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7/24/2019 Clases Unidad 2 Tema 4 5 6
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Republica Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación Superior
Universidad Nacional Experimental Dr. Raael Mar!a BaraltPro"rama de #n"enier!a $ %ecnolo"!aSan Pedro& estado 'ulia
(ontroles )utom*ticos
Unidad ##+ Temas 4,5,6 programa UNERMB
Profesor:Ing. Elba SandovalMsC. Ingeniería de Control yAutomatización de ProcesosIndustriales
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%EM) ###+ )N,-#S#S DE -) RESPUES%) %R)NS#%R#)
La respuesta transitoria es la parte de la respuesta de un sistema
que se presenta cuando hay un camio en una entrada y desaparece
despu!s de un re"e inter"alo de tiempo#
La respuesta en estado estable es la respuesta que permanece
despu!s que desaparecen todos los transitorios#
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Sistemas de primer orden
$esde el punto de "ista matem%tico se representan por
ecuaciones di&erenciales ordinarias de primer orden# Estos
sistemas pueden ser'
El!ctricos, mec%nicos traslacionales, mec%nicos rotacionales,
t!rmicos, hidr%ulicos, electromec%nicos#
Sistemas de se"undo orden+
$esde el punto de "ista matem%tico se representan por
ecuaciones di&erenciales ordinarias de segundo orden# Estos
sistemas pueden ser'
El!ctricos, mec%nicos traslacionales, mec%nicos rotacionales,
t!rmicos, hidr%ulicos, electromec%nicos#
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%EM) /+ ES%)B#-#D)D DE UN S#S%EM) DE (N%R-
Un requerimiento importante para un sistema de control es que dee ser
estale, es decir que si al sistema se aplica una entrada de magnitud &inita,
entonces la salida deer(a tami!n ser &inita y de ning)n modo in&inita#
*ara los sistemas lineales el requerimiento de estailidad se puede de&inir en
t!rminos de los polos de la &unci+n de trans&erencia en lao cerrado#
Los polos son las ra(ces del polinomio del denominador de la &unci+n de
trans&erencia y los ceros las ra(ces del polinomio del numerador de la &unci+n de
trans&erencia#
Un sistema se puede de&inir como estale si toda entrada acotada, es decir
&inita, produce una salida acotada o in&inita#
La condici+n de estailidad tami!n se puede e-presar como que un sistema
es estale si al e-citarlo con un impulso la salida regresa e"entualmente a cero#
Los sistemas de control en lao aierto son inherentemente estales# Una
entrada &inita produce una salida &inita y en que &orma inde&inida no camia con
el tiempo#
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En los sistemas de control en lao aierto al incrementar la &unci+n de
trans&erencia de un elemento en tales sistemas no tiene e&ecto en la estailidad
del propio sistema#
E.emplo'
En una maquina dispensadora de chocolates, /sumiendo que la maquina
dispensadora es un sistema de lao aierto, al insertar correctamente el dinero ,
la maquina le dar% el chocolate, no continuara dando arras en &orma inde&inida#
/l camiar el tipo de arra de chocolate que tenga la maquina y su costo en
&orma independiente esto no tendr% e&ecto sore la estailidad del sistema#
En los sistemas de control en lao cerrado pueden mostrar inestailidad, ya
que se pueden presentar como resultados de tiempos de retardos que ocurren
entre el camio de la "ariale y la se0al de realimentaci+n que resulta de la
respuesta de un sistema#
E.emplo'
Un sistema de control de un rao ro+tico o la mano de un orracho, que dee
le"antar una taa de ca&!#
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La mano se mue"e hacia la tasa de ca&! y si en ese mo"imiento des"(a hacia
la derecha en la trayectoria requerida, es un retardo porque no lo logro, se en"(a
una se0al a la mano para iniciar nue"amente el mo"imiento, esta se0al continua
en la situaci+n ideal hasta que la mano logre alcanar la tasa de ca&!#
1in emargo si hay tiempos de retardos en el sistema, la acci+n puede
continuar por un tiempo prolongado y la mano puede sorepasar la trayectoria
requerida antes que el sistema reaccione#
El ciclo entero se puede repetir dirigi!ndose la mano hacia adelante o hacia
tras, de un lado a otro de la trayectoria requerida, de esta manera una
perturaci+n inicial puede producir una situaci+n inestale#
La inestailidad depende de la &unci+n de trans&erencia de la trayectoria
directa, puesto que un "alor grande para esta resultar(a en un gran mo"imiento
de la mano durante el tiempo de retardo#
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Entre muchas &ormas de especi&icaciones de desempe0o usadas en el dise0o
de sistema de control, el mas importante requerimiento es que el sistema dee
ser estale# Un sistema inestale es generalmente considerado in)til#
Entonces al dise0ar un sistema de control, se dee ser capa de predecir el
comportamiento din%mico a partir del conocimiento de sus componentes y la
caracter(stica mas importante del comportamiento din%mico de un sistema de
control, es la ES%)B#-#D)D )BS-U%), es decir si un sistema es estale o es
inestale#
2Un sistema de control esta en equilirio, si en ausencia de cualquier
perturaci+n, la salida permanece en el mismo estado3
2un sistema de control lineal e in"ariante en el tiempo es estale si la salida
termina por regresar a su estado de equilirio cuando el sistema esta su.eto a
una condici+n inicial3
2un sistema de control lineal e in"ariante en el tiempo es cr(ticamente estale si
las oscilaciones en la salida contin)an en &orma inde&inida3
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/parte de la estailidad asoluta, se dee considerar cuidadosamente la
estailidad relati"a, esta representa la medida cuantitati"a de la rapide con la
que la respuesta transitoria tiende a cero#
uanto menor sea el tiempo en estailiarse la respuesta, el sistema es mas
estale relati"amente#
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Polos $ ceros
*ara entender la estailidad de un sistema de control es necesario, partir de la
de&inici+n de los polos y los ceros de una &unci+n de trans&erencia#2La &unci+n de trans&erencia en lao cerrado s7 de un sistema en general se
puede representar mediante3
8 si las ra(ces del denominador y del numerador se estalecen como'
$onde las ra(ces del numerador son 9:,9;<# 9n y se denominan eros y las
Raices del denominador son p:,p;<#pn y se denominan polos# = es una
constante multiplicadora o ganancia del sistema#
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Los ceros son los "alores de 1 para los cuales la &unci+n de trans&erencia se
"uel"e cero, los polos son los "alores para los cuales la &unci+n de trans&erencia
es in&inita, es decir estos hacen que el "alor del denominador sea cero#
$e esta manera por e.emplo si el numerador es s>;7 entonces la &unci+n de
trans&erencia es cero si s>;7?@ es decir 1?A;, por lo tanto el cero esta en A;#
1i el denominador es sA57 entonces la &unci+n de trans&erencia es in&inita si
sA57?@ si 1?>5, por lo tanto el polo esta en >5#
Los polos y los ceros pueden ser cantidades reales o comple.as# Estos se
pueden escriir como s01234 donde es la parte Real y CD la parte maginaria#
omo se indica en la siguiente ecuaci+n,
enunciar los "alores de ceros y polos de un sistema, .unto con el "alor de una
ganancia permite especi&icar por completo la &unci+n de trans&erencia de un
sistema#
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Patrón de ceros $ polos
Los polos y los ceros de una &unci+n de trans&erencia se pueden representar
en un diagrama llamado patr+n de polos y ceros#
La &igura muestra los e.es que se usan para dicho diagrama, el e.e 2-3 es la
parte real del polo o cero y el e.e 2y3, la parte imaginaria de un polo o un cero#
La posicion de un polo se marca con una cru o F, y la de los ceros con un
peque0o circulo 2o3#
$e esta manera en la &igura se marca un polo que tiene como parte real de >:
y una parte imaginaria :. es decir el polo esta en >:A:.7# El cero se marca en A: y no tiene parte imaginaria#
La gra&ica en dos dimensiones se conoce como plano 1, los polos o ceros en
el lado iquierdo de la gra&ica son todos negati"os, los polos o ceros en el lado
derecho de la gra&ica son positi"os# Los polos o ceros son pares del tipos ACD7
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Un sistema lineal e in"ariante en el tiempo es estale si cumple las
condiciones siguientes'
:# /nte una entrada acotada o &inita responde con una salida acotada o &inita#
;# 1i todos los polos de la &unci+n de trans&erencia est%n en el semiplano 2s3
negati"o , es decir tienen la parte real negati"a#
La localiaci+n de los polos de un sistema en el plano s representan la
respuesta transitoria resultante #
Los polos en el semiplano derecho del plano s, dan como resultado una
respuesta decreciente ante una perturaci+n#
Los polos en el e.e imaginario y en el plano derecho dan como resultado un
respuesta neutral y otra creciente#
*or tal ra+n la ona de estailidad de un sistema din%mico se estalece en el
semiplano negati"o del plano s#
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*or esta ra+n anteriormente descrita es necesario que para un sistema
realimentado sea estale es que todos los polos de la &unci+n de trans&erencia
del sistema tengan partes reales negati"as, uicadas en el semiplano iquierdo
del plano s#
1i llegase el caso de que la ecuaci+n caracter(stica del sistema tenga ra(ces
simples sore el e.e imaginario, respecto al e.e iquierdo, se asume que el
proceso o sistema es marginalmente estale#
1i una ecuaci+n caracter(stica de un sistema tiene los polos sore el
semiplano derecho del plano s entonces es inestale#
E.ercicios
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(riterio de Estabilidad )bsoluta o Rout5 6ur7itz
Es un m!todo algeraico que o&rece in&ormaci+n sore la estailidad asoluta de
un sistema lineal e in"ariante en el tiempo que tiene una ecuaci+n caracter(stica con
coe&icientes constantes#
El criterio pruea la estailidad asoluta para cualquiera de las ra(ces de la
ecuaci+n caracter(stica de un proceso situadas en el lado derecho del plano s,
tami!n indica para el numero de ra(ces situadas en el e.e CD y en el lado derecho del
plano s#
Este criterio se utilia cuando el grado del polinomio de la &unci+n de trans&erencia
es de grado mayor a G#
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Metodolo"ia de aplicación del (riterio de Estabilidad )bsoluta o Rout5 6ur7itz
cuando las ra(ces del polinomio del denominador de la &unci+n de trans&erencia
tienen la &orma
1e requiere utiliar el criterio de Routh>HurIit#
el criterio estalece que si las ra(ces de la ecuaci+n caracter(stica o &unci+n de
trans&erencia estar%n en el semiplano iquierdo del plano s, si todos los elementos de
la primera columna son de igual signo#
/s( mismo el numero de camios de signo en los elementos de la primera columna
equi"ale al numero de ra(ces con parte real positi"a o en el semiplano derecho#
*or otro lado el criterio estalece que para que un sistema sea estale requiere que
no haya camios de signos en la primera columna#
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