Date post: | 09-Aug-2015 |
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Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 3355
2. MATRICES Y DETERMINANTES
SUMARIO:
INTRODUCCIÓN
OBJETIVOS
INTRODUCCIÓN TEÓRICA
1.- Matrices.
2.- Operaciones con Matrices.
3.- Equivalencia de Matrices. Transformaciones Elementales de
Matrices.
4.- Cálculo de la Matriz Inversa.
5.- Determinantes.
6.- Desarrollo de un Determinante.
7.- Propiedades de los Determinantes.
8.- Expresión de la Matriz Inversa .
PROBLEMAS RESUELTOS.
BIBLIOGRAFÍA
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICAS I 3366
INTRODUCCIÓN
En este punto del temario surge un dilema para el profesor. Si se
persigue una rigurosidad matemática habría que comenzar este segundo
bloque definiendo la estructura de Espacio Vectorial, para a continuación y
como ejemplo, definir las Matrices, pasando posteriormente a las
aplicaciones lineales, los sistemas de ecuaciones y finalmente como ejemplo
de aplicación multilineal, dar los determinantes.
Sin embargo en un curso de Álgebra lineal dentro de la formación de
un Ingeniero Técnico, creemos que se debe ser más flexible en el orden de
los temas atendiendo fundamentalmente al criterio de que al alumno lo que
le interesa es el manejo práctico que de toda esta herramienta puede realizar.
Es por esto que, siendo fieles a la evolución del Álgebra, comenzamos el
tema incentivándolos mediante un ejemplo en el que halla que resolver un
sistema de ecuaciones y a continuación les exponemos toda la matemática
necesaria que les facilitará dicha resolución: las matrices y los determinantes,
para finalmente atacar con esta herramienta cualquier sistema de ecuaciones
que se les presente. Este orden nos permite mostrarles los espacios
vectoriales dotados de una gran cantidad de elementos matemáticos que nos
evitarán teorizar en demasía y avanzar con fluidez en los siguientes temas.
Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 3377
OBJETIVOS
• Realizar con soltura las distintas operaciones con matrices.
• Comprobar que las matrices cuadradas de orden n tienen una
estructura de anillo.
• Conocer las posibles operaciones elementales, e identificarlas con
el producto por la correspondiente matriz elemental.
• Comprender su significado y calcular con precisión el rango de una
matriz.
• Manejar el método de Gauss para hallar una matriz escalonada
equivalente.
• Determinar subconjuntos notables de matrices cuadradas como
diagonales, matrices de traza nula, triangulares de cada tipo,
simétricas, antisimétricas, hermíticas, antihermíticas, etc.
• Calcular, si es posible, como producto de matrices elementales, la
inversa de una matriz cuadrada.
• Comprender el sentido de las propiedades de los determinantes,
cuyo fin es calcularlos con mayor comodidad que siguiendo la
definición.
• Conocer y practicar con soltura el cálculo de un determinante por
los diferentes métodos y elegir la estrategia más adecuada en cada
caso.
• Calcular con soltura el rango de una matriz empleando
determinantes.
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICAS I 3388
• Decidir si una matriz tiene inversa, o no, a través de su propio
determinante. Cuando exista, calcular la inversa mediante
determinantes.
Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 3399
INTRODUCCION TEORICA
1. MATRICES
Una matriz A de orden m n× es un conjunto de m n⋅ elementos
pertenecientes a un cuerpo K , ordenados en m filas y en n columnas.
11 112
221 22
1 2
n
ni j
n nnn
a a aa a a
A a
a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= = donde 1i m= ,... , 1j n= ,..., .
Nosotros consideraremos que K es el cuerpo o .
Simbolizaremos una matriz por una letra mayúscula A o por :
1 21 2
i mi jj n
a⎛ ⎞⎜ ⎟ = , ,...,⎝ ⎠
= , ,...,,
o de forma más sencilla por i ja⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(el subíndice i nos indica la fila en la
cual se encuentra el elemento, el j la columna).
1.1. Tipos particulares de Matrices
Si 1m = la matriz A se llama matriz fila.
Si 1n = la matriz A se llama matriz columna.
Si m n≠ la matriz A se llama matriz rectangular
Si m n= la matriz A se llama matriz cuadrada y se dice de orden n .
NOTACIONES
El conjunto de matrices de orden m n× cuyos elementos toman valores
del cuerpo K se simboliza por ( )m nM K× .
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICAS I 4400
Si K = , se simplifica la notación por ( )M m n, o m nM × .
El conjunto de matrices cuadradas de orden n se simboliza por ( )nM K .
Si K = , utiliza la notación nM o n nM × .
1.2. Definición de Matriz Nula
Matriz nula n n×O es aquella en que todos sus elementos son 0 , es decir,
0i ja = , 1 2i m∀ = , ,..., , 1 2j n∀ = , ,..., . Cualquiera que sea el orden de las
matrices con las que se trabaje, siempre es posible definir su matriz nula.
1.3. Definición de Diagonal Principal
Si A es una matriz cuadrada de orden n la diagonal principal de A es los
elementos de la forma iia , 1 2i n∀ = , ,... .
1.4. Definición de Traza
Traza de una matriz cuadrada A es la suma de los elementos de la
diagonal principal:
11 22( ) ( ) nnTraza A Tr A a a a= = + + + .
2. OPERACIONES CON MATRICES
2.1. Igualdad
Dos matrices A y B del mismo orden m n× son iguales si y sólo los
elementos situados en las mismas posiciones en ambas matrices coinciden,
es decir, si: i j i ja b= ,
Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 4411
1 2i m∀ = , ,..., , 1 2j n∀ = , ,... .
2.2. Suma de matrices
Dadas dos matrices A y B del mismo orden m n× se define la matriz
suma C A B= + , como la matriz de orden m n× que resulta de sumar
entre sí los elementos que ocupan las mismas posiciones en ambas matrices,
es decir:
i j i j i jc a b= + , 1 2 1 2i m j n∀ = , ,... , ∀ = , ,..., .
2.3. Producto de una matriz por un número
Dada una matriz A de orden m n× y dado un elemento Kλ ∈ , la matriz
B = Aλ (producto de la matriz A por el elemento del cuerpo λ ) es la
matriz de orden m n× que resulta de multiplicar todos los elementos de A
por λ , esto es:
i jb = i jaλ , 1 2i m∀ = , ,..., , 1 2j n∀ = , ,..., .
2.4. Producto de matrices
Dadas dos matrices A de orden m n× y B , de orden n p× , su matriz
producto C A B= ⋅ es una matriz de orden m p× tal que:
1 1 2 21
n
i j i k k j i j i j i n n jk
c a b a b a b a b=
= = + + +∑ , 1 2i m∀ = , ,..., ,
1 2j p∀ = , ,..., .
IMPORTANTE: Para que se puedan multiplicar dos matrices, el número
de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda.
El producto de matrices no es conmutativo .
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICAS I 4422
2.5. Trasposición de matrices
Dada una matriz A de orden m n× se define su matriz traspuesta, que se
simboliza por tA como la matriz que resulta de intercambiar en A sus filas
por sus columnas, esto es:
( )ti ja , donde 1i m= ,... , 1j n= ,..., y con t
i j j ia a= .
El orden de la matriz traspuesta es n m× .
Las principales propiedades de la trasposición de matrices son:
( )t t tA B A B+ = +
( )t t tA B B A⋅ = ⋅ .
2.6. Tipos de Matrices Cuadradas
Una matriz A, cuadrada de orden n se dice que es:
Diagonal, si 0i ja = , si i j≠ .
Escalar, si es diagonal y i ia a= , 1 2i n∀ = , ,..., .
Identidad, si es escalar y 1i ia = , 1 2i n∀ = , ,..., . Se denota por I .
Triangular superior, si 0i ja = , i j∀ > .
Triangular inferior, si 0i ja = , i j∀ < .
Regular o invertible, si existe su inversa (trabajando con el producto de
matrices). A la matriz inversa se la denota por 1A− y verifica: 1 1A A A A− −⋅ = ⋅ = I .
Singular, si no tiene inversa.
Simétrica, si tA A= .
Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 4433
Antisimétrica, si tA A= − , (también se denomina hemisimétrica).
Idempotente, si 2A A= .
Involutiva, si 2A = I .
Ortogonal, si 1tA A−= .
3. EQUIVALENCIA DE MATRICES. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
DE MATRICES
Las transformaciones elementales de fila más importantes son:
La permutación de las filas i y j , que denotaremos por i jF .
El producto de la fila i por una constante 0k ≠ , denotada por ( )iF k .
Sumar a la fila i la j multiplicada por k , denotada por ( )i jF k .
Análogamente las transformaciones elementales de columnas son i jC ,
( )iC k , y ( )i jC k .
3.1. Matriz Elemental
Matriz elemental es toda matriz que resulta de aplicar una transformación
elemental a la matriz identidad. iF denotará una matriz elemental general
de tipo fila y jC denotará una matriz elemental general de tipo columna.
Las distintas matrices elementales son:
1.- i jF y i jC que resultan de intercambiar en la matriz identidad n n×I las
filas i y j , en el caso de ijF , o las columnas i y j , en el caso de i jC . Por
lo tanto,
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICAS I 4444
si
1 0 00
11
10
0 0 1
n n×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
I
se tiene que al intercambiar las filas (o las columnas) i y j resulta:
i j
1
0 1
1 0
1
i j i j
i
F Cj
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2.- ( )iF k y ( )iC k que resultan de multiplicar en la matriz identidad n n×I
la fila i por el escalar k , en el caso de ( )iF k , o la columna i por el escalar
k , en el caso de ( )iC k .
1
1( ) ( )
1
1
i i
i
F k C k ik
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 4455
3.- ( )i jF k y ( )i jC k que resultan de sumar en la matriz identidad n n×I a la
fila i la j multiplicada por el escalar k , en el caso de ( )ijF k , o a la
columna i la j multiplicada por el escalar k , en el caso de i jC .
1
1( )
1
1
i j
ik
F kj
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1
1( )
1
1
i j
i j
C kk
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
NOTA: La matriz que se obtiene al realizar una transformación elemental
en la matriz A de orden n m× por filas (columnas) coincide con la matriz
obtenida al multiplicar por la izquerda (derecha) la matriz A por la matriz
elemental correspondiente.
En la matriz 1 21 2
i ni jj m
A a⎛ ⎞⎜ ⎟ = , ,...,⎝ ⎠
= , ,...,= se pueden obtener las siguientes
transformaciones, siendo i j< .
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICAS I 4466
11 1 1 1
1
1
1
i j m
j j i j j j m
i j
i ii i j im
n ni n j nm
a a a a
a a a aF A
a a a a
a a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
=
11 1 1 1
1
1
1
j i m
i i j i i im
i j
j j j j i j m
n n j ni nm
a a a a
a a a aAC
a a a a
a a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
=
( )i jF k A =
11 1 1 1
1 1
1
1
i j m
i j i i j i i j j j im j m
j ji j j j m
n ni n j nm
a a a a
a k a a k a a k a a ka
a a a a
a a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
+ + + +
11 1 1 1 1
1
1
1
i j j m
i i i i j i j im
i j
j j i j j j j j m
n ni n j n j nm
a a k a a a
a a k a a aAC
a a k a a a
a a k a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
+
+
=+
+
Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 4477
iF
11 1 1 1
1
1
1
( )
i j m
i i i i j im
j ji j j j m
n ni n j nm
a a a a
k a k a k a k ak A
a a a a
a a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
=
11 1 1 1
1
1
1
( )
i j m
i i i i j im
i
j ji j j j m
n ni n j nm
a k a a a
a k a a aC k A
a k a a a
a k a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
=
3.2. Matrices equivalentes
Dos las matrices A y B , se dice que son equivalentes si una se puede
obtener de la otra a través de transformaciones elementales.
Por tanto, si A y n mB M ×∈ son equivalentes, se tiene que:
2 1 1 2r sB F F F AC C C=
siendo 1F , 2F , …, rF matrices elementales que representan las
transformaciones aplicadas a las filas de A y 1C , 2C , …, sC las
transformaciones aplicadas a las columnas de A , para obtener la matriz B .
Entonces si 2 1rP F F F= y 1 2 sQ C C C= se tiene A y B son
equivalentes si y sólo si existen P y Q regulares tales que B PAQ= ; P y
Q se denominan matrices de paso.
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MATEMÁTICAS I 4488
4. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA
La matriz A (cuadrada) tiene inversa si y sólo si mediante
transformaciones elementales sólo en sus filas o sólo en sus columnas, se
llega a la matriz identidad.
Si fE y cE son las operaciones elementales que aplicadas,
respectivamente, a las filas o a las columnas de A conducen a la identidad,
es decir: 1( )frE A F … F A= ⋅ ⋅ ⋅ = I y 1( )c
sE A C … C A= ⋅ ⋅ ⋅ = I , entonces se
tiene que:
1 ( )fA E− = I (las operaciones elementales se han realizado en las filas en
A ), o
1 ( )cA E− = I (las operaciones elementales se han realizado en las columnas
de A )
4.1. Matrices Semejantes
Dos matrices A y B cuadradas de orden n son semejantes si existe una
matriz P regular tal que 1B PAP−= .
5. DETERMINANTES
Si llamamos ( )nM K al anillo de todas las matrices cuadradas sobre el
cuerpo K , podemos definir el determinante como una aplicación de
( )nM K en K :
det ( ) --------det( )
nM K KA A:
Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 4499
Si i jA a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= entonces su determinante se puede simbolizar de las
siguientes maneras:
det( )A
1 2det n…a a a⎡ ⎤, , , ,⎣ ⎦ ( por ia se simboliza a la columna de lugar i de la
matriz A )
11 112
221 22
1 2
n
n
n nnn
a a aa a a
A
a a a
=
Esta aplicación tiene que verificar las siguientes propiedades:
1 2 1 2
1 2
det det
det
i i n i n
i n
… … … …a a a a a a a a a
… …a a a a
′ ′′ ′
′′
⎡ ⎤ ⎡ ⎤, , , + , , = , , , , , +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤+ , , , , ,⎣ ⎦
1 2 1 2det deti n i n… … … …a a a a a a a aλ λ⎡ ⎤ ⎡ ⎤, , , , , = , , , , ,⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , (λ )K∈ .
1 2det 0n… u … u…a a a⎡ ⎤, , , , , , =⎣ ⎦
det 1=I
En esta definición se pueden sustituir las columnas ia de A por sus filas;
más adelante se verá que de ambos modos se llega a un mismo resultado.
Se llama determinante de orden n al determinante de una matriz de
tamaño n n× .
5.1. Menor Complementario
Sea A una matriz cuadrada, ( )nA M K∈ . Llamamos menor
complementario del elemento i ja al determinante de la matriz que resulta
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICAS I 5500
de suprimir la fila i y la columna j de la matriz A . Lo denotamos por
i jα .
5.2. Adjunto de un Menor Complementario
El adjunto del menor complementario i jα se denota por i jA y viene dado
por:
( )1 i ji j i jA α+= − .
6. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE
El determinante de una matriz cuadrada de orden n , i jA a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= se puede
obtener como suma de los productos de los elementos de una de sus filas (o
de una de sus columnas) por sus correspondientes adjuntos.
7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
Sea ( )nA M K∈ , se cumple que:
Si todos los elementos de una fila (o una columna) de A son 0 entonces
0A = .
Si multiplicamos por k K∈ todos los elementos de una fila (o una
columna) de A , entonces el determinante de A queda multiplicado por k .
Si se permutan dos filas (o dos columnas) de A entre sí , entonces el
determinante de A cambia de signo.
Si A tiene dos filas (o dos columnas) iguales, entonces 0A = .
Si A tiene una fila (o una columna) proporcional a otra, entonces 0A = .
Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 5511
Si a una de las filas ( o a una de las columnas ) de A le sumamos una
combinación lineal de las restantes, el determinante de la matriz no varía.
n nA B A B A B M ×⋅ = ⋅ , , ∈
Si A es una matriz invertible, entonces 0A ≠ .
7.1. Menor de orden p
Sea i jA a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= una matriz de orden m n× cualquiera, y elegidas las p filas
1 2 pi i … i, , , de A , (con p m≤ y p n≤ ), se llama menor de orden p de A ,
que determinan las p filas y las p columnas elegidas, al determinante de la
submatriz de A de tamaño p p× , que forman los elementos situados en
los cruces de las filas y columnas elegidas; esto es, al determinante:
1 1 1
1
p
p p p
i j i j
i j i j
a a
M
a a
=
7.2. Rango de una matriz
Se dice que p es el rango de una matriz ( )m nA M K×∈ , si A tiene algún
menor de orden p no nulo y todos los menores de A de orden mayor que
p son nulos; o sea, p es el mayor de los órdenes de los menores no nulos
de A . Se denota por ( )Rang A p= .
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICAS I 5522
8. EXPRESIÓN DE LA MATRIZ INVERSA
Sea i jA a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= una matriz cuadrada, de tamaño n n× . Se llama matriz
adjunta de A , a la matriz i jA a∗ ∗⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= , con ( )1 i ji j ij i ja A α+∗ = = − de tamaño
n n× . Se verifica que si A es una matriz regular, es decir si 0A ≠ ,
entonces:
11 21 1
12 222
1 2
( )1
n
nt
n n n n
a a aA A A
a aaA A A AA
a a aA A A
A
∗ ∗ ∗
∗ ∗∗
∗
∗ ∗ ∗
−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 5533
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Sean las matrices 4 3xA B M, ∈ y 3 4xC M∈ y la matriz
4 4xD M∈ con D regular (determinante distinto de 0). De las
siguientes operaciones hay una que no es posible realizar, ¿cuál es?
a) 1( )A B C D−+ b) 1 ( )D A B C− + c) 3BC D d)
( )DC A B+
SOLUCIÓN:
Las operaciones del apartado a) sí se pueden realizar porque las matrices
A y B tienen la misma dimensión 4 3x , por lo tanto 4 3xA B M+ ∈ ,
además el número de columnas de esta matriz coincide con el de filas de C ,
por lo que también se puede realizar 4 4( ) xA B C M+ ∈ , por último, como
D es regular, podemos asegurar que existe 14 4xD M− ∈ , y de nuevo, por
coincidir las dimensiones, podemos efectuar el siguiente
producto:[ ] 1( )A B C D−+ .
Las operaciones del apartado b) también se pueden realizar. Como D es
regular, podemos asegurar que existe 14 4xD M− ∈ , y ya hemos visto también
que existe la matriz 4 3xA B M+ ∈ , como el número de columnas de
1D− que es 4, coincide con el número de filas de A B+ , podemos realizar el
producto 14 3( ) xD A B M− + ∈ , de nuevo el número de columnas de esta
nueva matriz, que es 3, coincide con el número de filas de C , por lo que
podemos realizar el siguiente producto sin ningún problema 1( )D A B C− + .
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICAS I 5544
Las operaciones del apartado c) son perfectamente viables. La matriz B
tiene 3 columnas y la matriz C 3 filas, por lo que podemos realizar
4 4xBC M∈ , por otro lado 3D es una matriz 4 4x , por lo que es posible
realizar 34 4xBCD M∈ .
La operación de este apartado no es factible, pues la matriz D tiene 4
columnas que no coincide con el número de filas de la matriz C , que es 3,
por lo tanto, no es posible realizar DC .
2.- Sean las matrices 4 3 4 3 3 4( ) ( ) ( )x x xA M B M C M∈ ; ∈ ; ∈ ;
4 4( )x ;∈D M
¿Cual de las siguientes operaciones no se puede realizar?
a) ( )A B C D+ . . b) ( )D A B C. + . c) 3B C D. . d) ( )D C A B. . + .
SOLUCIÓN:
a) Falso, si se puede realizar.
( 4x3 + 4x3 )(3x4)(4x4)→ ( 4x3)(3x4)(4x4)→ ( 4x4)(4x4)→ (4x4)
b) Falso, si se puede realizar.
(4x4)( 4x3 + 4x3 )(3x4) ⎯→ ( 4x4)(4x3)(3x4)→ ( 4x3)(3x4)→ (4x4)
c) Falso, si se puede realizar.
(4x3)(3x4)(4x4)(4x4)(4x4)→ ( 4x4)(4x4)(4x4)(4x4)→ ( 4x4)
d) Verdadera.
(4x4)(3x4)( 4x3 + 4x3 ) , los ordenes, (4x4) y (3x4) no son compatibles
para la multiplicación.
3.- Dada una matriz A cualquiera, razonar la veracidad o
falsedad de los siguientes enunciados:
Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 5555
a) El producto tAA está definido cualquiera que sea el tamaño de
A .
b) El producto ( )tA A A está definido cualquiera que sea el tamaño
de A.
c) El producto ( )t tA A A está definido cualquiera que sea el tamaño
de A.
d) Para que el producto tAA esté definido es necesario que A sea
cuadrada.
SOLUCIÓN:
a) Verdadero.
tnxm mxnA M A M∈ ⇒ ∈ , por lo tanto sí es posible realizar
tnxnAA M∈ .
b) Verdadero.
tnxm mxnA M A M∈ ⇒ ∈ , por lo tanto, podemos hacer t
mxmA A M∈ y como
nxmA M∈ entonces podemos realizar ( )tnxmA A A M∈ .
c) Verdadero.
tnxm mxnA M A M∈ ⇒ ∈ , por lo tanto, podemos hacer
( )t t tmxm mxmA A M A A M∈ ⇒ ∈ entonces podemos realizar
( )t tnxmA A A M∈ .
d) Falso.
Para que tAA esté definido no es necesario que A sea una matriz
cuadrada.
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICAS I 5566
Sea 2 3
2 3 41 0 1 xA M⎛ ⎞
= ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
(no es cuadrada) ⇒
3 2
2 13 04 1
txA M
⎛ ⎞⎜ ⎟⇒ = ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
y 29 66 2
tAA ⎛ ⎞= .⎜ ⎟⎝ ⎠
4.- Calcular el valor de los siguientes determinantes:
a)
1 1 1 12 3 1 54 9 1 258 27 1 125
b)
1 0 0 01 2 0 0
1 3 03 4
xy z
− c)
1 2 0 30 3 0 55 8 4 4
0 2 0 7−
d)
1111
x y x yy z x yz t x yt x x y
++++
SOLUCIÓN:
a)
( 1 )
1 1 1 12 3 1 54 9 1 258 27 1 125
ades por F
=
3 1 5 2 1 5 2 3 5 2 3 19 1 25 4 1 25 4 9 25 4 9 127 1 125 8 1 125 8 27 125 8 27 1
= − + − =
240 120 180 12 48= − + + − =
b)
Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 5577
1 0 0 01 2 0 0
1 2 3 4 241 3 0
3 4xy z
= ⋅ ⋅ ⋅ =−
, al tratarse de una matriz triangular, su
determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.
c)
( 3 )
1 2 0 31 2 3
0 3 0 54 0 3 5 4 11 44
5 8 4 40 2 7
0 2 0 7
ades por C.
= ⋅ =− =
d)
( )
1 1 11 1 1
( )1 1 11 1 1
haydoscolum iguales
x y x y x yy z x y y z
x yz t x y z tt x x y t x
++
= +++
=
( ) 0 0x y= + ⋅ = .
5.- Dada una matriz cuadrada de orden 11 y λ∈ , calcular el
valor del determinante: Aλ−
SOLUCIÓN:
Al multiplicar la matriz A por λ− lo que se está haciendo es multiplicar
cada uno de los elementos de la matriz por λ− . Al calcular el
determinante de una matriz, si toda una fila (o una columna) de la matriz
está multiplicada por el mismo número, éste se puede sacar fuera del
determinante (propiedad 2 de las numeradas como propiedades de los
determinantes). En nuestro caso tenemos las 11 filas de la matriz A
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICAS I 5588
multiplicadas por λ− , por lo tanto al calcular Aλ− podemos sacar 11
veces el λ− fuera de la matriz, con lo que nos queda lo siguiente:
11 112
221 22
1 2
n
n
n nnn
a a aa a a
A
a a a
λ λ λλ λ λ
λ
λ λ λ
− − −− − −
− = =
− − −
11 112
221 22
1 2
n
n
n nnn
a a aa a a
a a a
λ λλ λ
λ
λ λ
− −− −
= − =
− −
11 112 13
221 22 232
1 2 3
( )
n
n
n nnn n
a a a aa a a a
a a a a
λ λλ λ
λ
λ λ
− −− −
= − =
− −
11 112 13
221 22 2311 11
1 2
( ) ( )
n
n
n nnn
a a a aa a a a
A
a a a
λ λ= = − = − .
6.- Calcular los valores de x que hacen cero el determinante de la
matriz
Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 5599
x a b cx x d e
Ax x x fx x x x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
con a b c d e, , , , ∈ .
SOLUCIÓN:
21
31
41
( 1)( 1)( 1) 0
00
FFF
x a b c x a b cx x d e x a d b e c
Ax x x f x a x b f cx x x x x a x b x c
−−− − − −
= =− − −− − −
=
32
42
( 1)( 1) 0
0 00 0
FF
x a b cx a d b e c
x d f ex d x e
−− − − −
=− −− −
=
43 ( 1) 0( )( )( ) 0
0 00 0 0
F
x a b cx a d b e c
x x a x d x fx d f e
x f
− − − −= − − − = ⇐⇒
− −−
=
0x o x a o x d o x f⇐⇒ = = = =
7.- Dada una matriz diagonal se tiene que es invertible:
a) Siempre b) Nunca c) Si la traza es no nula.
d) Si todos los elementos de la diagonal principal son no nulos.
SOLUCIÓN:
a) Falsa.
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICAS I 6600
Como contraejemplo, sea la siguiente matriz 1 0 00 0 00 0 1
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
se trata de
una matriz diagonal, sin embargo no es invertible porque 0A = .
b) Falsa.
Como contraejemplo, sea la siguiente matriz 1 0 00 1 00 0 1
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
se trata de
una matriz diagonal y es invertible, su inversa es ella misma
1
1 0 00 1 00 0 1
A−
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
.
c) Falsa.
Nos vale el mismo contraejemplo del apartado a). Sea 1 0 00 0 00 0 1
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
su
traza será la suma de los elementos de la diagonal principal, por lo que
( ) 1 1 2Traza A = + = , sin embargo hemos visto que no es invertible.
d) Verdadera.
Sabemos que el determinante de una matriz diagonal es el producto de
todos los elementos de la diagonal principal, por lo que si ninguno de ellos
es nulo, el determinante será distinto de cero por lo que la matriz es
invertible.
Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 6611
11
22
11 22
0 00 0 0
00
0 0
… nn
nn
aa
A A a a a
a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= ⇒ = . ≠ , ya que
0iia i≠ ∀ . 1A−⇒ ∃ .
8.- Si nA M∈ es idempotente 2( )A A= y además es ortogonal
1( )tA A− = , calcular cuál es el valor de su determinante.
SOLUCIÓN:
Por ser 1A A I− = , tenemos que 1 1A A I− = = . Luego, tenemos que:
1 2( )( ) ( )21 1 21
tt A AA A A AtA A A A A A A A A
− == =− −= = == = =
9.- Sea A ( )nxnM C∈ una matriz cuadrada antisimétrica de orden
impar y con entradas complejas, ¿cuánto vale su determinante?
SOLUCIÓN:
Conocemos dos propiedades de los determinantes que se verifican para
cualquier matriz ( )nxnA M C∈ :
1) tA A=
2) nA Aλ λ=
Una matriz se dice que es antisimétrica si tA A= − , lo cual nos garantiza
una tercera propiedad para nuestra matriz:
3) tA A= −
y ademas n es impar:
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICAS I 6622
4) ( 1) 1n− = −
Utilizando todo esto tenemos en nuestra matriz:
(3) (1) ( 1) (2) ( 1) (4)t nA A A A A A= − = − = − = − = − ⇒
2 0 0A A A A⇒ = − ⇒ = ⇒ =
10.- Si 1
0A R
λλ
λ⎛ ⎞
= , ∈ ,⎜ ⎟⎝ ⎠
demostrar que nA 1
0
n n
n
nλ λλ
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= .
SOLUCIÓN:
Lo comprobaremos por inducción sobre n.
Veamos que es cierto para 2 2 2 1
22 2
2 22
0 0n A
λ λ λ λλ λ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= , = = ,
supongamoslo cierto para 1n − y veamos que que ocurre para n.
1 11
1
1( 1)00
n nn n
n
nA A A
λλ λλλ
−⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎜ ⎟
−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
− ⎛ ⎞= ⋅ = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1 1( 1)0 0
n nn n n
n n
n nλ λ λ λ λ λλ λ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ −= =
11.- Si ( )nxnA M R∈ tiene exactamente 1n − filas (o columnas) no
nulas, razona la veracidad o falsedad de:
a) ( ) 1Rang A n= − ; b) ( ) 1Rang A = ;
c) ( ) 1Det A = ; d) ( ) 0Det A =
SOLUCIÓN:
a) Falsa.
Si A tiene exactamente ( 1)n − filas o columnas no nulas, esto no me
indica que sean linealmente independientes, podría suceder que las ( 1)n −
Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 6633
líneas que no son nulas sean todas iguales con lo que se tendría que el rango
de A es como máximo 1, o que sólo dos sean linealmente independientes,
con lo que ( ) 2Rang A = ......
Como ejemplo valga el siguiente:
3 3
1 1 01 1 01 1 0
xA M⎛ ⎞⎜ ⎟= ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
, esta matriz tiene exactamente
1 3 1 2n − = − = columnas no nulas, sin embargo su rango no es 2 , ya que
1 1 0 1 0 0( ) 1 1 0 1 0 0 1
1 1 0 1 0 0Rang A Rang Rang
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
O sea también la siguiente matriz:
4 4
1 1 0 01 1 1 01 1 1 01 1 1 0
xB M
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
, esta matriz tiene exactamente ( 1)n − =
4 1 3= − = columnas no nulas, sin embargo su rango no es 3, ya que
1 1 0 0 1 0 0 01 1 1 0 1 1 0 0
( ) 21 1 1 0 1 1 0 01 1 1 0 1 1 0 0
Rang B Rang Rang
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
b) Falso.
Como contraejemplo nos vale la matriz B del caso a).
c) Falso.
Como contraejemplo tenemos las matrices A y B del caso a):
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICAS I 6644
0A B= =
d) Verdadero.
Si una matriz tiene una de sus columnas o una de sus filas idénticamente
nula, su determinante vale 0.
12.- Sean A y B ( )M R∈ con A B A. = . De los tres
apartados siguientes demostrar el que sea verdadero y dar
contraejemplos para los apartados falsos.
a) 0 1A B≠ ⇒ = .
b) 0 1B A≠ ⇒ =
c) 0 1A A≠ ⇒ =
SOLUCIÓN:
a) Verdadera.
0 1AB A
AAA B A B A A B
=
. = . ≠ ⇒ = ==
b) Falsa.
Como contraejemplo valdría el siguiente:
2 00 1
A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
y 1 00 1
B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
en este caso tenemos que A B A. = y
además 1 0B = ≠ , sin embargo tenemos que 2 1A = ≠
c) Falsa.
Como contraejemplo nos vale el mismo que el del apartado b).
Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 6655
BIBLIOGRAFIA
ANZOLA, M.; CARUNCHO, J.; PÉREZ-CANALES, G. (1981).
Problemas de Álgebra (Tomos 1-7). Madrid. SSAG.
BURGOS, J. (1999). Álgebra Lineal y Geometría Cartesiana. Madrid.
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CARBO, R.; DOMINGO, LL. (1987). Álgebra Matricial y Lineal.
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McGraw-Hill. GROSSMANN, S.I. (1996). Álgebra Lineal con aplicaciones.
México. McGraw-Hill.
GUERRA, N.; LÓPEZ, B. (1999). Problemas resueltos tipo test de
Álgebra Lineal (Con esquemas teóricos). Las Palmas de G.C. El Libro
Técnico.
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICAS I 6666