CEROS DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL

DIVISIÓN SINTÉTICA

TEOREMA DEL RESIDUO

TEOREMA DEL FACTOR

Ing. Caribay Godoy

OBJETIVOS• Definir el teorema del residuo.

• Utilizar el teorema del residuo para evaluar funciones polinomiales.

• Definir el teorema del factor.

• Utilizar el teorema del factor para determinar si un binomio es factor de un polinomio.

• Definir el Teorema fundamental del álgebra.

• Establecer la relación entre el grado del polinomio y el número de raíces que éste tiene (teorema de los “n” ceros).

• Determinar los ceros racionales de un polinomio de grado menor o igual a 4 a partir del teorema de raíces racionales.

• Definir el teorema de los ceros complejos.

• Determinar una función polinomial a partir de sus ceros.

• Obtener los ceros de una función polinomial utilizando recursos tecnológicos.Ing. Caribay Godoy

CEROS DE UN FUNCIÓN POLINOMIAL• Los valores de la variable x para los cuales la función es igual a cero, a los que se

llaman raíces del polinomio y se representan de la forma 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, … , 𝑟𝑛.

• Estos puntos tienen coordenadas (𝑟1, 0) para cada una delas raíces reales del polinomio. Y se les llama ceros de la función.

• La mayoría de las funciones polinómicas tiene n ceros reales.

• La mayoría de la funciones polinomicas tiene n-1 puntos de inflexión. (También llamada máximos relativos o mínimos relativos que son los puntos donde la gráfica pasa de creciente a decreciente o viceversa.)

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• 1.- Factorización

Encuentre los ceros reales (intersecciones con el eje x) de la función:

𝑓 𝑥 = −4𝑥4 + 2𝑥2

Para encontrar los ceros resuelvo para x, (encuentro los valores de x cuando y es igual a cero).

0 = −4𝑥4 + 2𝑥2

0 = −2𝑥2 𝑥2 − 2

0 = −2𝑥2(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

Entonces los ceros reales son: x = 0, x = -1, x = 1

¿CÓMO OBTENGO LOS CEROS DE UNA FUNCIÓN?

Recuerda: como es un polinomio de grado 4, puede tener a lo sumo 4-1 = 3 puntos de inflexión.

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REPETICIÓN DE CEROS

• El factor (𝑥 − 𝑎)𝑘 , 𝑘 > 1 indica una intersección del eje x,en x = a.

• Si k es impar: la grafica cruza el eje de las x en x = a

• Si k es par: la gráfica toca el eje x pero no lo atraviesa.

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• Encuentre los ceros reales (intersecciones con el eje x) de la función:

𝑓 𝑥 = 3𝑥4 − 4𝑥3

0 = 3𝑥4 − 4𝑥3

0 = 𝑥3 3𝑥 − 4

Entonces los ceros reales son: x = 0 (exponente impar), x = 4/3 (exponente impar)

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• Encuentre los ceros reales (intersecciones con el eje x) de la función:

𝑓 𝑥 = −2𝑥3 + 6𝑥2 −9

2𝑥

0 = −1

2𝑥(4𝑥2 − 12𝑥 + 9)

0 = −1

2𝑥(2𝑥 − 3)2

Entonces los ceros reales son: x = 0 (exponente impar), x = 3/2 (exponente par)

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¿CÓMO OBTENGO LOS CEROS DE UNA FUNCIÓN?

• 2.- División sintética (Teorema del factor)

Suponga que tiene la gráfica de la función: 𝑓 𝑥 = 6𝑥3 − 19𝑥2 + 16𝑥 − 4

Un cero de la función ocurre en x = 2 para que sepa que (x-2) es un factor de f (x). Esto significa que existe un polinomio de segundo grado tal que:

f (x) = (x-2) q (x)

Para conocer q (x) podemos usar la división sintética.

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ALGORÍTMO DE LA DIVISIÓN

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ALGORITMO DE LA DIVISIÓN ENTRE POLINÓMIOS

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DIVISIÓN SINTÉTICA

• De la división podemos concluir que:

6𝑥3 − 19𝑥2 + 16𝑥 − 4= (𝑥 − 2)(6𝑥2 − 7𝑥 + 2)

Factorizando la ecuación cuadrática tenemos:

= (𝑥 − 2)(2𝑥 − 1)(3𝑥 − 2)

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DIVISIÓN SINTÉTICA (ALGORITMO CORTO)

• Una forma sencilla de ver la división sintética es como sigue:

• Divide el polinomio 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (𝑥 − 𝑘), podemos usar el siguiente patrón:

Coeficientes de la función

residuo

Coeficientes de la función resultante

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• EJEMPLO: Divide 𝑥4 − 10𝑥2 − 2𝑥 + 4 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 + 3

Dividendo: 𝑥4 − 10𝑥2 − 2𝑥 + 4

Divisor: x+3

Residuo

Coeficientes del nuevo polinomio𝑥3 − 3𝑥2 + 9𝑥 + 1

Al final tenemos que: 𝑥4−10𝑥2−2𝑥+4

𝑥+3= 𝑥3 − 3𝑥2 + 9𝑥 + 1 +

1

(𝑥+3)Ing. Caribay Godoy

EJERCICIOS

•

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TEOREMA DEL RESIDUO

EN PALABRAS SENCILLAS: si un polinomio 𝑓(𝑥) se divide entre (𝑥 − 𝑐), el residuo “r” es igual a 𝑓(𝑐).

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• Determine el residuo de

𝑓 𝑥 = −50𝑥3 + 2𝑥5 + 4𝑥 − 25 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 (𝑥 − 5)

Y demostrar que f(5) = residuo

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• Ejercicios propuestos:

1) Determine el residuo de

𝑓 𝑥 = −2𝑥6 + 3𝑥3 + 5𝑥 − 4 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 (𝑥 − 1)

Y demostrar que f(1)= residuo

2) Determine el residuo de

𝑓 𝑥 = 3𝑥3 − 5𝑥2 + 3𝑥 + 8 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 (−𝑥 + 1)

Y demostrar que f(1) = residuo

3) Determine el residuo de

𝑓 𝑥 = −2𝑥4 + 4𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 (2 − 𝑥)

Y demostrar que f(2) = residuo

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TEOREMA DEL FACTOR

• El teorema del factor establece que un polinomio 𝑓(𝑥)tiene un factor

(𝑥 − 𝑘) si y solo si k es una raíz de 𝑓(𝑥), es decir 𝑓 𝑘 = 0

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TEOREMA DEL FACTOR

• Demuestre que el binomio es un factor del polinomio:

𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 5𝑥2 + 2𝑥 + 8 (𝑥 + 1)

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• EJERCICIOS PROPUESTOS:

Demuestre por medio del teorema del factor que el binomio es un factor del polinomio.

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