Tema 1.3. Filtrado en el dominio frecuencial
Compresión de Vídeo
Juan A. Michell Mar>n Gustavo A. Ruiz Robredo
Departamento de Electrónica y Computadores
Este tema se publica bajo Licencia: Crea9ve Commons BY-‐NC-‐SA 4.0
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación 2Ejemplo 1
TransformadaDirecta
TransformadaInversa
FiltroFrecuencial
F(u,v)f(x,y)
G(u,v)g(x,y)
DOMINIO ESPACIAL DOMINIO FRECUENCIAL
Imagen deEntrada
Imagen deSalida
H(u,v)
FILTRADO EN EL DOMINIO FRECUENCIAL
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
1. Transformación de la imagen f : Transformada Discreta deFourier (2D-DFT) de f.
2. Selección del tipo de filtro H en el dominio de la frecuencia yespecificación de sus características.
3. Filtrado de la transformada F con H: Cálculo de latransformada filtrada G.
3. Generación de la Imagen filtrada g: Transformada Discretade Fourier Inversa (2D-IDFT) de G.
3
Secuencia de operaciones
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación 4Ejemplo 1
-1-0.5
00.5
1
-1-0.5
0
0.510
0.2
0.4
0.6
0.8
1
FxFy
Mag
nitu
de
1/9 1/9 1/9
1/9 1/9 1/9
1/9 1/9 1/9
Dominio en el espacio
Dominio en la frecuencia
Filtro de desenfoque (average)
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación Ejemplo 2
Dominio en el espacio
Dominio en la frecuencia
0 -1 0
-1 5 -1
0 -1 0
-1-0.5
00.5
1
-1-0.5
0
0.510
2
4
6
8
10
FxFy
Mag
nitu
de
5
Filtro de enfoque (Laplaciano)
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
f(x,y): Imagen M×NF(u,v): Transformada de Fourier de f(x,y)F(0,0): Componente DC de la Transformada
( ) ( )1 1 2
0 0
0 1 1 0 1 1
ux vyM N jM N
x yF u,v f x , y e
u , , ... M , v , , ... N
π − − − +
= =
= ⋅
= − = −
∑∑
F(u,v)f(x,y)
Dominio del espacio
Dominio de la frecuencia
6
TRANSFORMADA DE FOURIER 2D
2-D DFT
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
( ) ( )1 1 2
0 0
1, ,
0, 1, ... 1 , 0, 1, ... 1
ux vyM N jM N
u vf x y F u v e
M Nx M y N
π − − +
= =
= ⋅×
= − = −
∑∑
F(u,v) f(x,y)
Dominio del espacio
Dominio de la frecuencia
7
TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER 2D
2-D IDFT
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
La 2D-DFT de una imagen es un array 2D de númeroscomplejos de igual tamaño que la imagen.
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )
, R , I ,
, Real ,
, Imag ,
F u v u v j u v
R u v F u v
I u v F u v
= +
=
=
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )1
, ,
, ,
, ,
f x y F u v
F u v f x y
f x y F u v−
⇔
= ℑ
= ℑ
8
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
( ) ( ) ( )1
2 2 2, , ,F u v R u v I u v = +
( ) ( )( )
,, arctan
,I u v
u vR u v
φ
=
Espectro de Fourier:
Ángulo de fase de la transformada:
( ) ( ) 2, ,P u v F u v=
Espectro de Potencia:
9
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
F=fft2(f)2D-DFT of f; F es un array complejo del mismo tamaño que f.
f=ifft2(F)2D-IDFT of F; f es un array complejo del mismo tamaño que F.
fftshift(F)Reagrupa la DFT moviendo la componente de DC hacia el centro del array.
ifftshift(G)Intercambia el primer cuadrante de un array con el tercero y el segundo con el cuarto.
2D-DFT en MATLAB:
10
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
F
f
F’
f F
Ejemplo 3
IDÉNTICAS
Imagen Original
Imagen recuperada
11
fft2(f) fftshift(F)
ifftshift(F’)ifft2(F)
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
f1>f2>f3 >f4
DC
Distribución de las frecuencias de la FFT
Valor absoluto delespectro centrado
f1>f2>f3 >f4DC
Valor absoluto delespectro sin centrado
12
fftshift()
ifftshift()
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
Lenna 512×512
Espectro Centrado(Vista Imagen) Espectro Centrado (Vista 3D)
Ejemplo 4 13
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
( )( )
1 1 2 2
1 2 1 2
11 2 1 2
,f F f F
a f b f a F b F
a f b f a F b F−
⇔ ⇔
ℑ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ = ℑ ⋅ + ⋅
( )( ) ( )( ) ( )
* , ,, real
, ,
F u v F u vf x y
F u v F u v
= − −⇒ = − −
( ) ( )1, = 0,0f x y FM N×
14
Linealidad:
Simetría:
Valor medio:
Ejemplo 5
TRANSFORMADA DE FOURIER: PROPIEDADES
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
, , M N , M, N
, , M N , M, N
f x y F u v F u v
F x y f x y F x y
× ⇒ = + +
× ⇒ = + +
Periodicidad:
Teorema de Convolución:
( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,f x y F u v h x y H u v⇔ ⇔
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
, , , ,
, , , ,
f x y h x y F u v H u v
f x y h x y F u v H u v
∗ ⇔ ⋅
⋅ ⇔ ∗
15
Convolución correlación
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
( ) ( )( )
2 20
2 20
0
1 , si ,,
0 , si ,
0 : ( )
I
D u v u v DH u v
D u v u v D
D frecuencia radio de corte
= + ≤= = + >
≥
LPF IdealDo=50M=512, N=512Vista Superior
1
0
16
FILTROS DE PASO BAJO: LPF IDEAL
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
Do=50M=512N=512Vista 3D
Ejemplo 6 17
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
( ) ( ) ( )2 2
0
0
, 2
0
, ; , 0.607
0 :
D u v DG G D D
H u v e H u v
D equivalente a frecuencia de corte
−
== =
≥
LPF GaussianoDo=50M=512, N=512Vista Superior
1
0
18
FILTROS DE PASO BAJO: LPF GAUSSIANO
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
Do=50M=512N=512Vista 3D
Ejemplo 7 19
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
( )( )
( )0
2
0
0
1, ; , 0.51 ,
0 :
B Gn D DH u v H u v
D u v D
D equivalente a frecuencia de corte
== =
+ ≥
LPF ButterworthDo=50, n=4M=512, N=512Vista Superior
1
0
20
FILTROS DE PASO BAJO: LPF BUTTERWORTH
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
Do=50M=512N=512Vista 3D
21Ejemplo 8
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación 22
f(x,y)
g(x,y)
DOMINIO ESPACIAL DOMINIO FRECUENCIAL
Imagen deEntrada
Imagen deSalida
H(u,v)
fft2(f) fftshift(F)F(u,v)
G’(u,v)
ifftshift(G’)G(u,v)ifft2(G)
F’(u,v)
PASOS PARA EL FILTRADO EN EL DOMINIO DE LA FREQUENCIA
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación 23
fft2()
fftshitf()
FILTRO IDEAL FILTRO GAUSS FILTRO BUTTERWORTH
ifftshitf()
ifft2()
PNSR
Step 1
Step 2
Step 3 Step 4
Step 5
Step 6Step 7
Step 8
Ejemplo 9: LPF, D0 = 50, n = 4
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
Imagen Original Salida LPF Ideal
Salida LPF Gaussiano Salida LPF Butterworth24
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
( ) ( )( )
2 20
2 20
0
0 , si ,,
1 , si ,
0 : ( )
I
D u v u v DH u v
D u v u v D
D frecuencia radio de corte
= + ≤= = + >
≥
HPF IdealDo=50M=512, N=512Vista Superior
1
0
25
FILTROS DE PASO ALTO: HPF IDEAL
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
Do=50M=512N=512Vista 3D
Ejemplo 10 26
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
( ) ( )2 20, 2
0
, 10 :
D u v DGH u v e
D equivalente a frecuencia de corte
−= −
≥
HPF GaussianoDo=50M=512, N=512Vista Superior
1
0
27
FILTROS DE PASO ALTO: HPF GAUSSIANO
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
Do=50M=512N=512Vista 3D
Ejemplo 11 28
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
( )( ) 2
0
0
1,1 ,
0 :
B nH u vD D u v
D equivalente a frecuencia de corte
= +
≥
HPF ButterworthDo=50, n=4M=512, N=512Vista Superior
1
0
29
FILTROS DE PASO ALTO: HPF BUTTERWORTH
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
Do=50M=512N=512Vista 3D
Ejemplo 12 30
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
HPF: Lenna 512×512, D0 = 50, n = 4
Imagen Original Salida HPF Ideal
Salida HPF Gaussiano Salida HPF Butterworth
Ejemplo 13 31
Compresión de videoGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
Énfasis en alta frecuencia
Imagen Original
HENF
Imagen resaltada
32
El proceso de énfasis (realce) en alta frecuencia permite mejorar lascomponentes de alta frecuencial de una imagen modificando el filtro paso alto
( ) ( ), , , 0,ENFH u v a bH u v a b a= + ≥ >
Imagen Filtrada(Componentes de HF)