7/21/2019 Clase 19 Agosto
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Estado Sólido
Dr. Alfredo Tlahuice Flores
19 Agosto del 2015, CICFIM-FCFM, UANL
7/21/2019 Clase 19 Agosto
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Actividad 11
Encontrar las coordenadas de los sitios octaédricos y tetraédricos de la BCC
7/21/2019 Clase 19 Agosto
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Actividad 11. Solución
Sitio Tetraedral
Los vértices del tetraedro son:
A 1,0,0B 1,1,0
C 0.5,0.5,0.5
D 1.5,0.5,0.5
Se calcula la distancia entre 2 puntos: d= sqrt{ (x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2}
Siendo x1,y1,z1 las coordenadas de uno de los vértices del tetraedro.
(PA)2= (x-1)2+(y-0)2+(z-0)2
(PB)2= (x-1)2+(y-1)2+(z-0)2 (PC)2= (x-0.5)2+(y-0.5)2+(z-0.5)2
(PD)2= (x-1.5)2+(y-0.5)2+(z-0.5)2
Desarrollando:
(PA)2= x2-2x+1+y2+z2 = x2+y2+z2-2x+1
(PB)2= x2-2x+1+y2-2y+1+z2 = x2+y2+z2-2x-2y+2
(PC)2= x2-x+y2-y2+z2-z+(3/4) = x2+y2+z2-x-y-z+(3/4)(PD)2= x2-3x+(9/4)+y2-y+(1/4)+z2-z+(1/4) = x2+y2+z2-3x-y-z+(11/4)
Se debe resolver el sistema de ecuaciones:
Igualando 0= -2y+1 -2y=1
(PA)2= (PB)2 -x+0.25= -y-z -x+y+z=-0.25
(PA)2
= (PC)2
x+1-(11/4)= -y-z x+y+z= (7/4)(PA)2= (PD)2
1,0,0 1,1,0
7/21/2019 Clase 19 Agosto
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Se debe resolver el sistema de ecuaciones:
-2y=-1
-x+y+z=-0.25 ∆=| 0 -2 0 ∆x=| -1 2 0 ∆y=| 0 -1 0
x+y+z= (7/4) -1 1 1 -0.25 1 1 -1 -0.25 11 1 1| 7/4 1 1| 1 7/4 1|
∆z=| 0 -2 -1
-1 1 -0.25
1 1 7/4 |
X= ∆x/ ∆ =1
Y= ∆y/ ∆= 0.5
Z= ∆z/ ∆=0.25
Conclusión. Se encontraron las coordenadas del centro del tetraedro que ya se
conocían.
Ejercicio: Repetir el procedimiento para el caso del sitio octaédrico.
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Actividad 12
Cuál es la relación de radios para el sitio tetraedral y octaedral de una BCC
NOTA: Los sitios no son perfectos, se puede considerar que son pseudo-tetraédricos
o pseudo-octaédricos.
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Actividad 12. Solución
Sitio Octaedral
Los átomos que están en 0.5,0.5,0.5 (centro de cuerpo)y 0.5,1,0.5 (centro de cara) se tocan R+R i
Y sobre la diagonal del cubo se tiene 2R
Ri+R= a/2
Usando la relación entre a y R para la BCC: a= 4R/sqrt(3)
Ri+R= 2R/sqrt(3)
Ri= {-1+2/sqrt(3)} R= 0.1547 R
Conclusión: Se tiene un valor menor al de un hueco octaédrico regular (0.414)
Y se tiene un valor parecido al de un hueco triangular.
R+Ri
a/2
a/2
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a=2.309
Si el radio de las esferas es 1entonces, el radio de las esferas del intersticio es 0.15473
4 Ra Para BCC
Sitios Octaédricos en BCC
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Sitio TetraedralDel triángulo se tiene la relación:
(R+Ri)2= a2 * {0.52+0.252}
Ri+R=a* sqrt(5)/4
Sustituyendo la relación entre a y R para BCC
a= 4R/sqrt(3)
Ri+R= 4R/sqrt(3) * sqrt(5)/4
Ri+R= sqrt(5/3)*R
Ri= sqrt(5/3)*R –R
Ri= R{ sqrt(5/3)-1}
Ri= 0.291 R
Conclusión: Se tiene un valor mayor al de un hueco tetraedral regular (0.225)
0.5 a
0.25a
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Si el radio de las esferas es 1entonces, el radio de las esferas del intersticio es 0.291
a=2.309
Sitios Tetraédricos en BCC
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Actividad 13
Encontrar las coordenadas de los sitios octaédricos y tetraédricos de la FCC
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1,0,0
1/4,1/4,1/4 3/4,3/4,1/4
3/4,1/4,3/4
1/4,3/4,3/4
Actividad 13. Solución
Sitio Tetraedral
Se tienen los vértices del tetraedro
A 0.0,0.0,0.0
B 0.5,0.5,0.0
C 0.5,0.0,0.5
D 0.0,0.5,0.5
Se calcula la distancia entre 2 puntos:
d= sqrt{ (x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2}
Siendo x1,y1,z1 las coordenadas de uno
de los vértices del tetraedro.
(PA)2= (x-0)2+(y-0)2+(z-0)2 = x2+y2+z2
(PB)2= (x-0.5)2+(y-0.5)2+(z-0)2 = x2+y2+z2-x-z+0.5
(PC)2= (x-0.5)2+(y-0)2+(z-0.5)2 = x2+y2+z2-x-z+0.5
(PD)2= (x-0)2+(y-0.5)2+(z-0.5)2 = x2+y2+z2-y-z+0.5
Se debe resolver el sistema de ecuaciones:
Igualando 0= -x-y+0.5 x+y= 0.5
(PA)2= (PB)2 0= -x-z+0.5 x+z= 0.5(PA)2= (PC)2 0= -y-z+0.5 y+z= 0.5
Se debe resolver el sistema de ecuaciones:
∆=| 0 1 0 ∆x=| 0.5 1 0 ∆ y=| 1 0.5 0 ∆z=| 1 1 0.5
1 0 1 0.5 0 1 1 0.5 1 1 0 0.5
0 1 1| 0.5 1 1| 0 0.5 1| 0 1 0.5|
X= ∆x/ ∆ =1/4
Y= ∆y/ ∆= 1/4
Z= ∆z/ ∆= 1/4
0,0,0
0,0,1
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4 Ra
Sitios Octaédricos en FCC
7/21/2019 Clase 19 Agosto
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Sitios Tetraédricos en FCC
2
4 Ra
7/21/2019 Clase 19 Agosto
http://slidepdf.com/reader/full/clase-19-agosto 14/27
Cloruro de Cesio (CsCl)
7/21/2019 Clase 19 Agosto
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Cloruro de Sodio (NaCl)
7/21/2019 Clase 19 Agosto
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Blenda de Zinc (ZnS)
S
Zn
Diamante
Arseniuro de Galio
(GaAs)
Ga
As
7/21/2019 Clase 19 Agosto
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Direcciones y planos
Las coordenadas dentro del cristal se
expresan como una triada separada por comas.
Los materiales se deforman en las direcciones en la que los átomos
están en contacto más estrecho.
Los índices de Miller son la notación abreviada
para las direcciones dentro de un cristal.
Se debe seguir el siguiente procedimiento:
1) Usar un sistema dextrógiro y determinar lascoordenadas de 2 puntos en la dirección a
determinar.
2) Restar la coordenada inicial de la final.
3) Reducir las fracciones y/o los resultados de la
resta a los enteros mínimos.
4) Encerrar los números en corchetes cuadrados ([]).
Los signos negativos se representan sobre el número.
Ejemplo:
Aristas del cubo: [100],[010],[001],[0-10],[00-1],[-100]
Todas son direcciones equivalentes <100>
Diagonales del cubo: <111>
Diagonales de la caras: <110>
1,0,1
0,1,1
0,1,0
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Familia de direcciones
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Actividad 14
Determine los índices de Miller de la dirección definida en la siguiente figura
7/21/2019 Clase 19 Agosto
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Actividad 14. Solución
La coordenadas de los puntos son:
1,0,1/2 y 0,1,1/3
< 0,1,1/3> - < 1,0,1/2 > = <-1,1,-1/6>
Eliminando fracciones
6* <-1,1,-1/6> = -6, 6, -1
Entonces es la dirección
[-6,6,-1]
Ejercicio: Determine los índices de Miller de la dirección cúbica. Las coordenadas
de posición son ¾,0,1/4 y ¼, ½, 1/2
7/21/2019 Clase 19 Agosto
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PlanosSe debe seguir el siguiente procedimiento.
1) Identificar los puntos de intersección con los
ejes x,y,z, en unidades de a. Cuando el plano
pasa a través del origen, entonces el sistema
de coordenadas deberá moverse.2) Tome los recíprocos de las intersecciones.
3) Elimine las fracciones sin reducir a enteros
mínimos.
4) Encierre los números entre paréntesis ().
Los negativos se colocan sobre el número.
Se debe tener en cuenta lo siguiente:
i) Los planos y sus negativos son iguales.
ii) Los planos y sus múltiplos no son iguales
(Contrario a lo que pasa con las direcciones).
iii) Una familia de planos se representa con {}.
(111)
(222)
(200)(220)
Intercepcionesx=1, y=1, z=1
Intercepciones
x=1/2, y=1/2,
z=1/2
Intercepciones
x=1/2, y=,z=
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Los planos y sus negativos son iguales
En un sistema cúbico, la direcciónY el plano con los mismos indices
Son perpendiculares.
7/21/2019 Clase 19 Agosto
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Actividad 15
Determinar los índices de Miller de un plano cuyas intersecciones con los ejes
x,y,z son:1/3 , 2/3, 1