“clave”-103-2-N-2-“00”-2012 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
CLAVE DE EXAMEN -Matemática Básica 2 - Código de curso: 103
Datos de la clave: Datos del examen: Elaborada por: Segundo Examen Parcial Margiovi Rosmery Sandoval Márquez Segundo semestre, 2012 Revisado por: Jornada Nocturna Ing. Alberto Boy Horario: 19:00 – 20:40
Fecha: 22/10/2012
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA MATEMATICA BASICA 2 FACULTAD DE INGENIERIA SEGUNDO EXAMEN PARCIAL DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
TEMARIO R
Lea cuidadosamente y resuelva los problemas inicie por el mas fácil, no usar equipos de comunicación TEMA No. 1 (20 puntos) Una escalera de 60’ apoyada sobre un talud que forma 80° con la horizontal, se empuja acercándose al talud a 1.4 p/s.
a) Rapidez del otro extremo, cuando la base de la escalera esta a 20’ del talud. b) Rapidez con que cambia el ángulo entre la escalera y el talud.
TEMA No. 2 (40 puntos)
a) 𝑒2𝑋7
3𝑋4+33 𝑑𝑥
b) b) 8 sec 𝑡 𝑑𝑡 c) lim𝑥→0+(𝑠𝑒𝑛𝑋)𝑡𝑎𝑛𝑋
TEMA No. 3 (20 puntos) Encuentre las dimensiones del triangulo isósceles de área máxima que se puede inscribir en un circulo de radio R. TEMA No. 4 (15 puntos) Describir si la función es creciente, decreciente, máximo, mínimos, concavidades, puntos de inflexión, y grafica de la curva. 𝒇 𝒙 = 𝟑𝑿𝟒 − 𝟏𝟔𝑿𝟑 + 𝟏𝟖𝑿𝟐 TEMA No. 5 (15 puntos) Encuentre la raíz de la ecuación 𝒄𝒐𝒔𝑿 − 𝑿 = 𝟎 con 6 cifras decimales.
SOLUCION:
TEMA No. 1
a) Rapidez del otro extremo, cuando la base de la escalera esta a 20’ del talud. Para establecer la relación entre “x “ y “y” se utiliza la ley de cosenos. 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 −𝟐𝒃𝒄𝒄𝒐𝒔𝜽°. Donde “abc” las longitudes del triangulo ABC y 𝜃 es el ángulo. Sustituyendo: 602 = 𝑋2 + 𝑌2 − 2𝑋𝑌𝑐𝑜𝑠100° Derivando con respecto a 𝑡
0 = 2𝑋𝑑𝑥
𝑑𝑡+ 2𝑌
𝑑𝑦
𝑑𝑡+ 0.347(
𝑑𝑥
𝑑𝑡 𝑌 +
𝑑𝑦
𝑑𝑡 𝑋 )
Simplificando:
−2𝑋𝑑𝑥
𝑑𝑡− 0.347(𝑌)
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 2𝑌
𝑑𝑦
𝑑𝑡+ 0.347(𝑋)
𝑑𝑦
𝑑𝑡
−2𝑋𝑑𝑥
𝑑𝑡− 0.347𝑌
𝑑𝑥
𝑑𝑡= (2𝑌 + 0.347𝑋)
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡=
−2𝑋𝑑𝑥𝑑𝑡
− 0.347𝑌𝑑𝑥𝑑𝑡
(2𝑌 + 0.347𝑋)
Cuando:
X= 20’ 𝑑𝑥
𝑑𝑡= 1.4𝑝/𝑠 602 − (20)2 = +𝑌2 − 2(20)𝑌𝑐𝑜𝑠100°
3200 = 𝑌2 + 6.94𝑌 𝑑𝑦
𝑑𝑡=
−2 20𝑝𝑖𝑒𝑠 (1.4𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔) − 0.347(53.20)(1.4 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔)
(2(53.20𝑝𝑖𝑒𝑠) + 0.347(20𝑝𝑖𝑒𝑠))= −0.72𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔
80° 𝜃 =100°
a=60’
Y
X 𝑑𝑥
𝑑𝑡= 1.4𝑃/𝑆
α
Y=-60.14 Y=53.20
A C
B
b) Rapidez con que cambia el ángulo entre la escalera y el talud. Para establecer la rapidez con la que cambia el ángulo que forman la escalera y el talud, se
utiliza la ley de Senos. 𝒔𝒆𝒏𝜶
𝒃=
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒂 Donde 𝜃 𝑦 𝛼 son los ángulos del triangulo ABC, b y a los
lados opuestos a esos ángulos.
Ecuación: 𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑋=
𝑠𝑒𝑛100°
60
Derivando la ecuación para encontrar la rapidez con la que cambia el ángulo entre la
escalera y el talud, es decir 𝑑𝛼
𝑑𝑡 .
𝑠𝑒𝑛𝛼 =𝑠𝑒𝑛100°
60(𝑋)
𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑑𝛼
𝑑𝑡=
𝑠𝑒𝑛100°
60 𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝛼
𝑑𝑡=
𝑠𝑒𝑛100°60
𝑐𝑜𝑠𝛼 1
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝛼
𝑑𝑡=
𝑠𝑒𝑛100°
60𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑑𝑥
𝑑𝑡
Cuando:
X=20’ 𝑑𝑥
𝑑𝑡= 1.4𝑝/𝑠 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−1
𝑠𝑒𝑛100
60𝑋 = 19.16°
𝑑𝛼
𝑑𝑡=
𝑠𝑒𝑛100
60𝑝𝑖𝑒𝑠 cos(19.16°) (1.4𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔) = 0.024
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔
𝑑𝑦
𝑑𝑡= −0.72𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔
𝑑𝛼
𝑑𝑡= 0.024
°
𝑠𝑒𝑔
TEMA No. 2
a) 𝑒2𝑋7
3𝑋4+33 𝑑𝑥
𝑒2𝑋7
3𝑋4+33 𝑑𝑥 𝑒2
𝑋7
3𝑋4+33 𝑑𝑥
Sustituyendo: 𝑒2 𝑋7
𝑢1/3(
𝑑𝑢
12𝑋3)
Simplificando:
𝑒2
12
𝑋4
𝑢1/3 𝑑𝑢 = 𝑒2
12
𝑢−3
3
𝑢1/3 𝑑𝑢 =𝑒2
12
𝑢−3
3(𝑢1/3) 𝑑𝑢=
𝑒2
36
𝑢−3
(𝑢1/3) 𝑑𝑢
𝑒2
36 (𝑢 − 3)(𝑢−1/3) =
𝑒2
36 (𝑢2/3 − 3𝑢−1/3) 𝑑𝑢
Integrando: 𝑒2
36[
3
5𝑢5/3 − 3(
3
2𝑢2/3)] =
𝑒2
36 [
3
5𝑢5/3 −
9
2𝑢2/3] + 𝐶
Sustuir para dejar en términos de "𝑥"
b) 8 sec 𝑡 𝑑𝑡
Esta integral tiene una solución ya establecida, para comprobarla es necesario
usar identidades y así reducirla hasta una expresión conocida que si se pueda
integrar:
PRIMER PASO: Multiplicar el numerador y denominador por sec 𝑡 + tan 𝑡
8 sec 𝑡 𝑑𝑡 = 8 sec 𝑡 (sec 𝑡 + tan 𝑡
sec 𝑡 + tan 𝑡 )𝑑𝑡 =8
sec 2 𝑡 + sec 𝑡 . tan 𝑡
sec 𝑡 + tan 𝑡 𝑑𝑡
𝑢 = 3𝑋4 + 3 𝑑𝑢 = 12𝑋3𝑑𝑥
𝑑𝑢
12𝑋3= 𝑑𝑥
𝑢 − 3
3= 𝑋4
𝑒2
36 [
3
5(3𝑋
4+ 3)
5/3−
9
2(3𝑋
4+ 3)
2/3] + 𝑐
SEGUNDO PASO: sustituir en la integral
8 sec 2 𝑡 + sec 𝑡 tan 𝑡
sec 𝑡 + tan 𝑡 𝑑𝑡 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 8
𝑑𝑢
𝑢
Integrando 8 1
𝑢𝑑𝑢 = 8ln 𝑢 + 𝐶
TERCER PASO: Sustituir para dejar en términos de "𝑡"
8 sec 𝑡 𝑑𝑡 = 8(ln 𝑢 + 𝐶)
8 sec 𝑡 𝑑𝑡 = 8( ln sec 𝑡 + tan 𝑡 + 𝐶)
c) Lim𝑥→0+(𝑠𝑒𝑛𝑋)𝑡𝑎𝑛𝑋
Sea 𝑌 = (𝑠𝑒𝑛𝑋)𝑡𝑎𝑛𝑋 𝐿𝑛𝑌 = 𝐿𝑛(𝑠𝑒𝑛𝑋)𝑡𝑎𝑛𝑋 𝐿𝑛𝑌 = 𝑡𝑎𝑛𝑋(𝐿𝑛𝑠𝑒𝑛𝑋)
𝐿𝑛𝑌 =𝐿𝑛𝑠𝑒𝑛𝑋
1𝑡𝑎𝑛𝑋
Lim𝑥→0+
𝐿𝑛𝑌 = Lim𝑥→0+
(𝐿𝑛𝑠𝑒𝑛𝑋
1𝑡𝑎𝑛𝑋
) =𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 ∞
𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 ∞𝑠𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐿′𝑜𝑠𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
Lim𝑥→0+
𝐿𝑛𝑌 = Lim𝑥→0+
(
1𝑠𝑒𝑛𝑋 . 𝑐𝑜𝑠𝑋
− 𝑡𝑎𝑛𝑋 −2. 𝑠𝑒𝑐2)
𝑢 = sec 𝑡+ tan 𝑡 𝑑𝑢 = (sec 𝑡 tan 𝑡 + sec2 𝑡)𝑑𝑡
8 sec 𝑡 𝑑𝑡 = 8 ln sec 𝑡 + tan 𝑡 + 𝐶
Lim𝑥→0+
𝐿𝑛𝑌 = Lim𝑥→0+
−(
𝑐𝑜𝑠𝑋𝑠𝑒𝑛𝑋𝑠𝑒𝑐2
𝑡𝑎𝑛2𝑋
)
Lim𝑥→0+
𝐿𝑛𝑌 = Lim𝑥→0+
−(
𝑐𝑜𝑠𝑋𝑠𝑒𝑛𝑋
𝑐𝑜𝑠2𝑋𝑠𝑒𝑛2𝑋
.1
𝑐𝑜𝑠2𝑋
)
Lim𝑥→0+
𝐿𝑛𝑌 = Lim𝑥→0+
−(
𝑐𝑜𝑠𝑋𝑠𝑒𝑛𝑋
1𝑠𝑒𝑛2𝑋
.)
Lim𝑥→0+
𝐿𝑛𝑌 = Lim𝑥→0+
−(𝑐𝑜𝑠𝑋. 𝑠𝑒𝑛2𝑋
𝑠𝑒𝑛𝑋.)
Lim𝑥→0+ 𝐿𝑛𝑌 = Lim𝑥→0+ −𝑐𝑜𝑠𝑋𝑠𝑒𝑛𝑋 =0
Lim𝑥→0+
𝐿𝑛𝑌 = 0
Se ha calculado el límite de 𝐿𝑛𝑌, pero se busca el límite de Y. para ello se aplica 𝑌 = 𝑒𝐿𝑛𝑌 de manera que:
Lim𝑥→0+
(𝑠𝑒𝑛𝑋)𝑡𝑎𝑛𝑋 = Lim𝑥→0+
𝑌 = Lim𝑥→0+
𝑒𝐿𝑛𝑌 = 𝑒𝑜 = 1
Lim𝑥→0+
(𝑠𝑒𝑛𝑋)𝑡𝑎𝑛𝑋 = 1
TEMA No. 3 Sea un circulo de radio “𝑟” y un triangulo isósceles con base "2𝑥" Y altura "". Para establecer la relación entre la altura, el radio y la base del triangulo, se utiliza el teorema de Pitágoras, por formarse un triangulo rectángulo entre ellos.
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 Ecuación: 𝑟2 = ( − 𝑟)2 + 𝑥2 Simplificando: 𝑥2 = 𝑟2 − ( − 𝑟)2 𝑥2 = 𝑟2 − (2 − 2𝑟 + 𝑟2) 𝑥2 = 𝑟2 − 2 + 2𝑟 − 𝑟2 𝑥2 = 2𝑟 − 2
𝑥 = (2𝑟 − 2) Para establecer las dimensiones máximas del triangulo isósceles que se puede inscribir
en el circulo se utiliza la ecuación del área del triangulo 𝑨 =𝟏
𝟐𝒃𝒉 . Donde "𝑏" 𝑦 "” son
los lados del triangulo (base y altura).
Ecuación: 𝐴 =1
2 2𝑥
𝐴 = 𝑥 Derivando la ecuación e igualando a cero la derivada para encontrar las máximas dimensiones del triangulo se obtiene:
r
2x
h
x
h-r
𝑑𝐴
𝑑= [ 1 2𝑟 − 2 ] + [ (1/2(2𝑟 − 2)−
12)(2𝑟 − 2)]
𝑑𝐴
𝑑= [ 2𝑟 − 2 ] +
[ (2𝑟 − 2)]
(2( 2𝑟 − 2)
𝑑𝐴
𝑑= [ 2𝑟 − 2 ] +
2(𝑟 − 2)
2( 2𝑟 − 2)
𝑑𝐴
𝑑= [ 2𝑟 − 2 ] +
(𝑟 − 2)
( 2𝑟 − 2)
𝑑𝐴
𝑑=
[ 2𝑟 − 2 ]2 + (𝑟 − 2)
2𝑟 − 2
𝑑𝐴
𝑑=
2𝑟 − 2 + (𝑟 − 2)
2𝑟 − 2
𝑑𝐴
𝑑=
2𝑟 − 2 + 𝑟 − 2
2𝑟 − 2
𝑑𝐴
𝑑=
3𝑟 − 22
2𝑟 − 2
Igualando a Cero:
0 =3𝑟 − 22
2𝑟 − 2
0 = 3𝑟 − 22 0 = (3𝑟 − 2) 0 = (3𝑟 − 2)
=3
2𝑟
Si 𝑥 = (2𝑟 − 2) entonces:
𝑥 = (2(3
2𝑟)𝑟 − (
3
2𝑟)2
𝑥 = (3𝑟2 −9
4𝑟2
𝑥 = 3
4𝑟2
𝑥 = 3
2𝑟
Si la base del triangulo es 2𝑥 y su altura, entonces las dimensiones máximas del triangulo inscrito en el círculo son:
𝑥 = 3
2𝑟 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 2𝑥
𝑏𝑎𝑠𝑒 = 2( 3
2𝑟)
𝑏𝑎𝑠𝑒 = 3𝑟
=3
2𝑟 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 =
3
2𝑟
𝑏𝑎𝑠𝑒 = 3𝑟
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 =3
2𝑟
TEMA No. 4 (15 puntos) 𝑓 𝑥 = 3𝑋4 − 16𝑋3 + 18𝑋2
𝑓′ 𝑥 = 12𝑋3 − 48𝑋2 + 36𝑋 12𝑋3 − 48𝑋2 + 36𝑋= 0 12𝑋(𝑋2 − 4𝑋 + 3)=0
𝑓′′ 𝑥 = 36𝑋2 − 96𝑋 + 36 36𝑋2 − 96𝑋 + 36 = 0 Prueba creciente/decreciente: Si 𝑓 ′(𝑥)𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜, 𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜. Si 𝑓 ′(𝑥)𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜, 𝑓 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜. Prueba de la primera derivada:
Si𝑓 ′(𝑥) 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 + 𝑎 – 𝑒𝑛 𝐶, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑒𝑛 "𝐶"
𝑓 ′(𝑥) 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 − 𝑎 + 𝑒𝑛 𝐶, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑒𝑛 "𝐶" 𝑓 ′(𝑥)𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑒𝑛 𝐶, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑛𝑖 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑒𝑛 "𝐶" Prueba de la concavidad: 𝑠𝑖 𝑓 ′′ 𝑥 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 X𝑒𝑛 𝐼, entonces la grafica es cóncava hacia arriba en el intervalo 𝑓 ′′ 𝑥 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 X𝑒𝑛 𝐼, entonces la grafica es cóncava hacia abajo en el intervalo Existe un punto de inflexión si f es cóncava allí y la curva cambia de cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo o viceversa.
o INTERVALO
F(x) conclusión F’(x) conclusión F’’(x) Conclusión
(-∞,0) + Creciente + Cóncava hacia arriba
X=0 0 0 + Cóncava hacia arriba
(0,0.45) + Creciente + Cóncava hacia arriba
X=0.45 2.3100 Pto inflexión + Creciente 0
(0.45,1) + Creciente - Cóncava hacia abajo
X=1 5 Max. local 0 - Cóncava hacia abajo
(1,2.22) - Decreciente - Cóncava hacia abajo
X=2.22 -13.47 Pto inflexión - Decreciente 0
(2.22,3) - Decreciente + Cóncava hacia arriba
X=3 -27 Min local 0 + Cóncava hacia arriba
(3, ∞) + creciente + Cóncava hacia arriba
X=0 X=3 X=1
X=2.2152 X=0.4514
TEMA No. 5
Por el método de Newton: 𝑐𝑜𝑠 𝑋 − 𝑋 = 0 𝑋𝑛 = 1 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑋 − 𝑋
𝑓 ′ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑋 − 1 𝑓 0 = cos(0) − 0=1
𝑓 1 = cos 1 − 1 = −0.4596 ITERACION No. 1
𝑋𝑛+1 = 𝑋𝑛 −𝑓(𝑋)
𝑓 ′(𝑋)
𝑋𝑛+1 = 𝑋𝑛 −𝑐𝑜𝑠𝑋 − 𝑋
−𝑠𝑒𝑛𝑋 − 1
Si 𝑋1 = 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑋𝑛+1 = 1 −𝑓(1)
𝑓 ′(1)
𝑋𝑛+1 = 1 −𝑐𝑜𝑠1 − 1
−𝑠𝑒𝑛1 − 1
𝑋𝑛+1 = 0.750336
Función f(x) : cos(x)-x
Punto inicial (Po) : 1.000000
Tolerancia (tol) : 0.00000001
Numero de Iteraciones: 25.000000
n Xn Xn+1 Error 1 1.000000 0.750361 0.249639 2 0.750361 0.739113 0.011249 3 0.739113 0.739085 0.000028 4 0.739085 0.739085 0.000000
La raíz se encontró en la 4 iteración, con un valor de 0.739085133215161