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8/11/2019 Clase06-Equivalentes Discretos
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E Q U I V A L E N T E S D I S C R E T O S
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INTRODUCCIÓN
En el ámbito de los sistemas en tiempo continuo, existen diversos métodos para diseñar
compensadores de manera que permitan mejorar las condiciones de respuesta ya sea en
estado estacionario1 o en estado transitorio2.
Para el control de sistemas digitales, se pueden determinar dos alternativas: la primera es
modelar el sistema en continuo y basados en los métodos de diseño existentes, diseñar un
compensador apropiado para mejorar la respuesta dinámica del sistema y por último
transformar la función resultante al dominio de z. La segunda alternativa es encontrar unafunción discreta que pueda tener aproximadamente las mismas características (en el rango
de frecuencias específico) que una función de transferencia H(s) dada.
Figura 1. Ilustración global de la aplicación de los Equivalentes Discretos
Tres maneras de abordar la solución a la alternativa mencionada, son presentadas a
continuación:
Integración numérica3.
Asignación de polos y ceros entre los dominios de s y z.
Equivalencia de retención.
1 En un sistema físico en estado estacionario (SS- Steady State), las características del mismo no varían con el tiempo.
2 En un sistema físico en estado transitorio, las variables del sistema presentan variaciones con el tiempo.
3 El término “integración numérica” se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones
diferenciales.
H(s) H (z)E uivalente Discreto
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El primer método está basado en la integración numérica de la ecuación diferencial que
describe el diseño dado. Existen muchas técnicas de integración numérica pero sólo
fórmulas simples basadas en las reglas del rectángulo y del trapecio son presentadas en
este escrito. El segundo método está basado en la comparación de los dominios de s y z.
Nótese que la respuesta natural de un filtro continuo con un polo ubicado en un punto
y período de muestreo T , representa la respuesta de un filtro discreto con un polo en
. Esta fórmula puede ser usada para asignar los polos y ceros de un diseño
continuo del filtro dado en los polos y ceros de una aproximación del filtro en discreto. El
tercer método se basa en la toma de muestras de una señal de entrada, la extrapolación
entre muestras para formar una aproximación a dicha señal y el pasar esta aproximación a
través de la función de transferencia del filtro dada.
En este trabajo se profundiza sobre los tres métodos existentes para hallar equivalentes
discretos comparando la calidad de la aproximación en el dominio de la frecuencia
entregada por cada uno, así como la facilidad de cálculo de los diseños; exponiendo
ejemplos y simulaciones en MATLAB.
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1. DISEÑO POR INTEGRACIÓN NUMÉRICA
El concepto fundamental para el diseño de equivalentes discretos por integración numérica,
es el de representar la función de transferencia del filtro H(s) entregada como una
ecuación diferencial y derivar una ecuación en diferencia cuya solución es una
aproximación de la ecuación diferencial .
Por ejemplo, el sistema
( )( )
( )
U s a H s
E s s a
[1.1]
es equivalente a la ecuación diferencial
( )( ) ( )
du t a u t a e t
dt
[1.2]
Ahora, si escribimos la ecuación (1.2) en su forma integral tenemos
() , () ()-
() , -()
, -()
() ,( )- ∫ , -() [1.3]
Donde la ∫ , -() equivale al área bajo la curva de ( ) en el
intervalo: ( ) y se denomina como área incremental.
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Muchas reglas han sido desarrolladas basadas en cómo se aproxima el término de área
incremental.
1.1. Regla Rectangular en Adelanto. Esta primera aproximación ,también conocida como
la regla de Euler , en donde se aproxima el área teniendo en cuenta el rectángulo
visto por delante de ( ) (ver figura 2), el cual tiene ancho T y toma la amplitud
del rectángulo como el valor del integrando en ( ) dando como resultado:
() ,( )- * ,( )- ,( )-+
() ( ) ,( )- ,( )- [1.4]
La función de transferencia correspondiente a la Regla Rectangular en Adelanto en
este caso es:
() ( )
()
[1.5]
Figura 2. Regla rectangular en adelanto
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1.2. Regla rectang ular en atraso. Una segunda regla se desprende de tomar la amplitud
del rectángulo de aproximación como el valor visto hacia atrás desde hasta
( ). La ecuación resultante es:
() ,( )- * () ()+
() ,()-
() [1.6]
La función de transferencia para la Regla Rectangular en Atraso es:
()
( )
() [1.7]
Figura 3. Regla rectangular en atraso
1.3. Regla Trapezoidal. Una última regla para aproximar el área bajo la curva es la Regla
Trapezoidal, también llamada método tustin o transformación bilineal. Con esta
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regla el área bajo la curva es el área del trapecio formado por el promedio de los dos
rectángulos vistos en las dos reglas anteriores. La ecuación en diferencia aproximada
es:
() ,( )-
* ,( )- ,( )- () ()+
() ( ⁄ )( ⁄ ) ,( )- ⁄
( ⁄ ) *,( )- ()+ [1.8]
La función de transferencia correspondiente para la Regla Trapezoidal es:
() ( )( )
() .
/01 [1.9]
Figura 4. Regla trapezoidal
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Al comparar ( ) a
H s s a
con las tres aproximaciones obtenidas por cada uno de los
métodos, podemos notar que el resultado puede obtenerse al reemplazar s como se
muestra en la siguiente tabla:
Método Aproximación
1Regla en adelanto
1Regla en atraso
2 1Regla trapezoidal
1
z s
T
z s
Tz
z s
T z
Tabla 1. Reemplazo de s de acuerdo al método utilizado
Cada aproximación puede ser mostrada como un mapeo del plano s al plano z . Un mayor
entendimiento de los mapas pueden ser obtenidos considerándolos graficamente, por
ejemplo, como el eje es el límite entre polos de un sistema estable y polos de un
sistema inestable, es interesante saber cómo se mapea el eje por las tres reglas y dónde
aparece la mitad izquierda (estable) del plano s en el plano z según las reglas.
Para graficar la región z , de las expresiones de la tabla 1 podemos despejar el valor de z . El
resultado se muestra en la tabla 2.
Tabla 2. Aproximación en términos de z de cada método
Método Aproximación
Regla en adelanto 1
1Regla en atraso1
12Regla trapezoidal
12
z Ts
z Ts
Ts
z Ts
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Figura 5. Representación de la región de estabilidad en el plano z para cada aproximación
2. CORRELACIÓN DE POLOS Y CEROS
Un método simple pero efectivo de obtener un equivalente discreto para una función de
transferencia continua, se obtiene mediante la extrapolación de la relación entre el plano s y
el plano z . Si tenemos la transformada z de las muestras de una señal continua ( )e t , los
polos de la transformada discreta ( ) E z están relacionados con los polos de ( ) E s teniendo
sT z e . De igual forma podemos ir a través del proceso de transformada z , para localizar
los ceros de ( ) E z .
La técnica de correlación de polos y ceros consiste en un grupo de reglas heurísticas para
localizar los polos y ceros, y ajustando la ganancia de la transformada z podríamos describir
el equivalente discreto de una función de transferencia que se aproxime a la función de
transferencia ( ) H s entregada.
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Las reglas son las siguientes:
2.1. Todos los polos de H(s) se mapean de acuerdo con la siguiente relación:
sT z e [2.0]
Si H(s) tiene un polo en s = - a, entonces ( ) zp H z tiene un polo en:
aT z e [2.1]
En el caso de que H(s) tenga un polo complejo de la forma –a+bj, () tendrá un polo
en:
j
z re
[2.2]
Donde y .
2.2. Todos los ceros de carácter finito son mapeados igual que los polos, es decir, se utiliza
la ecuación [2.0]. Si H(s) tiene un cero en s = -a, entonces ( ) zp H z tiene un cero en
aT z e .
2.3. En el caso dado que los ceros del sistema se encuentren en el infinito ( ) s , estosserán mapeados en el punto z = -1. La razón para esto es que el mapeo de las
frecuencias reales para hasta está dentro del círculo unitario desde hasta .
Por tanto, el punto representa de un modo real la máxima frecuencia posible en
la función de transferencia discreta, por tanto es apropiado decir que si H(s) es cero a la
máxima frecuencia continua, la magnitud de la función discreta será de cero en
,
la cual como se ha dicho es la frecuencia más alta que será capaz de procesar el filtro
digital.
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Si no se desea que exista retraso en la respuesta del sistema todos los ceros en
deberán ser mapeados a z = -1
Si se desea un retraso de una muestra para permitir a la computadora el tiempo
necesario para computar la salida, entonces solo uno de los ceros en el infinito es
mapeado en z = infinito y los otros en z = -1. Con esta elección se está dejando la
función discreta con un número finito de ceros uno menos que el número finito de
polos.
2.4. La ganancia del filtro digital es seleccionada para concordar con la ganancia de H(s)
en el centro de la banda o en cualquier otro punto crítico similar. En la mayoría de las
aplicaciones de control, la frecuencia crítica es s = 0 y por tanto típicamente
seleccionamos la ganancia de tal modo que:
0 1( ) ( ) s zp z H s H z [2.3]
3. EQUIVALENTES DE RETENCIÓN
3.1. EQUIVALENTE DE RETENCIÓN DE ORDEN CERO
Con la técnica de aproximación de equivalentes de retención se busca diseñar un
sistema discreto que con una entrada compuesta de muestras de( )e t
, tenga una
salida que se aproxime a la salida de la función( ) H s
cuando su entrada es la función
continua( )e t
.
El equivalente de retención discreto es construido aproximando
( )e t a las muestras
( )e k con un filtro de retención y luego, pasando
( )he t a través de la función de
transferencia( ) H s
entregada.
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Figura 6. Aproximación a e(t) por medio del equivalente retención
La figura muestra la aproximación a la señal continua( )e t
utilizando la retención( )he t
de las muestras( )e k
, en el intervalo entre kT y( 1)k T
. Esta operación es la
retención de orden cero (ZOH).
El equivalente de retención de orden cero para( ) H s
está dada por:
() ( )z2() 3
3.2. EQUIVALENTE DE RETENCIÓN DE ORDEN UNO CAUSAL
La figura 6 muestra la salida de un retenedor de orden uno (FOH). Se observa que
entre instantes de muestreo, la salida del retenedor ( ) está dada por:
( ) () () ,( )-
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Figura 7. Salida de un FOH
En su forma más general
() () () ( )
() [ ] () ( )
() [ ] () ( ) ( )
( )
Suponiendo que
() es un escalón unitario:
() ()
() [ ] () ( ) ( ) ( )
Transformando…
() [
]
() ( )
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3.3. EQUIVALENTE DE RETENCIÓN DE ORDEN UNO NO CAUSAL
Este equivalente de retención puede ser construido si suponemos que su respuesta
impulsiva es la que se muestra en la figura 8, en donde se extrapola la muestra a fin de
conectar muestra a muestra con una línea recta. También es llamado el equivalente de
retención triangular para distinguirlo del retenedor de primer orden causal.
Figura 8. Extrapolación de un impulso hacia y
La transformada de Laplace del filtro de extrapolación que sigue al muestre del impulso es:
2
2Ts Tse e
Ts
[2.5]
Por lo tanto, el equivalente discreto correspondiente es:
() () z2()
3
[2.6]
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Siendo , el equivalente discreto del método rectangular en avance, tenemos
que:
()
()
()
c) Método de Integración Numérica Trapezoidal.
()
Siendo ()(), el equivalente discreto del método integración trapezoidal tenemos
que:
() ()()
()
( )()
() ()
() () ( )
d) Equivalente polos y ceros
()
Analizando la función de transferencia tenemos que:
- El G(s), tiene un polo en s= -5. El polo en G(z) se mapeará en
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- Puesto que G(s), no posee un cero, para mapear se debe añadir un cero en el
infinito.
- Puesto que al agregar un cero en el infinito, supone la frecuencia mas alta en
continua, se debe tener en cuenta que en dominio discreto, la frecuencia más alta
está limitada por el teorema de muestreo ws/2. Es decir que el punto G(jws/2),
corresponde al punto (-1,0), en el plano z.
Por lo tanto G(jws/2), correponde a
, que correspon de al cero en el infinito del
factor z=.
De manera que
() ()
()
() ()()()
Si se quiere que el sistema tenga un retardo, no se mapea el cero en el infinito como
z=-1, quedando:
() ( )( )
e) Equivalente retención orden cero
Por la definición del equivalente de retención de orden cero (ecuación 2.4) tenemos:
1 ( )( ) (1 )ho
H s H z z
s
Reemplazando H(s):
1
5
5( ) (1 )ho
s H z z
s
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1 5( ) (1 )
( 5)ho H z z
s s
Según la tabla, la transformada de( )
a
a s a es
1
1 1(1 )(1 )(1 )
aT
aT e z z e z
, entonces H(z)
quedaría:
5 11
1 5 1
(1 )( ) (1 )
(1 )(1 )
T
T
e z H z z
z e z
5 1
5 1
(1 )( )
(1 )
T
T
e z H z
e z
f) Equivalente retención primer orden no causal
Por la definición de equivalente de retención de orden uno no causal tenemos:
2
2
( 1) ( )( )tri
z H s H z
Tz s
()
() ( ) {()
} () ( )
{
}
() ( ) 4
( ) 5
() 4( )
( ) ()
( )5
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3. CONCLUSIONES
Al estudiar los distintos métodos y técnicas para hallar equivalentes discretos de funciones
de transferencia continuas, se puede concluir en definitiva, que el equivalente discreto
constituye una herramienta indispensable y muy valiosa para el análisis y la manipulación
de funciones de transferencia continuas que se necesiten trabajar con sistemas discretos.
La aproximación que ofrece cada método o técnica, depende en gran medida, de la
frecuencia de muestreo. En especial cuando se tratan del equivalentes discretos por
retención.
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4. ANEXOS
Anexo 1. Funciones en Matlab para computar funciones de transferencia con el comando
c2d
Anexo 2. Gráficas de la función de transferencia con los diferentes métodos y técnicas
Programa en Matlab:
Gráfica ZOH
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Gráfica FOH
Gráfica Tustin
0 1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Step Response
Time (s ec)
A m p l i t u d e
0 1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Step Response
Time (s ec)
A m p l i t u d e
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Gráfica Matched
0 1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Step Response
Time (s ec)
A m p l i t u d e
0 1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Step Response
Time (s ec)
A m p l i t u d e
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BIBLIOGRAFÍA
FRANKLIN, POWELL, Gene F., J. David. Digital Control of Dynamic Systems. Stanford
University, Third Edition. 1998.