Universidad Nacional Tecnolgica del Sur UNTECSIngeniera Electrnica Y Telecomunicaciones

FISICA ICAPITULO-III

CINEMTICA DE UNA PARTICULA

CINEMTICA DE UNA PARTICULA: Movimiento Mecnico - Bases para su estudio Mtodo Vectorial Mtodo De Coordenadas Cartesianas Mtodo de Coordenadas Intrnsecas o Natural. Movimiento Unidimensional ,MRU,MRUV Movimiento Bidimensional ,Cada Libre Movimiento Compuesto ,Parablico Movimiento Circular. Aplicaciones .

Cinemtica: Rama de la Mecnica que se dedica a la descripcin del movimiento mecnico sin interesarse por las causas que lo provocan. Dinmica: Rama de la Mecnica que se dedica a investigar las causas que provocan el movimiento mecnico.

Movimiento Mecnico: Cambio de posicin de un cuerpo respecto a otros, tomados como referencia.

Bases para el estudio del movimiento mecnicoSe le asocia

Magnitudes Fsicas

ModelosDe Partcula: el cuerpo puede ser considerado como un objeto puntual.De Cuerpo Rgido: Las distancias entre los diferentes puntos del cuerpo no varan.Rotacin pura de cuerpo slido

Traslacin pura

Posicin r(t), Velocidad v(t), Aceleracin a(t)

Mtodos UsadosVectorial : (Es conciso, elegante)

Mtodo Vectorial:

yxt1t2AB

Vector desplazamientoEl vector desplazamiento en el intervalo de tiempo [t1 , t2] esta dado por:Es importante conocer la trayectoria del mvil para hallar el vector desplazamiento?

Bt1t2

No es necesario conocer la trayectoria para determinar el vector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo es necesario conocer las posiciones en dichos instantes de tiempoA

Vector velocidad mediaSe define el vector velocidad media en el intervalo de tiempo [t1 , t2] como:

yxt1t2ABLa velocidad media apunta en la misma direccin del vector desplazamiento

Y(m)x(m)

t1

t2Distancia total recorrida en el intervalo de tiempo [t1 , t2]

Rapidez mediaLa rapidez media es igual a la distancia total recorrida entre el tiempo total empleado La rapidez media no es un vector la rapidez media no es igual al modulo del vector velocidad media (para el mismo intervalo de tiempo)

t2t'2t"2t1BAY(m)x(m)

t3AY(m)x(m)

El vector velocidad instantnea es tangente a la trayectoria que describe la partculat2t1

La velocidad instantnea es la derivada del vector posicin respecto del tiempoVelocidad instantnea

Esta expresin podemos expresarla en funcin de sus componente rectangulares

Mtodo de Coordenadas :

Rapidez instantneaLa rapidez instantnea es igual al modulo de la velocidad instantneaAl modulo de la velocidad instantnea se le conoce como rapidez instantnea

VelocidadLa velocidad es la magnitud fsica que estudia la variacin de la posicin de un cuerpo en funcin del tiempo respecto a un determinado sistema de referencia. Sus unidades por tanto son: m/s cm/s o Km / h etc...

AY(m)x(m)

t2t1

Aceleracin mediaSe define la aceleracin media como la rapidez de cambio de la velocidad instantnea en un determinado intervalo de tiempo

*

Cuando la velocidad de un objeto cambia con el tiempo, se dice que el objeto experimenta una aceleracin.La aceleracin Instantnea es la tasa de cambio de la velocidad instantnea por unidad de variacin de tiempo , cuando por ejemplo un conductor aprieta el pedal del acelerador de su coche ,espera cambiar su velocidad ,de lo contrario si despus de alcanzar una alta velocidad imprime los frenos ,estar desacelerando , disminuyendo su velocidad.

La aceleracin en este pequeo intervalo de tiempo apunta hacia la concavidad de la trayectoria

Aplicaciones:

Problema : La posicin de una partcula que se mueve en lnea recta est definida por la relacin: Determine y grafique : (a) la posicin, velocidad y aceleracin en t = 0; (b) la posicin, velocidad y aceleracin en t = 2 s;(c) la posicin, velocidad y aceleracin en t = 4 s ; (d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s.

Solucin

La ecuaciones de movimiento son

Las cantidades solicitadas son

En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2En t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0En t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2

La aceleracin instantnea es igual a la derivada del vector velocidad instantnea respecto del tiempo ( t ):

Clculos de radio de curvatura:A)Si se define una curva por las ecuaciones para mtricas : x=x(t), y=y(t)Entonces la curvatura ser :

Curvatura :

B) Si se define a la curva por la ecuacin : y = y(x),entonces la expresin para calcular la curvatura es de la forma :

Curvatura :

Cuando una partcula se mueve a lo largo de una trayectoria circular ,la curvatura es 1/R , donde R es el radio del circulo.

Ecuaciones de Y En Componentes Tangencial y Normal :

Sea la velocidad :

La aceleracin ser :

Velocidad y aceleracin:De la ecuacin anterior se tiene :

De donde :

Y la magnitud de velocidad :

La magnitud de la aceleracin tangencial y normal:

Centro de curvaturaC=r(t)

La aceleracin podemos expresar como :

y como , entonces multiplicando vectorialmente la ecuacin ,tenemos:

entonces :ya que v y at tienen la direccin tangencial.Otra ecuacin para hallar radio de Curvatura de una curva plana:

Movimiento Curvilneo General :La aceleracin se descompone en coordenadas radial y tangencial.La aceleracin radial se debe al cambio de direccin del vector velocidad.La aceleracin tangencial proviene del cambio en la magnitud de la velocidad. = radio de curvatura

vvzyx

Mtodo de Coordenadas Naturales (Curvilneas):

Descripcin intrnseca del movimiento :

..

.

Movimiento rectilneoCASOS ESPECIALES DE MOVIMIENTO CURVILINEO :

En coordenadas polares :

)yxijEl vector de posicin es :

Sea :Se definen los vectores unitarios como

Por lo tanto el vector de posicin ser:

La velocidad ser :

La aceleracin ser :

Problema 2.-Una partcula se mueve en el plano XY de acuerdo a la ley ax=0, ay=2cos(t/2) m/s2. En el instante inicial t=0, x=0, y= - 8/2, vx=2, vy=0. Encontrar: a)El vector posicin y el vector velocidad en funcin del tiempo. b)La ecuacin de la trayectoria, representarla .c)Representar la aceleracin, aceleracin tangencial y normal sobre la trayectoria en los instantes t=1 y t=2s.Problema 1.-El vector velocidad del movimiento de una partcula viene dado por v= (3t-2) i+(6t-5)j m/s. Si la posicin del mvil en el instante t=1 s es r=3i-2j m. Calcular :a)El vector posicin del mvil en cualquier instante. b)El vector aceleracin. c)Las componentes tangencial y normal de la aceleracin en el instante t=2 s. d)Dibujar el vector velocidad, el vector aceleracin y las componentes tangencial y normal en dicho instante.Aplicaciones :

Problema 3.-Una partcula se mueve en el plano XY de acuerdo con la ley ax = 0, ay=4cos(2t) m/s2. En el instante t=0, el mvil se encontraba en x=0, y= -1 m, y tena la velocidad vx=2, vy=0 m/s. a)Hallar las expresiones de r(t) y v(t). b)Dibujar y calcular las componentes tangencial y normal de la aceleracin en el instante t=/6 s. Problema 4.-Un mvil se mueve en el plano XY con las siguientes aceleraciones: ax=2, ay=10 m/s2. Si en el instante inicial parte del origen con velocidad inicial vx=0 y vy=20 m/s.

a)Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleracin, y b) El radio de curvatura en el instante t=2 s

Aplicacin:

Movimiento en una dimensin

x

Para el movimiento en el eje X las ecuaciones se reducen a:

X(t)t

pQR

Velocidad instantnea

a > 0a = 0a < 0Aceleracin instantnea

En toda grfica (v) versus (t) el rea bajo la curva es igual al desplazamiento del mvil

6.-Un mvil describe un movimiento rectilneo. En la figura, se representa su velocidad en funcin del tiempo. Sabiendo que en el instante t=0, parte del origen x=0. a)Dibujar una grfica de la aceleracin en funcin del tiempo.b)Calcula el desplazamiento total del mvil, hasta el instante t=8s.c) Escribe la expresin de la posicin (x), x=x(t) del mvil en funcin del tiempo t, en los tramos AB y BC

7.-La grfica de la figura describe en funcin del tiempo ,la aceleracin de un objeto que baja rodando por una pendiente ,habiendo partido del reposo .

8

2

0 2 4 8

Determine el cambio de velocidad del objeto entre t=2,5s y t=7,5s .Dibuje una grfica de la velocidad del objeto en funcin del tiempo .

a(m/s)t(s)

2481216t(s)V(t)En la grfica velocidad versus tiempo, haga un anlisis del tipo de movimiento e indique en que tramos el movimiento es acelerado o desacelerado

Dada la aceleracin del mvil hallar el cambio de velocidad:Dado un registro de la velocidad : v=v(t),podemos calcular el cambio de velocidad v-v0 en entre los instantes t y to ,a partir de un registro de la aceleracin en funcin del tiempo como : a = dv/dt dv = adt usando la integral definida tenemos :dv = adt v-v0 =

La expresin anterior : v-v0 es igual al rea bajo la curva (a-t) .

Como

Entonces ,obtenemos una expresin para la aceleracin ; cuando la aceleracin es una constante es una funcin de (x) :atV-v 0to tV0 v

Movimiento rectilneo como funcin de la velocidadDada una partcula que se mueve con movimiento rectilneo ,en un medio resistente ,la resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad ,por lo que su aceleracin se expresa como a =-kv,donde k cte>o .Si para el instante t0=o ,X0=0,v =v0 . Hallar la velocidad : a) v = v(x) ,b) v=v(t).Solucin : a)v=v(x) ? partimos de la expresin : vdv = adx = -kvdxseparamos variables e integramos : Log(v/v0) = - kx b)v=v(t)?partimos de la expresin : a= dv/dt = -kvseparamos variables e integramos :dv/v = -kdt tenemos :1/v = kt + c de las condiciones iniciales dadas se obtiene : c= 1/v0 1/v = kt + 1/v0 , por lo tanto tenemos :

V (t) = v0 / ( 1+v0kt) .

EjemploUn proyectil pequeo es disparado verticalmente hacia abajo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del fluido produce una desaceleracin del proyectil que es igual a donde v se mide en m/s. Determine la velocidad v y la posicin S cuatro segundos despus de que se dispar el proyectil.

SolucinVelocidad: Usando el sistema de referencia mostrado y sabiendo que a = f(v) podemos utilizar la ecuacin a = dv/dt para determinar la velocidad como funcin del tiempo esto es POSICIN: Sabiendo que v = f(t), la posicin se determina a partir de la ecuacin v = dS/dt

Diremos que un movimiento rectilneo es uniforme variado si la aceleracin del mvil permanece constante en todo momento.Supongamos que una partcula parte de la posicin xo en el instante t0=0 , con una velocidad vo

xt=0Como a= cte. entonces dv/dt=a es fcil de integrarVelocidad instantnea

Problema inverso

Podemos ahora determinar la posicin de la partcula en cualquier instante de tiempo t

Hallaremos ahora una expresin para determinar la velocidad media en el intervalo de tiempo [0, t]:

Y usando las ecuaciones anteriormente deducidas para t0=0

Finalmente obtenemos

Tambin se puede demostrar:Donde :Es el desplazamiento en el intervalo de tiempo [0 , t]

Resumen[0 , t][t1 , t2 ]

Movimiento Uniformemente Acelerado

Pendiente de las grficas ( e-t )Podemos deducir las caractersticas de un movimiento analizando la forma y la de las grficas posicin-tiempo (e-t). La pendiente de una grfica ( e-t ) representa la velocidad del mvil. Si el movimiento es uniforme, la grfica e-t es una recta ya que en tiempos iguales se producen desplazamientos iguales. Comprueba en el siguiente simulador que la pendiente de la grfica representa la velocidad.

Si el movimiento es acelerado, la grfica ( e-t ) es una curva ya que en tiempos iguales se producen desplazamientos diferentes. En el siguiente simulador puedes comprobar que la aceleracin representa el ritmo con que vara la velocidad.

Movimientos de cada libre:La histrica Torre de Pisa(Italia) ,en donde Galileo Galilei hizo algunas de sus pruebas para verificar sus hiptesis.

Movimiento vertical :Si soltamos una piedra desde cierta altura ,observamos que describe una trayectoria vertical mientras desciende con una rapidez aumentativa ;es decir su movimiento hacia abajo es acelerado .En cambio si la lanzamos verticalmente hacia arriba ,apreciaremos que su rapidez disminuye conforme asciende hasta que se hace cero ,es decir su movimiento hacia arriba es desacelerado.

Aceleracin de la cada libre :Galileo Galilei a travs de sus observaciones experimentales sobre el movimiento de los proyectiles en cada libre haba llegado a la conclusin de que :Todos los cuerpos que se dejan caer desde la misma altura llegara simultneamente al piso independientemente de que sean pesados y livianos.Hiptesis comprobada cuando se invent la bomba de vacio.

Paracaidista en cada libre ,sufre resistencia del aire.Equipo de medicin experimental de cada libre en el laboratorio.

ECUACIONES DE MOVIMIENTO:El movimiento vertical de cada libre es un MRUV por lo que las ecuaciones de movimiento son : donde a=g y d=h.

A un mismo nivel : Las ecuaciones se utilizaran con el signo(+)cuando el cuerpo desciende(acelerado) y el signo( - ) cuando asciende (movimiento desacelerado).

v0-v0V =0

Haga click en la bolita verde

avxtttv0-v0-gtvtv/2tvH

Movimiento de proyectilesPara el movimiento de proyectiles supondremos que la aceleracin es constante y dirigida hacia abajo, adems despreciaremos la resistencia del aire. INSTRUMENTOS DE LANZAMIENTO DE PROYECTILES:

*

Ecuaciones de movimiento:yxRhmax(x,y)vo )voyvoxjiEl vector de posicin : Toma la siguiente forma:

De la figura deducimos:

Este resultado se ha obtenido ,considerando un MRU en el eje X y un MRUV en el eje Y.

Ecuaciones del movimientoLas ecuaciones del movimiento de un proyectil en cualquier tiempo son:vx = vx0 = v0 cos q = const.vy = vy0 gt = v0 sen q gtx = vx0t = v0 (cos q )ty = vy0t gt2 = v0 (sen q)t gt2

*

Trayectoria de un proyectilTrayectoria de un proyectil arrojado con una velocidad inicial v0.

*

Vector desplazamiento en el tiro parablico :El vector desplazamiento r puede escribirse como: r = v0t + gt2

*

TrayectoriaDe las ecuaciones para x y y podemos obtener la ecuacin de la trayectoria.x = vx0t = v0 (cos q )t (1)y = vy0t gt2 = v0 (sen q)t gt2 (2)Despejando (t) de la ecuacin(1) y reemplazan en (2) se tiene : tiempo de vuelo Esta Ecuacin Representa una parbola

*

Algunos parmetros del tiro parablicoaltura mxima : se logra cuando vy=0,se obtiene el tiempo de ascenso ta :

, para t=ta,y=hmax , se

tiene :alcance mximo : para t=2tael proyectil intersecta al eje x por segunda vez ,es decir x=R

*

Mximo alcanceTrayectorias de un proyectil con diferente ngulo inicial

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Ejemplo1.-Un golfista golpea una pelota en un acantilado a la orilla del mar con una velocidad de 48 m/s y un ngulo de 36. El acantilado tiene una altura de 52 m. Encontrar la distancia total que avanza la pelota y el tiempo total de vuelo.

*

Ejemplo (cont.)Podemos calcular la coordenada x en que la pelota choca con el mar resolviendo la ecuacin de la trayectoria para y = 52 m, q0 = 36, v0 = 48 m/s.Sustituyendo obtenemos la siguiente ecuacin:0.00325x2 + 0.72654x + 52 = 0Las soluciones son:x = 57.0272487 y x = 280.6225766 La raz aceptable es la segunda. El tiempo de vuelo lo calculamos con:

t = 7.23 s

*

Ejemplos :2.-Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20m/s , desde la azotea de un edificio de 50 m de altura .La pelota adems es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con aceleracin de 2m/s (tomar :g= 10m/s). Calcular:a)La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto . b)La altura mxima . c)Las componentes tangencial y normal de la aceleracin en el instante t=3s.

3.-Se dispara un proyectil desde lo alto de una colina de 300 m de altura, haciendo un ngulo de 30 por debajo de la horizontal.

a)Determinar la velocidad de disparo para que el proyectil impacte sobre un blanco situado a una distancia horizontal de 119 m, medida a partir de la base de la colina.

b)Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleracin cuando el proyectil se encuentra a 200 m de altura.

*

Aplicaciones:4.-Un can est situado sobre la cima de una colina de 500 m de altura y dispara un proyectil con una velocidad de 60 m/s, haciendo un ngulo de 30 por debajo de la horizontal.

a)Calcular el alcance medido desde la base de la colina. b)Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleracin 3 s despus de efectuado el disparo. c)Dibujar un esquema en los que se especifique los vectores velocidad, aceleracin y sus componentes tangencial y normal en ese instante. (Tmese g=10 m/s2) 5.-Se lanza un objeto desde una altura de 300 m haciendo un ngulo de 30 por debajo de la horizontal. Al mismo tiempo se lanza verticalmente otro objeto con velocidad desconocida v0 desde el suelo a una distancia de 100 m. a)Determinar, la velocidad v0, el instante y la posicin de encuentro de ambos objetos. b)Dibujar la trayectoria de ambos objetos hasta que se encuentran. c)Calcular las componentes tangencial y normal del primer objeto en el instante de encuentro. ( g=9,8 m/s)

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Aplicaciones :6.-Un bloque de 0.5 kg de masa de radio comienza a descender por una pendiente inclinada 30 respecto de la horizontal hasta el vrtice O en el que deja de tener contacto con el plano. a)Determinar la velocidad del bloque en dicha posicin. b)Hallar el punto de impacto de la esfera en el plano inclinado 45, situado 2 m por debajo de O, tal como se indica en la figura. c)Hallar el tiempo de vuelo T del bloque (desde que abandona el plano inclinado hasta el punto de impacto). d)Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleracin en el instante T/2. 7.-Calcular el ngulo de tiro con que se ha de apuntar un can para que d en el blanco situado a 200 m de distancia horizontal y 100 m de altitud sobre el can, sabiendo que la velocidad de disparo es de 60 m/s. Justifquese la respuesta.

Magnitudes angulares

ECUACIONES DE MOVIMIENTO CIRCULAR :La velocidad es :

Movimiento circular. Relaciones entre magnitudes lineales y angulares.

CONTINUACION:

Periodo y frecuenciaAl tiempo en que tarda un objeto en dar una vuelta completa se le llama periodo (T) est dado por2pR = vT La frecuencia es el recproco del periodof = 1/T = w/2pLa frecuencia es el nmero de revoluciones por segundo, se mide en hertz (Hz) que se define como un ciclo por segundo (cps).Otra unidad es las revoluciones por minuto rev/min o rpm.

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EjemploCalcule la rapidez angular, la rapidez, la frecuencia, el periodo y la aceleracin correspondiente en un punto del ecuador de la tierra.El periodo es 24 h o seaT = 24h (60 min/h)(60 s/min) = 86,400 sLa frecuencia esf = 1/T = 1.16 x 105 HzEl radio de la tierra es R = 6.4 x 106 m, la velocidad esv = 2pR/T = (2p)(6.4 x 106)/86,400 = 465 m/sLa rapidez angular esw = 2pf = 2p(1.16 x 105) = 7.3 x 105 HzLa aceleracin esa = v2/R = (465)/(6.4 x 106) = 0.034 m/s2

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