Bloque IIICapa límite
Lección 16Introducción a la
capa límite
Contexto
Bloque III
Capa límite
Bloque IIFlujo ideal
Bloque IIICapa límite
Bloque IVFlujo compresible
Bloque VFlujo turbulento
Bloque IFlujo viscoso
Contenido
• Revisión histórica
• Ejemplos (visualización de flujo)
• Fluido real/ideal
• Analogías transportes moleculares
• Objetivos siguientes lecciones
Bibliografía recomendada
Introducción a la capa límite (I)
Siglo XIX
Hidráulica
Cálculosexperimentales
Hidrodinámica
Soluciones analíticas
F. inerciadespreciables
F. viscosasdespreciables
EcuacionesNavier-Stokes
Muy difíciles de resolver
Finales del s. XIX
Introducción a la capa límite (II)
Contradicción
El agua y el aire tienen viscosidad pequeña
SIN EMBARGO ¡¡la ecuación de Euler falla!!
Introducción a la capa límite (III)
Solución
1904. Ludwig PrandtlIngeniero Alemán3er Congreso Matemático. Heidelberg
“Movimiento de los fluidos con poca fricción”
Introducción a la capa límite (IV)
Definición
Capa límite viscosa: es la zona del flujo donde la viscosidad no se puede despreciar (aunque sea pequeña) debido a la existencia de elevados gradientes de velocidad.
También existen: CL térmica y CL másica
V IF F
Introducción a la capa límite (V)
Placaplana
Trazas departículas:proporcionalesa su velocidad
Introducción a la capa límite (VI)
CuerpoesbeltoÁngulo de ataquepequeño
Ángulo de ataquegrande
Introducción a la capa límite (VII)
Cuerporomo
Estela
Introducción a la capa límite (VIII)
Mecanismos de las capas límite
Fuerzas viscosas
Transporte molecularde cantidad de movimiento
Fluido no deslizasobre una pared
Flujo de calorpor conducción
Transporte molecularde energía
Temperatura fluidoigual temperatura pared
Flujo de especiespor difusión
Transporte molecularde masa
Fracción másica especieigual fracc. más. pared
Introducción a la capa límite (IX)
Fluidos ideales(coef. transp. nulos)
Transporte molecularde cantidad de movimiento
Fluido puede deslizarsobre una pared
Transporte molecularde energía
Temperatura fluidoindependiente
temperatura pared
Transporte molecularde masa
Fracción másica especieindependiente
fracc. más. pared
Introducción a la capa límite (XI)
Fluidos ideales (coef. transp. nulos)
Despreciar las fuerzas viscosasParadoja de D’Alembert
0x yF F
Motivos
• Distribución de velocidades y presiones simétricas
• No se incluyen fuerzas viscosas
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-6 -4 -2 0 2 4 6
Introducción a la capa límite (XII)
Fluidos reales (p.ej. viscosidad no nula)
Se rompe simetría de velocidady presión
Las fuerzas viscosas no son simétricas
Incluimos las fuerzas viscosas
V1
V2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Frame 001 02 Jul 2004
U
Presiones no simétr.sobre esfera Re<<1en corriente uniforme
0yF
0xF
Introducción a la capa límite (XIII)
Definición de las tres CL
Transporte molecularde cantidad de movimiento
no se puede despreciary es del orden de
Convección decantidad de movimiento
Viscosa
Transporte molecularde energía
Convecciónde energía
no se puede despreciary es del orden de
Térmica
no se puede despreciary es del orden de
Transporte molecularde masa
Convecciónde masa
Másica
Introducción a la capa límite (XIV)
Analogías tres transportes moleculares
Térmica
y
T(y)
eT
ideal
T
pT
Másica
y
Y(y)
eY
ideal
Y
pY
Viscosa
y
u(y)
eU
ideal
0U
Lección 17Conducción de calor
no estacionaria
Contexto
Bloque III
Capa límite
Bloque IIFlujo ideal
Bloque IIICapa límite
Bloque IVFlujo compresible
Bloque VFlujo turbulento
Bloque IFlujo viscoso
Contenido
• Ecuaciones, órd. magn.
• Solución de semejanza
• Relación conducción/convección
• Números adimensionales
Bibliografía recomendada
Conducción calor no estacionaria (I)
y
eT
pT
t=0
Conducción calor no estacionaria (II)
T=Tp T=Te
Pared
eje y
0t
Conducción calor no estacionaria (II)
t
T=Tp T=Te
Pared
eje y
Conducción calor no estacionaria (III)
AireTe=300 K =2.2e-5 m2/s T=100 K
Cp=1005 m2/(s2 K) =1.225 kg/m3
Tiempo(s)
T(mm)
T/ T(1 s)qCp
(W/m2)qCp/ qCp(1 s)
1 4.7 1 -326.5 1
60 36.4 7.7 -42 0.13
Conducción calor no estacionaria (IV)
eT
pTPared fría
Partícula fluidacaliente
Cpq Cpq Cpq
p eT T
Cpq
Conducción calor no estacionaria (V)
Prandtl Pr
transp. molec. cantidad mvto.
transp. molec. energia
Lewis Le D
transp. molec. energia
transp. molec. masa
Schmidt Sc D
transp. molec. cantidad mvto.
transp. molec. masa
Stanton térmico
StaT ( )c
e p e p
q
U c T T
conduccion
conveccion
Stanton másico
StaY ( )
Y
e e p
f
U Y Y
difusion
conveccion
Números adimensionales
Conducción calor no estacionaria (VI)
Nusselt Nux cqT
kx
Flujo de calor por conducción
adimensionalizado
Coeficiente de fricción
Cf
2
12
p
eU
Flujo de cantidad de movimiento respecto a
presión dinámica
Sherwood Shx f Y
YD
x
Flujo másico por difusión
adimensionalizado
Peclet térmico PeTx eU x
conveccion
conduccion
Peclet másico PeYx eU x
D
conveccion
difusion
Reynolds Re eU x
conveccion
Fuerzas viscosas
Núm
eros
adi
men
sion
ales
Lección 18Ecuaciones de
capa límite viscosa, térmica y másica
Contexto
Bloque III
Capa límite
Bloque IIFlujo ideal
Bloque IIICapa límite
Bloque IVFlujo compresible
Bloque VFlujo turbulento
Bloque IFlujo viscoso
Contenido
• Ecuaciones, hipót. y órd. magn.
• Simplificaciones
• Ecuaciones de las capas límite
• Condiciones de contorno
• Ejemplo
Bibliografía recomendada
Ecuaciones de capa límite (I)
2 2
2 2
1u u P u uu v
x y x x y
0u v
x y
2 2
2 2
1v v P v vu v
x y y x y
U V
L
2
2 2 xPU U U U
VL L L
2
2 2 yPV V V V
UL L
y
u(x,y)
eU
x
L
Ec. continuidad
Ec. cantidadde movimiento
Ecuaciones de capa límite (II)
2 2
2 2
T T T Tu v
x y x y
2 2
T T
T T T TU V
L L
y
T(x,y)
eT
Tx
L
2 2
2 2
Y Y Y Yu v D D
x y x y
2 2
Y Y
Y Y Y YU V D D
L L
y
Y(x,y)
eY
Yx
L
Temperatura
Especie quím.
Ecuaciones de capa límite (II)
2 2
2 2
T T T Tu v
x y x y
2 2
T T
T T T TU V
L L
2 2
2 2
Y Y Y Yu v D D
x y x y
2 2
Y Y
Y Y Y YU V D D
L L
2 2
2 2
1u u P u uu v
x y x x y
2 2
2 2
1v v P v vu v
x y y x y
2
2 2 xPU U U U
VL L L
2
2 2 yPV V V V
UL L
0u v
x y
U V
L
Ecuaciones de capa límite (III)
2
2
T T Tu v
x y y
2
2
Y Y Yu v D
x y y
2
2
1u u P uu v
x y x y
0u v
x y
Capa límiteviscosa
Capa límitetérmica
Capa límitemásica
0P
y
Ecuaciones de capa límite (IV)
Líquidos GasesMetaleslíquidos
Pr>>1Sc>>1
Pr ~ 1 Pr<<1
>> T
>> Y
~ T << T
aguaaceite
AirePr = 0.7
Plomo (450 ºC)
Pr = 0.014
1/ 2PrT
1/ 2
Y
Sc
T
Y
Lección 19Analogías. Solución de Blasius para CL viscosa
Contexto
Bloque III
Capa límite
Bloque IIFlujo ideal
Bloque IIICapa límite
Bloque IVFlujo compresible
Bloque VFlujo turbulento
Bloque IFlujo viscoso
Contenido
• Analogías
• Hipótesis y adimensionalización de ecuaciones.
• Solución de semejanza capa límite viscosa (Blasius)
• Función de corriente.
• Método de disparo.
• Coef. de fricción, espesor CL, fuerza viscosa
Bibliografía recomendada
2
2
T T Tu v
x y y
Analogías de capa límite (I)
2
2
Y Y Yu v D
x y y
2
2
1u u P uu v
x y x y
Analogías de capa límite (II)
2
2e e
v
x U y U y
U U U
U
2
2e e
v
x U y U y
U
Q Q Q
2
2e e
v
x U y U y
Y Y Y
U
0 =0
/ 1
y
y
U
U
0 =0
/ 1
y
y
Q
Q
0 =0
/ 1
y
y
Y
Y
Solución semejanza CL viscosa (I)
2
2
u u uu v
x y y
0u v
x y
0 =0
/ e
y u v
y u U
u
y
u(x,y)
eU
x
1/ 21/ 2( ) Re /x ex x x U
Solución semejanza CL viscosa (II)
Método de disparo (shooting)
(1) Elegir ángulo alfa(pendiente)
(3) ¿Objetivo alcanzado?(2) Avanzar la solución
No
Solución semejanza CL viscosa (III)
Método de disparo (shooting)
''' '' 0f f f Ecuación original:
(1) Defino nuevas funciones:
'
' ''
g f
h g f
(2) Calculo las derivadas:
'
'
'
f g
g h
h f h
(3) Elijo un valor para h (=f ’’)
(4) Avanzo las soluciones:
( ) '
( ) '
( ) '
f d f d
g d g d
h d h d
(5) Si en = no obtengo la CC,volver al paso 3
Solución semejanza CL viscosa (IV)
eta f f' f''0,0000 0,0000 0,0000 0,4580
0,0400 0,0000 0,0183 0,4580
0,0800 0,0007 0,0366 0,4580
0,1200 0,0022 0,0550 0,4580
0,1600 0,0044 0,0733 0,4579
0,2000 0,0073 0,0916 0,4579
0,2400 0,0110 0,1099 0,4577
0,2800 0,0154 0,1282 0,4575
0,3200 0,0205 0,1465 0,4572
0,3600 0,0264 0,1648 0,4569
0,4000 0,0330 0,1831 0,4564
0,4400 0,0403 0,2013 0,4558
0,4800 0,0483 0,2196 0,4551
0,5200 0,0571 0,2378 0,4542
0,5600 0,0666 0,2559 0,4531
0,6000 0,0769 0,2741 0,4519
0,6400 0,0878 0,2921 0,4505
0,6800 0,0995 0,3102 0,4490
··· ··· ··· ···
eta f f' f''
··· ··· ··· ···
3,3200 2,0727 0,9877 0,0372
3,3600 2,1122 0,9891 0,0341
3,4000 2,1517 0,9905 0,0312
3,4400 2,1914 0,9918 0,0286
3,4800 2,2310 0,9929 0,0261
3,5200 2,2708 0,9939 0,0237
3,5600 2,3105 0,9949 0,0216
3,6000 2,3503 0,9958 0,0196
3,6400 2,3901 0,9965 0,0177
3,6800 2,4300 0,9973 0,0160
3,7200 2,4699 0,9979 0,0145
3,7600 2,5098 0,9985 0,0131
3,8000 2,5497 0,9990 0,0117
3,8400 2,5897 0,9995 0,0105
3,8800 2,6297 0,9999 0,0095
3,9200 2,6697 1,0003 0,0085
3,9600 2,7097 1,0006 0,0076
4,0000 2,7497 1,0009 0,0067
Solución numéricaecuación BlasiusMétodo de “shooting”
Variando f ‘’(0)
hemos conseguidocumplir la CC f ’()=1
Solución semejanza CL viscosa (V)
Perfiles develocidadobtenidosec. Blasius
Anchura capa límite
Placaplana
Solución semejanza CL viscosa (VI)
Solución deBlasius
Comparaciónconexperimentos
Solución semejanza CL viscosa (VI)
Solución semejanza CL viscosa (IV)
eta f f' f''0,0000 0,0000 0,0000 0,4580
0,0400 0,0000 0,0183 0,4580
0,0800 0,0007 0,0366 0,4580
0,1200 0,0022 0,0550 0,4580
0,1600 0,0044 0,0733 0,4579
0,2000 0,0073 0,0916 0,4579
0,2400 0,0110 0,1099 0,4577
0,2800 0,0154 0,1282 0,4575
0,3200 0,0205 0,1465 0,4572
0,3600 0,0264 0,1648 0,4569
0,4000 0,0330 0,1831 0,4564
0,4400 0,0403 0,2013 0,4558
0,4800 0,0483 0,2196 0,4551
0,5200 0,0571 0,2378 0,4542
0,5600 0,0666 0,2559 0,4531
0,6000 0,0769 0,2741 0,4519
0,6400 0,0878 0,2921 0,4505
0,6800 0,0995 0,3102 0,4490
··· ··· ··· ···
eta f f' f''
··· ··· ··· ···
3,3200 2,0727 0,9877 0,0372
3,3600 2,1122 0,9891 0,0341
3,4000 2,1517 0,9905 0,0312
3,4400 2,1914 0,9918 0,0286
3,4800 2,2310 0,9929 0,0261
3,5200 2,2708 0,9939 0,0237
3,5600 2,3105 0,9949 0,0216
3,6000 2,3503 0,9958 0,0196
3,6400 2,3901 0,9965 0,0177
3,6800 2,4300 0,9973 0,0160
3,7200 2,4699 0,9979 0,0145
3,7600 2,5098 0,9985 0,0131
3,8000 2,5497 0,9990 0,0117
3,8400 2,5897 0,9995 0,0105
3,8800 2,6297 0,9999 0,0095
3,9200 2,6697 1,0003 0,0085
3,9600 2,7097 1,0006 0,0076
4,0000 2,7497 1,0009 0,0067
Solución numéricaecuación BlasiusMétodo de “shooting”
Podemoscalcular
Solución semejanza CL viscosa (VI)
y
x
L
bdx
' ( )p x
Lección 20Soluciones de
semejanza de las CL térmica y másica
Contexto
Bloque III
Capa límite
Bloque IIFlujo ideal
Bloque IIICapa límite
Bloque IVFlujo compresible
Bloque VFlujo turbulento
Bloque IFlujo viscoso
Contenido
• Solución de semejanza capa límite térmica (Pohlhausen)
• Variable de semejanza
• Flujo de calor por conducción a la pared
• Número de Nusselt, Stanton térmico
• Solución de semejanza capa límite másica
Bibliografía recomendada
Solución semejanza CL térmica (I)
2
2
T T Tu v
x y y
0
/
p
e
y T T
y T T
( , ) '( )
( , ) / 2 ( ) '( )
e
e
u x y U f
v x y U x f f
Solución semejanza CL térmica (II)
''
0
''
0
Pr ( ') '
0
Pr ( ') '
0
''( )
''
e
e
f d
f d
d
d
Solución semejanza CL térmica (III)
Solución semejanza CL térmica (III)
1
0
0 4
Solución semejanza CL térmica (IV)
y
x
L
bdx( )Cpq x
Lección 21Ecuación integral CL
viscosa: ec. von Karman
Contexto
Bloque III
Capa límite
Bloque IIFlujo ideal
Bloque IIICapa límite
Bloque IVFlujo compresible
Bloque VFlujo turbulento
Bloque IFlujo viscoso
Contenido
• Ec. continuidad integral
• Ec. cantidad movimiento integral
• Ec. von Karman
• Espesores de desplaz. y CM.
• Integración ec. von Karman (polinomios)
Bibliografía recomendada
Ecuaciones integrales (I)
e
dU b dx
dx
0
ubdy
0 0
dubdy ubdy dx
dx
0 0 0
0e
d dubdy U b dx ubdy ubdy dx
dx dx
z. ext
CL
dx
( )
0
0x
e
d dU udy
dx dx
Ec. de continuidadintegral
BALANCE DE MASA
Ecuaciones integrales (II)
2e
dU b dx
dx
2
0
u bdy
2 2
0 0
du bdy u bdy dx
dx
z. ext
CL
dx
BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
(1) Flujos de cantidad de movimiento
Ecuaciones integrales (III)
p b
A B C
presion media A-C
1
2
dp dp p dx dx b
dx dx
dp b p b dx
dx
BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
(2) Fuerzas de presión y viscosas
dx
'pbdx
Ecuaciones integrales (IV) BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Ecuación
2 2 2 2
0 0 0
'
presion media A-C
1
2
e
p
d du bdy U b dx u bdy u bdy dx
dx dx
dp d dp b p p dx dx b p b p b dx bdx
dx dx dx
A B C
dx
Ecuaciones integrales (V)
y
x
L
bdx
' ( )p x
Ecuaciones integrales (VI)
0,0000
0,1000
0,2000
0,3000
0,4000
0,5000
0,6000
0,7000
0,8000
0,9000
1,0000
0,0000 0,2000 0,4000 0,6000 0,8000 1,0000u/Ue
eta
N=1
Exacta (Blasius)
Ecuaciones integrales (VII)
0,0000
0,1000
0,2000
0,3000
0,4000
0,5000
0,6000
0,7000
0,8000
0,9000
1,0000
0,0000 0,2000 0,4000 0,6000 0,8000 1,0000u/Ue
eta
N=1
N=2
N=3
N=4
Exacta (Blasius)
Ecuaciones integrales (VIII)
N=1 err. 13%
N=2 err. 10%
N=3 err. 3%
N=4 err. 10%
Blasius
/ eu U 1/ 20.577 Ref xC
2/ 2eu U 1/ 20.73Ref xC
33 1/
2 2eu U 1/ 20.644Ref xC
3 4/ 2 2eu U 1/ 20.685Ref xC
/ ( )eu U f 1/ 20.664Ref xC
Lección 22Ec. integrales de las CL
térmica y másica
Contexto
Bloque III
Capa límite
Bloque IIFlujo ideal
Bloque IIICapa límite
Bloque IVFlujo compresible
Bloque VFlujo turbulento
Bloque IFlujo viscoso
Contenido
• Conservación de la energía en forma integral
• Espesor de energía (y relación StaT)
• Integración ec. energía polinómicos
• Número de Nusselt
• Ec. integral CL másica
Bibliografía recomendada
Ec. integral CL térmica (I)
0
T
puC Tbdy
0
0
T
T
p
p
uC Tbdy
duC Tbdy dx
dx
CLT
dx
CLV
J/kg
0
T
m
p e
m
dubdy dx C T
dx
( )cpq x bdx
Ec. integral CL térmica (II)
0 0
0 0
+
( )
T T
T T
p p e
p p cp
duC Tbdy ubdy dx C T
dx
duC Tbdy uC Tbdy dx q x bdx
dx
CLT
dx
CLV
CLT
dx
CLV
Ec. integral CL térmica (III)
y
x
L
bdx( )Cpq x
Ec. integral CL térmica (III)
Pr 0.7 1 10 100 1000
f(Pr) 0.881 1.000 2.193 4.734 10.20
r-1(Pr) 0.878 1.000 2.226 4.831 10.43
Solución “exacta” Pohlhausen:
Solución ec. integral (N=4):1/ 2 10.342Rex xNu r
1/ 20.332Re (Pr)x xNu f
Lección 23Desprendimiento de la
capa límite viscosa.Solución Pohlhausen
dp/dx no nulo
Contexto
Bloque III
Capa límite
Bloque IIFlujo ideal
Bloque IIICapa límite
Bloque IVFlujo compresible
Bloque VFlujo turbulento
Bloque IFlujo viscoso
Contenido
• Gradientes adv./favor. presión
• Desprendimiento de la CL
• Estela
• Consecuencias desprendimiento
• Punto de inflexión
• Diferencias laminar/turbulentoDesp
ren
dim
ien
to d
e la C
L
Contenido
• Perfil polinómico velocidad
• Factor de forma
• Espesores y esfuerzo pared
Solu
ción
Poh
lhau
sen
d
p/d
x n
o n
ulo
Bibliografía recomendada
Desprendimiento CL viscosa (I)
2
2
1u u P uu v
x y x y
0u v
x y
Desprendimiento CL viscosa (I)
0edU
dx 0
dp
dx
DIFUSOR
gradiente adverso
0edU
dx 0
dp
dx
CONTRACCIÓN
gradiente favorable
Desprendimiento CL viscosa (I)
0dp
dx0
dp
dx
Ue
Desprendimiento CL viscosa (I)
Desprendimiento CL viscosa (I)
Desprendimiento CL viscosa (I) Sin desprendimiento de CL
Cuerpoesbelto
Desprendimiento CL viscosa (I)
Desprendimiento de CLCuerpopocoesbelto
Desprendimiento CL viscosa (I)
Desprendimiento de CLCuerpoesbeltoáng. ataq.
Desprendimiento CL viscosa (I)
Desprendimientode vórtices y transporteaguas abajo
Desprendimiento CL viscosa (I)
Gradientefavorablede presión
Gradienteadversode presión
Desprendimiento CL viscosa (I)
Pelotade golf
Lección 24Capa límite turbulenta
Contexto
Bloque III
Capa límite
Bloque IIFlujo ideal
Bloque IIICapa límite
Bloque IVFlujo compresible
Bloque VFlujo turbulento
Bloque IFlujo viscoso
Contenido
• Transición CL laminar a turbulenta
• Tipos de torbellinos
• Ecuaciones promediadas
• Esfuerzos de Reynolds
• Flujos turbulentos de calor y masa
• Viscosidad turbulenta
• Regiones CL turbulenta
• Perfiles velocidad, temperatura y concentración
Bibliografía recomendada
Capa límite turbulenta (I)
y
x 5Re 10 5Re 5 10
Laminar
TransiciónTurbulenta
Capa límite turbulenta (II)
t
u
uu’
'u u u
Capa límite turbulenta (III)
' '1 1 ji ii j
i i j i
uDu upu u
Dt x x x x
Capa límite turbulenta (IV)
u
log( )y
Capa límite turbulenta (V)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 20 40 60 80 100
t(x,1)t(x,5)
t(x,10)t(x,20)
T
y
Capa límite turbulenta (VI)
1/5 2/3
4 /5 1/3
0.0296Re Pr
0.0296Re Pr
T x x
x x
Sta
Nu
1/5 2/3
4 /5 1/3
0.0296Re Sc
0.0296Re Sc
Y x x
x x
Sta
Sh
Capa límitetérmica turbulenta
Capa límitemásica turbulenta
Capa límite turbulenta (VII)
y
x 5Re 10 5Re 5 10
Laminar
TransiciónTurbulenta
XTR
L