UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERU

PROF : SANDOVALALUMNOS : BARRANTES RIOS ELVIS JOEL MORENO FLORES

ESFUERZO Y DEFORMACION APLICADO AL CIRCULO DE MOHR

Circunferencia de Mohr No siempre es necesario resolver la ecuación cubica. En la mayoría de los casos, la posición de uno de los

planos principales en el punto que se estudia se puede determinar previamente.

Veamos la condición de equilibrio de un prisma triangular.

Proyectamos todas las fuerzas, sobre los ejes que coinciden con los vectores σ y τ.

Así se determinan las tensiones en el conjunto de planos paralelos a uno de los ejes principales.

Pasamos la semisuma de las tensiones principales a la parte izquierda de la primera ecuación. Elevamos después al cuadrado los dos miembros de las ecuaciones. Obteniendo

En el sistema de coordenadas σ y τ ésta es la ecuación de una circunferencia.

Este circulo se denomina circulo de Mohr o diagrama circular del estado tensional.

Estas ecuaciones se pueden interpretar como paramétricas. El parámetro es α que determina la relación entre el punto del círculo y el plano cortante.

La circunferencia de la figura corresponde al conjunto de planos paralelos al vector σ2. De manera análoga, se pueden construir los círculos de Mohr para el conjunto de planos paralelos a los vectores σ1 y σ3.

Así se pueden construir tres círculos de Mohr.

A cada punto de cualquier circunferencia le corresponde cierto plano cortante.

Los planos de inclinación arbitraria les corresponde en el sistema de coordenadas (σ,τ) los puntos que se encuentran en el área sombrada BCD.

La tensión tangencial máxima será igual al radio del circulo mayor

El diagrama circular puede ser construido no solo cuando se dan las tensiones principales.

Es suficiente conocer las tensiones en dos planos cualesquiera.

Por ejemplo, dado el estado tensional de la figura, se conocen las tensiones en los planos I y II.

En el diagrama circular, se pueden determinar los dos puntos correspondientes que deberán encontrarse en los extremos opuestos del mismo diámetro. En el esquema solo se muestra la parte superior del círculo.

Del diagrama circular se determina

Una vez determinadas estas tensiones, se compara con σy para establecer σ1, σ2 y σ3 en orden de disminución.

Tipos de estados tensionales

En el caso de un estado tensional complejo, adquiere gran importancia el tipo de estado tensional.

Por ejemplo, la mayoría de materiales se destruye de manera distinta según sean las tensiones, de tracción o de compresión.

Los estados tensionales los podemos dividir en tres clases, según el signo de las tensiones principales.

El primer caso lo constituye las tracciones triaxiales, en los cuales ninguna de las tensiones principales es de compresión.

Las tres tensiones principales son iguales. Se denomina tracción triaxial pura. Los diagramas circulares se degeneran en un punto.

La tracción biaxial, cuando los esfuerzos principales son desiguales.

Tracción monoaxial simple que surge en una barra traccionada o en la flexión pura.

El segundo tipo de estados tensionales, es aquel en el cual ninguna de las tensiones principales es de tracción. Se denomina compresión triaxial.

Compresión triaxial pura, la cual aparece en todo cuerpo sometido a una presión hidrostática en todas las direcciones.

La compresión triaxial no uniforme es característica para los puntos situados en la proximidad de los cuerpos en contacto.

La compresión monoaxial, aparece en la flexión pura y en la compresión de una barra.

El tercer tipo de estado tensional, se refiere a los estados tensionales mixtos en los cuales, la tensión máxima y mínima tienen distinto signo. La tensión intermedia pude ser positiva o negativa.

El estado triaxial mixto aparece en un cilindro de paredes gruesas solicitado por una presión interior.

Estado de deformación

La variación de la forma del solido esta relacionado con los desplazamientos de sus puntos.

La distancia entre las posiciones del punto A, antes y después de variar la forma, se denomina desplazamiento total de ese punto. Sus componentes son μ,υ y ω.

En la siguiente figura, la dirección del segmento AB coincide con el eje x.

Si el punto A se desplaza a lo largo del eje z la magnitud ω, entonces el punto se desplazará la magnitud

El incremento de la longitud del segmento AB es:

Por lo tanto, el alargamiento unitario en el punto A, según el eje x es.

De manera análoga.

El ángulo de giro del segmento AB en el plano xz es igual a la razón entre la diferencia de los desplazamientos de los puntos A y B a lo largo del eje z y la longitud del segmento dx

El ángulo de giro del segmento AC en el plano xz

La suma de los ángulos anteriores es igual a la variación del ángulo recto BAC es decir igual al ángulo de distorsión en el plano xz

De manera análoga se pueden obtener las expresiones de los ángulos de distorsión en los otros dos planos.

Finalmente, se obtiene la relación siguiente entre los desplazamientos y las deformaciones en un punto

El conjunto de las deformaciones que aparecen en los planos diversos que pasan por el punto dado, se denomina estado deformacional en el punto.

El estado de deformación en el punto se determina por seis componentes y, como en el caso del estado tensional, constituye un tensor.

El estado deformacional tiene propiedades idénticas a las del estado tensional.

Entre el conjunto de ejes que pasan por un punto, existen tres ejes ortogonales en cuyo sistema no existen deformaciones angulares. Estos ejes se denominan ejes principales del estado deformacional, y sus deformaciones lineales, deformaciones principales.

Las deformaciones principales se obtienen de la ecuación cubica

Cuyos coeficientes son las invariantes del estado deformacional

Se pueden construir los circulo de Mohr para las deformaciones, como se hizo para las tensines.

Ley de Hooke generalizada Hasta ahora analizamos el estado tensional y

deformacional independientemente, sin relacionarlos con las propiedades del material.

Sin embargo entre el estado tensional y el deformacional existe cierta dependencia.

Cuando se trata de deformaciones pequeñas esta dependencia es lineal y se denomina Ley de Hooke generalizada.

La forma mas simple se observa en el cuerpo isótropo.

En cualquiera de los planos de coordenadas, por ejemplo en el plano yz, la deformación angular se determina por

Para las tres deformaciones angulares

En el caso de un cuerpo isótropo, los ejes principales del estado tensional coinciden con los del estado deformacional.

El alargamiento unitario en la dirección x, debido a la tensión σx será

A las tensiones σy y σz les corresponden los alargamientos, en la dirección de x

Por lo tanto

Expresiones idénticas se obtienen de manera análoga

Las relaciones obtenidas constituyen la expresión analítica de la ley generalizada de Hooke para el caso de un solido isótropo.

Referencias: Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, John T. Dewolf.

“Mecánica de Materiales”, Editorial Mc Graw Hill, 2001

V. I. FEODOSIEV. “Resistencia de Materiales”, Editorial Mir, Moscú, 1988

CIRCULO DE MOHR Los círculos de Mohr son un método para representar gráficamente el

estado tensionar que padece un punto de un sólido en un instante determinado. Aunque actualmente, gracias a los ordenadores, es

posible calcular las tensiones con gran precisión sin recurrir a estos métodos, siguen siendo de gran validez puesto que de un solo golpe

de vista hacen comprensible la situación tensionar del sólidoTENSORES DE ESFUERZOS

Esfuerzo en un punto se define con:

• Los tres esfuerzos principales. • Esfuerzos en 3 planos perpendiculares a X1, X2, X3 en

3D (y dos caras en 2D). • Dos escalares invariantes del campo de esfuerzos.La magnitud del tensor de segundo rango se define

por dos escalares invariantes (independientes del sistema coordenado).Escalar: 1 magnitudVector: 1 magnitud

Proyección de planosy de la normal al plano Espacio físico en 2D

Proyección de planosen Círculo de Mohr 2D

s1

sn

t

s3q

2q30°

60°45°

s1

s3q30°

60°45°

Escalares invariantes del sistema

– Radio– Punto medio

• Esf cizalla máximo: fallas conjugadas

• Calcular los valores de [sn, t]p

Cálculo de las dos invariantes con los datos de dos planos perpendiculares

Ejerciciosejercicio 1