Cálculo III

Integral dupla

Prof. Adriano Barbosa

Integral dupla:

Se , o volume do sólido acima da região R e abaixo gráfico da funçãoé dado por:

Exemplo: Estime a área do sólido acima da região R e abaixo do gráfico da função abaixo

Exemplo: Estime a área do sólido acima da região R e abaixo do gráfico da função abaixo

Exemplo: Estime a área do sólido acima da região R e abaixo do gráfico da função abaixo

Exemplo: Estime a área do sólido acima da região R e abaixo do gráfico da função abaixo

Exemplo:

Exemplo:

Exemplo:

Propriedades

Integral Iterada

Integral Iterada

Integral Iterada

Integral Iterada

Integral Iterada

Integral Iterada

Integral Iterada

Integral Iterada

Integral Iterada

Integral Iterada

Integral Iterada

Integral Iterada

Integral Iterada

Analogamente

Exemplo:

Exemplo:

Exemplo:

Teorema de Fubini: Se f é contínua em , então

Exemplo:

Exemplo:

Exemplo:

Exemplo:

Exemplo:

Exemplo:

Exemplo:

Exemplo:

Solução alternativa:

Solução alternativa:

Suponha

Suponha

Suponha

Suponha

Exemplo: