Date post: | 09-Sep-2015 |
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CINETICA ESPACIAL DE LOS CUERPOS RIGIDOS
En este capitulo haremos mas nfasis en los aspectos del movimiento del cuerpo rgido, ya que se sigue cumpliendo la ley :
GamF
CONCEPTOS PREVIOS
TENSOR DE INERCIA
dmYXIdmZXIdmZYI ZZYYXX )(,)(,)(222222
)(
)(
)(
22
22
22
GGZZZZ
GGYYYY
GGXXXX
YXmII
ZXmII
ZYmII
GGXZXZ
GGYZYZ
GGXYXY
ZmXII
ZYmII
YXmII
.
..
..
zzzyzx
yzyyyx
xzxx
III
III
III
I
MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A UN EJE ARBITRARIO
Sea:
kjikCosjCosiCos ZyX
......
yzzxzyyzyxxyzzzyyyxxxaa IIIIIII 222222
MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA
Sean I1, I2, I3 los momentos principales de inercia, y se presenta el tensor de Inercia diagonalizado donde:
I=
Ixy = Iyz = Izx = 0
z
y
x
n
m
cos
cos
cos
O
O
I1
O
I
O
2
3I
O
O
I1, I2 I3
DE:
0
0
0
zzzyzyxzx
zyzyyyxzx
zxzyxyxxx
WIIWIWI
WIWIIWI
WIWIWII
0
IIII
IIII
IIII
zzzyzx
xzyyyz
xzxyxx
De la cual se calcula los momentos
principales
Clculos de los Cosenos, directores de los
ejes :
Principales:
Sabiendo:
Con:
nm,,
1222 nm
nIIII
ImIII
IIII
zzzymzx
yznyyyx
zxnxymxx
0
MOMENTUM ANGULAR DE UN CUERPO RIGIDO
Tomndolo como un medio discreto de n
particulas al cuerpo de masa m
Para todo el cuerpo, sumando para todas las n particulas:
n es contable: medio discreto:
Cuando (medio continuo)
iAAAiAA mxxxmH )(
dmmn i
Forma caso GENERAL
Traslacin +rotacin
TRASLACION+ ROTACION
dmxxxdmH AAAAA )(
iAAAiAA
AAiAA
mxxxmH
xmxH
)(
)(
iiAA mxH
AAi x
1)
2)
dmxxxdmH AAAAA )(
CASOS QUE SE PRESENTAN: 1) Cuando A se convierte en un punto fijo: O
dmxwxH )( 000
000p
TRASLACION +
ROTACION caso general
00
dmr
dm
dmGG
G GA
2) Cuando A se convierte en el centro de masa G
dmdmH AAAAA )(
dmwH GGG )(
3)Cuando A es un punto arbitrario cualquiera:
;
dmxwxxdmH AAAAA )(
AGGA
creAG
GAA
GPAGA
Luego:
AGGAGGAAGGA xwxdmxH )()(
Como:
dmxwx GG
dmxdmH AAGAGA )()(0
)()( 0 AGG xwxdm
mxwxHmxH AGAGGAAGA )()(
GAGAAGA HmxwxH
AGAG xw
dmxwxdmwx AGAGGAG )()(0
GGAGA HmH
Sea: kzjyix
KwJwIw zyx
De:
dmzyixwwIwxxzyixH KKk JJj zy
dmwH )(0
dmxwywzwxwywzwxzyxH KJJ yxyzzyK
A)Por cualquiera del cuerpo
rgido
MOMENTUM ANGULAR CONSIDERANDO UN SISTEMA CARTESIANO
a) O: fijo b) OG:
Sabemos que:
KZyx OOOO HHiHH J
Luego:
dmxzwxydmwdmwzyH zyxx22
dmyzwxzwwxwzxywwxizxwwzxywwyH KJ yxzyxyzxyx 22222
xzdmwxydmwdmzywH zyxx22
Anlogamente: zyzyyyxyxy wIwIwIH
Reordenando: zyzyyyxxyy wIwIwIH
Tambin: zzzyzyxzxz wIwIwIH
Ecuacin para un estado dinmico.
(para un instante)
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
oz
oy
ox
III
III
III
H
H
H
Si los ejes x,y,z de forma que coinciden con los ejes principales :
oIII zxyzxy
Si:
KJ zzyyxx wIwIwIH
zzzz
yyyy
xxxx
WIH
WIH
WIH
IIIIIII zyx 321
wIH
PRINCIPIO DEL IMPULSO Y MOMENTUM
(Entre 2 estados dinmicos)
PARA CAMBIOS DE ESTADO
a) Lineal:
2
2
11 ))( ( Gt
tG mdtFm
211 ))( ( Gxxt
tGx mdtFm
2
2
11 ))( ( Gxyt
tGy mdtFm
2
2
11 ))( ( Gzzt
tGz mdtFm
b) Angular:
En un sist. de Coordenadas
X,Y,Z
Salen del
D.C.L. cuyas ecuaciones son similares a 2D
020
2
101 ))( (HMH dtt
t
MdT
Hd
MH
2
2
11 ))( ( XXt
tX HMH dt
2
2
11 ))( ( YYt
tY HMH dt
2
2
11 ))( ( ZZt
tZ HMH dt
M
Desarrollando:
iiiiii mmT
.2
1
2
1 2
imPara una energa particular de masa y realidad medida segn el marco inicial X,Y,Z, su energa cintica es:
ENERGIA CINETICA DE UN CUERPO RIGIDO (para un instante t)
i
AAi xw
AAAAii xwxwmT
.2
1
iAAiAAi mxwmT
..2
1
iAA mxwxw
.2
1
Para todo el cuerpo:
iAAiAA mxwmT
..2
1
Si:
Medio Continuo dmmi
De la propiedad:
iAA mxwxw
.2
1
dmxwxwdmxwmT AAiAAAA
.2
1..
2
1
cxbacbxa
..
AAAA xwxwxwxw
..
dmwwdmwmT AAAAAA
2
1.
2
1
Caso GENERAL
TRASLACION
+
ROTACION
II
Para un caso t (valida para un estado dinmico)
xzxzzyzyyxyxzzzyyyxxx wwIwwIwwIwIwIwIT 222
2
1
2
1
2
1
1) Cuando A se convierte en un punto fijo O sobre el cuerpo:
0A
CASOS QUE SE PRESENTAN
, como : dmxwxH 00
0
, KwJwIwxw ZY
kj Zyx HHiHH
0000
02
1HwTO
como:
Conociendo las expresiones de HX, HY, HZ de
y , y reemplazando
Si los ejes coordinados X, Y; Z son los ejes principales:
:0 zxyzxy III222
2
1
2
1
2
1zzzyyyxxx wIwIwIT
2)Cuando A se convierte en el centro de masa G:
0dmG GG HwmT
2
1
2
1 2
TRASLACION+
ROTACION II
xzzxzyyzyxxyzzzyyyxxxG wwIwwIwwIwIwIwImT 2222
2
1
2
1
2
1
2
1
Si los ejes X, Y; Z son los ejes principales para el cuerpo en el pto G:
2222
2
1
2
1
2
1
2
1zzyyxxG wIwIwImT
Para 2 estados dinmicos tambin se determina en forma similar a 2D
Se cumple la ecuacin escalar para cada cuerpo
2211 TWT
PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGIA CINETICA
Las ecuaciones que rigen el movimiento Tridimensional de un cuerpo rgido conocidas como ecuaciones de Euler convierten en la segunda ley de Newton y las ecuaciones del movimiento angular:
ECUACIONES DE EULER Matemtico Suizo Leonhard Euler (1707 1783)
B) ROTACION:
XYZHdt
HdM 0
0
0
000 HxHdtd
XYZM
XYZG
G Hdt
Hd
GM
GXYZG HxH
dt
d
GM
KHJHH ZyxH 0000
KHJHH GZGyGxGH
:
:
Velocidad angular del SISTEMA MOVIL
Velocidad angular del CUERPO RIGIDO
GamF
A) TRASLACION:
zGz
yGy
xGx
amF
amF
amF
Siendo : el vector velocidad angular del sistema considerando X Y Z (no necesariamente esta soldado al cuerpo rgido)
0Hx
dt
kdH
dt
dH
dt
JdH
dt
dH
dt
idHi
dt
dHH
dt
HZ
Zy
y
xx
XYZ
KJ
00
0
0
00
00
KJdt
dH
dt
dHi
dt
dH Zyx 000
00 H
dt
Hd
0000
0 HKdt
dHJ
dt
dHi
dt
dHM Z
yx
KxK
JxJ
x
Zx Jx Kx
Tomando el sistema de coordenados por cada eje coordenado:
zyzyyyxyxzzxzy
xyx
xxox wIwIwIdt
dwI
dt
dwI
dt
dwIM
Sale del
D.L.C. zzzyzyxzxy wIwIwI
zxzyxyxxxzzyzy
yyx
yxoy wIwIwIdt
dwI
dt
dwI
dt
dwIM
zzzyzyxzxx wIwIwI
zxzyxyxxxyzzzy
zyx
zxoz wIwIwIdt
dwI
dt
dwI
dt
dwIM
zyzyyyxyxx wIwIwI
Sale del
D.L.C.
Sale del
D.L.C.
La aceleracin angular del cuerpo rgido es: cuando
Caso General
Escribiendo de forma matricial:
Del Cuerpo Rgido
Sistema Mvil
z
y
x
M
M
M
0
0
0zyzyzyxxx wIwIwIM 0
xzxzxzyyy wIwIwIM 0
yxyxyxzzz wIwIwIM 0
X Y Z ~absoluto
dt
d 0
xKdt
dwJ
dt
dwi
dt
dw
dt
d Zyx 0
1) Ejes X Y Z que tienen movimientos :
los ejes se escogen con origen en G, de tal manera que los ejes solamente se trasladen con respecto al marco inicial de referencia XYZ, como , sin embargo el cuerpo puede tener una rotacin consecuente con los ejes XYZ.
CASOS QUE SE PRESENTAN
0
0
Simplificando la ecuacin III. Estos casos no son muy convenientes de platear solo en forma restringida su aplicacin.
2) Ejes X,Y,Z, que tienen un movimiento (El sistema mvil esta soldado al cuerpo rgido)
Los ejes estn fijos al cuerpo y se mueven y giran con el, se usa para (En el caso general o casos en el cuerpo tiene un punto fijo o es mvil)
GxyzGG
xyz
HxHM
HxHM
000
Luego: de III
Haciendo los reemplazos correspondientes:
yxzzxzyyzxzyxyzyzzyyxxxx wwwwwwwwwwwIM 22)(
zyxxyxzzxyxzyzxzxxzzyyyy wwwwwwwwwwwIM 22)(
xzyyzyxxyzyxzxyxyyxxzzzz wwwwwwwwwwwIM 22)(
Si los ejes se escogen como ejes principales:
zyzyxxx www xzxzyyy www
yxyxzzz www
z
y
x
zzzyzx
xzyyyx
xzxyxx
z
y
x
W
W
W
III
III
III
M
M
M
Y
Z
W
W
O
X
Z
W
O
W
O
W
W
X
Y
z
y
x
zzzyzx
xzyyyx
xzxyxx
W
W
W
III
III
III
El bloque rectangular de 18kg. Jira con una
velocidad angular constante de 6 rad/s alrededor del
eje AB. El apoyo en A en una chumacera lista que
desarrolla reacciones normales a la flecha. El apoyo
en B es una chumacera lista que desarrolla
reacciones tanto normales como a lo largo del eje de
la flecha (eje z). Determine las componentes de la
reaccin en A y B cuando el bloque esta en la posicin indicada.
El disco circular de 4kg. Esta montado
excntricamente sobre una flecha que esta apoyada
mediante chumaceras en
Si la flecha esta girando con una rapidez de w=7 rad/s,
determine las reacciones en las chumaceras cuando el disco esta en la posicin indicada.
ByA
El disco, que tiene una masa de 5kg, esta montado
excntricamente sobre el eje de la flecha AB. Si la
flecha esta girando con una rapidez de 12rad/s,
calcule las reacciones en las chumaceras de apoyo cuando el disco esta en la posicin indicada.
La placa cuadrada, que tiene una masa de 10kg, esta
montada sobre la flecha AB, del tal manera, que el
plano de la placa forma un Angulo de 0=30 con la
vertical. Si la flecha esta girando con una velocidad
angular de 25 rad/s, determinan reacciones en las
chumaceras de apoyo AyB en el instante en que la placa esta en la posicin indicada.
Animacin Resolucin Resultados
Respecto al nuevo sistema de coordenadas, se tiene:
=1
1220 1.8 2 = 5.4 kg.m2
= 0
= = 5.4 kg.m2
= = = 0
Descomponiendo el par motor T en cada eje: = 0.8660T = 0.5
= 0
=
EN LAS CAUSAS: Para el eje X:
= . 2 cos 60 . 2 cos 60
= + . Para el eje Y:
= . 2 sen 60 2 sen 60 + 0.5
=. . + .
Para el eje Z:
= 2 2
=
EN LOS EFECTOS: Debido a la eleccin de ejes principales
=
= 5.4 10.392 0 5.4 3 0
= .
=
= (0) 3 5.4 0 0 5.196 =
=
= 5.4 0 5.4 0 5.196 3
= .
Uniendo las ecuaciones que corresponden a los momentos de causa y efecto:
+ . = . (1)
. . + . =0(2) = . ()
Empleando la segunda ley de Newton
=
= = 0 0 = 0
= = 0 +
= 0 + = . ()
= = 0
+ = ()
Uniendo todas las ecuaciones desde la (1) hasta la (5):
+ + + . = .
+ + . . + . =
+ + + + = .
+ + + + = . + + + + =
Resolviendo mediante una matriz de 5x5:
00210
00210
11.7320
001
11.7320
001
0.86600.5000
=
28.05840
84.1752196.20
= . = +.
= . = . .
= .
N Resultado numrico Magnitud fsica
07. 119.1438 N
08. -7.0149 N
09. 77.0562 N
10. 7.0149 N
11. 48.5992 N.m
zyzyyyxxyy wIwIwIH
zxzyxyx wIwIwIH XXX
zzzyzyxzxz wIwIwIH
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
oz
oy
ox
W
W
W
III
III
III
H
H
H
oH
b = 1190,67
La flecha esta construida de una barra que tiene una masa de 2 kg/m, la cual esta girando con una velocidad angular de 30 rad/s, calcule: a.- El Momentum angular con respecto al punto O.(kg.m2/s) b.- La aceleracin angular de la barra.(rad/s2) c.- La magnitud de la fuerza de reaccin de A en el eje X.(N) d.- La magnitud de la fuerza de reaccin de B en el eje X.(N) c.- La magnitud de la fuerza de reaccin de A en el eje Z.(N) c.- La magnitud de la fuerza de reaccin de A en el eje Z.(N)