3. 1: VµNH Vµ MIÒN NGUYªN

3.2 :TRƯỜNG

Ch-¬ng III: Vµnh vµ tr-êng

3.1.1 Định nghĩa Vµnh

ĐÞnh nghÜa 1: Ta gäi lµ vµnh mét tËp hîp X cïng víi hai

phÐp to¸n hai ng«I ®· cho trong X kÝ hiÖu theo thø tù b»ng

dÊu + vµ . (ng-êi ta th-êng kÝ hiÖu nh- vËy) vµ gäi lµ phÐp

céng vµ phÐp nh©n sao cho cac ®iÒu kiÖn sau tho¶ m·n:

X cïng víi phÐp céng lµ mét nhãm aben.

X cïng víi phÐp nh©n lµ mét nöa nhãm.

phÐp nh©n ph©n phèi ®èi víi phÐp céng : víi c¸c phÇn tö

tuú ý x, y, z X ta cã

x (y + z) = xy+ xz

(y + z) x = yx+ zx

3. 1: vµnh vµ miÒn nguyªn

PhÇn tö trung l©p cña phÐo céng th× kÝ hiÖu lµ 0 vµ gäi lµ

phÇn tö kh«ng. PhÇn tö ®èi xøng (®èi víi phÐp céng)

cña mét phÇn tö x th× kÝ hiÖu lµ –x vµ gäi lµ ®èi cña x.

NÕu phÐp nh©n lµ giao ho¸n th× ta b¶o vµnh X lµ giao

ho¸n. NÕu phÐp nh©n cã phÇn tö trung lËp th× gäi lµ phÇn

tñ ®«n vÞ cña X vµ th-êng kÝ hiÖu lµ e hay 1 (nÕu kh«ng

cã sù nhÇm lÉn).

3. 1: vµnh vµ miÒn nguyªn

Định nghĩa2:

Vành là một tập K được trang bị hai phép toán hai ngôi, một phép toán gọi là phép cộng, ký hiệu “+”, phép toán kia gọi là phép nhân, ký hiệu “.”, sao cho ba điều kiện sau đây thoả mãn:

i) (K, +) là một nhóm Aben.

ii) (K, .) là một nửa nhóm.

iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là

x. (y + z) = x.y + x.z

(y + z) .x = y.x + z.x, x, y, z K.

Nếu phép nhân giao hoán: x.y = y.x, với x, y thuộc K thì vành K gọi là vành giao hoán.

3. 1: vµnh vµ miÒn nguyªn

Phần tử trung hoà của nhóm Aben (K, +) gọi là phần tử không của vành K, thường ký hiệu là 0. Phần tử nghịch đảo của phần tử x trong nhóm Aben cộng (K, +) gọi là phần tử đôi của phần tử x, ký hiệu là – x. Tổng x + (-y) được viết là x – y, gọi là hiệu của x và y. Ta có:

x – x = 0, x K.Nếu nủa nhóm nhân (K, .) là một vị nhóm thì phần tử trung

hoà của vị nhóm đó gọi là phần tử đơn vị của vành K, thường ký hiệu là 1. Khi đó, K được gọi là vành có đơn vị. Ta có:

x . 1 = 1 . x, x K. Trong mọi vành K ta có: a) 0 . x = x . 0, x K. b) (–x) . y = x . (–y) = - (x . y). Từ tính chất (a) trực tiếp suy ra rằng: Nếu vành K có hơn một

phần tử và có đơn vị thì 1 0.

3. 1: vµnh vµ miÒn nguyªn

VÝ dô. 1) TËp hîp Z c¸c sè nguyªn cïng víi phÐp céng vµ phÐp nh©n th«ng th-êng lµ mé vµnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ gäi lµ vµnh c¸c sè nguyªn. Ta còng cã vµnh c¸c sè h÷u tØ, c¸c sè thùc, c¸c sè phøc (c¸c phÐp to¸n vÉn lµ phÐp céng vµ phÐp nh©n th«ng th-êng)

2) TËp hîp Z/nZ c¸c sè nguyªn mod n cïng víi phÐp céng vµ phÐp nh©n c¸c sè nguyªn mod n (ch II, Bµi 1, bµi tËp 2) vµ (ch II Bµi 2, 3, vÝ dô) lµ mét vµnh guao ho¸n cã ®¬n vÞ, gäi lµ vµnh c¸c sè nguyªn mod n

3. 1: vµnh vµ miÒn nguyªn

3) TËp hîp c¸c ma trËnvu«ng cÊp n, n >1, (víi c¸c phÇn

tö lµ thùc ch¼ng h¹n) cïng víi phÐp céng vµ phÐp nh©n

ma trËn lµ mét vµnh cã ®¬n vÞ. Vµnh nµy kh«ng giao

ho¸n

4) TËp hîp c¸c sè nguyªn lµ béi sè cña mét sè

nguyªn n >1 cho tr-íc lµ mét vµnh víi phÐp céng vµ

phÐp nh©n th«ng th-êng. Vµnh nµy lµ giao ho¸n nh-ng

kh«ng cã ®¬n vÞ

3. 1: vµnh vµ miÒn nguyªn

5) TËp hîp c¸c ma trËn vu«ng cÊp n >1 cã d¹ng:

trong ®ã c¸c ai lµ nh÷ng sè thùc, cïng víi phÐp céng vµ phÐp nh©n ma trËn lµ mét vµnh. Vµnh nµy kh«ng giao ho¸n, kh«ng cã ®¬n vÞ.

3. 1: vµnh vµ miÒn nguyªn

0...00

............

0...00

...21 naaa

§Þnh lÝ 1. Cho X lµ mét vµnh, víi moi x, y, z X ta cã :

x(y – z) = xy – xz, (y – z)x = yx – zx

0x = x0 = 0

x(-y) = (-x)y =-xy, (-x)(-y) = xy

3. 1: vµnh vµ miÒn nguyªn

Chøng minh (i) Theo luËt ph©n phèi ta cã xy = x((y – z)

+ z) = x(y – z) + xz . Ta suûa ®¼ng thøc thø 2 chøng minh

t-¬ng tù

(ii) Theo (i) ta cã 0x = (y – y)x = yx – yx = 0 = xy – xy =

x(y – y) = x0.

(iii) Tõ (i) vµ (ii) ta ®-îc x(-y) = x(0 – y) = x0 – xy = 0 –

xy = -xy = 0y – xy = (0 – x)y = (-x) y ; ta suy ra (-x)(-y) =

xy. §Æc biÖt víi mäi sè nguyªn n >0 ta ®-îc (-x)n = xn nÕu

n lµ ch½n, vµ (-x)n = -xn nÕu n lµ lÎ (®.p.c.m). Tõ (ii) ta suy

ra nÕu vµnh X cã ®¬n vÞ vµ vµnh cã nhiÒu h¬n mét phÇn tö

e 0

3. 1: vµnh vµ miÒn nguyªn

1. vµnh ®a thøc mét Èn

Kh¸i niÖn ®a thøc lµ kh¸i niÖm mµ ta ®· lµm quen Ýt nhiÒu ë phæ th«ng. Ta gäi lµ ®a thøc, mét tæng cã d¹ng: a0 + a1x +…+ amx

m trong ®ã c¸c ai, I = 0 ,..,n lµ nh÷ng sè thùc vµ x lµ mét ch÷

PhÐp céng vµ phÐp nh©n ®a thøc lµ

(a0 + a1x +…+ amxm) + (b0 + b1x +…+bnx

n) = a0 + b0 +…+ (am + bm)x

m + bm+1xm+1 +… + bnx

n.

(a0 + a1x +…+ amxm) + (b0 + b1x +…+bnx

n) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)x +… +( a0bk + a1bk-1 + …+ akb0)x

k + … +ambnxm+n

trong ®ã ta gi¶ sö n m.

3. 1: vµnh vµ miÒn nguyªn

3. 1.2: vµnh Đa thỨc MỘt Ẩn

ë ®©y chóng ta ®· ®Þnh nghÜa ®a thøc mét c¸ch tæng qu¸t

vµ chÝnh x¸c h¬n. Gi¶ sö A lµ mét vµnh giao ho¸n,cã

®¬n vÞ kÝ hiÖu lµ 1. Gäi P lµ tËp hîp c¸c d·y

(a0, a1, … ,an,..)

Trong ®ã c¸c ai A víi mäi i N vµ b»ng 0 tÊt c¶ trõ

mét sè h÷u h¹n. Nh- vËy P lµ mét bé phËn cña luü thõa

®Ò c¸c AN. Ta ®Þnh nghÜa phÐp céng vµ phÐp nh©n trong

P nh- sau

3. 1.2: vµnh Đa thỨc MỘt Ẩn

(a0, a1, … ,an,..) + (b0, b1,…,bn,..) = (a0 + b0, a1 + b1,…,an + bn,…)

(a0, a1, … ,an,..)(b0, b1,…,bn,..) = (c0, c1,…,cn,..)

Víi ck = a0bk + a1bk-1 + … + ak-b0 = aibj, k = 0, 1, 2….

V× c¸c ai vµ bj = 0 tÊt c¶ trõ mét sè h÷u h¹n nªn c¸c ai +

bj vµ ci còng b»ng kh«ng tÊt c¶ trõ mét sè h÷u h¹n, cho

nªn (1) vµ (2) cho ta hai phÐp to¸n trong P. Ta h·y

chøng minh P lµ mét vµnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ. Tr-íc

hÕt hiÓn nhiªn phÐp céng lµ giao ho¸n vµ kÕt hîp.

3. 1.2: vµnh Đa thỨc MỘt Ẩn

PhÇn tö kh«ng lµ d·y (0, 0, …, 0,…)

PhÇn tö ®èi cña d·y (a0, a1, … ,an,..) lµ d·y (-a0, -a1, …

,-an,..). VËy P lµ mét nhãm céng giao ho¸n. V× A lµ giao

ho¸n, nªn

Do ®ã phÐp nh©n lµ giao ho¸n. Do phÐp nh©n trong A cã

tÝnh chÊt kÕt hîpvµ phÐp nh©n ph©n phèi ®èi víi phÐp

céng, nªn víi mäi m = 0, 1, 2… ta cã thÓ viÕt

3. 1.2: vµnh Đa thỨc MỘt Ẩn

kji kji

ijji abba

Ước của không: Nếu a, b là các phần tử khác 0 của vành K và a.b = 0 thì a và cả b gọi là ước của 0.

Ví dụ:

Các vành số Z, Q, R và C là các vành không có ước của 0.

Nếu n không phải là số nguyên tố, n = p . q thì vành Zn các số nguyên đồng dư mod n có ước của 0. Vì p, q Zn và p . q = 0 mod n: p, q là các phần tử khác 0. Vậy p, q là các ước của 0.

3. 1.3. Miền nguyên, thể

Miền nguyên: Là một vành có hơn một phần tử, có đơn vị và không có ước của 0.

Ví dụ: Z, Q, R và C là các miền nguyên. Vành các sốchẵn 2Z không là miền nguyên vì không có đơn vị.

Thế: Là một miền nguyên trong đó mọi phần tửkhác 0 đều có nghịch đảo trong vị nhóm nhân.Vậy thể là một miền nguyên K trong đó K* =K- {0} là một nhóm đối với phép nhân “.”.

3. 1.3. Miền nguyên, thể

¦íc cña kh«ng. MiÒn nguyªn.

ë ®©y ta sÏ tæng qu¸t ho¸ kh¸i niÖm -íc vµ béi ë trong

vµnh c¸c sè nguyªn

§Þnh nghÜa 2. Gi¶ sö X lµ mét vµnh giao ho¸n. ta b¶o

mét phÇn tö a X lµ béi cña mét phÇn tö b X hay a chia

hÕt cho b, kÝ hiÖu a b, nÕu cã c X sao cho a = bc; ta cßn

nãi r»ng b lµ -íc cña a hay b chia hÕt a, kÝ hiÖu b/a

Nh- vËy theo ®Þnh lÝ 1 (ii), mäi phÇn tö x X lµ -íc cña

0; nh-ng do l¹m dông ng«n ng÷, ng-êi ta ®Þnh nghÜa:

3. 1.3. Miền nguyên, thể

§Þnh nghÜa 3. Ta gäi lµ -íc cña 0 mäi phÇn tö a 0 sao

cho cã b 0 tho¶ m·n quan hÖ ab = 0.

Ta suy ra ngay tõ ®Þnh nghÜa r»ng phÇn tö 0 vµ c¸c -íc

cña 0 kh«ng ph¶i lµ chÝnh quy.Trong mét vµnh kh«ng cã

-íc cña 0, mäi phÇn tö kh¸c 0 ®Òu lµ chÝnh quy, thËt v¹y

quan hÖ ab = ac t-¬ng ®-¬ng víi quan hÖ a(b – c) = 0

§Þnh nghÜa 4. Ta gäi lµ miÒn nguyªn mét vµnh nÕu cã

nhiÒu h¬n mét phÇn tö, giao ho¸n, cã ®¬n vÞ, kh«ng cã

-íc cña 0.

VÝ dô: vµnh sè nguyªn Z lµ mét miÒn nguyªn.

3. 1.3. Miền nguyên, thể

Vành conGiả sử K là một vành (hoặc một miền nguyên, hoặc một

thể, hoặc một trường). Mỗi nhóm con A của nhóm Aben (K, +) ổn định đối với phép toán nhân tức là với mọi x, y A thì x . y A, gọi là vành con của A.

Từ định nghĩa vành con và điều kiện cần và đủ để tập con của một nhóm là nhóm con ta có:

Mệnh đề 1:Tập con A ≠ của vành K là vành con khi và chỉ khi x, y A

thì x – y A và x . y A.Ví dụ:2Z Z Q R C. Cái đứng trước là vành con của cái đứng

sau. Ta nhận thấy rằng mỗi vành con của vành K là một vành

đối với các phép toán trong K.

3. 1.4 : Vµnh con

Vành con của một vành có đơn vị có thể không phải là vành con có đơn vị. Chẳng hạn 2Z Z.

Giả sử A là một vành con của vành K. Nếu bản thân A là một miền nguyên, hay là một thể, hay một trường, khi đó ta nói A là một miền con, thể con, trường con của K.

Tương tự trong trường hợp nhóm ta có:

Định lý 3.2:

Giao một họ tuỳ ý các vành con (miền con, thể con, trường con) của một vành K cho trước là một vành con (miền con, thể con, trường con) của K.

3. 1.4 : Vµnh con

Iđêan Giả sử K là một vành cho trước. Vành con A của K gọi là

Iđêan trái nếu thoả mãn điều kiện sau đây: KA = {xa\ x K, a A} A. Vành con A gọi là Iđêan phải nếu AK A. Vành con A

gọi Iđêan (hay Iđêan hai phía) nếu A vừa là Iđêan trái vừa là Iđêan phải. Ta ký hiệu A K để chỉ A là một Iđêan của K.

Rõ ràng trong vành giao hoán, mỗi Iđêan trái là Iđêan phải và là Iđêan hai phía.

Ví dụ: a) Mỗi vành K có hai Iđêan hiển nhiên đó là {0} và K.

Iđêan {0} gọi là Iđêan tâm thường, K gọi là Iđêan đơn vị. Các Iđêan khác K gọi là Iđêan thực sự.

3. 1.5: i§ªan

b) nZ = {nx: x Z} là một Iđêan của vành Z. Z là một vành con của Q, nhưng Z không là Iđêan của vành Q.

Định lý 3.3:

Trong một thể không có Iđêan thực sự không tầm thường.

Chứng minh:

Giả sử K là một thể, A K và A {0} nên a 0 , a A. Vì K là một thể nên a có nghịch đảo a-1. Ta có phần tử a . a-1 A. Khi đó x K ta có x = x . 1 A. Do đó A = K. Vậy A không phải là Iđêan thực sự.

Vậy mỗi thể K chỉ có Iđêan tầm thường {0} và Iđêan đơn vị K.

Chú ý: Từ chứng minh định lý 3.3 ta có: Nếu K là vành có đơn vị 1 và nếu Iđêan A chứa phần tử đơn vị thì A = K.

3. 1.5: i§ªan

3. 1.5: i§ªan

ĐỒNG CẤU VÀNH

3.1.6 : ĐỒNG CẤU VÀNH

3.1.6 : ĐỒNG CẤU VÀNH

3.1.6 : CẤU VÀNH®Þnh lýĐỒNG

Giả sử P là một trường, j là phép nhúng chìm vành A vào trường P, tức là j là một đơn cấu của vành A vào trường P. Nếu đồng nhất với j(A) thì có thể xem vành A là một vành con của trường P. Vì trường P giao hoán không có ước của 0, vậy để có thể nhúng vành A vào trường P thì điều kiện cần là A phải là vành giao hoán không có ước của 0.

Tổng quát hoá việc xây dựng trường số hữu tỉ Q từvành các số nguyên Z, bài toán sau đây được đặt ra một cách tự nhiên:

3.2 tr-êng th-¬ng

Cho trước một miền nguyên giao hoán K, hãy dựng một trường P chứa K như một miền con.

Ta đặt K* = K\{0}. Trong tập K K* ta xét quan hệ “~”:

(a, b) ~ (a’, b’) khi và chỉ khi ab’ = a’b (1)

Quan hệ ~ là một quan hệ tương đương trên K K*, thật vậy:

- Đó là một quan hệ phản xạ: (a, b) ~ (a, b) vì a.b = b.a

- Quan hệ đang xét đối xứng:

Giả sử (a, b) ~ (a’, b’) a.b’ = a’.b hay a’.b = a.b’.

Vậy (a’, b’) ~ (a, b).

3.2 tr-êng th-¬ng

Giả sử (a, b) ~ (c, d) và (c, d) ~ (e, ƒ). Vì (a, b) ~ (c, d) nên a.d = b.c. Vậy ta có:

a.d.ƒ = b.c.ƒ .(a)

Vì (c, d) ~ (e, f) nên:

c.ƒ = e.d.(b)

Từ (a) và (b) ta có a.d.ƒ = b.c.d. Vì K là miền nguyên, d 0 nên ta có:

a.ƒ = b.e.

Vậy (a, b) ~ (e, ƒ), quan hệ đang xét có tính bắc cầu.

3.2 tr-êng th-¬ng

Lớp tương đương của phần tử (a, b) kí hiệu . Ta kí hiệu:

P = { : (a, b) K K*}.

Theo (1) thì = khi và chỉ khi a.d = b.c.

Trong P ta định nghĩa hai phép toán như sau:

Phép cộng “+”:

+ = . (2)

Phép nhân “.”: . = .(3)

Ta sẽ chứng tỏ rằng các phép toán định nghĩa

3.2 tr-êng th-¬ng

b

a

d

c

bd

bcad

b

a

d

c

db

ca

.

.