Capítulo 2:G í d d lí d t i ióGuías de onda y líneas de transmisión
En el presente capítulo se va a analizar una solución general de las ecuaciones de Maxwell, en un medio sin fuentes,en el
i i á l i i d i ió d l i dque se permitirá la existencia de variación de las magnitudes con las tres coordenadas espaciales.
Dada la complejidad del problema completo nos centraremos p j p pen problemas que pueden ser descritos sistemas curvilíneos
ortogonales con simetría de traslación.
Microondas-2- 1Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Transmisión de energía electromagnética por soporte físico Medios de Transmisión
Emisor ReceptorLínea Bifilar, Cable coaxial
Guías de onda metálicasEstructuras planaresEstructuras planares
Guías de onda dieléctricas: fibra óptica
Teoría electromagnética de las ondas guiadasField Theory of Guided WavesField Theory of Guided Waves
Microondas-2- 2Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Transparencia tomada de referencia 6
Frecuencias
1 KHz
λ Denominación
A di
Medio de TransmisiónDistancia Circuitería
TipoOnda Guiada
1 KHz
10 KHz
Audio
Muy BajaFrecuencia
Baja
100 Km
10 KmLíneaBifilar
Ci it100 KHz
1 MHz
BajaFrecuencia
FrecuenciasMedias
1 Km
100 m
CircuitosImpresosP.C.B.
10 MHz
100 MHz
AltaFrecuencia
Muy altaFrecuencia
100 m
10 m CableCoaxial
Lí t i1 GHz
10 GHz
Frecuencia
Ultra altaFrecuencia
Microondas
1 m
10 cm GuíasLínea μ strip
Línea strip
10 GHz
100 GHz
Microondas
Milimétricas
1 cm
1 mm
deonda
Líneascoplanares
100 THz InfrarrojosFibraÓ
guíasdi lé i
1 μm1 PHz Visible
Ultravioleta
Óptica dieléctricasplanas
μ
Transparencia tomada de referencia 6
CLASIFICACIÓN DE LOS MEDIOS DE TRANSMISIÓN
DieléctricoHomogéneo
CerradosCerrados
gGuía
rectangular Guíacircular
Guíacoaxial
Multi-dieléctricos Guía imagen Línea microstrip Fin-line
DieléctricoLínea bifilar Línea trifásica
Abiertos
Homogéneo
MultiLínea microstrip Línea coplanar
Multi-dieléctricos
Guía acanalada Fibra salto de índiceFibra salto de índice
Microondas-2- 4Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Transparencia tomada de referencia 6
INTRODUCCIÓN (I)
• Definición: medio sin fuentes donde pueden variar las magnitudes electromagnéticas con tres coordenadas espaciales. Limitaciones:– Complejidad del problema EM completo– Descripción del problema mediante sistema curvilíneo ortogonal (u u u )sistema curvilíneo ortogonal (u1, u2, u3)– Simetría de traslación: u3=cte, planos paralelos entre sí.– Los factores de escala quedan:
zuuh
uhh ˆˆ;0;1 3
3
2
3
13 ==
∂∂
=∂∂
=
• Ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia en un medio homogéneo caracterizado por ε y μ en donde no existen fuentes:
uu 33 ∂∂
⎫⋅−=×∇ HjErr
ωμ γ⎪⎧ =−Δ 2 0EErr
⎪⎪
⎪⎪
⎬
⎫
=⋅∇
⋅=×∇
⋅−=×∇
0E
EjH
HjE
r
rrωε
ωμTomando rotacionales en las dos primeras y considerando
las otras dos εμωγ
γ
γ
⋅⋅−=
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−Δ
Δ
22
2 0
0
o
o
o
HH
EErr (1)
Microondas-2- 5Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
⎪⎭=⋅∇ 0H
r las otras dos
INTRODUCCIÓN (II)
• Resolución de las ecuaciones (1) (tomamos la del campo eléctrico)S ió d l l i di l l– Separación del campo en componentes longitudinal y transversal:
– Sistema con simetría de traslación
022 =−−Δ+Δ zoTozT EEEErrrr
γγ
Sistema con simetría de traslación
( ) zzEEzEE
EE
EE zzTzz
zoz
ToT ˆˆ0
02
2
2
2
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+Δ=⋅Δ=Δ⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−Δ
=−Δ rrr
rr
γ
γ
• Aplicando la técnica de separación de variables:
L i dif i l h d i l t t( ) ( )zZuuFE Ez ⋅= 21, 01 2
2
2=−
∂∂
+Δ
oE
ET
zZ
ZFF
γ (2)
• Las ecuaciones diferenciales han de ser igual a una constante
( ) ( ) 22222222
22 ;4 1;3 ococc
E
ET
zZ
ZFF γγγγγγγγ =+⇒−=⇒=
∂∂
=Δ 222 β−= kkc
(Pozar)– constante en la dirección transversal– constante en la dirección longitudinal
E (Pozar)
Microondas-2- 6Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
INTRODUCCIÓN (III)
• La solución de la ecuación (3) tiene sólo componentes transversales y (4) longitudinaleslongitudinales
• La forma de esta solución puede ser
( ) ( ) ( )zBzAzZ += γγ expexp( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )zDzCzZ
zBzAzZ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅−⋅=γγγγ
senhcoshexpexp
– Solución A: formada por ondas progresivas y regresivas: componente longitudinal
– Solución B: constituye una onda estacionaria : componente transversalSolución B: constituye una onda estacionaria.: componente transversal• El campo en la dirección longitudinal será:
( ) ( )⎪⎧ ⋅−⋅⋅= zuuFzE Ez γexp,ˆ 21r
d d h id d ól l d i
( ) ( )( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⋅−⋅⋅= zuuFzH
zuuFzE
Hz
Ez
γ
γ
exp,ˆ
exp,
21
21r
Microondas-2- 7Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
donde se ha considerado sólo la onda progresiva
CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (I)
• MODOS TEM: transversales electromagnéticos, no hay campo eléctrico ni magnético longitudinal 00 HE
vv HjErr
⋅⋅−=×∇ μωlongitudinal– las ecuaciones de Maxwell quedan– calculando el rotacional en sentido longitudinal y utilizando la otra ecuación
0;0 == zz HE
tt
tt
EjHHjErr
⋅⋅=×∇
=×∇
εωμω
( ) ( )zuuFE
EE
oETEM
ToTz
T⋅−⋅=
=⋅−Δ
γ
γ
exp,
0
21
2
rv
vv
– Introduciendo esta expresión en el correspondiente rotacional se puede extraer el valor del campo magnético transversal como:
( ) ( )oETEM Tγp21
μη ==×
= TEMT
T ZZ
EzH ;ˆr
r(3)
– Los vectores están contenidos en planos perpendiculares a z.– El vector se obtiene a partir de la expresión (3)
εTEMTEM
T ZHErr
,
Hr
( )
– No confundir la impedancia del modo TEM que coincide con la intrínseca del medio y sólo depende de las características del medio con la impedancia característica que depende del material que rellena la línea y de la forma de la
i
Microondas-2- 8Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
misma
CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (II)
• MODOS TM: transversales magnéticos, no existe componente longitudinal del campo magnético por lo que también se les llama modos E: 0=H
vmagnético por lo que también se les llama modos E:
• La componente longitudinal es de la forma:
0=zH
( ) ( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
Δ
⋅−⋅⋅=
0
exp,ˆ2
21Ez
FFF
zuuFzE γr
• Tomando las expresiones de los rotacionales, multiplicando por jwε la primera y tomando la segunda
( )⎪⎩ =−Δ 0:, 221 EcETE FFuuFcon γ
zTToTz EjHHrrr
×∇=−Δ ωεγ 2
– Ecuación diferencial completa cuya solución homogénea es el modo TEM. – La solución para modos TM:
zTToTz jγ
jj ⎫ωεωε
TT
zTc
zTo
T
EzjHzEjEjH
rr
r
rr
×=⇒⎪
⎪⎪⎬
⎫×∇−=×∇−
=
ˆˆ222
γωε
γγωε
γγωε
– está contenido en planos perpendiculares a z
zTc
T EEr
⎪⎪⎭
∇= 2γ
γγ
Hv γ
jHEzZ T
TM =×
= rˆ
Microondas-2- 9Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
p p pωεjHT
TM
CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (III)
• MODOS TE: transversales eléctricos, no existe componente longitudinal del campo eléctrico por lo que también se les llama modos H: 0E
rcampo eléctrico por lo que también se les llama modos H:
• La componente longitudinal es de la forma:
0=zE
( ) ( )( )⎪
⎪⎨⎧ ⋅−⋅⋅= exp,ˆ
221Hz zuuFzH γ
r
p g
• Tomando las expresiones de los rotacionales, multiplicando por jwε la primera y d l d
( )⎪⎩⎨
=−Δ 0:, 221 HcHTH FFuuFcon γ
HjEErrr
∇Δ 2tomando la segunda– Ecuación diferencial completa cuya solución homogénea es el modo TEM– La solución para modos TM:
zTToTz HjEE ×∇−=−Δ ωμγ 2
HjErr ⎫∇
ωμLa solución para modos TM:
TT
zTc
T
Ezj
HHH
HjErr
r×=⇒
⎪
⎪⎪⎬
⎫
∇
×∇=
ˆ2
ωμγ
γγμ
– está contenido en planos perpendiculares a zS d d fi i i d i d l d
zTc
TjHH
⎪⎪⎭
∇= 2μ
γγ
Er
ωμjEzZ TTE =
×=
ˆ
Microondas-2- 10Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
– Se puede definir una impedancia del modo como γHZ
TTE r
CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (IV)
• Cuando no se satisface ninguna de las condiciones anteriores la solución se forma por i ió d l t i L té i d ió d i bl d j dsuperposición de los casos anteriores. La técnica de separación de variables deja de
ser válida cuando la sección no es un cilindro recto. • Las condiciones de contorno laterales definen la variación de los modos.• Las condiciones en planos z=cte determinan cuántos y cuáles son los modos. • La constante de propagación viene determinada
– Por las características del medio: modos TEM μεωγγ jo ==
– Por las características del medio y las condiciones de contorno• La constante de propagación es una función compleja de ω:
C t t d t ió d ib ó í l lit d d l
22co γγγ −=
( ) ( ) ( )ωβωαωγ j+=– Constante de atenuación describe cómo varían las amplitudes de los campos– Constante de fase la forma cómo varía la fase del campo– Longitud de onda: distancia entre dos puntos de igual fase:
( ) ( )( )
πω
ωωβπωλ
2
2 fv==
– Velocidad de fase: velocidad con que se desplazan los planos de fase constante– Dos situaciones:
• Modo no se propaga Modo se propaga
π2
( ) ( )ωβωα ≥ ( ) ( )ωβωα ≤
Microondas-2- 11Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
• Modo no se propaga. Modo se propaga( ) ( )ωβωα ≥ ( ) ( )ωβωα ≤
CONDICIONES DE CONTORNO LATERALES (I)
• Determinan cuántos y cuáles modos son necesarios considerar para obtener la solución completacompleta.
• Casos más comunes– Región limitada por un conductor perfecto sin discontinuidades.– Características de buen conductor– Parte de la superficie límite se encuentra en el infinito– Discontinuidades en el medio (línea microstrip)
n( p)
• Condiciones de conductor perfecto:– La región de contorno es un conductor perfecto:
τ
]⎧ × 0ˆ Enr
– Modos TE: la segunda condición la cumplen automáticamente
] ( )] ]⎩⎨⎧
=
=×⇒=+×⇒=×
00
0ˆ0ˆz
CTCzTC E
EnEEnEnrrr
(4)
• De la primera se deriva: ] ( )] ( ) ( )] ( )]
( ) 0ˆˆˆˆ
0ˆ0ˆˆˆˆˆˆˆ
=∂
=∂
⇒⋅⎟⎞
⎜⎛ ∂
+∂
⋅=⋅
=⋅⇒=⋅−⋅=××=×
FHnHnHHn
HnHnzznHzHnEn
Hzzz
CTCTTCTCT
τγr
rrrrr
Microondas-2- 12Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
( ) 02 =∂
=∂
⇒⋅⎟⎠
⎜⎝ ∂
+∂
⋅=⋅nn
nnn
Hnc
T ττγ
CONDICIONES DE CONTORNO LATERALES (II)
• Condiciones de conductor perfecto:– Modos TM:Modos TM:
• La condición Ez=0 supone C es una línea de Ez cte, su gradiente es normal• Tomando la segunda condición de (4): tiene dirección normal
– Modos TEM:TEr
Modos TEM:• Las condiciones coinciden con el planteamiento de un
problema estático.• Los campos transversales coinciden con los campos estáticos entre conductores
] 0;0ˆ =×∇=×TETCT FEn
rr
Los campos transversales coinciden con los campos estáticos entre conductores
• El campo TEM coincide con la solución de un problema electrostático
( )⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
⋅∇=⋅∇
Φ−∇=
ED
yxF TETrr
r
ε
, ( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=Φ
=ΦΔ
cteyxyx
C
T
,0,
( ) 0=ΦΔ yxT
C1
C El campo TEM coincide con la solución de un problema electrostático• En una región limitada por un recinto simplemente conexo no puede haber modos TEM• En una región multiplemente conexa:• El número de modos TEM independientes es el número de partes de la frontera menos 1
( ) 0,ΦΔ yxT
∫ ⋅=Φ−Φ=2
12112 ldEVrr
C2
• El número de modos TEM independientes es el número de partes de la frontera menos 1. • La corriente que fluye viene dada por la ley de Ampere
• En cada punto de la línea se puede definir unívocamente un voltaje y una corriente
∫ ⋅=C
ldHIrr
Microondas-2- 13Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
• En cada punto de la línea se puede definir unívocamente un voltaje y una corriente
CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (I)CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (I)
• Teorema de Green:– Sea un campo vectorial definido a partir de un potencial como: ( ) ( )yxFyxFA ,,* ∇⋅=
r
– Cálculo de la divergencia– Teorema de Green para dos dimensiones
( ) ( ) ( ) ( )yxFyxFyxFyxFA ,,,, ** Δ⋅+∇⋅∇=∇r
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ∇Δ+∇∇⇒∇ ldFFFFFFldAArrrr ***( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ⋅∇⋅=Δ⋅+∇⋅∇⇒⋅=∇
CSCSldyxFyxFyxFyxFyxFyxFldAA
tt
,,,,,,
∫∫ ⋅∂∂⋅=Δ⋅+∇⋅∇
CS TTT ldnFFFFFF
t
r***
• Condiciones de contorno de conductor perfecto
⇒⋅=Δ⎪⎬
⎫
∂
=FFFTE
FTM
cTH
E2
0)(
0:)(γ ∫∫ ⋅⋅⋅−=∇⋅∇
ScS TT dsFFFF *2* γ
• Ambas integrales son positivas luego tiene que cumplirsel t t d ió l i < l l d tá l t
⎪⎭
⎬=∂n
TE cT
C
H 0:)(γ ∫∫
tt ScS TT
02 <cγ– la constante de propagación es real si ω< ωc luego no se propaga y el modo está al corte– la constante de propagación es imaginaria si ω> ωc , el modo se propaga
• La propagación es de tipo paso alto con γ 2cf
−=
Microondas-2- 14Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
μεπ2cf =
CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (II)CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (II)
• En función del valor de la frecuencia de corte se puede poner:22
2
2
2
22
2
1;1
;1ffZ
ff
Zff c
TMc
TEc
o −⋅±=
−
±=−⋅±= ηηγγ
– El signo + corresponde a f>fC. – El signo - corresponde a f<fc
• Representación de la constante de propagación: diagrama de dispersión
f
Así ZTE , por debajo del corte, será inductivo y ZTM capacitivo.Representación de la constante de propagación: diagrama de dispersión
• Existe un número infinito de soluciones (autofunciones) cada una correspondiéndose con un valor de (autovalores) El menor de dicho autovalor corresponde a un modo TE2γ
Microondas-2- 15Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
un valor de (autovalores). El menor de dicho autovalor corresponde a un modo TEcγ
a 22
CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE
CONDUCTOR PERFECTO (III)
Frec
uenc
ia
122c
2
22c
2=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ γ−
β−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
με
γ−
ω
μεωβ =
CONDUCTOR PERFECTO (III)
fc
β22 αω
2
2c
f
ff1
cv−
==βω
vf vg= c2c
α12
2c
22c
=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ γ−
α+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
με
γ−
ω
6βfrec
uenc
iacf
)m/1(),m/nep( βα
3β4β
5βfc6fc5fc4fc3
Frecuenciaf 2 f 3 f
2
2c
g ff1cv −=
∂∂
=βω
2α 3α 4α 5α 6α
1β
2β
fc1
fc2Frecuenciafc 2 fc 3 fc
T i t d d f i 6
)m/1(),m/nep( βα
1α
Microondas-2- 16Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Transparencia tomada de referencia 6
CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (IV)CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (IV)
• Conclusiones: – Si se traza una recta ω=cte se verán inmediatamente los modos que se propagan.– También se puede obtener la velocidad de fase, que depende de la frecuencia
(dispersión) y es siempre mayor que la velocidad de la luz en el medio.– Si la frecuencia es menor que la frecuencia correspondiente al menor no existe 2
cγq pningún modo que se propague constituyendo dicha fc la frecuencia de corte absoluto.
– El modo de menor fc se denomina modo dominante y el resto modos superiores.En los sistemas capaces de soportar modos TEM no existe frecuencia de corte absoluta
cγ
– En los sistemas capaces de soportar modos TEM no existe frecuencia de corte absoluta• Medio con pérdidas (se supone que no hay pérdidas magnéticas):
– La constante de propagación será: ( ) ( ) ( )ωβωαωγ j+=– La permitividad se modifica como:– Luego queda:
''' εεε j−=
( ) ( ) ⎪⎨⎧ ⋅=
⇒−−⋅−=−=+=2
222222 ''2''' cco jj
μεωαβγεεμωγγβαγ
– Frecuencia de corte: valor de f que hace α=β( ) ( )
⎪⎩⎨
−⋅−=−⇒+
2222 ' ccco jj
γμεωβαγεεμωγγβαγ
2γ cf−
=εηηεγγ '1;;'1 2
2
22
2
⋅−⋅==⋅−⋅=ffZZ
ff c
TMTEc
o
Microondas-2- 17Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
'2 μεπcf εη
εεε
γγ'1
2
2
22
⋅−f
fff TMc
TEo
CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (V)
• Las constantes de atenuación y fase quedan entonces:
CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (V)
( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅+−⋅−+−⋅−⋅=
2222222 ''''21 μεωγμεωγμεωα ccd
( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅+−⋅−+−⋅−−⋅=
2222222 ''''21 μεωγμεωγμεωβ cc
''' εε <<
• En el caso que las pérdidas dieléctricas sean pequeñas:– La constante de fase coincide con la obtenida despreciando las pérdidas
L t t d t ió l 22– La constante de atenuación vale:
• Para modos TEM, considerando resulta:
δβμεω
εε
βμεωα tg
2'
'''
2' 22
⋅⋅
=⋅⋅
=d
''' εε <<Para modos TEM, considerando resulta: εε <<
δδμεω
εεμεω
α tgktgd ⋅=⋅⋅
=⋅⋅
=22
''''
2'
Microondas-2- 18Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
ε 222
ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (I)
Condiciones de contorno para conductor perfecto
axx
HHTE
z
z
,0en 00: ⎪⎪
⎨
⎧ ==∂∂
⇒∂ ⎪
⎨
⎧=−
∂∂⋅+
∂∂⋅ 2
2
2
2
2
0)()()( c XYYXXY
YXFγ
byaxETM
byy
HnTE
z
z
,0;,0en 0 :
,0en 00:
===
⎪⎪⎩
⎨==
∂∂
⇒=∂
⎪⎩
⎪⎨
=−−
∂∂⇒=222
22)()(),(
cyx
c
kkyxyYxXyxF
γ
( )( ) nkmk
CA
ykDyCsenkyxYxkBxAsenkyxX xx
ππ⎪
⎪⎨⎧
==
==⇒
⎭⎬⎫
+=+=
;
0
cos)(cos),(
Aplicando separación de variables y las condiciones de contorno para despejarlas constantes, resulta:
⎧( )
( )
nm
zyb
nxa
mPzHTE
bk
akykDyCsenkyxY
mnmnz
yxyy
ππ
γππ−⋅⋅⋅=
⎪⎩==⎭+
expcoscosˆ :
;cos),(
,
r
222
22
220
, ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+−=
⎪⎩
⎪⎨⎧
−⋅
−=
bn
am
kkj c
cnm
ππμεωγγ
γ
N l P
Microondas-2- 19Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
( )zyb
nsenxa
mQsenzETM mnmnz γππ−⋅⋅⋅= expˆ: ,
rNomenclatura Pozar
ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (II)
Modo dominante TE10( )
EE
zxa
PajEy 1010,
0
expcos γππωμ
==
−⋅−=
μεafc 2
110 = ( )
H
zxa
senPaH
EE
y
x
zx
10,
1010,
10,10,
0
exp
0
γππγ
=
−⋅⋅=
==
Distribución de campo Distribución de corriente( )zx
aPH z 1010, expcos γπ
−⋅=Banda X: a=22.86 mm, b=10.16mm
Ubicación de modos para el caso a=2b
Microondas-2- 20Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (III)
Microondas-2- 21Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Tomado de referencia 4 Distribución de campos en la guía rectangular
ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (IV)
Microondas-2- 22Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
GUÍA ESTRANGULADA (REENTRANTE O RIDGED)
A h d b d d l í t l• Ancho de banda de la guía rectangularestá limitado a una octava.• Los “raíles” disminuyen la frecuencia de corte del fundamental.• La capacidad de transmitir potencia decrece• Posibilidad de adaptar impedancias
Microondas-2- 23Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
GUÍAS CIRCULARES (I)
Utilización de coordenadas cilíndricas.Condiciones de contorno para conductor perfecto
( ) ( ) ( ): 0
,z
a
HTEF R Pρρ ρ ϕ ρ ϕ=
⎫∂= ⎪∂ ⇒ = ⋅⎬ ( ) ( ) ( )
2 22 2
2 2 2
,: 0
1 1 10
a
z a
c
TM E
F F PF k
ρ
ρ
ϕ
ρ ϕ ρ ϕ
ρ γ
=
⎬⎪= ⎭
⎫ ⎧⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⋅ + − = − =⎪⎜ ⎟ ⎪
⎪ ⎪z
r
φ
zr
( )
2 2 2
2 22 2 22 2 22 2
22 2
1 0
c
cc
kP
R RR R P k RR RR R P
ϕ
ϕ
ρ γρ ρ ρ ρ ϕ ϕ
ρ ρρ ρ γ ργ ρρ ρρ ρ ϕ
⎪⎜ ⎟ ⎪∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎝ ⎠ ⇒⎬ ⎨∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎪ ⎪ + ⋅ − + ⋅ =+ ⋅ − =− ⎪ ⎪ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎩⎭
φ
Las soluciones de ambas ecuaciones son del tipo:
)cos()()( φφφ φφ kBkAsenP += φφφ φφ
)()()( ργργρ cncn DYCJR +=Modos TE Modos TM
( ) )()cos()()( ργφφφρ JnBnAsenF += ( ) )()cos()(),( ρφφφρ cnE kJnBnAsenF +=
Microondas-2- 24Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
( ) )()cos()(),( ργφφφρ cnH JnBnAsenF += ( ) )()cos()(),( ρφφφρ cnE kJnBnAsenF +
GUÍAS CIRCULARES (II)Modos TE Modos TM
( )ργρ
JHcn
z 00'
'
⎪⎪⎫
=⇒=∂∂
Modos TE Modos TM
0)(0),( =⇒= akJaE cnz φpf nm=
μεπγγγ
ρ ρ
apf
ap
ap
nmnmc
nmnmnmc
a
2,2'20
'
,
=⇒
⎪⎪
⎭
⎪⎬
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⇒=
∂ =2
20
220 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=−=
apk nm
cnm γγγμεπa
fcmn 2
n p’n1 p’
n2 p’n3
0 3.832 7.016 10.174
1 1 841 5 331 8 536
n pn1 pn2 pn3
0 2.405 5.520 8.654
1 1.841 5.331 8.536
2 3.054 6.706 9.9701 3.832 7.016 10.174
2 5.135 8.417 11.620
Distribución de modos
Microondas-2- 25Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
GUÍAS CIRCULARES (III)
Distribución de campos en la guía circular
Tomado de referencia 4
p g
Microondas-2- 26Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
GUÍAS CIRCULARES (IV)
Microondas-2- 27Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
GUÍA DIELÉCTRICA
• Guía de permitividad εr2 sobre dieléctricop r2
de permitividad εr1. Todo sobre plancha Metálica.• Los campos quedan confinados en el• Los campos quedan confinados en el dieléctrico de mayor permitividad.• Soporta modos TE y TM en la medida que todal í l di lé ila energía se concentre en el dieléctrico.• Ventaja: poco peso, reducidas dimensiones• Problema: grandes pérdidas en empalmes yen dobleces.
Microondas-2- 28Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN
• Dos características importantes como sistemas de transmisión:– Capacidad de propagarse a cualquier frecuencia C1 C2p p p g q– Constancia de velocidad de fase lo que supone ausencia de dispersión
• Retomando la expresiónV d d d l t l id
( ) ( )zVzVldEV o ⋅−==⋅=Φ−Φ= ∫ γexp2
12112rr
– Vo no depende de los puntos elegidos– La magnitud V(z) define de forma unívoca el potencial entre los dos conductores
• Ambos conductores están recorridos por corrientes iguales en sentido contrario( )∫
• Se puede definir una impedancia característica– η depende del medio
( )zIldHI oC
⋅−⋅=⋅= ∫ γexprr
ldEV
⋅∫rr2
η depende del medio– k depende de la geometría de la línea– Resultado independiente de z
cteldHI
VZ
C
o ⋅=⋅
==∫
∫ηrr1
• El concepto de línea de transmisión se asocia a cualquier sistema transmitiendo un modo TEM.
• Permite introducir los sistemas funcionando como circuitos con las constantes R, G, L y C
Microondas-2- 29Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
cuando las dimensiones transversales sean pequeñas.
CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (II)
• Consideremos un cuadripolo simétrico (a=d)I1 I2
Si í( )( )⎩
⎨⎧
−⋅=−⋅=
=−⇒⎭⎬⎫
+=+=
lIIlVV
bcaaIcVIbIaVV
o
o
γγ
expexp
112
122
221
221V1 V2
Si es recíproco
• Introduciendo las ecuaciones de propagación en las del cuadripolo( )⎧ lZb γsenh
( )( )
( )( )
⎪
⎪⎪⎨
⎧
=
=
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−
+=Z
lc
lZb
bcal
bcal
o
o
oo
o γγ
γ
γ senhsenh
exp
exp2
2
• Formando la red en T:
( )( )⎪
⎪⎩ =
⎪⎩ −=−la
bcalo
ooγ
γcosh
exp
caz =11 1211 zz − 1211 zz −
ac
zz
c
bca ===− 21112
12 12z
Microondas-2- 30Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
cz =22
CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (III)
• Introduciendo los valores: ( )l 1h( )
( )llZZo
oo γ
γsenh
1cosh −=
( )( )l
lZZo
oo γ
γsenh
1cosh −=
( )o
ZlY γsenh
=
• En el caso en que l sea muy pequeña:
oZ
εμη ⋅=⋅=
2
o ctecteZ( )2lZZ o
oγ
=( )olY γ
( )2lZZ o
oγ
=
εμωγ ⋅⋅−= 2o
ωμ lkjZ ⎪⎫⋅⋅=
( )o
o
ZY γ=
Carácter inductivo( )δεεεε
εωωε
ωμtg1''''
'''2 jj
lk
jk
Y
kjZ−⋅=−=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+=
=Carácter inductivo
Capacidad más conductancia
Microondas-2- 31Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
kk ⎪⎭⎠⎝
CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (IV)
• El circuito equivalente (en ausencia de pérdidas en conductores) queda:
⎫
LCjZG
CLZ
o
o
⋅+⋅=
=
ωγCl2lL
2lL
⎪⎪⎪⎫
⋅= oZL
ηωεη
μ
'' LCjGo ⋅+⋅= ωγ2Gl Cl
⎪⎪⎪
⎪⎬
⋅=
⋅⋅==o
C
CZ
G
ηε
δωηωε
'
tanExpresiones sin pérdidas
en los conductores
• Simplificaciones adicionales:– A: Líneas de muy alta impedancia: carácter inductivo
⎪⎭
⋅=oZ
C εy con bajas pérdidas
en el dieléctrico
LZA: Líneas de muy alta impedancia: carácter inductivo– B: Líneas de muy baja impedancia: carácter capacitivo– C: Pérdidas en los conductores βααωγ jLCj
ZRZG
CZ
cdo
o
++=⋅+⋅
+⋅=
=
22
LlCl
B Gl Cl2lL 2
lL2lR
2lR
C
Zo22
A
Microondas-2- 32Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
B C
LÍNEA COAXIAL (I)
• Dos formas de resolución: a partir del problema electrostático o a partir de la p p pecuación de Helmholtz.• Problema electrostático:
⎪⎪
⎨
⎧ ==
⇒⇒⇒bK
GbKZa
b
KCln
''2''
lnln''2
πεωωε
ηηεπε
• El cable coaxial es capaz de soportar modos superiores TE o TM
⎪⎪
⎩
⎨
==
⇒=⋅=⇒=⇒==
abKL
aa
KZaKK
abC
ln2
ln22ln
0
πμμ
πη
π
Microondas-2- 33Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
• El cable coaxial es capaz de soportar modos superiores TE o TM
LÍNEA COAXIAL (II)
• Es necesario conocer los valores de la función potencial Φ(ρ,φ)E i id• Ecuaciones a considerar:
0),(1),(12
2
2 =∂Φ∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
Φ∂∂∂
φφρ
ρρφρρ
ρρ
2
21φρ
ρρ
ρd
PdPd
dRR
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂⎠⎝ ∂∂ φρρρρ
)()(),( φρφρ PR=Φ 022
2
=+ Pkd
Pdφφ
02 =−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
φρρ
ρρ k
ddR
R
abbV
ddR
lnln),(0 0 ρφρ
ρρ
ρ=Φ⇒=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
V
• Soluciones:
ρρ
φρφρ ˆln
),(),( 0
abVe t =Φ−∇=
φφρφρ ˆ)(ˆ1)( 0Iezh =×=
)cos()()( φφφ φφ kBkAsenP +=
φπρ
φρφρ2
),(),( ezZ
hTEM
=×=
η2
ln00
abI
VZ ==
Microondas-2- 34Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
π200 I
TECNOLOGÍAS PLANAS
• Características: C ó i Ch b d f b i ió ill di– Coste económico. Chapa barata y proceso de fabricación sencillo mediante fotograbado.
– Reducido peso que los hace ligeros.p q g– Dimensiones reducidas– Permiten la integración de circuitos MIC (Microwave integrated circuits) y
MMIC (M li hi Mi I d Ci i )MMIC (Monolithic Microwave Integrated Circuits)– Están formados por materiales metálicos y dieléctricos.
• Opciones tecnológicas:Opciones tecnológicas: – Línea stripline (triplaca)– Línea microstrip– Línea coplanar– Línea de ranura
Microondas-2- 35Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
LÍNEA STRIPLINE (TRIPLACA): INTRODUCCIÓN
• Se puede considerar derivada de la coaxial.• Proceso de construcción: superposición de• Proceso de construcción: superposición de
placas• Recinto doblemente conexo: modos TEM• También soporta modos TE y TM que
conviene eliminar– Tornillos entre los planos de masa– Separación entre planos menor de λ/4
• Análisis: – Expresiones semiempíricas– Expresiones semiempíricas– Ábacos y curvas– Aproximación electrostática.
• Formulación: 1 2
2p
p
vfvf
ϖ π λπβ με λ
⋅= = = ⇒ = rrv
εγεεμϖϖβ 000 ===CvC
LCCLZ
p
10 ===
Microondas-2- 36Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
fβ με λ pv p
LÍNEA STRIPLINE: FORMULACIÓN
Impedancia característica bZ 30=
π ⎪⎪⎨
⎧> 35.00
bWforWWepeda c a ca ac e s ca
bWZ
er 441.00 +=
ε⎪⎪⎩
⎪⎨
<−−=
35.0)35.0( 2
bWforbW
bbb
e
⎧Anchura de la línea
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−−
<=
1206.085.0
120
0
0
Zforx
ZforxbW
r
r
ε
ε441.030
0
−=Z
xrεπ
⎩
Atenuación en los conductores ( )⎪⎪⎨
⎧<
−⋅⋅
=
−
mNpR
ZAtb
ZRr
ors
c
επ
ε
α /160
120 para30107.2
0
3
( ) ( )−+⋅++=
⎪⎪⎩
⎨>
tbtbWA
pZB
bZR
rs
c
ε
2ln121
120 para16.00
0
( ) ( )
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⋅
++=
−⋅+
−+=
tW
Wt
tWbB
ttbtbA
ππ
π4ln
21414.05.0
7.05.01
ln1
Microondas-2- 37Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
( ) ⎠⎝+ tWtW π27.05.0
LÍNEA STRIPLINE: ÁBACOS
Impedancia característica de la línea triplaca en función de
Tomado de referencia 5
Microondas-2- 38Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
p psus parámetros: anchura (W), grosor (b) y espesor de metal (t)
LÍNEA MICROSTRIP: INTRODUCCIÓN
• Proceso de construcción: placa fotograbada• Recinto NO doblemente conexo*: no soportaRecinto NO doblemente conexo : no soporta
modos TEM sino cuasi TEM que son una superposición híbrida de modos TE y TM que conviene eliminar.
• Aplicaciones:– Estructuras de transmisión: pocos campos
desbordados, altas permitividades, bajos espesores.
– Estructuras radiantes: gran campo desbordado bajas permitividades, espesores grandesgrandes.
• Análisis: – Expresiones semiempíricas
Ábacos y curvaspcv
βϖ
===1
– Ábacos y curvas– * Recinto simplemente conexo es aquel en el
que se puede ir desde cualquier punto del recinto a otro por cualquier línea sin salirse
ep εμεβ
eep
kv
εεεμϖϖβ 000 ===
Microondas-2- 39Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
p qdel recinto
pv
LÍNEA MICROSTRIP (II)
εε <<1Concepto de permitividad efectiva
re εε <<1
Wdrr
e 1211
21
21
+−
++
=εεε
Modelo con medio homogéneo de permitividad efectiva εe
⎪⎧
≤⎟⎞
⎜⎛ + 18ln60 dWforWd
Impedancia característica
( )[ ]⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨≥
+++
≤⎟⎠
⎜⎝
+=
1444.1ln667.0393.1
120
14
ln
0
dWfordWdW
dWfordW
Z
e
e
επ
ε
Anchura de líneaAnchura de línea
⎪⎪⎨
⎧
⎤⎡ ⎫⎧
<−=
22
82 dWfor
ee
W A
A
rr
rrZAεε
εε0 11.023.011
21
60 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+−
++
=
( )⎪⎪⎩
⎨>⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−+−−
+−−−=
261.039.0)1ln(2
112ln12 dWforBBBdrr
r
εεε
πrZ
Bεπ
02377
=
At ió mNpkk erer )1(tan)1(tan 0 −=
−=
εεδεεδα mNpRsc =α
ϖμ2
0=sR
Microondas-2- 40Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Atenuación mNprere
d )1(2)1(2 −=
−=
εεεεα mNp
WZc0
α σ2s
LÍNEA MICROSTRIP (III)
Tomado de referencia 5
Impedancia característica y permitividad efectiva de la línea microstrip en función de
Microondas-2- 41Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Impedancia característica y permitividad efectiva de la línea microstrip en función de sus parámetros: anchura (W), altura de substrato (h)
LÍNEA DE RANURA
• Es la línea dual de la microstrip pero con campos magnéticos• Es la línea dual de la microstrip pero con campos magnéticos• Soporta modos cuasi TEM• La eficiencia es menor que la microstrip
M difi d l ió l i i l i d i S• Modificando la separación entre placas se consigue variar la impedancia. Se consiguen fácilmente impedancias altas aumentando la separación entre placas.
Microondas-2- 42Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
LÍNEA COPLANAR
• Es como una línea slotline pero con un conductor central• Es como una línea slotline pero con un conductor central• El voltaje de la señal es aplicado entre el conductor central y los planos de masa. • Soporta modos cuasi-TEM pares o impares
C t t di lé t i f ti1+
= rεε• Constante dieléctrica efectiva: • Menos dispersión que la microstrip en bajas frecuencias• Formulación:
2eε
⎪⎧
≤<⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
173002ln aWforaη
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨<<
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
≤<⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
= −
1173.011
2ln4
173.002ln
10
aWforWa
aWaW
aWforW
Ze
επη
επ
Microondas-2- 43Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
⎪⎩ ⎥⎦⎢⎣
⎟⎠
⎜⎝ −14 WaWeε
TABLA COMPARATIVA (I): tipos de estructuras de transmisiónde transmisión
Tomado de referencia 4
Microondas-2- 44Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
TABLA COMPARATIVA (II)
Características Coaxial Guía onda Stripline Microstrip
Modos: HabitualSecundario
TEMTM,TE
TE10TM,TE
TEMTM,TE
Cuasi-TEMHíbrido TM,TE
Dispersión No Media No Baja
Ancho de Banda Alto Bajo Alto Alto
Pérdidas Medias Bajas Altas Altas
Capacidad de Potencia
Media Alta Baja Baja
Tamaño Grande Grande Medio Pequeño
Dificultad de Fabricación
Media Media Fácil FácilFabricación
Integración con otros Elementos
Difícil Difícil Regular Fácil
Microondas-2- 45Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
MATERIALES EN MICROONDAS
Microondas-2- 46Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Tomado de referencia 1
BIBLIOGRAFÍA
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(capítulo 3)3. Robert E. Collin: "Foundations for microwave engineering" New York McGraw-Hill,
1992. (capítulo 3)99 . (cap tu o 3)4. Ramo, Whinnery y Van Duzer: “Fields and waves in communication electronics” John
Wiley 1969. 5 Bahl y Bhartia: "Microwave Solid State Circuit Design" Wiley Interscience 19885. Bahl y Bhartia: Microwave Solid State Circuit Design , Wiley Interscience, 1988.
(capítulo 2)6. Harlan Howe: "Stripline Circuit Design"; Microwave Associates Burlington; Artech
House 1974House 1974. 7. J. Esteban, M. A. González, M. Lambea y J. Rebollar; “Enfoque para el estudio de ondas
guiadas en la ETSIT-UPM”, URSI Symposium Nacional, Oviedo 2006
Microondas-2- 47Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías