UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

CONTROL ANALOGICO

I fase colaborativo

SERGIO DAVID MARTINEZ

MIGUEL ANTONIO REDONDO

Tutor:

FABIAN BOLIVAR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

II SEMESTRE DE 2015

SEPTIEMBRE

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CONTENIDO

INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 3

OBJETIVOS ............................................................................................................ 4

MARCO TEORICO .................................................................................................. 5

LLUVIA DE IDEAS: .............................................................................................. 5

TEOREMA DE ROUTH–HÜRWITZ ........................................................................ 7

DESARROLLO DE LA GUIA ................................................................................... 8

CONCLUSIONES .................................................................................................. 14

BIBLIOGRAFÍAS. .................................................................................................. 15

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INTRODUCCIÓN

La necesidad de resolver problemas y mejorar la calidad de los productos

tecnológicos en el mercado no has llevado a interactuar con programas y adquirir

conocimientos previos por medio de la practica pruebas de acierto y error con

ayuda de conceptos básicos, programas de simulación y modelamientos

matemáticos se nos a encomendado resolver un problema en un reproductores

DVD y Blu-Ray fabricados por una multinacional que monto un punto de fábrica

acá en Colombia, el problemas consiste en el funcionamiento de los motores de

corriente continua (DC) usados para implementar el mecanismo que hace girar los

discos ópticos en los reproductores, ya que giran a velocidades diferentes a las

establecidas por la empresa para el correcto funcionamiento de los reproductores

o cambian constantemente de velocidad. La idea principal es corregir este error.

Este proyecto se divide en tres etapas en esta ocasión nos ocuparemos. En la

etapa 1, en la cual se deberá analizar la dinámica del sistema, graficar el lugar

geométrico de las raíces, determinar su estabilidad absoluta, controlabilidad y

observabilidad.

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OBJETIVOS

Para resolver el problema, se ha dividido éste en tres etapas:

En la etapa 1, se deberá analizar la dinámica del sistema, graficar el lugar

geométrico de las raíces, determinar su estabilidad absoluta, controlabilidad

y observabilidad.

En la etapa 2, se deberá analizar la respuesta en frecuencia del sistema,

diseñar el controlador que permita que el sistema cumpla con las

especificaciones requeridas y simularlo para verificar los resultados.

En la etapa 3, se elaborará un documento de presentación donde se

resuma todo el proceso y se muestren los resultados obtenidos. De igual

forma, se hará un video que describa todas las etapas del proceso como

proyecto final del curso.

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MARCO TEORICO

LLUVIA DE IDEAS:

1. ¿Cuál es el objetivo de estudiar la dinámica del sistema planteado?

Nuestro objetivo al estudiar la teoría de Routh-Hurwits, y desarrollar la actividad propuesta nos ayudara con mucha practicidad en el conocimiento del control analógico y su aplicación en nuestra vida cotidiana y los equipos que utilizamos en ella.

2. ¿Cómo funciona internamente un motor de DC? ¿Conozco su estructura?

Según la ley de Fuerza simplificada, cuando un conductor por el que pasa una corriente eléctrica es inquietado en un campo magnético, el conductor sufre una fuerza perpendicular plano formado un campo magnético y la corriente. Sin dejar de recordar que para un generador que se usara la regla de la mano derecha, se debera que un motor se usará la regla de la mano izquierda para calcular el sentido de la fuerza.

Este está compuesto de un estator que contiene dos devanados principales y un rotor que cambia de sentido dependiendo de la polaridad de los polos o devanados del estator.

3. ¿El voltaje de alimentación del motor debe ser continuo o variable?

Para algunas aplicaciones los motores DC trabajan con corriente continua la cual puede ser suministrada con pilas o baterías. Pero para otras un poco más complejas donde se debe variar la velocidad se alimenta con una fuente de voltaje variable como un transformador o corriente alterna para casos a nivel industrial.

4. ¿Qué significa en la práctica, aplicar una señal escalón unitario al motor?

Al hablar de una señal escalón unitario, hablamos de una señal de la cual la amplitud es igual a 1 dependiendo del valor de la función deseado y que simula un voltaje DC en la misma cantidad.

5. ¿Qué información me entrega el criterio de Routh-Hurwitz?

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El teorema proporciona un criterio capaz de determinar en cuál semiplano (izquierdo o derecho) del plano complejo donde están localizadas las raíces del denominador de la función de transferencia de un sistema; y en consecuencia, conocer si dicho sistema es estable o no.

6. ¿Qué información me entrega el lugar geométrico de las raíces de un sistema?

Dependiendo de donde se grafique geométricamente las raíces se conocerá que tan estable es una función “para asegurar que un sistema dinámico lineal sea estable, todos los polos de su función de transferencia deben estar en el semiplano izquierdo. Basta con que un polo esté en el semiplano derecho para que el sistema sea inestable. Si existe un polo en el eje imaginario, es decir, en la frontera entre los semiplanos derecho e izquierdo, se dice que el sistema es marginalmente estable”.

7. ¿Cuál o cuáles son las fórmulas para calcular la controlabilidad y observabilidad del sistema?

Controlabilidad es una propiedad importante de un sistema de control, y juega un papel crucial en muchos problemas de control, como la estabilización de sistemas inestables, o el control óptimo.

Consideremos el sistema de n estados y p entradas

Con las matrices constantes . Como la controlabilidad relaciona las entradas y los estados del sistema, la ecuación de salida es irrelevante. Observabilidad es una propiedad importante de un sistema de control, y gobierna la existencia de una solución de control óptimo. Es una medición que determina cómo los estados internos pueden ser inferidos a través de las salidas externas. El concepto de observabilidad es dual al de controlabilidad, e investiga la posibilidad de estimar el estado del sistema a partir del conocimiento de la salida. Consideramos el sistema lineal estacionario

8. ¿Qué parámetros de la respuesta del sistema debo tener en cuenta al analizar su comportamiento?

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A partir de las salidas de un sistema es posible conocer el comportamiento de todo el sistema. Cuando un sistema no es observable, quiere decir que los valores de salida y sus estados no pueden ser determinados mediante sensores de salida: esto implica que su valor sea desconocido para el controlador implicando no ser capaz de satisfacer las especificaciones de control referidas a estas salidas.

A continuación se presentaran una serie de definiciones que son necesarias para

entender el desarrollo de los problemas propuestos en la guía.

TEOREMA DE ROUTH–HÜRWITZ

El teorema de Routh–Hürwitz sirve para analizar la estabilidad de los sistemas

dinámicos.

Básicamente, el teorema proporciona un criterio capaz de determinar en cuál

semiplano (izquierdo o derecho) del plano complejo están localizadas las raíces

del denominador de la función de transferencia de un sistema; y en consecuencia,

conocer si dicho sistema es estable o no. Si tras aplicar el criterio nos da como

resultado que todos los polos están en el semiplano izquierdo, el sistema es

estable, y si hay un mínimo de un polo en el semiplano derecho, el sistema es

inestable.

El criterio se refiere a la función de transferencia en lazo cerrado del sistema. Para

aplicar el criterio a un sistema descrito por su función de transferencia en lazo

abierto, hay que incluir la realimentación haciendo: 1

El criterio de Routh-Hurwitz también se utiliza para el trazado del lugar de las

raíces. En este caso, dicho procedimiento de análisis estudia la función de

transferencia del sistema en bucle abierto 1+K·Gba(s)=0 (siendo K la ganancia

variable del sistema). Su objetivo es determinar los puntos de corte del LdR con el

eje imaginario. Dichos puntos marcan el límite de estabilidad del sistema, dicho en

otras palabras, determinan el límite en el que los polos del sistema en bucle

cerrado pasan al semiplano derecho complejo y por lo tanto el sistema se vuelve

inestable. Como es evidente, tras la aplicación del criterio de Routh-Hurwitz, los

resultados obtenidos quedarán en función de la ganancia K, lo cual nos indicará a

partir de qué valores de K el sistema pasará de estable a inestable (ganancia K

límite).

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DESARROLLO DE LA GUIA

DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA:

Una empresa multinacional reconocida dedicada a la fabricación de reproductores

DVD y Blu-Ray montó un punto de fábrica en Colombia, cumpliendo con los

estándares de calidad necesarios en la producción de dichos electrodomésticos.

Sin embargo, desde hace un tiempo se han venido presentando problemas en el

funcionamiento de los motores de corriente continua (DC) usados para

implementar el mecanismo que hace girar los discos ópticos en los reproductores,

ya que giran a velocidades diferentes a las establecidas por la empresa para el

correcto funcionamiento de los reproductores o cambian constantemente de

velocidad.

Para corregir este problema, la empresa ha decidido incorporar módulos

controladores en las tarjetas principales de los reproductores. Por tal razón, ha

decidido contratar a un grupo de estudiantes de Ingeniería Electrónica de la

Universidad Nacional Abierta y a Distancia para que diseñe un prototipo de

controlador que permita mantener el motor DC girando a una velocidad constante

para que la lectura del disco óptico sea óptima. Se debe garantizar igualmente un

funcionamiento aceptable del controlador ante perturbaciones que se puedan

presentar por fallas eléctricas o señales parásitas en el sistema.

La empresa solicita al grupo de estudiantes que se entregue la función de

transferencia del controlador, con las respectivas simulaciones que demuestren

que dicho controlador cumple con los parámetros del diseño propuesto, además

del proceso de diseño detallado descriptiva y matemáticamente.

Según especificaciones técnicas de los motores, su función de transferencia es:

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Como requisitos de diseño se necesita que la velocidad del motor una vez

implementado el módulo no difiera en más del 20% del valor requerido; además, el

motor debe estabilizarse en máximo 2 segundos y debido a que velocidades altas

del eje del motor pueden dañarlo, se requiere un sobrepaso máximo del 10%.

Además, por las características del reproductor, se necesita que el sistema en lazo

cerrado tenga un coeficiente de amortiguamiento (ζ) de 0.6 a una frecuencia (ωn)

de 4 rad/seg.

1. Identificar el orden del sistema.

Al tener en el numerador una variable ‘s’ elevada a la potencia 2 se puede

asegurar que el sistema G(s) es de segundo orden.

2. Determinar la estabilidad absoluta del sistema usando el criterio de Routh-Hurwitzz

Ecuación característica

Criterio de Routh-Hurwitz

Para que el sistema sea estable se debe cumplir que

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Compruebo para

3. Analizar con base en la función de transferencia y una señal de prueba

escalón unitario, la dinámica del sistema. Identificar ganancia, constante de

tiempo, tiempo de subida, tiempo de asentamiento o establecimiento, sobre

impulso, atenuación, frecuencia natural no amortiguada, factor de

amortiguamiento relativo, frecuencia natural amortiguada, amortiguamiento

real, amortiguamiento crítico, tiempo pico, si el sistema es sub amortiguado,

críticamente amortiguado o sobre amortiguado, elaborar gráficas con la

respuesta, etc.…. Todo depende del orden del sistema, por lo que es

importante que el grupo tenga claro este aspecto y la señal de prueba a

utilizar.

Si el grupo desea, puede agregar a la respuesta escalón, la respuesta a una

rampa o impulso.

Donde K representa la ganancia estática.

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Frecuencia Natural

Factor de amortiguación

Esto representa un sistema sobre-amortiguado.

Atenuación

Frecuencia natural amortiguada

Angulo

Tiempo de subida

Tiempo pico

Sobre amortiguación máxima

Sobre elongación máxima es del 25,3%

Tiempo de asentamiento 5%

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Tiempo de asentamiento 2%

4. Construir, interpretar y analizar el lugar geométrico de las raíces del sistema.

Con la herramienta MATLAB se pueden observar de mejor manera el lugar

geométrico de las raíces.

5. Representar el sistema en espacio de estados

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Para sacar las ecuaciones de estado del motor DC a partir de la función de

transferencia se debe hacer lo siguiente.

Sean

Las ecuaciones de estado del motor son

6. Analizar controlabilidad y observabilidad del sistema.

La matriz de controlabilidad queda de la siguiente forma y n=2.

Dado que el rango de la matriz S es 2 el sistema es parcialmente controlable.

Matriz de observabilidad

El rango de la matriz M de observabilidad es 2 por lo tanto el sistema es

observable.

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CONCLUSIONES

Fue posible establecer que al tener una función de transferencia debemos

hacer un análisis completo para determinar cómo poder trabajar con ella, en primera medida identificar el orden a que pertenece, luego su estabilidad, posteriormente la razón de amortiguamiento nos mostrara el comportamiento del sistema.

Los programas de simulación son muy útiles a la hora de precisar ciertos

parámetros, pero si nos acostumbramos a ellos perderemos la esencia que nos deja la teoría en el conocimiento de las cosas, es recomendable tratar de hacer las cosas a mano para no perder la práctica.

Finamente se pudo conocer que las señales de prueba nos arrojan también

bastante información, no solo podemos tener una gráfica, a esa grafica la debemos analizar y con ello saber el comportamiento del sistema y los parámetros

El diseño de sistemas de control es muy importante para la mejora de los

tiempos de ejecución y las respuestas de las plantas industriales.

El análisis y diseño de sistemas de control es básico para la aplicación del

método ingenieril en los procesos industriales.

Iniciamos el proceso de modelamiento usando la aplicación Matlab.

Se logró interactuar con los compañeros del aula logrando aclarar los

conceptos más relevantes de los temas tratados en el presente trabajo.

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BIBLIOGRAFÍAS.

[3] Tema 3. Análisis de La Respuesta de Sistemas en Tiempo Continuo. Recuperado el 25 de septiembre de 2015 de: http://www.isa.uma.es/C11/Ingenier%C3%ADa%20de%20Sistemas/Document%20Library/Tema3.pdf [4] Matlab. Recuperado el 25 de septiembre de: http://www.eis.uva.es/~eduzal/icontrol/matlab.pdf [5] Lugar Geométrico de las Raíces. Recuperado el 26 de septiembre de: http://ingenieria.udea.edu.co/~evelilla/ARCHIVOS/LGR.pdf [6] Lugar de las Raíces. Recuperado el 18 de septiembre de: https://www.youtube.com/watch?v=Num-m-KnPjU