Date post: | 24-Dec-2015 |
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Procesamiento y análisis de imágenes digitales II
Alejandra García, TM
Centro de Estudios Moleculares de la Célula, FONDAP,
Facultad de Medicina, Universidad de Chile
Escuela Tecnología MédicaUniversidad de Chile
Teorema de
Convolución
H (xi,yj,r):
X ->
Y->
H es un filtro lineal si cumple
comutatividad y distributividad:
H (a I1 + b I2) = a H I1 + b H I2
, I1/2 imágenes
, a,b escalares
KernelUna convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función.
H (xi,yj,r):
X ->
Y->
H (xi,yj,r) · I(x,y)
Mean: Simplest (Low Pass) Simplest High Pass
1 1 1H =1/9 · 1 1 1
1 1 1
-1 -1 -1H = -1 8 -1
-1 -1 -1
Métodos de Dominio de la Frecuencia
Es una medida paraindicar el número de repeticiones de cualquier fenómenoo suceso periódicoen la unidad de tiempo.
Frecuencia
En una imagen en el dominio frecuencialse sabe dónde se encuentran losdistintos rangos de frecuencias
Espectro: es la representación de lasfrecuencias quecomponen una señal
Transformadas de la Imagen•En la codificación por transformación, se utiliza una transformada lineal, reversible, para hacer corresponder la imagen con un conjunto de coeficientes de la transformada, que después se cuantifican y se codifican.
Transformadas de la Imagen
Algunos ejemplos de transformadas:
1. La transformada de Fourier.
2. La transformada discreta del coseno.
3. La transformada de Hadamard.
4. La transformada de Walsh.
• El matemático Fourier imaginó la superficie del océano como la suma de ondas sinusoidales. Las grandes ondas causadas por la marea o por los barcos (bajas frecuencias) tenían largas longitudes de onda, mientras que las pequeñas ondas causadas por el viento u objetos arrojados (altas frecuencias) tenían pequeñas longitudes de onda.
Transformada de Fourier
• La teoría de Fourier muestra como la mayoría de las funciones reales pueden ser representadas en términos de sinusoidales.
Transformada de Fourier• La transformada de Fourier de una función continua e integrable
de una variable real x se define por
Definiciones:
• La variable ‘u’ recibe el nombre de variable de frecuencia.
•El módulo de F(u), |F(u)|= (R(u)2+ I(u)2)1/2 recibe el nombre del espectro de Fourier.
•Su ángulo P(u)=arctg(I(u)/R(u)) recibe el nombre de fase.
•Abarca señales de tiempo de una longitud infinita , estas son señales no repetitivas continuas.
•Transformará cualquier señal continua de tiempo en forma arbitraria, en un espectro continuo con una extensión de frecuencias infinita.
•FFT (Fast Fourier Transform) es un eficiente algoritmo que permite calcular la transformada de Fourier discreta(DFT) y su inversa.
Transformada de Fourier
http://apphys.uned.es
Fourier y su Transformada
Amplitud: cuánto de cada componente sinusoidal está presente en la imagen.
Fase: dónde reside cada componente sinusoidal en la imagen.
El espectro de Fourierno debe interpretarse como una imagen, sino como el desplegado en 2D de la potencia (o amplitud) de la imagen original.
PropiedadesLa simetría y periodicidad
Ondas periódicas son aquellas ondasque muestran periodicidad respecto del tiempo, esto es, describen ciclos repetitivos.
Si rotamos la función f(x,y) a un ángulo determinado, la transformada también será afectada por una rotación del mismo ángulo. Esta propiedad también se da a la inversa, es decir, si la transformada se rota en un determinado ángulo, la transformada inversa también se verá rotada ese mismo ángulo.
La rotación
F = 1
2 ≤ F
1 ≤ F ≤ 1 F = 2
3 ≤ F
1 ≤ F ≤ 2 F = 3
4 ≤ F
1 ≤ F ≤ 3 F = 10
10 ≤ F
1 ≤ F ≤ 9 F = 192
193 ≤ F
1 ≤F≤ 192
Filtro Pasa bajo, Pasa alto y Pasa BandaPasa Bajo. Deja pasar bajas frecuencias. Los bordes y transiciones bruscas como ruido contribuyen en el contenido de altas frecuencias:
Pasa Alto. El realce consiste en dejar pasar altas frecuencias.
Pasa Banda: Seleccionar los rangos de frecuencias que deseamos.
http://www.innovanet.com.ar/gis/TELEDETE/TELEDETE/ej4.htm
Filtro Homomórfico
Consiste en el filtrado lineal de la imagen transformada para separar los componentes de iluminación y reflectancia
Las imágenes consisten en luz reflejada por los objetos y están formadas por dos componentes: la cantidad de luz invidente en elobjeto y la cantidad de luz reflejada:
http://apphys.uned.es
Restauración de la Imagen
Restauración v/s Mejora•Restauración: Recuperación de imágenes y suele basarse en el conocimiento de la causa de degración de la imagen.
•Mejora: se basa en los aspectos psico-físicos del sistema visual humano.
Técnicas de RestauraciónDeterministas
•Se supone conocida la función que degradó la imagen
•Se realiza la transformada inversa
•Son válidas si tienen poco ruido
Estocásticas
•Se intenta buscar visualmente la función que degradó la imagen
Degradaciones Sencillas
Movimiento Relativo de cámara y objeto
Turbulencia atmosférica
Correcciones Ópticas
Telescopio Hubble.
Conocimiento de su óptica, permite restaurar imágenes adquiridas.
Desplazamiento Lineal Uniforme
Filtro de mínimos cuadrados. Weiner
Es necesario conocer el espectro del ruido
Si no se conoce hay varias opciones
Se calcula a partir de una imagen
Se estima el espectro (gaussiano, ruido, etc)
Se sustituye la relación señal/ruido por una constante en la fórmula:
Variando la constante obtenemos distintas calidades de restauración.
A) Imagen borrosa
B) Espectro de la T. de Fourier
C) Frecuencia en respuesta al filtro de Weiner
D) Espectro de la frecuencia de la imagen filtrada con Weiner.
E) Restauración de la imagen con Weiner
F) Imagen final restaurada
A B
C D
E F
Filtro de rechazo de banda de radio 1
Ruido Sinusoidal
Frecuencia sinusoidal aparece como 4 puntos visibles.
Eliminación de esos puntos y realizamos la transformada inversa, obtenemos la imagen restaurada
Interferencia periódica
Interferencia: es cualquier proceso que altera, modifica o destruye una señal durante su trayecto.
Similar al ruido sinusoidal, pero más sutil.
Espectro de Fouier muestra interferencia
Imagen satelital de los cráteres en el planeta Marte
Transformación Geométrica
Determinados algoritmos permiten calcular:
•Ángulos de Rotación
•Flip
• Zoom
Introducen un pequeño grado de error que distorsionarála imagen rotada en determinados ángulos.