Date post: | 24-Jul-2015 |
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Recordarás y aplicarás la definición de la circunferencia como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.
Objetivo 2.
1. Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento , donde A(-2, 4) y B(6, -2)
C(h, k) = punto medio de
Radio = distancia de C a A
AB
1 2
2
x xh
2 6
2
4
22
1 2
2
y yk
4 2
2
21
2
C(2, 1)
2 22 2 4 1
CAr d
916 25 5 5r
2. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, 3) y B(-1, 1), y cuyo centro está situado en la recta
Por la definición del lugar geométrico de una circunferencia con centro en C(h, k):
C(h, k) es un punto de la recta por lo tanto satisface su ecuación:
0113 yx
CBCA dd
2222 1132 khkh
2222 1132 khkh
12129644 2222 kkhhkkhh
01146 kh
6 4 11 0 ....................(1)h k
3 11 0 ...............(2)h k
0113 yx
Cont…..ejercicio resuelto 2.Se resuelven las ecuaciones (1) y (2)
simultáneas:01146 kh
0113 kh
113 kh
01141136 kk
5522 k2
5k
112
53
h 7
2
2
5,
2
7C
Cont…..ejercicio resuelto 2.
La ecuación de la circunferencia es
o, en la forma general,
4
130
2
5
2
722
yx
04
130
4
255
4
497 22 yyxx
0145722 yxyx
3. Encuentra la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados son las rectas:
El término “inscrita” indica que la circunferencia está dentro del triángulo y su centro, el punto C(h, k), es el punto donde se intersectan las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo.
Ver la siguiente figura
0932:
0623:
02132:
3
2
1
yxR
yxR
yxR
Cont….ejercicio resuelto 3Ecuación de la bisectriz
(1) del ángulo que forman las rectas R1 y R2:
Ecuación de la bisectriz (2) del ángulo que forman las rectas R1 y R3:
2222 23
623
32
2132
yxyx
13
623
13
2132
yxyx
6232132 yxyx
01555 yx
03 yx
13
932
13
2132
yxyx
9322132 yxyx
0126 y
Cont…..ejercicio resuelto 3Con estas dos bisectrices se encuentra el punto
donde se intersectan las tres, que es el centro de la circunferencia de coordenadas (h, k):
De la bisectriz (2):
En la bisectriz (1):
El radio es la distancia del centro a cualquiera de las rectas, por ejemplo a R3:
La ecuación de la circunferencia es:
0126 y12
2= k6
y
03 yx 2 3 1 = hx
2 2
2 1 3 2 9
2 3r
13
13
13
=
1321 22 yx
0134412 22 yyxx
084222 yxyx Índice
Recordarás las características de los coeficientes de una ecuación de segundo
grado que representa a una circunferencia y la necesidad de conocer tres constantes
independientes para determinar la ecuación de esta curva. Utilizarás estos conceptos
para resolver problemas.
Objetivo 3.
Obtén la forma canónica de la ecuación que se da y determina si representa una circunferencia real, un
punto o ningún lugar geométrico real.
1.
Como r2 < 0, la ecuación no representa un lugar geométrico real.
2.
Puesto que r = 2 > 0, la ecuación representa una circunferencia con centro en C(–1, 1) y radio 2.
0296822 yxyx
9162996168 22 yyxx
434 22 yx
066633 22 yxyx
022222 yxyx1121212 22 yyxx
411 22 yx
3. Encuentra la forma canónica de la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 3), (5, 2) y (3, 4).
Por igualación: (1) = (2) y (1) = (3):
De (4):
2 2 21 2 ......................(1)h k r
2 2 25 2 ......................(2)h k r
2 2 23 4 ......................(3)h k r
2 2 2 21 2 5 2 ........(4)h k h k
2 2 2 21 2 3 4 ........(5)h k h k
2222 4410254421 kkhhkkhh
3
248
h
h
Cont….ejercicio resuelto 3
De (5):
Sustituyendo h:
El centro de la circunferencia es el punto C(3, 2)En (1):
Entonces el radio es igual a 2, y la forma canónica de la ecuación es:
2222 816694421 kkhhkkhh 2044 kh 5 kh
2
53
k
k
222 21 rkh
2
222
04
2231
r
r
423 22 yxÍndice
Recordarás y aplicarás la definición de la parábola como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma
general.
Objetivo 4.
1. Encuentra el vértice, el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de la parábola
El vértice está en el origen, el eje de la parábola es el eje x y abre a la derecha. Resumiendo, la parábola tiene:
Vértice en (0, 0) Foco en
Directriz Eje de la parábola y = 0
Lado recto
xy 83 2
23 8y x 2 8
3y x
84
3p
2> 0
3p
0,3
2
3
2x
3
8LR
2. Encuentra la ecuación de la parábola de vértice en la recta eje horizontal y que pasa por los puntos (3, –5) y
Eje horizontal →
El punto (3, –5) pertenece a la parábola →
El punto pertenece a la parábola →
V(h, k) pertenece a la recta →
0437 yx
1,2
3
hxpky 42
hpk 345 2
hpk
2
341 2
1,2
3
0437 kh
Cont….ejercicio resuelto 2Se tienen 3 ecuaciones y 3 incógnitas: h, k y p. Se
debe resolver el sistema de ecuaciones:
en el que dos de las ecuaciones son de segundo
grado. Al restar una de otra se pueden eliminar los
términos en k2 y en ph, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado:
225 10 12 4k k p ph 04121025 2 phpkk21 2 6 4k k p ph
04621 2 phpkk
0437 kh
Cont……..ejercicio resuelto 2.
En esta ecuación se puede despejar p en función de k, y en la tercera ecuación del sistema original se puede despejar h en función de k:
2
2
10 12 4 25 0
2 6 4 1 0
12 6 24 0
k k p ph
k k p ph
k p
12 6 24 0
2 4 0
2 4
k p
k p
p k
7 3 4 0
7 4 3
4 3
7
h k
h k
kh
Cont….ejercicio resuelto 2.
Al sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones de segundo grado (en este caso en la segunda) queda: 2 4 3
2 6 2 4 4 2 4 1 07
kk k k k
2 4 32 12 24 8 16 1 0
7
kk k k k
27 14 84 168 8 16 4 3 7 0k k k k k
2 27 98 168 32 24 64 48 7 0k k k k k
217 114 97 0k k 217 114 97 0k k
2114 114 4 17 97
34k
971 y 17k k
Cont….ejercicio resueltos 2.Se encuentran dos conjuntos de valores para las incógnitas:
a) k = –1, h = 1, 4p = 8; Ecuación:
b) L
Ecuación:
181 2 xy
17
97k
119
359h
17
5044 p
119
359
17
504
17
972
xy
3. Encuentra la altura de un punto situado a una distancia de 8m del centro del arco parabólico que tiene 18m de altura y 24m de base.
Colocando el arco en el plano de manera que el eje x sea la base del arco y el origen el punto medio de la base, como la base mide 24m los dos puntos en que el arco cruza al eje x son (–12, 0) y (12, 0); su vértice está en (0, 18) y el punto situado a 8m del centro del arco tiene coordenadas (8, 0)
Cont….ejercicio resuelto 3.
La ecuación es de la forma:
La curva pasa por (12, 0), de modo que
Ecuación de la parábola: Altura del arco a 8m del centro:
Altura: 10m
kyphx 42
1840 2 ypx 1842 ypx
180412 2 p2
72144
p
p
)18(82 yx
1888 2 y10
8
80
641448
y
y
Índice
Recordarás y aplicarás las características de los coeficientes de una ecuación de segundo grado que representa a una
parábola, y la necesidad de tres condiciones para determinar su ecuación.
Objetivo 5.
1. Determina el lugar geométrico que representa la ecuación
En este caso A = 0, C ≠ 0 y D ≠ 0, por lo tanto representa a una parábola. Como el término al cuadrado es el de y, su eje es paralelo, o coincidente, con el eje x. Su forma canónica es:
de modo que el vértice es:
Entonces el eje de la parábola coincide con el eje y.
742 xy
742 xy
742 xy
4
740 2 xy
0,4
7V
Índice