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7/23/2019 clase5-ESTADISTICA1
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS
HUANCAYO 2014- II
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (A)
Ing. Eli Teobaldo Caro Meza
CURSO: ESTADISTICA
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b) DATOS AGRUPADOS POR INTERVALOS:
Si n valores de una variable cuantitativa X
estan organizados en una frecuencia de k
intervalos, donde:
m1, m2 , …, mk son las marcas ! clas! "
# 1, # 2 , …, # k son las #r!c$!nc%as abs& r!s'&
Entonces la media aritmética es:
n
m f
datosde
total Suma x
k
i
ii∑=
−
== 1
*
#
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E(!m'lo:
Calcule la media aritmética de la
distribución de frecuencias por intervalossiguientes:
Ii fi
[26, 34[ 1
[34, 42[ 2
[42, 50[ 4
[50, 58[ 10
[58, 66[ 16[66, 74[ 8
[74, 82] 4
45
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SOLUION: Tenemos:
La media aritmética ser:
45
2694
45
*
datosde#
totalSuma
7
1 ===∑=
−i
ii m f
x 867,59=−
x
Ii !i f i f i"!i
[26, 34[ 30 1 30
[34, 42[ 38 2 76
[42, 50[ 46 4 184
[50, 58[ 54 10 540
[58, 66[ 62 16 ##2
[66, 74[ 70 8 560
[74, 82] 78 4 312
45 26#4
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*& PROPIEDADES DE LA +EDIA ARIT+ETIA
a$ %a &'!a (o(al de n )alore& *'+a !edia e& e&ig'al a n. En efe*(o, -ara n da(o& noagr'-ado& + agr'-ado& re&-e*(i)a!en(e, &e(iene
b$ /i a la )ariable &e le a*e la (ran&for!a*inlineal a b, e& de*ir &i a *ada 'no de lo&n )alore& i de e& (ran&for!ado en el )alor+i ai b de , &iendo a + b *on&(an(e&,en(on*e&, a !edia de lo& n )alore& +i e&
∑∑=
−−
=
==k
i
ii
n
i
i xn x f xn x11
;
b xa y +=−−
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c! La suma algebraica de las desviaciones de n
datos " i con respecto a su media " es igual acero# Se tiene para datos no agrupados $
agrupados:
d! La suma de los cuadrados de las desviaciones
de n datos con respecto a su media es
minima#
#
∑ ∑=
=
−−
=−=−n
i
k
i
iii x x f x x1
1
0)(*;0)(
∑=
−
==−n
i
i xcc x1
2 si minima,)(
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+EDIA PONDERADA
La media ponderada se obtiene por lasiguiente relación:
E%emplo: &n alumno en el semestreanterior 'a obtenido (( en el curso ) de *créditos, (+ en el curso de - créditos, $
(. en el curso C de + créditos, entoncessu promedio de notas /ponderado por loscréditos! es:
∑
∑
=
=−
=
+++
+++=
k
i
i
k
i
ii
k
k k
w
xw
www
xw xw xw x
1
1
21
2211
)*(
...
)*(...)*()*(
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S0L&C102:
E3E45L0:
Los sueldos del mes de Enero de 677empleados de una empresa tienen una media
de 6+7 /nuevos soles por (7!#a! Si el .78 de los empleados son 'ombres /el resto
son mu%eres! $ tienen un sueldo promedio de 6*7,9Cunto es el sueldo medio de las mu%eres enenero
b! Si para el mes de %ulio, se propone un aumentogeneral ;ue consiste de un aumento variable del+78 a cada sueldo de enero mas una bonificaciónde +7, 9Cunto dinero adicional necesitara laempresa para pagar los sueldos incrementados
92,1212
155
345
)3*16()4*13()5*11(==
++
++=
−
x
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RELAION ENTRE +EDIA , +EDIANA +ODA
(! Si la distribución de los datos es simétrica,
entonces, la media, la mediana $ la modatienen el mismo valor /fig 6#6 a!# Esto es:
6! Si la distribución es asimétrica de cola a laderec'a, entonces, la moda es menor ;ue lamediana $ esta a su vez es menor ;ue lamedia /fig# 6#6 b!# Es decir:
+! Si la distribución es asimétrica e cola a laiz;uierda, entonces, la relación es /fig# 6#6 c!:
Mo Me x ==−
−
<< x Me Mo
Mo Me x <<−
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-# 5ara distribuciones unimodales $ de marcaa
as%m!-r.a, se tiene la siguientes relaciónemp<rica:
*# Los tres promedios pueden calcularse también para distribuciones de frecuencias conintervalos de diferente longitud, siempre ;ue
puedan determinarse o las marcas de clase/para la media! o de limite inferior L i delintervalo /para la mediana $ la moda!#
)(*3 Me X Mo X −≅−−−
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LA +EDIA GEO+ETRIA
La media geométrica de n valores positivos " (,
" 6 , =, " n es:
5or e%emplo, la media geométrica de los valores+, >, 6? es igual a:
La media geométrica se aplica para promediar: razones /a@b!, <ndices /a@b en 8!, proporcionesAa@/aBb!, tasa de cambio A/aDb!@b, ;ue var<ancon el tiempo, etc#
nn x x x x *...** 21=
−
927*9*33==
−
G x
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E%emplo (:
Si la producción de un bien 'ae"perimentado un crecimiento del +78del primero al segundo ao $ unincremento del +*8 del segundo al
tercer ao $ un decrecimiento del (*8del tercer al cuarto ao#
a! Calcule la tasa promedio de cambio $ el porcenta%e promedio de crecimiento de la producción de los tres Fltimos aos#
b! Calcule la producción del ;uinto ao, si ladel primer ao fue (77#
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E%emplo 6:
Supongamos ;ue la población de una ciudad
aumento de (7777 a (6.77 en el periodocomprendido del ao 6777 al ao 677- como se
indica en el cuadro# Calcule la tasa promedio $
el porcenta%e promedio del crecimiento de la
población#
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LA +EDIA AR+ONIA
La media armónica de n valores no nulos " (, " 6 ,
=, " n es un numero real, dado por:
5or e%emplo la media armónica de ., -, $ + es -# La media armónica se aplica para promediar
datos cu$as unidades de medición son
cocientes de unidades de medición de dosvariables, por e%m# Gatos e"presados enkm@'ora# Siendo una formula practica la sgte:
∑=
−
=n
i i
H
x
n x
1
1
2vaia!ledemedi"ionesdeotal
1vaia!ledemedi"ionesdeotal=
−
H x
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20T): La media armónica es siempre menor ;ue lamedia geométrica, esta a su vez es menor ;ue la mediaaritmética#
E%emplo (:
&na persona mane%ando su automóvil recorre los primeros (7 km a .7 km por 'ora $ los siguientes (7 kma ?7 km por 'ora, calcule la velocidad promedio#
E%emplo 6:
&na empresa de transporte gasta S@#-77 en latas de
aceite ;ue cuestan S@# (7 la docenaH S@# *77 en latas;ue cuestan S@#(6,*7 la docenaH S@# .77 mas en latas;ue cuestan S@# 67 la docena $ S@# +77 en otras ;uecuestan S@# 6* la docena# Calcule el costo promedio pordocena de las latas de aceite#
−−−<< x x x G H