Conjuntos i

I.E. Rosa Flores de la oliva

MATEMTICA

1er Ao de Secundaria

1

IDEA DE CONJUNTO

Se entiende por conjunto a una reunin, coleccin,

agrupacin, agregado o clase de integrantes bien definidos,

estos integrantes reciben el nombre de elementos.

Ejemplos:

- Conjunto de vocales

- Conjunto de alumnos de 1er ao

- Conjunto de nmeros pares

- Conjunto de gatos negros

NOTACIN DE UN CONJUNTO

Los conjuntos generalmente se nombran con letras

maysculas A, B, C, etc. y los elementos separados con

comas, punto y coma o bien indicando una propiedad comn

de ellos, encerrados entre llaves.

Ejemplos:

A = {a, e, i, o, u}

B = {2; 4; 6; 8; 10; 12}

C = {enero, marzo, abril, junio, julio}

DETERMINACIN DE CONJUNTOS

Existen dos formas de determinar un conjunto:

A. Por extensin: Cuando se nombra todos los

elementos que conforman el conjunto.

Ejemplo: L = {a, m, o, r}

H = {1; 3; 5; 7; 9}

B. Por comprensin: Cuando se menciona una o ms

caractersticas comunes a todos los elementos del

conjunto.

Ejemplo: L = {x/x es una letra de la palabra amor}

H = {x/x es un nmero impar menor de 10}

RELACIN DE PERTENENCIA

Se utiliza para vincular a un elemento con el conjunto

del cual forma parte o no; si un elemento est en un

conjunto, diremos que pertenece a dicho conjunto y lo

denotaremos por el smbolo , en el caso de no

pertenecer por .

Ejemplo:

Dado el conjunto: A = {2; 5; 7; 8}

2 A ; 5 A ; 4 A

CONJUNTOS ESPECIALES

A. Conjunto vaco o nulo: Es aquel conjunto que carece

de elementos y se denota por: { }.

Ejemplos: A = {x/x es un nmero par terminado en 1}

B = {x/x es una vocal fuerte de la palabra LUIS}

B. Conjunto unitario: Es aquel conjunto que tiene un

solo elemento.

Ejemplos: A = {x/x es una vocal fuerte de la palabra

CANAD}

B = {4; 4; 4; 4; 4}

C. Conjunto universal: Es aquel conjunto que se toma

como referencia para un determinado problema y en

el que se encuentran todos los elementos con que se

est trabajando. Se le nombra con la letra U.

Ejemplo: Si: A = {2; 4; 7}

B = {1; 3; 4; 5}

Entonces, un conjunto universal para A y B podra ser:

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

CARDINAL DE UN CONJUNTO

Es el nmero de elementos diferentes que posee un

conjunto, se denota por n(A).

Ejemplos: Si: L = {2; 4; 7}, entonces: n(L) = 3

Si: F = {a; b; a; n; i; c; a; r}, entonces: n(F) = 6

TEORA DE CONJUNTOS I


MATEMTICA


2

Dados los conjuntos, indicar si son conjuntos vacos o

unitarios.

1. C = {x/x es un cerdo que vuela}

2. E = {x/x es un hombre que mide 3 metros}

3. P = {x/x lN 3 < x < 5}

4. V = {x/x es una maravilla del mundo en Per}

5. Dado el conjunto: R = {3; 4; 5; 6}, indicar el cardinal del

conjunto.

6. Dado el conjunto: E = {m, a, m, a}, indicar el cardinal del

conjunto.

7. Indicar por extensin el conjunto de los cinco primeros

nmeros primos.

8. Indicar por extensin el conjunto de tus mejores

amigos.

9. Hallar el nmero de elementos del conjunto:

A = {h, e, r, e, w, e, g, o}

10. Dado el conjunto: B = {3; 5; 7}, indicar verdadero o

falso:

3 B (___) 5 B (___)

7 A (___)

TALLLER DE APRENDIZAJE PREVIO


MATEMTICA


3

1. Dado el conjunto: A = {2; 4; 6; 8}, indicar verdadero (V)

o falso (F), segn corresponda:

i) 4 A ii) 10 A

iii) 6 A iv) {8} A

a) VVFF b) VFFV c) VFVF

d) VFFF e) FFFF

2. Dado el conjunto: A = {5; {7}; 9; 12}, indicar verdadero

(V) o falso (F), segn corresponda:

i) {7}A ii) {9} A

iii) 5 A iv) 12 A

a) VVVF b) FVVF c) VFFV

d) FFVV e) VVFF

3. Dado el conjunto: B = {3; {6}; 9; 15}, indicar verdadero


i) {3} B ii) {15} B

iii) {6} B iv) 9B

a) VVFF b) VFFV c) FVVF

d) FVVV e) FFVV

4. Dado el conjunto: A = {a, , {a, b}, c}, indicar verdadero


i) a A ii) b A

iii) {} A iv) c A

a) VVVF b) FVVF c) VFFV

d) FFVV e) VFFF

5. El cardinal del conjunto: A = {4; 4; 5; 5; 5}, es:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

6. Si: A = {i, n, g, e, n, i, e, r, , a}

B = {b, a, t, e, r, , a}

Calcular: n(A) + n(B)

a) 10 b) 12 c) 13

d) 14 e) 17

7. Cuntos elementos posee {5; 5; 5; 3; 4}?

a) 3 b) 2 c) 1

d) 4 e) 5

8. El conjunto que determina por comprensin al conjunto:

A = {1; 4; 9; 16}, es:

a) A = {x / 1 x 16} b) A = {x / x ZZ 1 x 16}

c) A = {x2 / x ZZ 1 x 16}

d) A = {x2 / x ZZ 1 x 4}

e) A = {x2 / x ZZ 1x 4}


A = {3; 4; 5; 6; 7}, es:

a) A = {x / 3 < x < 7} b) A = {x / 3 x 7}

c) A = {x / x lN 3 < x < 7}

d) A = {x / x ZZ 3 x 7}

e) A = {x / x > 3}


A = {2; 4; 6; 8}, es:

a) A = {x / x es par}

b) A = {x / 2 x 8}

c) A = {2x / 2 x 8}

d) A = {x / x ZZ 2 x 8}

e) A = {2x / x ZZ 1 x 4}

11. El cardinal de: B = {x / x ZZ -4 x 4}, es:

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

12. Cuntos elementos posee:

A = {2x + 1 / x ZZ -2 < x < 4}?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7


A = {x - 8 / x ZZ 3 < x < 8}?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6


A = {x2 / x ZZ 2 < x 6}?

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7


A = {x2 - 1 / x ZZ -1 < x < 5}?

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

PROBLEMAS PARA LA CLASE


MATEMTICA


4

1. El cardinal de: M = {(x + 1)2 / x Z -1 < x + 2 < 3}, es:

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

2. El cardinal de: A = {x / lN 4 < x < 24}, es:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3. Calcule n(B), si: B = {x2 / lN -24 x 24}, es:

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

4. Si: B = {x + 2 / xZ ; 3 < x < 12}, cuntos elementos

mltiplos de 4 posee B?

a) 1 b) 0 c) 2

d) 4 e) 5

5. Calcular n(A) + n(B), si se tiene:

A = {x/x Z ; 1 x < 8}

B = {x/x Z ; 2 < x 9}

a) 10 b) 12 c) 14

d) 16 e) 18

6. Si: A = {x - 1/x ZZ ; 3 < x < 10}

B = {x + 1/x ZZ ; 4 < x < 12}

Cuntos elementos tienen los dos conjuntos sin repetir

sus elementos?

a) 8 b) 9 c) 10

d) 12 e) 13

7. Dado el conjunto: Z , hallar la

suma de elementos de R.

a) 80 b) 90 c) 93

d) 91 e) 92

8. Hallar la suma de los elementos de cada conjunto: lN

Z

a) 45; 130 b) 44; 129 c) 45; 129

d) 44; 130 e) 45; 131

9. Hallar la suma de los elementos de cada conjunto:

lN

Z

a) 49; 178 b) 50; 168 c) 50; 178

d) 49; 168 e) 51; 179

10. Calcular la suma de los elementos de cada conjunto: lN

Z

a) 49; 178 b) 50; 168 c) 50; 178

d) 33; 120 e) 33; 130

11. Si: P = {8 - a; 5 + b; 1}, es un conjunto unitario, calcular:

a2 + b2

a) 33 b) 65 c) 3

d) 52 e) 67

12. Si el conjunto P es unitario, hallar x + y.

P = {x - 8; 14 - y; 9}

a) 21 b) 22 c) 23

d) 20 e) 24

13. Si el conjunto "B" es unitario, hallar "m + n".

B = {32 - m ; 23 ; n - 5 }

a) 18 b) 24 c) 37

d) 45 e) 49

14. Si: A = {a2 + 3; 28} es un conjunto unitario, el menor

valor de a es:

a) 3 b) -3 c) 5

d) -5 e) 4

15. Si el conjunto "Q" es un conjunto unitario, calcular "a".

Q = {a3 - 3 ; 24}

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

16. Dado el conjunto:

A = {x2 - 1 / x Z -2 x 4}

Hallar la suma de los elementos de A.

a) 20 b) 22 c) 23

d) 25 e) 27

x

x

2R {x 1/ x ;3 x 7}

A {x / x ;6 x 12}

2B {x 1/ x ;3 x 8}

F = {x / x ; 7< x 13}

2B = {x +1 / x ; 4< x 9}

F = {x / x ; 2< x 8}

2G = {x +1/x ; 4 x 7}

TAREA DOMICILIARIA N 01


MATEMTICA


5

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. Inclusin

Diremos que A est incluido en B o es subconjunto

de B, si y slo si, todos los elementos de A son

tambin elementos de B. Se denota por: y se lee: A

est incluido en B o A es un subconjunto de B.

La negacin de: , se escribe:

Ejemplo 1: A = {1; 2; 3}

B = {0; 1; 2; 3; 4; 5}

Ejemplo 2: Dado el conjunto: A = {3; {6}; 9; 10}, entonces

se cumple:

Propiedades:

i.

ii.

iii.

2. Igualdad

Dos conjuntos A y B son iguales, si y solo si, tienen

los mismos elementos. Se denota por: A = B.

Se define:

Ejemplo: A = {2; 3; 4}

B = {x / x lN , 1< x


MATEMTICA


6

Dados los conjuntos, indicar si cumplen la relacin de

inclusin o la relacin de igualdad:

1. C = {x/x es un pas del mundo}

E = {x/x es un pas de Europa}

2. P = {x/x es un felino}

V = {x/x es un gato}

3. R = {3; 4; 5}

E = {x/x lN 2 < x < 6}

4. X = {n, a, t, i}

Y = {t, i, n, a}

5. Dado el conjunto: A = {1; 2; 3}, indicar el nmero de

subconjuntos.

6. Dado el conjunto: B = {p, e, r, e, z}, indicar el nmero de

subconjuntos.

7. Dado el conjunto: C = {r, u, t, h}, indicar el nmero de

subconjuntos propios.

8. Dado el conjunto: E = {s, o, s}, indicar el nmero de

subconjuntos propios.

9. Dados los conjuntos:

U = {1; 2; 3; 4}

A = {1; 3}

B = {2; 3}

Realizar el diagrama de Venn correspondiente.

10. Dados los conjuntos:

U = {p, e, r, r, o}

A = {p, r, e}

B = {r, o}

Realizar el diagrama de Venn correspondiente.

TALLER DE APRENDIZAJE PREVIO


MATEMTICA


7

1. Dado el conjunto: M = {1; {2}; {3}; 4}, cuntas

proposiciones son falsas?

i) ii)

iii) iv)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

2. Dado el conjunto: M = {a; {b}; {m}; p}, cuntas


i) ii)

iii) iv)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3. Dado el conjunto: C = {2; {3}; {5;.2}}, indicar verdadero


i) ii)

iii) iv)

a) VVFF b) VFFF c) FVVF

d) VVFV e) FVFV

4. Dado el conjunto: N = {1; 2; {2}; {2; 3}}, cuntas


i) ii)

iii) iv)

v)

a) 4 b) 3 c) 2

d) 1 e) 0

5. Si: Z , seale lo verdadero:

a) b) c)

d) e)

6. Se tienen los conjuntos iguales:

A = {x - y ; 24}

B = {8 ; x + y}

hallar: y2 - x

a) 8 b) 16 c) 48

d) 52 e) 64

7. Si: A = {a + b; 5}

B = {a - b; 13}

son conjuntos iguales, entonces calcular: (a2 + b2).

a) 93 b) 94 c) 95

d) 96 e) 97

8. Si los conjuntos:

A = {n2 + 1; 7}

B = {10; m + 4}

son iguales, hallar "m + n".

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

9. Se tiene los conjuntos iguales:

A = {2x + 4; 13}

B = {2y + 3; 14}

Hallar "x + y".

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

10. Si los conjuntos:

A = {m + 4; n + 3}

B = {3; 7}

son iguales, hallar m + n.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

11. Dados los conjuntos: A = {3; {8}; {5}; 4}, cules

proposiciones son falsas o verdaderas?

i) A tiene 8 subconjuntos

ii) A tiene 31 subconjuntos

iii) A tiene 4 elementos

a) VVV b) FVV c) FFF

d) VFF e) FFV

12. Dado el conjunto: A = {2; {5}; 3; 2; {15}}, indicar

verdadero (V) o falso (F); segn corresponda:


ii) A tiene 31 subconjuntos propios

iii) A tiene 4 subconjuntos unitarios

iv) P(A)

a) VVFV b) FVVV c) FFVV

d) VFFV e) VFVV

{1} M 4 M

{{2}} M {{2}; {3}} M

{b} M b M

{{m}} M {{b};{m}} M

{2} C {2} C

{{3}} C {{3}} C

{1} N {3} N

{2;3} N {1;{2}} N

2 N

2A = {x +1 / x -3


MATEMTICA


8

1. Dado el conjunto: A = {a; {c}; b; a; {c}}, indicar verdadero

(V) o falso (F); segn corresponda:


ii) A tiene 7 subconjuntos propios

iii) A tiene 4 subconjuntos unitarios

iv) P(A)

a) FVFV b) VVFV c) FVVV d) FFVV e) VFVV

2. Dado: C = {2; 3; 4}, un subconjunto no es:

a) {3; 4} b) {2} c) {3} d) {2; 4} e) 4

3. Cuntos subconjuntos posee el conjunto {3; {4; 4}; 5}?

a) 3 b) 5 c) 7

d) 8 e) 9

4. Cuntos subconjuntos tiene A = {2; 3; 4; 4; 5}?

a) 32 b) 16 c) 8 d) 4 e) 2

5. Cuntos subconjuntos tiene:

P = {m, m, a, a, b, b, n, n}?

a) 28 b) 23 c) 25 d) 24 e) 22

6. Cuntos subconjuntos tiene: C = {a,r,i,t,m,,t,i,c,a}

a) 8 b) 16 c) 32 d) 64 e) 128

7. Cuntos subconjuntos propios pueden formarse con los

elementos de A = {a, b, c, d, e}?

a) 14 b) 15 c) 31 d) 32 e) 30

8. Cuntos subconjuntos propios tiene:

A = {1; 1; 2; 2; 3}?

a) 31 b) 15 c) 7 d) 3 e) 1

9. El conjunto A tiene 128 subconjuntos. Cuntos

elementos tiene el conjunto A?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

10. El conjunto B tiene 256 subconjuntos. Cuntos

elementos tiene el conjunto B?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

11. Cuntos elementos tiene un conjunto que posee 2047

subconjuntos propios?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 8 e) 9

12. Cuntos elementos tiene un conjunto de 127

subconjuntos propios?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

13. Si: Z + , cuntos subconjuntos

tiene?

a) 26 b) 25 c) 24

d) 23 e) 22

14. Cuntos subconjuntos tiene:

Z + ?

a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32

15. En el grfico:

Calcular: n(A) + n(B) + n(C)

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

16. En el grfico:

Calcular: n(A) + n(B) + n(C)

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12

C {x / x x 6}

A {3x / x 3 x 3}

A

C

B.d

.c.a

.b .e

.g

.f

A CB

.4

.3

.1

.2 .5

.6

.7

.8

.9

TAREA DOMICILIARIA N 02


MATEMTICA


9

1. UNIN O REUNIN (

Dados dos conjuntos A y B, se llama unin o reunin,

al conjunto formado por los elementos que pertenecen

a A, a B o a ambos a la vez.

Notacin:

( = se lee o)

Ejemplo: Sean los conjuntos:

A = {1; 2; 3; 6} ; B = {2; 4; 6; 7; 8} ; C = {4; 7; 8}

Entonces: A B = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8}

B C = {2; 4; 6; 7; 8}

A C = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8}

Grficamente:

2. INTERSECCIN ()

Dados dos conjuntos A y B, se llama interseccin al

conjunto formado por los elementos que pertenecen a

A y B a la vez; es decir es el conjunto formado por

los elementos comunes a A y B.

Notacin:

(=se lee y)


A = {1; 2; 3; 6} ; B = {2; 4; 6; 7; 8} ; C = {4; 7; 8}

Entonces: A B = {2; 6}

BC = {4; 7; 8}

A C = { }

Grficamente:

3. DIFERENCIA (-)

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia de

A y B al conjunto formado por todos los elementos

de A que no pertenecen a B; es decir, es el conjunto

formado por los elementos que pertenecen solamente a

A.

Notacin:


A = {1; 2; 3; 6} ; B = {2; 4; 6; 7; 8} ; C = {4; 7; 8}

Entonces: A - B = {1; 3}

B - C = {2; 6}

A - C = {1; 2; 3; 6}

Grficamente:

4. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Dado un conjunto A que est incluido en el universo

U, se denomina complemento del conjunto A, al

conjunto formado por todos los elementos que no

pertenecen a A, pero s pertenecen al universo.

Notacin:

Es decir: A = U - A


U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} ; A = {1; 3; 4; 7; 8}

Entonces: A = {2; 5; 6}

Grficamente:

A B {x/x A x B}

A B B

A B

.3

.

.

1

7

.4

.8

.2

.6

C.7

.4.8

.2

.6

B C = B

A C

A C

.7

.4

.8

.2

.6

.3

.1

A B {x/x A x B}

A B B

A B

.3

.

.

1

7

.4

.8

.2

.6

C.7

.4.8

.2

.6

B C = C

A C

A C =

.7

.4

.8

.2

.6

.3

.1

A B {x/x A x B}

A B B

A - B

.3

.

.

1

7

.4

.8

.2

.6

C.7

.4.8

.2

.6

B - C

A C

A - C = A

.7

.4

.8

.2

.6

.3

.1

CA' A {x/x U x A}

U

A

.7

.4

.8.2

.6.3

.1A

.5

OPERACIONES CON CONJUNTOS


MATEMTICA


10

5. DIFERENCIA SIMTRICA )

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia

simtrica al conjunto formado por los elementos que

pertenecen a A - B o B - A.

Notacin:

Tambin: A B = (AB) - (A B)


A = {1; 2; 3; 6} , B = {2; 4; 6; 7; 8}

Entonces: A - B = {1; 3}

B - A = {4; 7; 8}

Luego: A B = {1; 3; 4; 7; 8}

Grficamente:

Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4}

B = {2; 4; 5}

Representar mediante un diagrama de Venn y hallar las

operaciones que se piden.

1. A B

2. A B

3. A - B

4. B - A

5. A B

Sean los conjuntos: P = {c, e, s, a, r}

V = {e, s, a}

Representar mediante un diagrama de Venn y hallar las

operaciones que se piden.

6. P V =

7. P V =

8. P - V =

9. P V =

10. V' =

A B (A B) (B A)

.3

A B.

.

1

7

.4

A B

.8

.2

.6

TALLER DE APRENDIZAJE PREVIO


MATEMTICA


11

1. Si: A = {m, a, m, i, t, a}

B = {b, e, b, i, t, a}

Calcular: n(AB)

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

2. Si: A = {2; 3; 9}

B = {9; 3; 4}

Calcular: n(AB)

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

3. Si: A = {p, a, p, }

B = {m, a, m, }

Calcular: n(AB)

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

4. Si: A = {3; 4; 5; 5; 4}

B = {5; 4; 4; 3; 6}

Calcular: A B

a) {3; 4} b) c) {3; 4; 5} d) {4; 6} e) {5}

5. Si: P = {g, a, r, o, t, a}

Q = {t, o, g, a}

Hallar: P Q

a) {g, a, t, a} b) {t, o, g, a} c) {g, o, t} d) {g, a} e) {t; a}

6. Si: A = {1; 2; 3; ...; 10}

B = {1; 5; 7; 2; 9}

B - A es:

a) {2; 3; 4; 6} b) {4; 6; 8; 10} c) {} d)

e) {3; 4; 6; 8; 10}

7. Si: R = {p, a, m, e, l, a}

S = {p, a, t, i, o}

Hallar R - S

a) {m, e, l} b) {p, a, m} c) {l, a}

d) {l, a, m, e} e) {t, i, o}

8. En la figura:

"A - B" es:

a) {a, b, c} b) {a, c} c) {a, b} d) {d, e} e) {d}

9. Si: A = {e, i, o, r} y

B = {c, i, r, o}

Calcular: A B

a) {c, i, r, c, o} b) {c, i, o, r} c) {e, r, i, c, o} d) {r, i, o, e}

e) {i, o, r}

10. Dados: S = {f, g, h} ; T = {g, k}

Hallar: nP[(S T) (S T)]

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

11. Si: Z,

Z,

Hallar: n (T - P)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

12. Si: Z,

Z,

Cuntos elementos tiene A B?

a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

13. Del grfico, indicar verdadero (V) o falso (F).

I.

II.

III.

a) VVV b) VFV c) FVF

d) VVF e) FFF

U

.b

.

.

a

A B

e

.d.c

T {x / x 3 x 10}

P {x / x 4 x 9}

A {x 1 / x 4 x 12}

B {x 2 / x 2 x 6}

.u

A

B.

.

a

e

.o.i

i (A B)

A B {a,e}

o (B A)

PROBLEMAS PARA LA CLASE


MATEMTICA


12

Date post:	03-Oct-2015
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