Date post: | 04-Dec-2015 |
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PP
TC
EG
033E
M32
-A15V
1
Sistema tridimensional EM-32
Resumen de la clase anterior
Relación entre rectas
Rectas
coincidentes Rectas
perpendiculares Rectas
paralelas
El sistema no tiene solución
Tienen igual pendiente y distinto coeficiente
de posición
El sistema tiene infinitas soluciones
Tienen igual pendiente e igual
coeficiente de posición
El producto de sus pendientes – 1
El sistema tiene solución única
Rectas
oblicuas
El sistema tiene solución única
Se intersectan en un ángulo distinto
de 90°
El producto de sus pendientes distinto
de – 1
Se intersectan en un ángulo de 90°
Aprendizajes esperados
• Comprender qué puntos y rectas pueden ser representados en el
sistema coordenado tridimensional y determinar la representación
cartesiana y vectorial de la ecuación de la recta en el espacio.
53. Dado el triángulo de vértices A(3, 0, 0), B(1, 4, 0) y C(1, 1, 3),
¿cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a una ecuación de
la recta que pasa por el vértice C y por el punto medio de AB ? A) B) C)
D) E) Ninguna de las anteriores.
Pregunta oficial PSU
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2016.
3
z3 1y
2
1x
3
z 2y2x
3z 1y
2x
2
3
3z
3
1y1x
Sistema tridimensional
Sistema tridimensional
Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes x e y.
x
y
z Eje de las cotas
Eje de las ordenadas
Eje de las abscisas
P(x, y, z)
Definición
Sistema tridimensional
Los ejes determinan tres planos, el plano xy, el plano xz y el plano yz.
x
y
z
Plano xy
Plano xz
Plano yz
Sistema tridimensional
Para ubicar un punto (x, y, z) en el sistema tridimensional, podemos hacerlo ubicando primero su proyección en el plano xy, este es el punto (x, y, 0), y luego subir o bajar este punto z unidades, según el signo de z.
Ejemplo:
Representación del punto (1, 3 ,2)
| |
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|
x
y
z
1 3
2 (1, 3, 0) (1, 3, 2)
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.
Vector en el espacio
Sistema tridimensional
Ejemplo:
x
y
z
v
2
5
3
Representación del vector (2, 5, 3) v
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define, es un número siempre positivo (solamente el vector nulo tiene módulo cero).
Módulo de un vector
Sistema tridimensional
Ejemplo:
El módulo del (3, – 1, 2) es v
z)y,(x,v Si 222 zyx v
222 21)(3 v
419 v
14 v
z
x
y v
3
-1
2
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.
Distancia entre dos puntos
Sistema tridimensional
Ejemplo:
La distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(– 1, 2, 0) es
)z,y,B(x y )z,y, A(xSi 222111 ,
212
2
12
2
12zzyyxx AB
ABd
222302211- AB
ABd
222302 AB
ABd
904 AB AB
d
13 AB AB
d
Sistema tridimensional
Ejemplo:
entonces )z,y,B(x y )z,y, A(xSi222111
, ),,(121212
zz y yxxAB
Coordenadas de un vector AB en el espacio
Si A(– 3, 4, 0) y B(– 1, 2, 3) entonces
0)3 4,2 3),(1(AB
3) 2, (2,AB
x
y
z
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| | |
| |
1 -3
2
A(– 3, 4, 0) 1) 2, 2,(BA
| | | |
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|
4
-1
B(– 1, 2, 3)
2 -2
3 “Vector director”
Sistema tridimensional
Ejemplo:
)z,y,B(x y )z,y, A(xSi 222111 ,
2
zz,
2
yy,
2
xxM 212121
Punto medio
Si A(– 3, 4, 0) y B(– 1, 2, 1) entonces
el punto medio del segmento AB es
2
10,
2
24,
2
1)(3M
2
1 ,
2
6 ,
2
4M
2
1 3, 2,M
Sistema tridimensional
Ejemplo:
)z,y,B(x y )z,y, A(xSi 222111 ,
A)t(B Az y,x,
Ecuación de la recta en el espacio
la ecuación vectorial de la recta
B)t(AB z y,x,
Si A(– 1, 1, 3) y B(1, 2, 0), la ecuación vectorial de la recta que pasa por A y B es
C)t(BC z y,x,
1,1,3))(t((1,2,0)3) 1, 1,( z y,x,
3)t(2,1,3) 1, 1,( z y,x,
(Con t en los reales)
ó
Ecuación vectorial
Que pasa por los puntos A y B es
Sistema tridimensional
Ejemplo:
entonces )z,y,B(x y )z,y, A(xSi222111
, )x-t(x xx 121
Ecuación de la recta en el espacio
Si A(– 1, 1, 3) y B(1, 2, 0) entonces la ecuación vectorial de la recta que pasa por A y B es 3)t(2,1,3) 1, 1,( z y,x,
(Con t en los reales)
Ecuaciones paramétricas
)y-t(y yy 121
)z-t(zz z 121
Luego, las ecuaciones paramétricas son
1))( t(11 x
1)t(21 y
3)t(03 z
t1 y
3t3 z
2t1 x
Sistema tridimensional
Ejemplo:
entonces )z,y,B(x y )z,y, A(xSi222111
, t zz
z z
yy
yy
xx
xx
12
1
12
1
12
1
Ecuación de la recta en el espacio
Si A(– 1, 1, 3) y B(1, 2, 0), entonces la ecuación continua de la recta que pasa por A y B es
Ecuación continua
(Con t en los reales)
30
3 z
12
1 y
1)(1
1)( x
3
z31y
2
1x
53. Dado el triángulo de vértices A(3, 0, 0), B(1, 4, 0) y C(1, 1, 3),
¿cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a una ecuación de
la recta que pasa por el vértice C y por el punto medio de AB ? A) B) C)
D) E) Ninguna de las anteriores.
Pregunta oficial PSU
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2016.
3
z3 1y
2
1x
3
z 2y2x
3z 1y
2x
2
3
3z
3
1y1x
ALTERNATIVA CORRECTA
A
Tabla de corrección
Nº Clave Unidad temática Habilidad
1 D Geometría analítica Comprensión
2 B Geometría analítica Comprensión
3 E Geometría analítica Comprensión
4 E Geometría analítica Comprensión
5 A Geometría analítica Comprensión
6 D Geometría analítica Comprensión
7 C Geometría analítica ASE
8 B Geometría analítica Comprensión
9 A Geometría analítica ASE
10 D Geometría analítica ASE
11 A Geometría analítica Aplicación
12 C Geometría analítica Aplicación
Tabla de corrección
Nº Clave Unidad temática Habilidad
13 A Geometría analítica Aplicación
14 C Geometría analítica Aplicación
15 B Geometría analítica Aplicación
16 E Geometría analítica ASE
17 C Geometría analítica ASE
18 D Geometría analítica Aplicación
19 D Geometría analítica ASE
20 C Geometría analítica Aplicación
21 A Geometría analítica Aplicación
22 E Geometría analítica ASE
23 C Geometría analítica Aplicación
24 D Geometría analítica ASE
25 B Geometría analítica ASE
Síntesis de la clase
Sistema tridimensional
Distancia entre
dos puntos
Punto medio
Vector
en el espacio
Módulo
de un vector
x : abscisa
y :ordenada
z: cota
222 zyx v
212
2
12
2
12zzyyxx AB
ABd
)z,y,B(x y )z,y, A(xSi 222111
2
zz,
2
yy,
2
xxM 212121
Ecuación vectorial
A)t(B Az y,x,
z
Prepara tu próxima clase
En la próxima sesión, estudiaremos
Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio
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Equipo Editorial Matemática