Gua de clase: Coordenadas Polares y Ecuaciones ParamtricasGiovanni Sanabria Brenes - UCR

Contenidos1 Coordenadas Polares 1.1 Sistema de coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Relacin entre las Coordenadas Polares y las Coordenadas 1.3 Trazado de curvas en coordenadas polares . . . . . . . . . 1.3.1 Intersecciones con el eje polar y el eje a 90 . . . . 1.3.2 Simetras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Extensin del lugar geomtrico . . . . . . . . . . . 1.3.4 Trazado de la grca de la curva . . . . . . . . . . 1.4 Algunas grcas de curvas importantes . . . . . . . . . . . 1.5 Interseccin de curvas dadas en coordenadas polares . . . 1.6 Distancia entre puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Ecuacin polar de la recta y la circunferencia . . . . . . . 1.8 Las cnicas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 3 3 4 5 5 7 10 12 13 15 16 16 17 18 18 19 19 21 27 31

2 Ecuaciones paramtricas 2.1 Determinacin de las ecuaciones paramtricas . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Ecuacin rectangular de una curva dada por sus ecuaciones paramtricas 2.3 Grca de una curva a partir de sus ecuacione paramtricas . . . . . . . . 2.3.1 Grca a mano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Grca en Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Representacin paramtrica de las cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Curvas especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Grca de una curva a partir de su ecuacin polar en Geogebra 4 Ejercicios (Tarea)

1

Geometra Anlitica, UCR

Giovanni Sanabria

11.1

Coordenadas PolaresSistema de coordenadas polares

Se pretende denir un sistema de coordenadas para un plano, distinto al Sistema de Coordenadas Rectangulares. Dado un plano , seleccione un punto O que llamaremos polo o origen y considere una semirrecta que tiene su origen en el polo, esta semirrecta la denominamos Eje Polar. Usualmente en las representaciones de un Sistema de Coordenadas Polares, el eje polar se traza de forma horizontal:

O Polo

Eje polar

Dado un punto P en el plano este se identica con un par (r, ) donde r = OP : es la medida del ngulo desde OP al eje polar

Recuerde que si este ngulo se mide en direccin contraria a las manecillas del reloj, esta medida es positiva, de lo contrario la medida es negativa..Adems aceptamos el convenio de que si r es negativo, signica que el rayo OP tiene direccin opuesta al lado nal de :P

P

r O Polo Eje polarrO Polo Eje polar

r positivo

r negativo

El par (r, ) son las coordenadas polares de P y este punto se puede denotar P (r, ). La coordenada r se llama radio vector de P y la coordenada es el ngulo polar, ngulo vectorial o argumento de P. Por lo tanto, dado un par (r, ) podemos encontrar un nico punto P del plano que tenga esas coordenadas y dado un punto P se puede hallar un par (r, ) que corresponden a las coordenadas del punto. Sin embargo, las coordenadas de P no son nicas, pues para todo k Z : (r, ) = (r, + 2k) = (r, + k) As, existen innitas maneras de dar las coordenadas polares de un punto P. Entonces, se dene el par principal de coordenadas de P con las coordenadas (r, ) donde r > 0 y 0 < 360 . 2

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2 Ejemplo 1 Trace los siguientes puntos en un sistema polar: A (1, 135 ) , B 3, . 3 2 . Ejemplo 2 Mencione dos representaciones polares distintas para el punto P 3, 3

1.2

Relacin entre las Coordenadas Polares y las Coordenadas Rectangulares

Teorema 1 Suponga que el polo y el eje polar del sistema de coordenadas polares, coincide, respectivamente, con el origen y la parte positiva del eje X de un sistema de coordenadas rectangulares. Si un punto P tiene coordenadas rectangulares (x, y) y coordenadas polares (r, ) entonces las frmulas de transformacin entre los sistemas son: x = r cos , y = r sen , x2 + y 2 = r2 , y p = tan1 , r = x2 + y 2 , x

Ejemplo 3 Hallar las coordenadas rectangulares del punto P cuyas coordenadas polares son (2, 330 ) . Ejemplo 4 Mencione dos representaciones polares distintas para el punto en coordenadas rectangu lares P 2, 12 1. Hallar la ecuacin polar del lugar geomtrico determinado por la ecuacin rectangular dada.R/ 36 3 + sin2 r2 =

Ejemplo 5 Dada la ecuacin rectangular 3x2 + 4y 2 36 = 0.

2. Determinar las coordenadas rectangulares de un punto del lugar geomtrico que este a una distancia 3 del origen. R/ (0, 3) . Ejemplo 6 Determine la ecuacin rectangular del lugar geomtrico cuya ecuacin polar es r + r2 = 2 1 2 2 sec . R/ x + y = 1 x

1.31.3.1

Trazado de curvas en coordenadas polaresIntersecciones con el eje polar y el eje a 90

El polo se encuentra en la curva si existe al menos un valor de para el cual (0, ) satisface la ecuacin de la curva. Para hallar otras intersecciones, note que: 1. La interseccin con el eje polar distinta al polo se da en los puntos de la forma (r, n) con n Z que satisfacen la ecuacin. n 2. La interseccin con el eje a 90 distinta al polo se da en los puntos de la forma r, con 2 n Z impar que satisfacen la ecuacin. 3

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Ejemplo 7 Determine las interseccin de la curva dada por r2 = 9 cos (2) con el eje a 90 y el eje polar. R/ (3, 0 ) , (3, 0 ) y (0, 45 )

1.3.2

Simetras

Teorema 2 Dada la ecuacin polar de una curva se tiene que La curva es simtrica con respecto a: Eje polar Eje a 90 polo La ecuacin polar no se altera o se transforma en una equivalente si: a) se sustituye por b) se sustituye por , y r por r a) se sustituye por b) se sustituye por , y r por r a) se sustituye por + b) se sustituye r por r

Prueba. Se realizar la prueba para el Eje a 90 . Si la curva es simtrica con respecto al eje a 90 , entonces para todo punto P (r, ) de la curva existe un punto Q en la curva tal que el eje de 90 es mediatriz de P Q :

Eje a 90 Q R P

r

O Polo Eje polar

Note que QR = RP y por LAL se tiene que QRO P RO, por lo tanto = |QO| = r, m]QOR = m]P OR = 2 entonces las coordenadas de Q son (r, ) (r, ) . Como Q es un punto de la curva satisface la ecuacin. Entonces, si la curva es simtrica con respecto al eje a 90 entonces la ecuacin polar no se altera o se transforma en una equivalente si: a) b) se sustituye por se sustituye por , y r por r 4

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Similarmente, si para todo punto P (r, ) de la curva existe un punto Q de coordenadas (r, ) (r, ) entonces se tiene que P y Q son simtricos respecto al eje polar. Por lo tanto, la curva es simtrica con respecto al eje a 90 . Ejemplo 8 Determine las simetras con respecto al eje polar, al eje a 90 y al polo, de la curva dada por r2 = 9 cos (2) . R/ hay simetras con respecto al eje polar, al eje a 90 y al polo.

Ejemplo 9 Determine las simetras con respecto al eje polar, al eje a 90 y al polo, de la curva dada por r=3 1.3.3 Extensin del lugar geomtrico

Dada la ecuacin polar del lugar geomtrico de la forma r = f () si r es nito para todos los valores de , se dice que la curva es cerrada. Para los valores de que hacen que r R no hay curva. Si la curva es cerrada se puede considerar que variacin de , segn / su simetra, se utiliza en la gracacin de la curva. Por ejemplo, si hay simetra en el eje a 90 y la curva es cerrada fcilmente se puede deducir la variacin : para la construccin de la 2 2 grca de la curva. Ejemplo 10 Determine la extensin de la curva dada por r2 = 9 cos (2) 1.3.4 Trazado de la grca de la curva

La construccin del lugar geomtrico de una ecuacin polar seguir los siguientes pasos: 1. Hallar las intersecciones con el eje polar y con el eje a 90 2. Determinar si la curva es simtrica con respecto: al eje polar, al eje a 90 y al polo. 3. Estudiar las extensin de la curva. 4. Clculo de las coordenadas de algunos puntos, consideran las simtrias y la extensin de la curva. 5. Trazado de la grca. Ejemplo 11 Trace la curva cuya ecuacin es r2 = 9 cos (2) Por ejemplos anteriores: 5

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1. Intersecciones con el eje polar y con el eje a 90 : (3, 0 ) , (3, 0 ) y el polo. 2. La curva es simtrica con respecto: al eje polar, al eje a 90 y al polo. 3. Extensin de la curva. La curva es cerrada pues 3 r 3 Si 45 < < 135 no hay curva. Por las simetras, basta considerar la variacin de : 0 45 para su gracacin. Adems: 4. Clculo de las coordenadas de algunos puntos 0 15 30 45 p cos (2) r = 3 cos (2) 1 r 3 3 3 3 2. 791 81 2 2 1 3 2. 121 32 2 2 0 0

5. Grca. Se colocan las intersecciones y los puntos aproximados: (3, 0 ) , (2.79, 15 ) , (2.12, 30 ) y (0, 45 )

y

1.0

0.5

-3

-2

-1

1

2

x

3

-0.5

-1.0

Ejemplo 12 Trace la curva cuya ecuacin es r = 5 sen (3)

6

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y2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

-2

-4

1.4

Algunas grcas de curvas importantesr = a sen (n) o r = a cos (n)

La grca de la curva de la forma

es llamada rosa o curva de ptalos. Si n es par, tiene 2n ptalos y si n impar tiene n ptalos. Ejemplo 13 Seguidamente se presentan algunas curvas de ptalos con las ecuaciones indicadas

y

y

x

x

r = 2 sin (2)

r = 2 cos (2)

y

y

xr = 2 sin (5) La grca de la curva de la forma r2 = a sen (2) es llamada lemniscata y tiene forma de ocho. 7 o r2 = a cos (2) r = 2 cos (5)

x

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Ejemplo 14 Algunas lemniscata son

y

y

x

x

r2 = 3 cos (2)

r2 = 3 cos (2)

y

y

x

x

r2 = 3 sen (2) La grca de la curva de la forma

r2 = 3 sen (2)

o r = a b cos () a es llamada limazon y su forma depende del valor de : b a a a 1