�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
97
CAPITOLUL 3
MODELAREA DINAMIC� �I ANALIZA PERFORMAN�ELOR DINAMICE ALE ECHIPAMENTELOR HIDRAULICE
3.1. Modelarea analogic� a proceselor. În capitolul 2 au fost scrise ecua�iile diferen�iale ce descriu procesul dinamic din majoritatea componentelor uzuale în ac�ionarea hidraulic� a utilajelor tehnologice �i au fost realizate modelele multipolare dinamice pentru majoritatea componentelor hidrostatice uzuale. Pe baza acestora, dup� liniarizarea ecua�iilor componente, aplicînd transformata Laplace pentru condi�ii ini�iale nule, se deduce func�ia de transfer total�, a respectivei componente. Cunoa�terea func�iilor de transfer pentru fiecare component� permite realizarea schemelor bloc �i scrierea func�iei de transfer pentru intregul sistem hidrostatic de ac�ionare. Pe baza func�iei de transfer totale a unei componente sau a întregului sistem se vor studia performan�ele generalizate ale componentei sau sistemului respectiv. În abordarea model�rii analogice a unei componente sau sistem de ac�ionare se recomand� parcurgerea urm�toarelor etape [ ]19 : • scrierea modelului matematic adecvat comport�rii fizice a sistemului
studiat(CAP. 2); • liniarizarea prin metoda cea mai convenabil�, a modelului matematic
determinat anterior; • aplicarea transformatei Laplace pentru condi�ii ini�iale nule; • stabilirea m�rimilor de consemn, asupra c�rora se va interveni prin simulare
numeric� cu diverse valori �i care pentru un anumit moment, pot fi considerate constante;
• verificarea rela�iei de existent� a schemei bloc; • în cazul în care nu se verific�, se reface modelul matematic �i se restabilesc
m�rimile de intrare-stare-ie�ire; • reluarea verific�rii rela�iei de existen�� a schemei bloc;
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
98
• dac� rela�ia este îndeplinit� pe baza modelului matematic, se realizeaz� schema bloc. Schema bloc utilizabil� trebuie s� fie ridicat� pe model liniar sau liniarizat;
• determinarea, pe baza schemei bloc liniare, a func�iei de transfer totale. Pentru reprezentarea unui model matematic ce caracterizeaz� comportarea dinamic� a unui element component sau sistem prin scheme bloc func�ionale pe model multivariabil, este necesar s� fie îndeplinit� rela�ia:
1=++− pcienecec NNNN ; (3.1) unde: ecN este num�rul ecua�iilor sistemului dinamic; necN - num�rul total de necunoscute cuprinse în modelul matematic; ieN - num�rul de m�rimi de intrare-ie�ire; pcN - num�rul parametrilor de consemn prestabili�i. Principalele performan�e generalizate ale unor componente sau sistem hidraulic de ac�ionare sunt definite pentru dou� regimuri func�ionale ale componentei sau sistemului �i anume:
• Regimul sta�ionar sau permanent; • Regimul tranzitoriu sau nepermanent. Prezenta parte a c�r�ii î�i propune, în special, analiza performan�elor în regim nepermanent..
Analiza performan�elor generalizate se realizeaz� pornind de la func�ia de transfer a componentei sau sistemului studiat, definit� prin rela�ia:
raredemarimea
iesiredemarimea
sXsX
Gi
eS int)(
)()( == ; (3.2)
Dup� modul de varia�ie a m�rimii de ie�irii eX , când la intrare se aplic� o func�ie de intrare tip ( iX ), se pot aprecia performan�ele func�ionale ale componentei sau sistemului respectiv, ce rezult� din rela�ia:
)()()( sXsGsX ie ⋅= ; (3.2*)
)()( sXsisX ei reprezint� func�iile imagine bazate pe transformata sau integrala LAPLACE. Func�ia de transfer este no�iunea fundamental� utilizat� în teoria sistemelor de reglare automat� din care sistemele de ac�ionare hidraulic� fac parte integrant�.
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
99
Rela�ia (3.2) poate fi reprezentat� prin schema bloc din figura 3.1.
x si ( ) x se( )G S( )
Fig. 3.1
3.1.1. Func�ii de intrare tip. Func�iile uzuale de intrare utilizate în analiza performan�elor comport�rii dinamice a componentelor �i S.A.H sunt: 3.1.1.1. Func�ia de intrare TREAPT� (�� ) Imaginea grafic� a acestei func�ii, este prezentat� în figura 3.2, al�turi de modul de definire a acesteia (rela�ia (3.3)).
���
>=≤=
=0)(
00)()(
tptrktU
tptrtUtX
T
Ti ; (3.3)
�����������
Pentru k =1, rezult� func�ia treapt� unitar�, definit� mai jos: Func�ia treapt� unitar� este reprezentat� în figura 3.2*, �i are expresia:
���
>≤
=0100
)(1tptr
tptrt ; (3.3)
Fig. 3.2*
0 Timp [sec, msec]
x t
1( )t1
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
100
R�spunsul unui element, a unei componente sau sistem, la un semnal treapta unitar�, în condi�ii ini�iale nule, se nume�te func�ie indicial�, notat� g(t). Expresia matematic� a func�iei g(t) se ob�ine prin rezolvarea ecua�iei diferen�iale sau opera�ionale care corespunde condi�iilor ini�iale nule. R�spunsurile tipice ale sistemului, la semnal treapt� unitar� sunt prezentate principial in figura 3.3 (a,b).
Fig.3.3
Semnalul treapt� unitar� este frecvent întâlnit în analiza comport�rii dinamice reprezentând o serie important� de manifest�ri practice ale S.H.A cum ar fi: pornirea motorului termic sau electric a sistemului; deschiderea unei supape de protec�ie sau reglaj de presiune; comanda cilindreei unei pompe; conectarea curentului electric la o component� ac�ionat� electric; trecerea de la o stare la alta a unui distribuitor hidraulic, etc. 3.1.1.2. Func�ia de intrare RAMPA (�
)
Imaginea grafic� a acestei func�ii, este prezentat� în figura 3.4, al�turi de modul de definire a acesteia (rela�ia (3.4)):
���
>=≤=
=0;.;)(
0;.;0)()(
tptrkttU
tptrtUtX
R
Ri ; (3.4)
Fig.3.4
Pentru k=1, rezult� func�ia ramp� unitar� reprezentat� în figura 3.5.
0 Timp [sec, msec]
1( )t
g t( )
x xi e;
0 Timp [sec, msec]
x xi e;
1( )t
g t( )
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
101
Se observ� c� func�ia ramp� unitar� se ob�ine pentru α = ��� �i se define�te prin rela�ia (3.4*).
���
>≤
=0;0;0
)(tpentrut
tpentrutX i ; (3.4*)
Din compararea rela�iilor (3.3) �i (3.4*), rezult� c� func�ia ramp� unitar� reprezint� viteza de varia�ie a semnalului treapt� unitar�. Aceasta rezult� din faptul c� derivata în raport cu timpul a semnalului ramp� unitar� este semnalul treapt� unitar�. Rela�ia poate fi extins� �i lasemnalele ramp� �i treapt�. Semnalul ramp� unitar� este mai pu�in utilizat în analiza comportarii dinamice a S.A.H. 3.1.1.3. Func�ia de intrare IMPULS (δ � �� ) Imaginea grafic� �i modul de definire a func�iei este prezentat în figura 3.5. �i rel (3.5).
kdttt == �+
−
ε
εδδ )()( ; (3.5)
Fig.3.5 Semnalul unitar corespunz�tor func�iei impuls se nume�te func�ia impuls unitar sau func�ia Dirac, care reprezint� o derivat� a func�iei treapta unitar�. Func�ia Dirac este reprezentat� prin rela�ia:
���
≠=∞+
== �∞+
∞− 0;00;
)( tpentru
tpentrudtI tδ ; (3.5*)
Reprezentarea grafic� a func�iei Dirac, este prezentat� în figura 3.6.
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
102
R�spunsul unui element, a unei componente sau a unui sistem la semnal de intrare impuls unitar se nume�te func�ie pondere (� �� � ).
Reprezent�rile tipice ale acestei func�ii sunt prezentate în figura 3.7 (a, b).
Fig. 3.6
���� (b)
Fig. 3.7
Leg�tura între func�ia pondere (� �� � ) �i func�ia indicial� (� �� � ), se exprim� prin rela�iile (3.6).
dthg
dtdgght
tt
tt
�=
==
0)()(
)()( /�
; (3.6)
Din rela�iile (3.6) rezult� c� dac� se ob�ine r�spunsul unui sistem la semnal treapta unitar� deci se ob�ine func�ia indicial� )(tg , r�spunsul la semnal Dirac deci func�ia pondere � �� � se ob�ine prin derivarea func�iei indiciale. Exemplele de semnale de tip impuls unitar, au drept corespondent fizic urm�toarele fenomene:
• Cre�terea brusc� a sarcinii la axul motorului hidraulic; • Cre�terea brusc� a presiunii pe o ramur� a S.A.H.; • Apari�ia unui scurtcircuit electric în sistemul de alimentare cu energie
electric� a S.A.H.; • Întreruperea brusc� a unei leg�turi hidraulice;
x i
0 Timp [sec, msec]
I
0 Timp [sec, msec]
x xi e;
h t( )
0 Timp [sec, msec]
x xi e;
h t( )
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
103
• Deschiderea brusc� a unui distribuitor hidraulic, etc; 3.1.1.4. Func�ia de intrare SINUS (COSINUS) Matematic, semnalul de intrare sinusoidal se exprim� cu una din func�iile trigonometrice circulare �i anume:
)cos()(
)sin()(
ϕωϕω
+=+=
tXtX
tXtX
Ii
Ii sau; (3.7)
unde: IX - reprezint� amplitudinea semnalului de intrare; ω - reprezint� pulsa�ia sau frecve�a circular� �i este definit� prin rela�ia
fπω 2= , f- fiind frecven�a (num�rul perioadelor pe secund�)
;2
;1
ωπ== T
Tf T- fiind perioada func�iei;
ϕ - reprezint� defazajul func�iei. imaginea grafic� a acestui semnal este pentru func�ia sin, reprezentat� în figura 3.8. Prin reprezentarea rela�iilor 3.7 cu ajutorul ecua�iilor Euler:
���
���
ω
ω
ω ω
ω ω
�� �
�
�� �
� � � �
� � � �
= −
= +
−
−
; (3.8)
rezult� c� semnalul sinusoidal poate fi exprimat �i interpretat sub forma
Fig. 3.8 [ ])sin()cos()( ϕωϕωϕω +++=+ titXeX ItiI ; (3.9) ce poate fi reprezentat în planul complex sub forma unui fazor (figura 3.9).
R�spunsul unui element, a unei componente sau a unui sistem la un semnal de intrare sinusoidal, va fi tot un semnal sinusoidal exprimat prin relatia:
)sin()( ϕω += tXtX Ee ; (3.10)
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
104
Semnalul de ie�ire )(tX e are alt� amplitudine ( IE XX ≠ ) �i alt� valoare a defazajului ( ϕφ ≠ ), datorit� disip�rilor energetice ce au loc în sistem. �i semnalul de ie�ire poate fi interpretat ca fazor dup� rela�iile (3.8), (3.9), cu nota�iile corespunz�toare pentru amplitudine �i faz�. 3.1.1.5. Func�ii de intrare periodice oarecare Exist� situa�ii în care m�rimea de intrare este o func�ie periodic� dar de form� pu�in regulat�, a�a cum rezult� din figura 3.10.
O asemenea func�ie con�ine un num�r de armonici de frecven�� diferit� �i ca urmare semnalul poate fi desfa�urat în serie trigonometric� Fourier �i va avea expresia:
Fig. 3.10
��∞
=
∞
=++=
11
0 sincos2
)(n
nn
ni tnbtnaa
tX ωω ; (3.11)
unde: nn baa ;;0 sunt coeficien�ii seriei Fourier. Asemenea semnale de intrare sunt mai pu�in utilizate în cazul analizei dinamice a S.A.H, datorit� complexit��ii lor, dar au larg� utilizare în cazul sistemelor hidraulice comandate electronic (servosisteme electrohidraulice). 3.1.1.6. Func�ii de intrare de expresie oarecare Exist� situa�ii cînd func�ia de intrare nu se exprim� prin func�iile de intrare tip prezentate anterior, func�ia având o expresie matematic� oarecare definit� prin rela�ia general�:
)()( tftX i = ; (3.12)
x i
0 Timp [sec, msec]
x ti ( )
T
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
105
Expresia acestei func�ii în timp poate fi reprezentat� printr-un grafic ca cel din figura 3.11.
Fig. 3.11 În asemenea situa�ii se împarte abscisa în portiuni elementare, de marime egal� ∆τ �i se noteaz� cre�terile ordonatelor sale cu ∆� � . Se înlocuieste astfel curba propriuzis� într-o serie de func�ii treapt� cu valorile ∆ ∆ ∆� � �
� � � � s.a.m.d.
R�spunsul elementului, componentei sau sistemului va fi o succesiune de r�spunsuri la semnalele treapt�. Dac� intervalul de timp ∆τ , poate fi redus la valori elementare, foarte mici semnalul poate fi interpretat �i ca o succesiune de semnale impuls de m�rimi corespunz�toare ordonatelor func�iei f(t). 3.1.2. Elemente de calcul opera�ional necesare rezolv�rii ecua�iilor diferen�iale liniare. Calulul opera�ional a ap�rut ca o succesiune de opera�ii formale aplicate simbolului de derivare prin care opera�ia dtd /)(• a fost înlocuit� cu operatorul S. În consecin��, derivata unei func�ii oarecare f(t) se reduce la rela�ia:
)()();( tfstfsautfsdtdf ⋅=⋅= � ; (3.13)
iar în condi�ii initiale nule (f(0) = 0), se poate scrie:
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
106
�=t
duuftf0
)()( � , de unde rezult� Stf
tf)(
)(�
= (3.14)
sau
� � =⋅=t t
Stf
duufS
duuf0 0
)()(
1)( �
În concluzie: • derivarea unei func�ii se reduce la înmul�irea func�iei cu operatorul S; • integrarea unei func�ii se reduce la împ�rtirea func�iei cu operatorul S;
Esen�a procesului de rezolvare a ecua�iilor diferen�iale sau integrale se reduce la urm�toarele: � considerând func�ia original f(t), cunoscut�, se deduce, dup� reguli
prestabilite, func�ia imagine F(S); � prin înlocuirea opera�iilor de derivare cu înmul�irea cu operatorul S,
ecua�ia diferen�ial� se transform� în ecua�ie secundar� opera�ional�, care devine o ecua�ie algebric� în variabil� S;
� ecua�ia opera�ional� se rezolv� prin metode algebrice, în raport cu variabila S, rezultând solu�ii de forma X(s);
� se efectueaz� retransformarea invers� a imaginii solu�iei X(s) în func�ia original x(t) ce reprezint� solu�ia c�utat� a ecua�iei diferen�iale ini�iale.
Opera�iile de trecere de la func�ia original la func�ia imagine �i invers se bazeaz� pe transformata Laplace, definit� prin:
{ }� � � � � �� � � ���� � � � � �= =−∞
��
; (3.15)
�i { }� � � � �� � � �= −� ; (3.15*) unde: f(t) - reprezint� func�ia original, de variabil� real� t, definit� pentru orice � ≥ � �i f(t)=0 pentru orice t
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
107
din spa�iul bidimensional în spa�iul tridimensional. Prin cele prezentate, no�iunea de func�ie de transfer definit� de rela�ia (3.2), ob�ine suportul matematic necesar; � � � � �� �� � � � � fiind func�iile imagine ale func�iilor original � � � � �� � � � � .
Pentru u�urin�a abord�rii modelului matematic, în sensul transpunerii ecua�iilor diferen�iale în ecua�ii algebrice în operatorul S, este necesar� întocmirea schemelor bloc func�ionale pentru componentele sistemului de ac�ionare.Prin aceast� procedur� se poate deduce în final func�ia de transfer a unui sistem de ac�ionare. Pentru aceasta sunt realizate blocuri opera�ionale tip, ce permit scrierea func�iei de transfer sub forma (3.22**) pentru anumi�i termeni specifici modelului matematic. În tabelul nr. 3.1 sunt prezentate blocurile opera�ionale tip pentru urm�toarele opera�ii specifice modelului dinamic (CAP.2)
• Însumarea (diferen�a) m�rimilor • Produsul m�rimilor • Conexiuni • Func�ii de transfer tip pentru termenii: propor�ionali, integrare,
derivare de ordinul 1 si 2, întârziere de ordinul 1 si 2, termeni specifici ecua�iilor diferen�iale ce descriu comportarea dinamic� a modelului studiat.
• Exemplu de utilizare a blocurilor opera�ionale tip în modelarea
componentelor �i echipamentelor S.A.H. Pentru exemplificare se consider� cazul unei supape de limitare a presiunii cu comand� direct�, a c�rei model este descris de rela�ia (2.62*), ecua�ie pe care o reproducem mai jos.
���
���
�
−+=++
−−=
02
2
FxpKpAKxdtdx
Kdt
xdm
dtdp
pxKQQ
Dnfr
SSIE β ; (3.16)
Se consider� coeficien�ii ce preced variabilele, în principiu cunoscute. (deductibile - vezi CAP. 1).
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
108
Se observ� c� ecua�iile diferen�iale ce descriu fenomenul dinamic sunt neliniare deoarece con�in variabilele x �i p, sub form� de produs sau sub radical. Pentru a putea opera cu blocurile opera�ionale tip, este necesar� liniarizarea ecua�ilor diferen�iale în jurul unor m�rimi de stare ce condi�ioneaz� valoarea deplas�rii �i valorii presiunii în jurul punctului stabil de func�ionare. Se consider� c� valoarea 0x ce rezult� din expresia for�ei 00 kxF = reprezint� o m�rime de stare ce condi�ioneaz� valoarea prestrîngerii acului supapei pentru ob�inerea unei presiuni de reglaj date Rp0 . În aceste condi�ii termenul pxK S poate fi liniarizat în jurul acestor valori astfel:
dppQ
dxxQ
pxKQ xxppS R 00 ==∆+∆==∆∂
∂∂
∂; (3.17)
de unde rezult�:
pp
xKxp
KpxK
RS
R
SS
00
0
121+= ; (3.17*)
În mod similar se procedeaz� cu termenul neliniar din ecua�ia a doua a modelului:
dpp
Fdx
xF
xpKF xxD
ppD
DD R 00 ==+==
∂∂
∂∂
; (3.18)
de unde rezult�: � ! � ! � !" " � "= + � (3.18*) Înlocuind termenii din rel 3.17* �i 3.18* în rel 3.16, rezult�:
# # � ! �
!!
�!
��
$�
���
�
��� � ! % � ! �
& ' � �
�
� " � "
= − − −
+ + − = + −
� �
�
� � �
�
� β
� � � �
; (3.19)
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
109
Tabelul 3.1
Nr. crt.
Denumirea blocului Schema structural�
Ecua�ia de transfer
Expresia func�iei de transfer G s( )
1 2 3 4 5 1 Element de
însumare xi1
xi2
xe�
�
�
x x xe i i= +1 2
-----
2 Element de multiplicare
xi1
xi2
xeπ
x x xe i i= ⋅1 2 -----
3
Conexiune x i x i
x xi i=
-----
4 Func�ie de transfer de tip propor�ional
x i xe
(P) K
x K xe i= ⋅ G ks( ) =
5 Func�ie de transfer de tip integrator
x i xe
(I)
x
Tsxe i=
1 G
sTs( )= 1
6
Func�ie de transfer de tip propor�ional
integral
x i xe
(PI)
x i xe
(PI)
xK sT
sTxe i=
+( )1
GK sT
sTs( )( )= +1
7
Func�ie de transfer de tip derivativ de
ordinul 1
x i xe
( )D1
x Tsxe i=
G Tss( ) =
8
Func�ie de transfer de tip derivativ de
ordinul 2
x i xe
(D )0
x s T sT xe = + +( )
2 2 1
G s T sTs( ) = + +
2 2 1
9
Func�ie de transfer de tip propor�ional
derivativ de ordinul 1
x i xe
( )PD1
x K sT xe i= +( )1
G K sTs( ) ( )= +1
10
Func�ie de transfer de tip întîrziere de
ordinul 1
x i xe
( )PT1
xKsT
xe i= +1 G
KsTs( )
=+1
11
Func�ie de transfer de tip întîrziere de
x
KT s Ts
xe = + +2 2 2 1ξG
KT s Tss( )
=+ +2 2 2 1ξ
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
110
ordinul 2 ( )PT2
^e
12
Simbol m�rime de stare (de comand� sau
reglare)
-----
-----
13 Simbol de intrare (i) I
----- -----
14
Simbol de ie�ire (E)
E
-----
-----
15
Func�ia semn
Reprezint� numai semnul unei m�rimi ce poate fi (+) sau (-)
Pentru modelul (3.19) este necesar� verificarea condi�iei de existen�� (3.1) astfel:Nec = 2 rel (3.19);Nnec = 3; respectiv x; p; #
&;Nie = 1; respectiv #
';Npc
= 1; respectiv � , de unde rezult�:2-3+1+1=1, adic� rel 3.1, este satisf�cut� �i se poate trece la întocmirea schemei bloc. Dac� pentru sistemul de ecua�ii diferen�iale liniarizate (3.19) se aplic� transformatele Laplace pentru condi�ii ini�iale nule, rezult� sistemul:
[ ]
# # � ! ( � !
) � )
$ � � � � � ! ( % � ) �
& ' � � �
� � �
� " � � " �
= − − − ⋅ ⋅
+ + − = + −
� �
�
� � �
�
�� � � � � �
� � � �� � � �
β ; (3.20)
În sistemul (3.20); )(SX �i )(SP reprezint� func�iile imagine ale func�iilor original )(tX �i )(tp , iar Rp0 reprezint� valoarea presiunii reglate. Cu cele precizate anterior, se poate trece la conceperea schemelor bloc opera�ionale, ata�ate sistemelor date, ce reprezint� tabloul analogic în plan complx a modelului multipolar al supapei propuse spre analiz�. În figura 3.12 a �i b sunt prezentate schemele bloc opera�ionale pentru sistemul neliniarizat (3.16) �i pentru sistemul liniarizat (3.19) respectiv (3.20).
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
111
(a)
(b) Fig. 3.12
Pe baza schemei bloc din fig. 3.12 b, realizat� pentru modelul liniarizat (3.20) se deduce func�ia de transfer a supapei de reglaj propus� spre analiz�. Din rezolvarea sistemului (3.20) rezult�:
Sp
XK
XpKQQP
pKKSKSm
KXPXKAX
SR
S
SRSEIS
RDfr
SDnS
⋅+
−−=
−++−+
=
β0
0
)(0)(
02
0)(0)(
121
)(
)(
; (3.21)
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
112
Deoarece m�rimile ce preced variabilele )(SX ; )(SP �i S sunt m�rimi constante acestea pot fi notate dup� cum urmeaz�:
ββ ===−
===
==−=+
SR
SRD
fRS
rEIDn
Kp
XKKpKK
KKKpKKKX
mmKQQKXKA
;1
21
;
;;
;;
50
020
400
30
; (3.22)
�i ecua�iile (3.21) devin:
SK
XKKP
KKSmS
KPKX
SS
SS
β+−
=
++−
=
5
)(43)(
22
0)(1)(
; (3.23)
Pin înlocuirea lui )(SX în rela�ia lui )(SP , rezult�:
22
415
22
403
)(
KKSmSKK
SK
KKSmSKK
KP S
++++
+++
=β
; (3.24)
Rela�ia (3.24) reprezint� func�ia de transfer global� a supapei de presiune
analizat�, în presiune. În mod similar se poate scrie func�ia de transfer în variabila deplasare.
În fig. 3.13 se prezint� func�ia de transfer global� a supapei de presiune, pentru variabila presiune.
Fig. 3.13
În figur� se sugereaz� rela�ia dintre presiunea de intrare �i cea de ie�ire.
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
113
3.1.3. Performan�ele generalizate ale componentelor �i sistemelor hidraulice În principiu orice component� activ� (pomp�, motor, supap�, etc) a unui sistem hidraulic de ac�ionare este un sistem automat ce transform� ni�te m�rimi de intrare în ni�te m�rimi de ie�ire. Din acest motiv pentru analiza performan�elor dinamice sau sta�ionare ale componentelor sau sistemelor de ac�ionare se vor folosi no�iuni din teoria sistemelor automate. În mod special un sistem hidraulic de reglare automat� va fi cu atât mai mult inclus în categoria sistemelor automate, sisteme ce folosesc ca mediu de lucru un lichid pu�in compresibil. Un sistem hidraulic automat stabile�te o lege de dependen�� între m�rimea de ie�ire Xe ce poate fi o deplasare, presiune, debit, volum, etc �i m�rirea de intrare Xi, ce poate fi o deplasare, o for��, un cuplu, o m�rime efectiv� sau orice alt� m�rime ce poate fi programat� sau perturbatoare, (vezi figura 3.1). Ceea ce deosebe�te fundamental un sistem automat (S.A) de un sistem de reglare automat� (în particular hidraulic), (SHRA) const� în faptul c� în cazul SRA (SHRA) se realizeaz� în permanen�� “ compararea “ m�rimii de intrare cu cea de ie�ire în sensul realiz�rii corec�iilor dorite. În acest caz schema bloc a unui S.H.R.A este prezentat în figura 3.14.
*���
+���
�$,�������-
�$,��������.��
/�$!����
( ��� � ( �� � �( �� � �
� �( +�
Fig. 3.14
Semnifica�ia m�rimilor prezentate în figura 3.14 este urm�toarea: )(sX i - m�rimea de intrare în SHRA; )(sX e - m�rimea de ie�ire din SHRA; )(sG - func�ia de transfer a ramurii directe a SHRA; )(sH - func�ia de transfer a ramurii de reac�ie;
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
114
)(sX a - m�rimea de corec�ie în sensul propriei anul�ri, definit� de rela�ia:
)()()( )(Seia HXsXsX −= (3.25)
Din categoria SHRA fac parte servoac�ion�rile, servocomenzile, servoreglajele utilizate în SHA, ca elemente individuale sau aflate în componen�a altor elemente hidraulice (spre exemplu reglarea cilindreei unita�ilor hidraulice volumice). Pentru a evalua modul în care un SHRA r�spunde la un anumit semnal de intrare s-a introdus no�iunea de performan�� generalizat� sau performan�a func�ional�. În func�ie de regimul de lucru în care se evalueaz� performan�ele SHRA, acestea se clasific� în dou� gupe:
• Performan�e generalizate în regim permanent (sta�ionar); • Performan�e generalizate în regim nepermanent (tranzitoriu).
3.1.3.1. Performan�e generalizate în regim permanent Performan�ele în regim permanent se apreciaz� prin aplicarea la intrarea în S.H.R.A a unei func�ii de intrare treapt� unitar�, sau ramp� unitar� �i se eviden�iaz� capacitatea de urm�rire a sistemului automat. Criteriile de performan�� pentru regimul sta�ionar sunt: • Eroarea sta�ionar� (ES), reprezint� valoarea m�rimii de corec�ie care trebuie aplicat� ramurii directe pentru a men�ine m�rimea de ie�ire constant�, când la intrare se aplic� un semnal treapt� unitar� �i a trecut un timp suficient de mare. (dup� epuizarea regimului tranzitoriu). Eroarea sta�ionar� este egal� cu m�rimea de corec�ie definit� prin rela�ia 3.25, adic�:
)()(1
)()()()()(
sHsGsX
sausXsHsXsXE iSaeiS ⋅+==⋅−= ε ; (3.25*)
• Precizia (PR),
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
115
se define�te ca inversa abaterilor pe care le înregistreaz� m�rimea de ie�ire real� fa�� de valoarea ei teoretic�, dup� trecerea unui timp suficient de mare de la stabilizarea m�rimii de intrare programatoare sau perturbatoare.
S-a constatat c� cu cât eroarea sta�ionar� ES este mai mic�, cu atât precizia (PR) este mai mare. Eroarea sta�ionar� (ES) este cu atât mai mic�, cu cât produsul HX e ⋅ este mai mare, respectiv cu cât factorul de amplificare al rela�iei (H) este mai mare, cu condi�ia evit�rii pragului de insensibilitate al sistemului; • Promtitudinea (PT), Promptitudinea unui SHRA se apreciaz� prin viteza de varia�ie a erorii sta�ionare (ES) la men�inerea unui Xi sta�ionar, atunci când m�rimea de ie�ire Xe sufer� o perturba�ie extern� de tip treapt�; • Alunecarea sub sarcin� (rigiditatea sistemului) (α� ); � � , se aprecieaz� dup� modul de varia�ie al m�rimii de ie�ire Xe la o m�rime de intrare Xi sta�ionar�, atunci când sistemul este supus unei perturba�ii interne de tip treapt� (perturba�ie de sarcin�).
Rigiditatea sistemului � � exprim� capacitatea sistemului de a nu aluneca sub sarcin� �i reprezint� inversul alunec�rii (α� ).
• Eroarea sta�ionar� în vitez� � �ε0 , reprezint� valoarea m�rimii de corec�ie (Xa), ce trebuie aplicat� ramurii directe, astfel încât la aplicarea la intrare a unui semnal ramp� unitar� Xi = t, m�rimea de ie�ire (Xe) sa-�i p�streze panta (fig. 3.15). • Sensibilitatea � �β , reprezint� valoarea minim admis� a m�rimii de intrare programatoare � �$��( � , pentru care sistemul emite un semnal de ie�ire sesizabil. În realitate � �$��( � reprezint� valoarea minim� necesar� a semnalului de intrare pentru a invinge pierderile interne ale sistemului (hidraulic �i mecanic).
0
x xi e;
�
(�
(�
(�
Fig. 3.15
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
116
3.1.3.2. Performan�ele generalizate în regim nepermanent Performan�ele generalizate în regim tranzitoriu se aprecieaz� tot prin aplicarea la intrarea în SHRA a unui semnal de intrare, treapt� unitate, impuls unitar sau semnal sinusoidal. • Cea mai important� performan�� a regimului tranzitoriu este stabilitatea
SHRA, ce reprezint� capacitatea sistemului de a revenii într-o situatie de func�ionare sta�ionar�, dup� ce intrarea (programatoare sau perturbatoare) s-a stabilizat.
• În opozi�ie cu aceast� caracteristic� a regimului tranzitoriu se define�te
instabilitatea SHRA, caracterizat� prin aceea c� la un semnal de intrare Xi, de m�rime infinitezimal� (infinit mic), semnalul de ie�ire eX exist�, nu are m�rime infinitezimal� �i nici nu se anuleaz� dup� suprimarea semnalului de intrare.
Stabilitatea este o caracteristic� esen�ial� a SHRA, far� de care sistemul î�i poate deprecia fundamental func�ia pentru care a fost creat, conducând la imposibilitatea exploat�rii acestuia. O component� sau un sistem sunt stabile dac� eroarea sta�ionar� � �ε� tinde c�tre zero, ceea ce reprezint� considerând rela�ia (3.25*):
⋅ ⋅ → >> →
⋅⋅ = = →
⋅⋅ → ∞ = − →
ε
ε
ε
�
� �
�
+*
�����$,1���� ���2�1
( + �����$,1�� ��11� ��� �� ���2�1�����
+*
�����$,1���� �����2�1
��
�
�
�
� - 1�$
�
;(3.25*)
Expresia � �+ ⋅ =* + , reprezint� ecua�ia caracteristic� a S.H.R.A. �i define�te complet stabilitatea acestuia.
Pentru a exemplifica performan�ele generalizate în regim tranzitoriu ale unui S.H.R.A. se consider� cazul unui sistem la care se aplic� la intrare o func�ie treapt� unitar� �i se urm�re�te comportamentul m�rimii de ie�ire (figura 3.16).
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
117
Fig. 3.16 • Suprareglarea ( τ ), reprezint� valoarea maxim� pe care o atinge m�rimea de ie�ire Xe în prima semiperioad� (figura 3.16). • Gradul de amortizare (δ ), reprezint� un indice de calitate al procesului tranzitoriu, care pentru un semnal de intrare treapt� unitate, reprezint� diferen�a dintre unitate �i raportul amplitudinilor a dou� semioscila�ii succesive de acela�i sens a m�rimii de ie�ire Xe, (figura 3.16) �i este definit prin rela�ia:
δ ττ
= −� � (3.26)
• Performan�ele temporale ale regimului tranzitoriu (figura 3.16), reprezint� valori semnificative ale timpului puse în eviden�� în evolu�ia m�rimii de ie�ire Xe. Acestea sunt: • • timpul de r�spuns ( rt ), reprezint� timpul m�surat de la începutul procesului tranzitoriu �i pân� în momentul când diferen�a dintre valoarea momentan� a m�rimii de ie�ire �i valoarea sa sta�ionar� scade sub o valoare prestabil� ∆ . (de obicei ∆ =5 %); Xe-Xest< ∆ ; figura 3.16. • • constanta de timp (timpul de cre�tere) ( τ� ), reprezint� timpul necesar ca r�spunsul Xe s� creasc� de la valoarea 0,05 Xest la 0,95 Xest (figura3.16). • • timpul de reglare (TR), reprezint� timpul scurs pân� când m�rimea de ie�ire atinge valoarea sta�ionar� cu o abatere ∆ = ±�3 (figura 3.16). • • timpul primului maxim ( τ$ ) –reprezint� timpul scurs în evolu�ia semnalului pân� când acesta atinge primul maxim .(figura 3.16).
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
118
• • timpul primei atingeri a valorii sta�ionare ( τ� )-reprezint� timpul scurs în evolu�ia semnalului pân� când acesta atinge pentru prima dat� valoarea sta�ionar�- figura 3.16 3.1.4. Analiza performan�elor SHRA, utilizând metode frecven�iale Metodele frecven�iale se utilizeaz� în special la componentele �i S.H.R.A. ce au în structur� elemente electrice �i electronice la care este simplu de aplicat ca m�rime de intrare o func�ie sinusoidal� programat� sau perturbatoare. Din aceast� categorie de S.H.R.A. fac parte supapele propor�ionale pilotate, distribuitoarele propor�ionale, etajele de amplificare diuz�-clapet�, etc, toate fiind comandate electronic.
Pentru asemenea sisteme, analiza se realizeaz� aplicând la intrarea în sistemul sau componen�a respectiv� a unui semnal sinusoidal (semnal frecven�ial) de forma:
tXtX Ii ωsin)( = ; (3.27)
Dac� de exemplu sistemul automat este de ordinul doi, func�ia de transfer a acestuia are expresia:
)()(1
)( 2 sXsX
kCSmSsG
i
e=++
= (3.28)
Considerând valorile proprii ale sistemului, respectiv:
mk
n =ω - pulsa�ia proprie a sistemului;
kmc
21=ς - factorul de amortizare (atenuare);
expresia func�iei de transfer a S.A, (rela�ia (3.28)) devine:
1
211
)(2
2 ++=
SSsG
nn ως
ω
(3.28*)
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
119
Aplicarea la intrare a unui semnal sinusoidal, este echivalent� cu înlocuirea expresiei operatorului complex S, din rela�ia (3.28*) cu ωiS = , ceea ce conduce la urm�toarea exprimare a func�iei de transfer:
ω
ωως
ωω
ωii
e
nn
XX
i
iG ��
�
�=
+��
�
�−
=2)(1
1)(
2
(3.29)
Dac� în rela�ia (3.29) se consider�:
2)1(n
eR ωω−= - partea real� a func�iei;
nmI ω
ως2= - partea imaginar� a func�iei;
atunci, expresia (3.29) devine (prin îmul�irea numitorului cu conjugatul) φω iE
me
m
me
e
me
eXIR
Ii
IR
RiIR
iG =+
−+
=+
= 22221
)( ; (3.29*)
În expresia final� a func�iei de transfer (3.29*), termenii sunt:
22222 )(1)2( ��
�
�−+=+=
nnmeE IRX ω
ωωως ; (3.30)
- reprezint� amplitudinea
2)(1
12
n
ne
m arctgRI
arctg
ωωω
ωςφ−
⋅−=−= - defazajul r�spunsului
Din expresia (3.29*), rezult� c� semnalul de ie�ire din S.A de ordinul doi, are expresia (vezi 3.9), în condi�ia p�str�rii, * constante a pulsa�iei ω la semnalul de intrare Xi �i iesire Xe )sin( φω += tXX Ee (3.30*)
Pentru interpretarea rezultatelor se consider� urm�toarele situa�ii concrete de semnale de intrare �i ie�ire din S.A, prezentate în figura 3.17.
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
120
Fig. 3.17
Se consider� c� la aplicarea la intrarea în S.A a unui semnal sinusoidal de
2 Hz, de amplitudine EX ' , defazat cu 1φ fa�� de semnalul de intrare, dac� se m�re�te frecven�a semnalului de intrare spre exemplu la 5Hz, semnalul de ie�ire va avea din nou aceea�i frecven��, amplitudinea EX '' �i defazajul 2φ .
Modificarea amplitudinii semnalului �i defazajului semnalului de ie�ire rezult� din rela�iile (3.30).
Se disting urm�toarele situa�ii: • dac� EE XX ''' < , se spune c� s-a produs o atenuare a semnalului în
raport cu semnalul de referin��; • EE XX ''' > , se spune c� s-a produs o amplificare a semnalului în
raport cu semnalul de referin��; • simultan cu modific�rile de amplitudine are loc �i o decalare în timp a
semnalului, timp corespunz�tor defazajului 1φ sau 2φ . Amplificarea �i atenuarea se exprim� sub forma unui raport, de forma:
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
121
E
E
E
I
I
E
XX
XX
XX
A '''
'
''
log20log20 =⋅= ; [ dB ] (3.31)
evaluate în decibeli. Atenuarea corespunde valorilor negative ale valorii A, iar amplificarea valorilor pozitive.
Pentru interpretarea rezultatelor ob�inute în regim dinamic se utilizeaz� diagramele BODE. Acestea constau în reprezentarea atenu�rii �i defazajului separat în func�ie de frecven�a f sau pulsa�ia ω .
În figura 3.18 este prezentat� diagrama BODE pentru atenuare �i defazaj.
Fig. 3.18
Pe lîng� diagramele BODE pentru interpretarea rezultatelor se mai
utilizeaz� �i diagramele NICHOLS-BLAK, ce reprezint� atenuarea în func�ie de defazaj pentru fiecare frecven�� de excita�ie a sistemului.
Tot în scopul evalu�rii �i interpret�rii r�spunsului unui S.A la o excita�ie sinusoidal� se mai folose�te �i no�iunea de l�rgime de band�. Acestea reprezint� un indice de calitate al regimului sinusoidal �i caracterizeaz� comportarea sistemului în raport cu perturb�rile de înalt� frecven�� recep�ionate de sistem. Din aceast� categorie de perturba�ii externe fac parte zgomotele, vibra�ii ale ma�inii sau instala�iei, etc. Acest indice reprezint� în esen�� propiet�tile de filtrare ale sistemului.
Dac� se consider� func�ia de transfer a unui sistem scris sub forma (vezi (3.29*))
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
122
)()()()( **)(**
ωωωω ωφ mei
E iIReXiG +== (3.22) unde:
EX * - reprezint� caracteristica amplitudine - pulsa�ie; ( )ω*Φ - reprezint� caracteristica faz� - pulsa�ie;
)(* ωeR - reprezint� caracteristica real� de frecven��; )(* ωmI - reprezint� caracteristica imaginar� de frecven��;
Dac� se noteaz� cu m )(ω - raportul amplitudinilor semnalelor sinusoidale de pulsa�ie ω de la ie�irea �i intrarea sistemului în regimul sinusoidal, rezult� (figura 3.19)
Din figur� rezult�: m(0)=1
rm - reprezint� valoarea extremului func�iei la rezonan��, corespunz�toare pulsa�iei rω .
bm = 4 - reprezint� valoarea corespunz�toare valorii 0,7 ce corespunde pulsa�iei bω .
Fig. 3.19
Se define�te astfel l�rgimea de band� ca fiind gama de pulsa�ii pentru
care este îndeplinit� condi�ia: m )(ω ≤ 4 ; (3.33)
Rezult�, astfel c� semnalele de pulsa�ii bωω > sunt puternic atenuate de S.R.A, considerat ca filtru. Expresia (în decibeli) care define�te l�rgimea de band� va fi:
m )( bω =20 log m � �ω 2 =20 log
�≅ − ; [ dB ] (3.34)
Pentru ca func�ionarea sistemului s� fie influen�at� cât mai pu�in de perturba�ii de înalt� frecven�� este necesar� împ�narea unei condi�ii restrictive specific� aparatului sau sistemului analizat, condi�ie caracterizat� de : valoarea
bω∆ , de unde:
bb ωω ∆≤ (3.35)
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
123
3.1.5. Determinarea func�iei de transfer a S.H.R.A. Func�ia de transfer, a�a cum s-a ar�tat în CAP. 3, reprezint� o expresie algebric� în variabila S, în majoritatea cazurilor sub forma unui raport de polinoame, acestea caracterizând func�ionarea sistemului ca raport între semnalul de ie�ire (notat ex ) �i cel de intrare (notat ix ). Un mod de reprezentare a SHRA îl constituie schema bloc func�ional� care eviden�iaz� rela�iile între diferite blocuri func�ionale ce compun SHRA. Considerând c� pentru fiecare subsistem, exist� o func�ie de transfer, cunoscut� sau deductibil�, atunci se poate realiza schema bloc a SHRA, ca cea prezentat� în figura 3.20.
Fig. 3.20 Func�iile de transfer ale blocurilor componente sunt definite dup� cum urmeaz�:
- Pe calea direct�:
)()(
)(1 SSU
SHε
= ; )()(
)(2 SUSM
SH = ; )()(
)(3 SMSY
SH =
- Pe calea de reac�ie:
)()(
)(SYSY
SG r= .
)(SP - reprezint� perturba�ia aditiv� aplicat� asupra procesului. Perturba�ia )(SP se poate aplica direct sau prin intermediul unui bloc func�ional, la intrarea în procesul reglat sau la ie�ire.
a) Considerând 0)( =SP , se pot scrie urm�toarele rela�ii între variabilele sistemului:
)()()( 3 SMSHSY ⋅= ; )()()( 2 SUSHSM ⋅= ; )()()( 1 SSHSU ε⋅=
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
124
Prin eliminarea variabilelor intermediare )(SU �i )(SM se poate deduce func�ia de transfer între ie�irea )(SY �i eroarea )(Sε , sub forma:
)()()()()()()( 321 SSHSSHSHSHSY d εε =⋅⋅= unde: )(SH D reprezint� func�ia de transfer a ramurii directe a SHRA. Dac� se scriu rela�iile între variabilele sistemului pornind de la fun�ia elementului de compara�ie C, se ob�ine:
)()()(
)()()(
)()()(
SYSGSY
SSHSY
SYSRS
r
d
r
⋅=⋅=
−=ε
ε
Eliminând variabilele intermediare )(Sε �i )(SYr rezult�: [ ] )()()(1)()()()()()( SRSHSGSSSHSGSRS dd =⋅+⋅⋅⋅−= εεε
=⋅+
⋅= )()(
)()(1)(
)()(
)( SRSH
SHSGSY
SHSY
Sd
d
d
ε
)()().(1
)()()(
0 SHSHSGSH
SRSY
d
d =+
= ; (3.36)
ce reprezint� func�ia de transfer a sistemului închis (ramur� direct� plus ramur� de reac�ie). Schema din figura 3.20 se poate transforma într-o schem� cu reac�ie unitar� de forma:
sau
unde: )()(1
)()()()(
)(0
'0 SGSH
SGSHSYSY
SHd
d
⋅+⋅
== �i
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
125
)()(1
)()(
)(1
)()(
)( '00 SGSHSH
SHSGSR
SYSH
d
d
⋅+=⋅== .
Pentru schema din figura 3.21 se �ine cont de urm�toarele efecte:
Fig. 3.21
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
126
24321121
4321
2121
4321
121
4321
0 )(1)(
1)(
1
1)(
)(GHHHHGHH
HHHH
GGHHHHHHGHHHHHH
SH⋅+⋅⋅+⋅⋅−
+⋅⋅=
⋅⋅⋅−+⋅⋅
+
⋅⋅−+⋅⋅
=
Pentru 0)( ≠SP , considerând c� perturba�ia )(SP intervine sub forma:
Fig. 3.22
atunci:
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)()()(
21
3
SYSGSRS
SSHSHSM
SZSHSMSM
SMSHSY
PP
P
⋅−=⋅⋅=
⋅+=⋅=
εε
.
Eliminând variabilele )();((); SMSM Pε se ob�ine func�ia de transfer ca o sum� a efectelor intr�rii )(SR �i perturba�iei )(SZ .
)()(1
)()()(
)(1)(
321
3
321
321 SZSGHHH
SHSHSR
SGHHHHHH
SY P ⋅⋅⋅⋅+
⋅+⋅
⋅⋅⋅+⋅⋅
=
Acela�i rezultat se ob�ine dac� sistemul se descompune în dou� scheme distincte.
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
127
- pentru 0)( =SZ �i 0)( =SR
Fig. 3.23 De unde rezult�:
)()()()()()()( 00 SZSHSRSHSYSYSY PZR ⋅+⋅=+= 3.1.6. Analiza performan�elor prin metoda locului r�d�cinilor ecua�iei caracteristice.
Se consider� func�ia de transfer a unui SHRA, de forma (3.36), la care numitorul este de forma: )().(1 SHSG+ ; (3.37) Expresia, 0)().(1 =+ SHSG , este ecua�ia caracteristic� a func�iei de transfer considerat�, unde G(S), este func�ia de transfer a ramurii directe, iar H(S) a ramurii de reac�ie �i sunt cunoscute. Pentru a aplica metoda locului r�d�cinilor ecua�ia caracteristica este adus� la forma:
( )( ) 01 =⋅+ SDSN
K ; (3.38)
Singularit��ile ecua�iei (3.38) sunt de trei tipuri, �i anume: • zerouri – pentru N(S) = 0; • poli – pentru D(S) = 0;
• r�d�cini – pentru valorile lui S care verific� ecua�ia ( )( ) KSDSN 1−= .
�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice
ale echipamentelor hidraulice
�
AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�
128
Metoda permite trasarea în planul complex a r�d�cinilor ecua�iei caracteristice func�ie de factorul parametric, ( )∞∈ ,0K .
Prin aplicarea metodei r�d�cinilor se poate ajusta factorul K pentru a se asigura performan�ele dorite ale sistemului, respectiv performan�ele optime ale SHRA, atât în ceea ce prive�te regimul sta�ionar de func�ionare prin ob�inerea preciziei dorite, cât �i performan�ele în regim tranzitoriu, respectiv ob�inerea stabilit��ii SHRA.
Metoda const� în reprezentarea grafic� în planul complex a locului geometric al r�d�cinilor ecua�iei caracteristice.
Pentru reprezentare mai sunt necesare urm�toarele m�rimi caracteristice: • direc�iile asimptotice ale graficului, ce rezult� din rela�ia:
zp nnzerouriabscisepoliabscise
a−
−= � � __ ; (3.39)
ce reprezint� punctul de intersec�ie a asimptotelor cu axa real� Re , unde: pn - reprezint� num�rul polilor ;
zn - reprezint� num�rul zerourilor.
• unghiurile direc�iilor asimptotice definite de:
( )zp
a nnn
−⋅+=
018012θ ; (3.40)
unde n = 0, 1, 2 pân� când 0360=aθ . Metoda va fi prezentat� concret în dou� situa�ii de aplicare a unor SHRA,
respectiv un sistem de reglare a puterii la utilaje de excavat �i un echipament de generare hidraulic� a vibra�iilor tehnologice. (vezi cap.5).