Date post: | 18-Dec-2015 |
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Microeconoma I - 2015
Clase 6: Demanda Hicksiana y Dualidad (Nicholson, Cap. 4)
Microeconoma I Escuela de Ingeniera Comercial FEN - UTALCA
El efecto-renta y el efecto-sustitucin
Al cambiar el precio de un bien (pX) se generan dos efectos: Cambian los precios relativos: pX/pY
Cambia el Ingreso Real: M/pX
Estos cambios generan dos efectos sobre el consumo: Efecto Sustitucin: El bien se hace ms caro en comparacin con
otros bienes, por lo que se sustituye por aquellos ahora relativamente ms baratos".
Efecto Ingreso: El ingreso monetario M disminuye su poder de compra. Esto genera un efecto similar a una reduccin en el ingreso. El efecto sobre el consumo del bien depende del tipo de bien con respecto a cambios en M
El efecto-renta y el efecto-sustitucin: bien normal
Alimentos (unidades mensuales)
O
Vestidos (unidades mensuales) R
S
V1 A
U1
El efecto-renta EA2 (de D a B) mantiene constantes los precios relativos, pero aumenta el poder adquisitivo.
Efecto- renta
V2
T
U2
C
Cuando baja el precio de los alimentos, aumenta el consumo en A1A2 al desplazarse el consumidor de C a B.
EEfecto total
Efecto- sustitucin
B
El efecto-sustitucin, A1E (del punto C a D), altera los precios relativos de los alimentos y del vestido, pero mantiene constante la utilidad.
A1 A2
Alimentos (unidades mensuales)
O
R
Vestido (unidades mensuales)
A1 S T
A
U1
E
Efecto- sustitucin
B
Efecto total
Puesto que los alimentos son un bien inferior, el efecto-renta
es negativo. Sin embargo, el efecto-sustitucin es superior al efecto-renta.
C
Efecto-renta
U2
El efecto-renta y el efecto-sustitucin: Bien inferior
A2
Ejemplo 1 Efectos Ingreso y Sustitucin
Suponiendo U(x,y) = xy MUx = y, MUy = x Py = $1/unidad, e I = $72
!Suponiendo que Px1 = $9/unidad. Cul es la canasta ptima inicial, A? Condicin de Tangencia: UMx/UMy = Px/Py y = 9x Restriccin: Pxx + Pyy = I 9x + y = 72 Solucin: x = 4 ; y = 36 !Si el precio de x cae y Px2 = $4/unidad. Cul es la canasta ptima final, C? Condicin de Tangencia : UMx/UMy = Px/Py y = 4x Restriccin : Pxx + Pyy = I 4x + y = 72 Solucin: x = 9; y = 36
Ejemplo 1 Efectos Ingreso y Sustitucin
Encontremos la canasta B que permite descomponer ambos efectos.
1. Debe estar en la curva de indiferencia original U1 igual que la canasta A U1 = XY = 4(36) = 144.
2. Debe estar en el punto de tangencia donde la nueva restriccin, trasladada paralelamente, es tangente a la curva de indiferencia inicial.
3. El precio de X (PX) en esta nueva canasta que permite la descomposicin de los efectos es el precio final de $4.
!Condicin de Tangencia: UMx/UMy = Px/Py y = 4x Combinado con que XY = 144 x = 6, y = 24 !Efecto Sustitucin: 6 4 = 2 unidades de X Efecto Ingreso: 9 6 = 3 unidades de X
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La demanda compensada mide slo el efecto sustitucin ante cambios en el precio.
Para encontrar la demanda Hicksiana modificamos el precio y mantenemos el nivel de utilidad inicial. Para esto compensamos al consumidor con mayor o menor ingreso.
As, trasladamos la nueva restriccin presupuestaria hasta ser tangente con la curva de indiferencia inicial, con los nuevos precios.
Al graficar las cantidades y precios resultantes en el plano (X,Px) encontramos la curva de demanda Hicksiana.
La Demanda Compensada o Hicksiana
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La diferencia entre las demandas Hicksiana y Marshalliana es el Efecto Ingreso. Demanda Marshalliana: ET=ES+EI
Demanda Hicksiana: ES
Luego, la Marshalliana tendr menor o mayor pendiente que la Hicksiana dependiendo de si el EI refuerza o contrarresta al ES. Esto depende del tipo de bien con respecto al ingreso.
Por cada punto de la demanda Marshalliana pasa una curva de demanda Hicksiana (el nivel de utilidad cambia, en cada nivel de utilidad hay una demanda Hicksiana distinta).
Demanda Hicksiana vs. Marshalliana
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Demanda Hicksiana vs. Marshalliana
Recordemos: Marshalliana: ET Hicksiana: ES ET=ES+EI
!Luego: Normal: Marshalliana es ms elstica que Hicksiana. ! Neutro: Marshalliana es Igual a la Hicksiana. ! Inferior: Hicksiana es ms Elstica que Marshalliana.
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Hicksiana vs. Marshalliana: Bien Normal
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Hicksiana vs. Marshalliana: Bien Neutro
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Hicksiana vs. Marshalliana: Bien Inferior
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Cmo calculamos las demandas Hicksianas? Las demandas Hicksianas mantienen el nivel de utilidad
constante. Necesitamos encontrar el nivel de X e Y que, dados los precios, permiten minimizar el gasto de alcanzar un nivel de utilidad dado.
Para esto resolvemos el siguiente problema de optimizacin:
!
! Este problema puede resolverse usando el mtodo de Lagrange.
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Encontrando Demanda Hicksiana:
0),(
0
0
==
=
=
=
=
YXUULYUP
YL
XUP
XL
Y
X
Y
X
Y
X
Y
Y
X
X
PP
UMUM
PUM
PUM
===
Las Condiciones de Primer Orden (CPO) son:
Las dos primeras indican que (i) RMS=Px/Py y la tercera (ii) U=U(X,Y) es el nivel de utilidad constante. Resolviendo estas dos ecuaciones para X e Y obtenemos las demandas Hicksianas.
)],([__
YXUUYPXPJ YX ++=
),( YXUU =
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Ejemplo 2: U=XY
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Ejemplo Separacin de ES y EI
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Ecuacin de Slutzky
La Ecuacin de Slutzky nos permite separar entre ES y EI usando las demandas Marshallianas y Hicksianas:
M
Esto tambin puede expresarse como elasticidades:
Elasticidad-Precio Marshalliana
Elasticidad-Precio Hicksiana
Elasticidad-Ingreso Marshalliana
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Ejemplo de Ecuacin de Slutzky
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Funcin Indirecta de Utilidad
La funcin indirecta de utilidad nos muestra el valor optimizado del bienestar, dados los precios y el ingreso.
Para encontrarla, slo debemos reemplazar las Demandas Marshallianas en la funcin de utilidad inicial. !!!!!
Es posible recuperar las funciones de demanda a partir de la F.I.U usando la Identidad de Roy.
[ ] ),,(),,(*),,,(**)*,( MPPVMPPYMPPXVYXUV YXYXYX ===
* ( , , ) XX Y
VPX X P P M VM
= =
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Funcin Indirecta de Gasto La funcin indirecta de utilidad nos muestra el valor optimizado del gasto,
dados los precios y la utilidad que se desea alcanzar e=e(pX,pY,U0). Para encontrarla, slo debemos reemplazar las Demandas Hicksianas en la
funcin de gasto inicial (X*Px + Y*Py). !!!!
Es posible recuperar las funciones de demanda hicksiana a partir de la F.I.G usando el Lema de Sheppard.
( , , ) ( , , ) ( , , )C CX X Y Y X Y X YM P X P P U P Y P P U E P P U= + =
( , , )C X X YX
EX h P P UP
= =
Problema Primal Maximiza U(X, Y)
Sujeto a M = PXX + PYY
Funcin de utilidad indirecta U* = V(PX, PY, M)
Problema Dual Minimiza PXX + PYY
Sujeto a
Funcin de Gasto E* = E(PX, PY, U0)
Demandas Marshallianas !
Identidad de Roy
Demandas Hicksianas !!
Lema de Shepard
( , )U U X Y=
Relaciones Duales
Reemplazando V por U y E por M
Ejemplo
Problema Primal Maximiza U=X0.5Y0.5 Sujeto a I = PXX + PYY
Funcin de utilidad indirecta
Problema Dual Minimiza PXX + PYY
Sujeto a
Funcin de Gasto
Demandas Marshallianas !
Identidad de Roy
Demandas Compensadas !!
Lema de Shepard
0.5 0.5U X Y=
0.5 0.52 X Y
MVP P
= 0.5 0.52 X YE UP P=
1.5 0.5
0.5 0.5
4* 1 22
X X Y
X
X Y
V MP P P MX V PM P P
= = =
0.5
0.5C Y
X X
UPEXP P
= =
0.5
0.5C X
Y Y
UPEYP P
= =
0.5 1.5
0.5 0.5
4* 1 22
Y X Y
Y
X Y
V MP P P MY V PM P P
= = =