta la tasa de riesgo, fallas por corrosión, erosión > 4 aumenta rápidamente la tasa de riesgo, implica fallas por desgaste y envejecimiento
Las tres porciones de la curva de tina de baño tienen diferentes índices de falla. Las fallas tempranas se caracterizan por un índice de falla decreciente, la vida útil por un índice de falla constante y el desgaste se caracteriza por un índice de falla creciente. La distribución de Weibull puede modelar matemáticamente estas tres situaciones.
Distribución Weibull
28
< 1 (Tasa de riesgo decreciente)
•Implica mortalidad infantil
•Si esto ocurre, puede existir: Carga, inspección o prueba inadecuada Problemas de Manufactura Problemas de reparación
•Si un componente sobrevive la mortalidad infantil , la resistencia a fallar mejora con la edad.
= 1 (Tasa de riesgo constante)
•Implica fallas aleatorias(Distribución Exponencial)
•Una parte vieja es tan buena como una nueva
•Si esto ocurre: Mezcla de modos de falla Las fallas pueden deberse a eventos externos, como:luminosidad o errores humanos Fundido y removido antes de su desgaste1 <4 (Tasa de Riesgo creciente)
•Si esto ocurre La mayoría de los baleros y engranes fallan Corrosión o Erosión El reemplazo programado puede ser efectivo en costo=3.44aprox. Normal, =2Rayleigh
4 (La tasa de riesgo crece rápidamente)
•Implica edad avanzada y rápido desgaste
•Si esto ocurre, sospeche de: Propiedades del material Materiales frágiles como la cerámica Variabilidad pequeña en manufactura o material
La Distribución Weibull - Interpretación
29
•Cuando = 2.5 la Weibull se aproxima a la distribución Lognormal(estas distribuciones son tan cercanas que se requieren tamaños de muestra mayores a 50 para distinguirlas).
•Cuando se modela el tiempo que se necesita para que ocurran reacciones químicas, se ha mostrado que la distribución Lognormal usualmente proporciona un mejor ajuste que la Weibull.
•Cuando = 5 la Weibull se aproxima a una Normal puntiaguda.
Distribución Weibull
30
Debido a su flexibilidad,hay pocas tasas de falla observadas que no pueden modelarse adecuadamente mediante la Weibull. Algunos usos específicos han sido:
1.La resistencia a la ruptura de componentes o el esfuerzo requerido para la fatiga de metales.
2.El tiempo de falla de componentes electrónicos.
3.El tiempo de falla para artículos que se desgastan, tales como las llantas de un automóvil.
4.Sistemas que fallan cuando falla el componente más débil del sistema(la distribución Weibull representa una distribución de valor extremo).
Distribución Weibull
31
•¿Qué pasa en una distribución Weibull si el tiempo tiene el valor de la vida característica, t = ?
Distribución Weibull
6321.0)(1)(
3678.0exp)(
t si
exp)(
1
tRtF
etR
ttR
Al llegar al tiempo de vida igual a la vida característica el 63.2% de los elementos habrá fallado. Este hecho se usa en las gráficas para identificar el valor de (eta)
Este mismo resultado se obtiene para el caso exponencial, recordando que la Weibull se puede reducir a una exponencial cuando = 1.
32
• Un tiempo de falla se distribuye según una Lognormal si el logaritmo del tiempo de falla está normalmente distribuido.
• La Distribución Lognormal es una distribución sesgada hacia la derecha.
• La PDF comienza en cero, aumenta hasta su moda y diminuye después.
• El programa Weibull6.0++ de Reliasoft estima la media (y) y la desviación estándar (y) de los logaritmos de los tiempos(y=ln(t)).
Distribución Lognormal
33
• Si un tiempo t está distribuido Lognormal, t~LN(t, t) y si Y = ln(t) entonces Y~N(y, y)
Distribución Lognormal
2)ln(
2
1
2
1)(
y
yt
y
et
tf
2
2
1
2
1)(
y
yy
y
eyf
yy
y TtttF
)ln()ln(
)( 50
y
yyyF
)(
25.0 yyet )ln( 50Ty
yeT 502
250
1t
t
tT
CDF
MEDIA
MEDIANA
t y = ln(t)
2
22 1ln
t
ty
)1(22 )2(2 yyy eet
VARIANZA
(z) es la CDF de la Normal estándar
34
• La Distribución de vida Lognormal, como la Weibull, es un modelo muy flexible que puede empíricamente ajustar a muchos tipos de datos de falla. En su forma de dos parámetros tiene los parámetros ln(t) = y parámetro de escala, y ln(t) = y es un parámetro de localización.
• Si el tiempo para la falla t, tiene una distribución Lognormal, entonces el logaritmo natural del tiempo de falla (y =ln(t)) tiene una distribución normal con media y = ln T50 (T50 es el valor de la mediana)y desviación estándar y.
• Esto hace a los datos lognormales convenientes para trabajarlos así: determine los logaritmos naturales de todos los tiempos de falla y de los tiempos censurados (y = ln(t)) y analice los datos normales resultantes. Posteriormente, haga la conversión a tiempo real y a los parámetros lognormales usando y como la escala lognormal y y = ln T50 como el parámetro de localización.
Distribución Lognormal
35
2)ln(
21
exp2
1)(
y
y
y
t
ttf
donde y y y son funciones de ln’s
Función de Densidad de Probabilidad Lognormal
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo
f(t)
= 0 = 0.5
= 0 = 1
= 1 = 0.5
= 1 = 1
Distribución Lognormal
36
ztt
dzztdtfdttftR )()][ln()][ln()()()ln(
donde z = [ln(t)-y)/y] (z) = normal estandarizada pdf
Función de Confiabilidad Lognormal
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo
R(t
)
= 0 = 0.5
= 0 = 1
= 1 = 0.5
= 1 = 1
Distribución Lognormal
37
Función Tasa de Falla Lognormal
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo
h(t
)
= 0 = 0.5
= 0 = 1
= 1 = 0.5
= 1 = 1
Distribución Lognormal h( t ) =
)()(tRtz
donde z = [ln(t)-y)/y] (z) = normal estandarizada pdf
38
Distribución Lognormal
– Ejemplo: Dado t~LN(25,4), encuentre P(t<18)• Calculemos los valores que nos permiten usar la tabla normal estándar
• Para poder usar las Tablas de la Normal Estándar:
686.24254
12512
2
2
50
t
ttT
02527.0
25
41ln1ln
2
2
22
t
ty
15898.002527.0 yy = ln (24.686) = 3.20623
P(t<18) = P{Z<[ln(t/ T50)]/ y] = P{Z<[ln(18/24.686)]/0.15898} = P(Z<-1.986) = 0.023
De otra forma:
F(18) = [{ln(18)-3.20623}/0.15898] = [-1.986] = 0.023
39
EJERCICIO
La vida (en miles de millas) de una población de controles electrónicos para locomotoras fue aproximada por una distribución Lognormal donde y = 5.149 y y = 0.737.
Nos interesa responder las siguientes preguntas:
1.¿Cuál es la fracción de la población que cae por debajo del límite de garantía de 80 mil millas?
2.¿Cuál es la Confiabilidad asociada al límite de garantía de 80 mil millas?
3.¿Cuál es el tiempo medio de falla?
4.¿Cuál es la tasa de falla en el límite de garantía de 80 mil millas?
40
• Distribución Lognormal– ciclos de falla en la fatiga de los metales y partes metálicas, a niveles de
tensión significativamente menores que los límites de proporcionalidad son distribuidos como una Lognormal
– representa bien el tiempo de falla de los aparatos mecánicos, especialmente en el caso de desgaste
– las resistencias de materiales frecuentemente siguen una distribución Lognormal
– Variables de peso son frecuentemente bien representadas con una distribución Lognormal
– una buena distribución a priori para cualquier variable– la medición de cualquier resultado el cual es el producto de un efecto
proporcional o multiplicativo es Lognormal
Distribución Lognormal
41
Modelos Paramétricos de Confiabilidad
• Ventajas– Usados cuando la distribución subyacente de los tiempos
para fallar se conoce o puede ser supuesta• Datos de prueba previos• Parámetros de industria aceptados (v.g., MIL-HDBK-217)• Conocimiento Ingenieril del mecanismo de falla
– Tiene más poder para hacer una decisión correcta que en las pruebas no-paramétricas
– Rinde información más precisa que los métodos no-paramétricos
• Los intervalos de confianza son más amplios usando no-paramétricas
– Permite extrapolar fuera del rango de los datos
42
Modelos Paramétricos de Confiabilidad
• Desventajas– El uso no apropiado del
modelo puede llevar a conclusiones incorrectas
– Implica un conocimiento previo del comportamiento de los mecanismos de falla y su efecto en la observación estadística
– Si no se conoce nada sobre la falla debe tenerse cuidado en un procedimiento para seleccionar un modelo adecuado.
43
f tt
( ) exp
1
2
1
2
2
Rt zdzz t
( ) ( )( )
h
( )( )( )
tz
R t
f tt t
( ) exp
1
Modelos Comunes de Confiabilidad
2)ln(
21
exp2
1)(
y
y
y
t
ttf
z
dzztR )()( R tt
( ) exp
h
( )tt
1
f(t) = exp(-t)
R(t) = exp(-t)
h(t) =
Exponencial Weibull Normal Lognormal
Función de Densidad de Probabilidad (pdf), f(t)
Función de Confiabilidad, R(t)
Función de Tasa de Falla, h(t)
Tiempo Medio Entre Fallas (MTBF)
1MTBF
1
1
MTBF mediaMTBF
2
2y
y
eMTBF
Parámetros 1/= escalasin forma
= escala = forma, o pendiente Weibull
media = localización= escala
media de ln’s = localizaciónde ln’s= escala
Aplicaciones Sistema complejovida útilelectrónica
< 1, fallas infantiles = 1, exponencial > 1, desgaste app 3.4, app. normalmuy flexiblebien para fatiga encomponentes mecánicos
z(t) = (t - )/(z) = pdf normal std. desgaste altoefectos aditivos (CLT)
z = {ln(t) - y}/ydonde y = media de ln’s y = desv. std. de ln’s(z) = pdf normal std. fatiga en metalesdesgaste de partes mecánicasefectos multiplicativos
Cuadro de Distribuciones
h(t) = )(
)(tRtz
44
Identificación de Modelos
• Debemos de elegir cuidadosamente el modelo apropiado de distribución de vida– Cualquiera que sea el método usado
para escoger el modelo, debemos verificar:
• que tenga “sentido” - por ejemplo no usar un modelo exponencial que tiene una tasa de falla constante para modelar una falla de desgaste.
• Pasar las pruebas estadísticas y visuales para ajuste de datos
45
Modo individual de falla
Identificación de Modelos
Modelos de Distribución de vida y Modelos físicos de aceleración sólo aplican al nivel de MODO INDIVIDUAL DE FALLA
Componente
Sistema
•El lugar natural para aplicar los modelos de distribución de vida y los modelos de aceleración física es en el nivel de modo individual de falla.
•Cada modo de falla por el que un componente puede fallar típicamente tiene su modelo propio de distribución de vida.
46
Identificación de Modelos
para MODO INDIVIDUAL DE FALLA
Modelos de Distribución de vida y Modelos físicos de aceleración sólo aplican al nivel de MODO INDIVIDUAL DE FALLA
Si la falla ocurre cuando el primero de muchos procesos de
falla competidores alcanza un punto crítico entonces la Teoría del Valor
Extremo predice que la Weibull será un
buen Modelo
El modelo Lognormal puede ser derivado
cuando la degradación es causada por
shocks aleatorios que incrementan la
degradación a una tasa proporcional a la
cantidad total ya presente
Un modelo derivado del crecimiento
aleatorio de fisuras tomando lugar durante
muchos ciclos de esfuerzo
independientes se esperará que siga la
distribución Birnbaum-Saunders
F(t)=(z)
Ztt
t
tf
2
>0 escala
>0 forma
(Z) normal
estandarizada
tt
Z
1
47
Identificación de Modelos• Gráficas, Abrir: identificación.mtw
0 100 200 300 400 500
95% Conf idence Interv al f or Mu
48 58 68 78 88 98 108 118 128 138
95% Conf idence Interv al f or Median
Variable: T
A-Squared:P-Value:
MeanStDevVarianceSkewnessKurtosisN
Minimum1st QuartileMedian3rd QuartileMaximum
72.713
84.475
53.078
2.3390.000
101.453101.12710226.72.008375.38151
50
0.124 30.898 82.077124.588520.432
130.193
126.018
102.444
Anderson-Darling Normality Test
95% Conf idence Interv al f or Mu
95% Conf idence Interv al f or Sigma
95% Conf idence Interv al f or Median
Descriptive Statistics
Seguir la secuencia STAT>Basic Statistics>Display Descriptive Statistics
•No pasa el criterio de normalidad
• =0.9966, el coeficiente de variación es prácticamente 1
•Media y desviación estándar son iguales
•Sesgo >0 distribución sesgada a la derecha
•Curtosis >3, tiene más agudeza que una normal
48
Identificación de Modelos
• Gráficas
Abrir: identificación.mtw
49
Identificación de Modelos
1
5
10
20304050607080
90
95
99
-100 0 100 200 300 400 500
Normal
Pe
rce
nt
1
5
10
20304050607080
90
95
99
0.1 1.0 10.0 100.0 1000.0
Lognormal
Pe
rce
nt
1
2 3
5
10
20
3040
6075
909599
0.1 1.0 10.0 100.0 1000.0
Weibull
Pe
rce
nt
1030
506070
80
90
95
97
98
99
0 100 200 300 400 500
Exponential
Pe
rce
nt
Four-way Probability Plot for TNo censoring
¿Cuál ajusta mejor...?
50
Identificación de Modelos
El modelo exponencial
51
Identificación de Modelos
0 100 200 300 400 500
1 510203040506070
80
90
95
99
Exponential Probability
Per
cent
0 100 200 300 400 500
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Survival Function
Pro
babi
lity
0 100 200 300 400 500
0.00980
0.00985
0.00990
Hazard Function
Rat
e
0 100 200 300 400 500 600 700
0.000
0.005
0.010
Probability Density Function
Overview Plot for TNo censoring
Exponential
ML Estimates
Mean: 101.453
Fail. Rate: 9.86E-03
MTBF: 101.453
52
La prueba de bondad de ajuste 2
Una prueba versátil comúnmente usada es la prueba de bondad de ajuste 2, puesto que es igualmente aplicable a cualquier distribución supuesta, siempre que esté disponible un número razonablemente grande de datos. Por precisión, es deseable tener al menos tres clases de datos, o celdas, con al menos cinco datos en cada celda.
Crystal Ball necesita n>20 datos para ejecutar una prueba confiable y no generar el mensaje de insuficiencia de datos.
53
La prueba de bondad de ajuste 2
La justificación para la prueba de bondad de ajuste 2 es la suposición de que, si una muestra es dividida en n celdas (es decir, tenemos grados de libertad donde =n-1), entonces los valores dentro de cada celda estarían normalmente distribuidos alrededor del valor esperado, si la distribución supuesta es correcta, es decir, si Xi y Ei son los valores observados y esperados para la celda i:
n
i i
ii
E
EX
1
22
(Con n-1 grados de libertad)
54
La prueba de bondad de ajuste 2
Grandes valores de 2 asumen poner en duda la hipótesis nula. La hipótesis nula es usualmente rechazada cuando el valor de 2 cae más allá del percentil 90. Si 2 está bajo este valor, la información es insuficiente para rechazar la hipótesis de que los datos provienen de la distribución supuesta. Si obtenemos un valor muy bajo de 2(digamos, menor que el percentil 10), esto sugiere que los datos corresponden de forma más cercana a la distribución supuesta que a la variabilidad natural que permitiría el muestreo(es decir, quizá los datos han sido alterados de alguna forma).
La aplicación puede describirse mediante un ejemplo.
55
La prueba de bondad de ajuste 2
EJEMPLO
Datos de falla de transistores están dados en la TABLA 1. ¿Cuál es la verosimilitud de que las fallas ocurren a una tasa promedio constante de 12 fallas/1000 horas (distribución exponencial)?
TABLA 1 Datos de una prueba de vida estresada de transistoresCelda(h) Número en la celda Celda(h) Número en la celda
0-999 18 3000-3999 121000-1999 14 4000-4999 62000-2999 10
56
La prueba de bondad de ajuste 2
67.6
12126
121212
121210
121214
121218 22222
2
En relación a una tabla de valores de 2 con (n-1)=4 grados de libertad, 6.67 cae entre los percentiles 80 y 90 de la distribución 2 (5.99 y 7.78). Por tanto la hipótesis nula de que los datos se derivan de una proceso con tasa promedio constante no puede rechazarse al nivel del 90%.
57
La prueba de bondad de ajuste 2
Si una distribución supuesta da los valores esperados de 20, 15, 12, 10, 9 (es decir, una tasa decreciente), entonces
11.1
996
101012
121210
151514
202018 22222
2
2=1.11 cae cerca del percentil 10 (1.06). Por tanto no podemos rechazar la hipótesis nula de la distribución con tasa decreciente al nivel del 90%.
58
La prueba de bondad de ajuste 2
Observe que los valores Ei siempre deben ser al menos 5.
Las celdas deben ser fusionadas si es necesario para lograrlo, con la reducción correspondiente de grados de libertad.
También, si hemos estimado los parámetros de la distribución que estamos ajustando, los grados de libertad deben reducirse por el número de parámetros estimados.
59
Identificación de Modelos
•Abrir Identificacion1.xls
•Abrir Crystall Ball (aparece la barra de herramientas de CB)
•Señale una celda con datos
•Marque “Define Assumption”
60
Identificación de Modelos
Aparece la caja de dialogo “Distribution Gallery”, marque Fit...
ESCRIBA el rango como se indica, son los datos cuya distribución se quiere analizar
Después de señalar “Next”, Marque la Prueba de Anderson Darling y marque “OK”
61
Identificación de Modelos
Usando la prueba Anderson Darling, se propone una Distribución Weibull de tres parámetros con = -2.16, =104.66 y =1.0247
Marque “Cancel”, para salir sin cambiar la celda señalada, si marca “OK” la celda quedará con la distribución Weibull como supuesto
Si volvemos a correr toda la secuencia con la opción de Kolmogorov Smirnov, el resultado es igual al de la Anderson Darling
Corriendo la prueba Ji-Cuadrada resulta una exponencial con =0.01
62
LA PRUEBA KOLMOGOROV-SMIRNOV
Otra prueba de bondad de ajuste comúnmente usada en Confiabilidad es la prueba Kolmogorov-Smirnov (K-S).
Es más simple de usar que la prueba 2 y puede dar mejores resultados con muestras pequeñas (10<n<30).
Está basada en la determinación de la MAYOR diferencia absoluta entre la Función de Distribución Acumulada de la muestra y aquella de la Distribución supuesta.
63
LA PRUEBA KOLMOGOROV-SMIRNOV
El procedimiento es:
1.Determine el rango de cada uno de los datos
(en MINITAB, Manip>Rank).
2.Determine el valor del estadístico D (D= max( D+, D- )
a)Determine el valor de D+. Calcule los valores absolutos de Fn(Xi)-F(Xi), Fn(Xi) es el i-ésimo valor de la Función de distribución empírica[Fn(Xi) = i/n] y
F(Xi) es el i-ésimo valor de la Función de distribución supuesta.
b)Determine el valor de D-. Calcule los valores absolutos de Fn(Xi)-F(Xi), Fn(Xi) es el i-ésimo valor de la Función de distribución empírica
[Fn(Xi) =(i-1)/n] y
F(Xi) es el i-ésimo valor de la Función de distribución supuesta.
3.Compare el valor de D con el valor apropiado K-S(Ver Apéndice).
64
LA PRUEBA KOLMOGOROV-SMIRNOVEJEMPLO La tabla muestra los datos de 12 tiempos de falla y todos los cálculos asociados a la determinación del estadístico D. Deseamos probar la hipótesis nula de que los datos provienen de una distribución Normal cuyos parámetros son calculados a partir de la muestra y así calcular los valores de la Función de Distribución supuesta.
Rango Tiempo de Fn(Xi) Fn(Xi) F(Xi) Diferencia C-E Diferencia D-Ei falla(h) c.d.f =i/12 c.d.f=(i-1)/12 c.d.f. Supuesta valor absoluto valor absoluto1 12.2 0.08333333 0 0.026595449 0.056737884 0.0265954492 13.1 0.16666667 0.08333333 0.104660884 0.062005783 0.0213275513 14 0.25 0.16666667 0.281801111 0.031801111 0.1151344444 14.1 0.33333333 0.25 0.307772847 0.025560486 0.0577728475 14.6 0.41666667 0.33333333 0.450046686 0.03338002 0.116713353
6.5 14.7 0.54166667 0.45833333 0.479974538 0.061692129 0.0216412056.5 14.7 0.54166667 0.45833333 0.479974538 0.061692129 0.0216412058 15.1 0.66666667 0.58333333 0.599126365 0.067540301 0.0157930329 15.7 0.75 0.66666667 0.758985426 0.008985426 0.092318759
10 15.8 0.83333333 0.75 0.781824145 0.051509188 0.03182414511 16.3 0.91666667 0.83333333 0.875954386 0.040712281 0.04262105312 16.9 1 0.91666667 0.945967793 0.054032207 0.029301126
Media 14.766667 0.067540301 0.116713353Desv.Est. 1.3275633 Estadístico D= 0.116713353
65
LA PRUEBA KOLMOGOROV-SMIRNOV
El valor de D es 0.1167. De la Tabla de valores críticos Kolmogorov-Smirnov para n = 12, el valor crítico para un nivel de significancia de 0.1 es 0.33815.
Ya que 0.1167 es menor que 0.33815 no puede rechazarse la hipótesis nula a este nivel y aceptamos que los datos provienen de la distribución normal supuesta (con parámetros: media = 14.766 y desviación estándar = 1.327).
Si el nivel de significancia es más estricto, 0.01, para n = 12 el valor crítico es 0.44905. De cualquier forma, no puede rechazarse la hipótesis nula.
66
Identificación de ModelosAhora en Weibull6.0 de Reliasoft: abrir el folio IDENTIFICACION.rw6
67
Identificación de ModelosSiguiendo la Secuencia:
Data>Distribution Wizard Llegamos a la caja de diálogo para seleccionar el modelo de distribución
Empleando la opción Next Step >>
La exponencial de dos parámetros tiene la mejor calificación de bondad de ajuste, la Weibull de 3 el mejor ajuste de datos, la exponencial de un parámetro la mejor verosimilitud
Continuar
68
Identificación de ModelosAhora aparecen los lugares que ocupan las distribuciones de acuerdo a los criterios de bondad de ajuste, gráfica y verosimilitud. En la última columna aparece una ponderación de criterios, la exponencial 2 es la mejor calificada
Finalmente se presenta el lugar de cada modelo de distribución: queda en primero la exponencial de 2 parámetros y en segundo la exponencial de 1 parámetro.
¿Concuerda con la situación física la propuesta?
Marcando Implement Suggestion ...
69
Identificación de Modelos¡Advertencia!, el parámetro de localización (gamma) es negativo.
Aparece = 0.0093 y = -3.3903, marcando graficar...
70
Identificación de Modelos
Obtenemos la gráfica de tiempo contra Confiabilidad en escala logarítmica, también se reportan los valores de los parámetros obtenidos.
Veamos el modelo exponencial con un solo parámetro...
Regresamos a los Datos
1.00
5.00
10.00
50.00
100.00
0 600.00120.00 240.00 360.00 480.00
ReliaSoft's Weibull++ 6.0 - www.Weibull.com
Probability - Exponential
Time, (t)
Rel
iabi
lity,
R(t
)
2/15/02 13:37Mabe 6SigmaD, Balderas
ExponentialData 1
E2 RRX - SRM MEDF=50 / S=0CB[FM]@90.00%1-Sided-L [T2]
71
Identificación de Modelos
Se marca exponencial de un 1 parámetro, y el botón de calcular parámetros.
Aparece el valor de (lambda) calculado.
Veamos la gráfica (Plot of Data1)...
72
Identificación de Modelos
Obtuvimos la gráfica de tiempo contra confiabilidad en escalas logarítmicas, también se reporta el valor de = 0.00951
1.00
5.00
10.00
50.00
100.00
0 600.00120.00 240.00 360.00 480.00
ReliaSoft's Weibull++ 6.0 - www.Weibull.com
Probability - Exponential
Time, (t)
Rel
iabi
lity,
R(t
)
2/15/02 13:51Mabe 6SigmaD, Balderas
ExponentialData 1
E1 RRX - SRM MEDF=50 / S=0CB[FM]@90.00%1-Sided-L [T2]
73
• Ahora Usted...• Abra los datos en distribución.mtw (los
del capítulo 1) y proponga qué modelo de distribución los representa mejor.– Analice los datos en la columna C5– Obtenga las gráficas– Calcule los estadísticos descriptivos– Utilice algún procedimiento automatizado para
identificación de distribución– proponga una distribución
EjercicioEjercicio
74
0 50 100 150 200 250 300
95% Conf idence Interv al f or Mu
60 70 80 90 100 110 120
95% Conf idence Interv al f or Median
Variable: tiempo
A-Squared:P-Value:
MeanStDevVarianceSkewnessKurtosisN
Minimum1st QuartileMedian3rd QuartileMaximum
81.968
55.662
61.055
2.3460.000
98.932065.66714312.171.303991.49195
60
9.520 49.549 76.642136.566302.010
115.896
80.092
98.620
Anderson-Darling Normality Test
95% Conf idence Interv al f or Mu
95% Conf idence Interv al f or Sigma
95% Conf idence Interv al f or Median
Descriptive Statistics
EjercicioEjercicio
75
EjercicioEjercicio
1
5
10
20304050607080
90
95
99
0 100 200 300
Normal
Pe
rce
nt
1
5
10
20304050607080
90
95
99
10 100
Lognormal
Pe
rce
nt
1
2 3
5
10
20
3040
6075
909599
10 100
Weibull
Pe
rce
nt
1030
506070
80
90
95
97
98
99
0 100 200 300 400
Exponential
Pe
rce
nt
Four-way Probability Plot for tiempoNo censoring
76
EjercicioEjercicio
10 100
1
5
10
20304050607080
90
95
99
Lognormal Probability
Per
cent
0 100 200 300 400
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Survival Function
Pro
babi
lity
0 100 200 300 400
0.005
0.010
0.015
Hazard Function
Rat
e
0 100 200 300 400 500 600
0.000
0.005
0.010
Probability Density Function
Overview Plot for tiempoNo censoring
Lognormal
ML Estimates
Location: 4.38759
Scale: 0.66066
MTBF: 100.066
MTB reporta la media y la desviación estándar de los logaritmos de los tiempos
77
EjercicioEjercicio
Weibull6.0 usando el método de máxima verosimilitud para estimar (MLE), propone la lognormal
1.00 1000.0010.00 100.00
1.00
5.00
10.00
50.00
99.00
ReliaSoft's Weibull++ 6.0 - www.Weibull.com
Probability - Lognormal
Time, (t)
Unr
elia
bilit
y, F
(t)
2/15/02 14:15Mabe 6SigmaD, Balderas
LognormalData 1
L2 MLE - SRM MEDF=60 / S=0CB[FM]@90.00%1-Sided-L [T2]
78
EjercicioEjercicio
En Crystall Ball el procedimiento estándar aconseja Lognormal
¿Qué valores son los que calcula?
79
EjercicioEjercicioData Series: 1Anderson-Darling: 0.327935956Distribution: 100.0659366Best fit: Lognormal
Normal 2.345776456Triangular 4.896937116Lognormal 0.327935956Uniform 14.35127689Exponential 4.090623375Weibull 0.787325636Beta 0.852116659Gamma 0.541458952Logistic 1.816998808Pareto 13.38647687Extreme Value 1.019715553
Procedimiento en Crystal Ball 2000
80
Puntos Clave• Los modelos paramétricos tienen muchas ventajas
para modelar situaciones de confiabilidad.• Es necesario asegurar cuál es el modelo más
apropiado para modelar• La decisión depende del conocimiento del
mecanismo de falla y la forma en que se observa.• Las distribuciones tienen parámetros que le dan
ciertas características: forma, escala, localización.• Recuerde siempre confirmar el modelo de
distribución a usar y ver que las propiedades correspondan a lo conocido sobre la falla
81
REFERENCIAS• Statistical Methods for Reliability Data, William Meeker and Luis A. Escobar,
WILEY 1998.• Handbook of Reliability Engineering and Management by W. Grant Ireson,
Clyde F. Coombs, Jr. and Richard Y. Moss, Second Edition McGraw Hill 1996.
• Reliability Modeling, Linda C. Wolstenholme, Chapman & Hall/CRC 1999.• Practical Reliability Engineering, Patrick D. T. O’Connor, Third Edition Revised
WILEY 1999.
• Engineering Statistics Handbook, capitulo 8, en http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/main.htm
• Reliability and Life Testing Handbook, Vols.1 y 2, Dimitri Kececioglu, Prentice Hall, 1991.
• Electronic Component Reliability, Finn Jensen, Wiley, 1998• Reliability Methods for Engineers, K. S. Krishnamoorthi, ASQ Quality Press
1992.• Reliability Statistics, Robert A. Dovich, ASQ Quality Press 1990. • Reliability Engineering Handbook, Bryan Dodson and Dennis Nolan, Marcel
Dekker, Inc/Quality Publishing 1999.• Software - Minitab version 12.2 (Minitab Inc) y WEIBULL 5.0 (Reliasoft)
82
APENDICE
83
Distribución del valor extremo más pequeño (SEV)
ZeZetf 1
)( donde: tZ
Aquí -<< es el parámetro de localización y >0 es el parámetro de escala.
La Función de Densidad de Probabilidad es
La Función de Distribución Acumulada es ZeetF 1)(
La Función de Confiabilidad esZeetR )(
La Función de la Tasa de Falla es
Zeth1
)(
Su media y varianza son:
E(t) = -
VAR(t) = (22)/6
donde: 0.5772 es la constante de Euler
84
FUNCION DE DENSIDAD
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62
TIEMPO
f(t)
t
et
etf1
)(
= 50
= 5
= 6
= 7
85
FUNCION DE CONFIABILIDAD
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62
TIEMPO
R(t)
t
eetR )(
= 50
= 5
= 6
= 7
86
FUNCION DE TASA DE FALLA
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62
TIEMPO
h(t)
t
eth1
)(
= 50
= 5
= 6
= 7
87
De las figuras anteriores se observa que la distribución de valor extremo más pequeño está sesgada a la izquierda. Aunque la mayoría de las distribuciones de tiempo de falla están sesgadas a la derecha, las distribuciones de la resistencia algunas veces estarán sesgadas a la izquierda (porque unas pocas unidades débiles se encuentran en la cola inferior de la distribución, pero un límite superior más rígido para la mayoría de las unidades estará en la cola superior de la distribución de la resistencia).
Si es relativamente pequeña respecto a la Distribución del valor extremo más pequeño (SEV) puede usarse como una distribución de vida.
La exponencialmente creciente h(t) sugiere que la SEV sería adecuada para modelar la vida de un producto que experimenta un desgaste muy rápido después de cierta edad.
88
Distribución del valor extremo más grande (LEV)
ZeZetf
1
)( donde: tZ
Aquí -<< es el parámetro de localización y >0 es el parámetro de escala.
La Función de Densidad de Probabilidad es
La Función de Distribución Acumulada es ZeetF
)(
La Función de Confiabilidad esZeetR
1)(
La Función de la Tasa de Falla es
1
1)( Ze
Z
e
eth
Su media y varianza son:
E(t) = +
VAR(t) = (22)/6
donde: 0.5772 es la constante de Euler
89
FUNCION DE DENSIDAD
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
TIEMPO
f(t)
t
et
e t f1
) (
= 10
= 5
= 6
= 7
90
FUNCION DE CONFIABILIDAD
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
TIEMPO
R(t
)
= 10
= 5
= 6
= 7
t
eetR 1)(
91
FUNCION DE TASA DE FALLA
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
TIEMPO
h(t
)
= 10
= 5
= 6
= 7
1
1)(
t
e
t
e
eth
92
De las figuras anteriores se observa que la Distribución de valor extremo más grande está sesgada a la derecha.
La Función de Riesgo siempre es creciente pero está limitada en el sentido de que el Límite de h(t) cuando t tiende a infinito es igual a 1/.
Aunque la mayoría de las distribuciones de tiempo de falla están sesgadas a la derecha, la distribución LEV no es comúnmente usada como modelo para tiempos de falla. Esto se debe a que la distribución LEV (al igual que la SEV y la Normal) tiene probabilidades positivas de observaciones negativas y hay un número de otras distribuciones sesgadas a la derecha que no tienen esta propiedad.
Sin embargo, la distribución LEV puede usarse como modelo de vida si es relativamente pequeña respecto a >0.
93
DISTRIBUCION GAMMALa Función de Densidad de Probabilidad es
t
ettf
11
)( > 0 es un parámetro de escala y
> 0 es un parámetro de forma
() es la función gamma definida como
0
1 dxex xLa Función de Distribución Acumulada es
t
t
t
ettF0
11)(
La Función de Confiabilidad es
R(t) = 1 - F(t)
La Función de Tasa de Falla es
)()(
)(tRtf
th
La Función de tasa de falla es:
decreciente cuando < 1
constante cuando = 1
creciente cuando > 1
94
FUNCION DE DENSIDAD
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
TIEMPO
f(t)
t
ettf
11
)(
= 1
= 0.8
= 1
= 2
95
FUNCION DE CONFIABILIDAD
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
TIEMPO
R(t)
t
t
t
ettR0
111)(
= 1
= 2
= 1
= 0.8
96
FUNCION DE TASA DE FALLA
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
TIEMPO
h(t)
)()(
)(tRtf
th
= 1 = 0.8 = 1 = 2
97
DISTRIBUCION GAMMA
Si = 1 se tiene la distribución Gamma estándar
tettf
1
)(
La media y la varianza de la distribución Gamma son:
E(T) = y VAR(T) = 2
La distribución Gamma puede ser útil para modelar ciertas distribuciones de vida. Si = 1 produce la distribución Exponencial con = 1/.
Para generar los valores de la Función de Densidad y la Función Acumulada en Excel se debe utilizar la siguiente sintaxis, DISTR.GAMMA(x,alfa,beta,acum), donde acum es un valor lógico:
DISTR.GAMMA(x,alfa,beta,FALSO) determina el valor de la función de densidad.
DISTR.GAMMA(x,alfa,beta,VERDADERO) determina el valor de la Función de Distribución Acumulada.
98
Tamaño dela muestra 0.1 0.05 0.02 0.01
1 0.95 0.975 0.99 0.9952 0.77639 0.84189 0.9 0.929293 0.63604 0.7076 0.78456 0.8294 0.56522 0.62394 0.68887 0.734245 0.50945 0.56328 0.62718 0.668536 0.46799 0.51926 0.57741 0.616617 0.43607 0.48342 0.53844 0.575818 0.40962 0.45427 0.50654 0.541799 0.38746 0.43001 0.4796 0.5133210 0.36866 0.40925 0.45662 0.4889311 0.35242 0.39122 0.4367 0.467712 0.33815 0.37543 0.41918 0.4490513 0.32549 0.36143 0.40362 0.4324714 0.31417 0.3489 0.3897 0.4176215 0.30397 0.3376 0.37713 0.404216 0.29472 0.32733 0.36571 0.3920117 0.28627 0.31796 0.35528 0.3808618 0.27851 0.30936 0.34569 0.3706219 0.27136 0.30143 0.33685 0.3611720 0.26473 0.29408 0.32866 0.35241
TABLA DE VALORES CRITICOS KOLMOGOROV-SMIRNOVNivel de significancia
99
Tamaño dela muestra 0.1 0.05 0.02 0.01
21 0.25858 0.28724 0.32104 0.3342722 0.25283 0.28087 0.31394 0.3366623 0.24746 0.2749 0.30728 0.3295424 0.24242 0.26931 0.30104 0.3228625 0.23768 0.26404 0.29516 0.3165726 0.2332 0.25907 0.28962 0.3106427 0.22898 0.25438 0.28438 0.3050228 0.22497 0.24993 0.27942 0.2997129 0.22117 0.24571 0.27471 0.2946630 0.21756 0.2417 0.27023 0.2898731 0.21412 0.23788 0.26596 0.285332 0.21085 0.23424 0.26189 0.2809433 0.20771 0.23076 0.25801 0.2767734 0.20472 0.22743 0.25429 0.2727935 0.20185 0.22425 0.26073 0.26897
TABLA DE VALORES CRITICOS KOLMOGOROV-SMIRNOVNivel de significancia
100
SOLUCION AL EJERCICIO DE LA PAGINA 11
1. Se determina la confiabilidad en términos de la Función acumulada
R(25) = 1 - F(25) = 1- F(1.666) = 1- 0.95221 = 0.04779
Z = (25-20)/3 = 1.666
2. A partir de la Función acumulada
F(28) - F(25) = F(2.666) - F(1.666) = 0.99617 - 0.95221 = 0.04396
Z = (28-20)/3 = 2.6663.Se determina el valor de la función de densidad de probabilidad Normal estandarizada 2666.1
2
1
2
1666.1 ef
= 0.09947
h(25) = 0.09947/(3*0.04779) = 0.6938 fallas/hora
101
SOLUCION AL EJERCICIO DE LA PAGINA 161. h(t) = = 0.03x10-4 por hora
R(10,000) = e-0.000003x10,000 = 0.97
es decir, el 97% de los sellos durará más de 10,000 horas.
2. MTTF = 1/ = 1/0.03x10-4 = 333,333 horas
3. R(333,333) = e-0.000003x333,333 = 0.368
es decir, sólo el 36.8% de los sellos durará más allá de la vida promedio.
4. Se desea que R(t) = 0.9, es decir, e-0.000003t = 0.9
-0.000003t = ln(0.9) = -0.1054
t = (-0.1054)/(-0.000003) = 35,133 horas
102
SOLUCION AL EJERCICIO DE LA PAGINA 21
1. Determinamos la Confiabilidad a las 2000 horas
R(2000) = 95676.0
5.4
2000
10002000
e
E[NS(2000)] = Número de componentes por R(2000)
= 100 * 0.95676 = 95.676
2. Calculamos la Confiabilidad a las 2100 horas
R(2100) = 0.93438 E[NS(2100)] = 100 * 0.93438 = 93.438
Número esperado de fallas = E[NS(2000)] - E[NS(2100)]
= 95.676 - 93.438 = 2.238
3. La tasa de falla a las 2000 horas es
h(2000) = [4.5/2000][(2000 -1000)/2000]4.5-1 = 0.00019887 fallas/hora
103
SOLUCION AL EJERCICIO DE LA PAGINA 391.Determinamos la Función Acumulada para t = 80
Z = {ln(80) - 5.149}/0.737 = -1.0406, entonces F(80) = F(-1.0406) = 0.1492
es decir, sólo el 14.92% estará por debajo del límite de garantía
2.Determinamos la Confiabilidad a partir de su relación con la Función Acumulada
R(80) = 1 - F(80) = 1 - 0.1492 = 0.8508
es decir, el 85.08% sobrevivirán al límite de garantía
3.Determinamos el MTBF
2
737.0149.5
2
eMTBF = 226.011miles de millas
4.Determinamos h(80)
h(80) = [(-1.0406)/(80x0.737x0.8508)] =[ {1/(2)1/2}{e(-1/2)(-1.0406) }]/50.1631
= 0.0046279 fallas por miles de millas
2