Date post: | 06-Nov-2015 |
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TEORA DEL INTERS II
El dinero no da la felicidad, pero procura una sensacin tan parecida, que se
necesita un especialista muy avanzado para verificar la diferencia
Oscar Wilde
LICENCIATURA EN ACTUARA
BENEMRITA UNIVERSIDAD AUTNOMA DE PUEBLA
ACTM-005
Anualidades continuas
Las anualidades continuas son un caso especial de las anualidadespagaderas ms frecuentemente que la convertibilidad de la tasa, en este
caso, los pagos se hacen en intervalos continuos de tiempo.
Es muy difcil encontrar este tipo de anualidades en la prctica, sin
embargo, algunas veces se usan como aproximacin de anualidades
pagaderas diariamente.
Por la misma naturaleza de una anualidad continua, los pagos son muypequeos, entonces, en este tipo de anualidades se opera con la suma delos pagos continuos en un intervalo determinado de tiempo (en el tiempode conversin de la tasa), a esta suma se le conoce como velocidad depago. Dado que los pagos continuos son R y m en el nmero de pagos porconversin de la tasa, entonces Rm es la velocidad del pago.
Anualidades continuas
Las anualidades continuas se denotan de la siguiente manera:
Podemos encontrar la frmula del valor presente de unaanualidad continua partiendo del hecho de que es un casoespecial de las pagaderas ms frecuentemente que laconvertibilidad de la tasa cuando m tiende a infinito:
F.1.
Tambin podemos deducirla trayendo a valorpresente todos los pagos continuos de unaunidad monetaria.
Para VP Para VF
Anualidades continuas
Sabemos que la suma de los pagos continuos trados a valorpresente lo podemos determinar con integrales, entonces:
F.1.
Para el valor futuro, en lugar de factor de descuento usamos
factor de acumulacin, entonces:
F.2
ax dx= ax
ln a
Anualidades continuas Sabemos que la suma de los pagos continuos trados a valor
presente lo podemos determinar con integrales, entonces:
F.1.
Para el valor futuro, en lugar de factor de descuento usamos
factor de acumulacin, entonces:
F.2
ax dx= ax
ln a
Para IS: (1 + it)-1 dt
Para IS: (1 + it) dt
F.3
F.6
Para DS: (1 - dt) dt F.4
Para DS: (1 dt)-1 dt F.7
Para DC: El integrando es (1-d)-t
Para DC: El integrando es (1-d)t F.5
F. 8
cuando el inters es compuesto
cuando el inters es compuesto
Anualidades continuas
Si deseamos expresar una anualidad continua estrictamente entrminos de la fuerza de inters, tenemos:
F. 9 y 10
Ejemplos:
1.- Sandra Talamantes desea calcular el VP de pagos continuoscuya velocidad de pago es de $1,200 anuales y se van arealizar durante 10 aos a una tasa de inters del 20%
a) Simple
b) Compuesto
Los estudiantes deben demostrar las relaciones anteriores a partir de las frmulas F.1 y F.2
Anualidades que crecen como
progresin geomtrica
Las anualidades que crecen como progresin geomtrica tienenla caracterstica de que los pagos se van incrementandoconforme a un factor.
Ejemplo: Dibuje el diagrama en el tiempo de una anualidadcuyos 4 pagos anuales crecen como una progresin geomtricaa razn del 10%. El primer pago es de $1,000.
Anualidades que crecen como
progresin geomtrica
Solucin: En forma general el diagrama en el tiempo va as
x1
0 1 2 3 4
x2 x3 x4
Ahora demos valores a las variables, sabemos que el primer pagox1=1,000 y que la razn de crecimiento g=10%, entonces lospagos seran
x1 = 1,000x2 = 1,000 (1+g) = 1,000 (1.10) = 1,100
x3 = 1,100 (1+g) = 1,100 (1.10) = 1,210
x4 = 1,210 (1+g) = 1,210 (1.10) = 1,331
El diagrama en el tiempo queda:
1,000
0 1 2 3 4
1,100 1,210 1,331
Anualidades que crecen como
progresin geomtrica
En trminos generales, el diagrama en el tiempo queda:
x1
0 1 2 3 4
x1 (1+g) x1(1+g)2 x1(1+g)
3Ntese que cada pago se obtienemultiplicando el primer pago por (1+g)elevado a un exponente menor enuna unidad que el nmero de pago.
x n = x1 ( 1+g)n-1
Supuestos que se manejan en anualidades que crecen como progresin
geomtrica:
1.- La tasa de inters permanece constante para todo el plazo de la anualidad.
2.- Debe existir correspondencia entre la frecuencia de la tasa y los periodos de
pago.
3.- La tasa de crecimiento es constante.
4.- Siempre debemos buscar la correspondencia entre la razn de crecimiento y
los periodos de pagos.
Los estudiantes deben deducir la frmula del VPG y VFG de unaanualidad de plazo n cuyos pagos crecen como progresin geomtrica auna razn k y con primer pago de una unidad monetaria.
5.- El VP de una anualidad creciente se evala un periodo antes del primer pago
Perpetuidades que crecen como
progresin geomtrica
Sean tres casos:
Caso 1: Cuando la tasa de crecimiento es igual a la tasa de inters g=i, el VP de
la perpetuidad no puede ser calculada, ya que es infinito o diverge.
Caso 2: Cuando la tasa de crecimiento es mayor a la tasa de inters g>i
VPG=
Si g>i entonces el trmino (1+g)/(1+i) > 1 y al elevarlo a cualquier nmero enteropositivo mayor que 1 se va haciendo cada vez ms grande, al ser muy grande, eltrmino (1+g)n/(1+i)n se hace muy grande, y nuevamente el VP diverge y no puedeser calculado.
x1
Perpetuidades que crecen como
progresin geomtrica
Caso 3: Cuando la tasa de crecimiento es menor que la tasa de inters g
Anualidades cuyos pagos forman
una serie aritmtica
Ya vimos que las anualidades pueden crecer conforme a unaprogresin geomtrica.
Puede suceder tambin que la serie de pagos formen una
progresin aritmtica, es decir, cuyos pagos crecen conforme a
un sumando
Ejemplo: Dibuje el diagrama en el tiempo de una anualidadcuyos 4 pagos anuales crecen como una progresin aritmticade tal manera que cada pago sea igual al anterior ms unacantidad constante de $100. El primer pago es de $1,000.
Solucin: En forma general el diagrama en el tiempo va as
x1
0 1 2 3 4
x2 x3 x4
Anualidades cuyos pagos forman
una serie aritmtica
Ahora demos valores a las variables, sabemos que el primer
pago x1=1,000 y que la cantidad constante de crecimiento es
de $100, entonces los pagos seran
x1 = 1,000
x2 = 1,000 + 1(100) = 1,000+ 100 = 1,100
x3 = 1,100 + 1(100) = 1,000 + 2(100) = 1,000+2(100) = 1,200
El diagrama en el tiempo queda:
1,000
0 1 2 3 4
1,100 1,200 1,300
x4 = 1,200 + 1(100) = 1,000 + 3(100) = 1,000+3(100) = 1,300
Anualidades cuyos pagos forman
una progresin aritmtica
P
0 1 2 3 4
P+Q P+2Q Ntese que cada pago se obtienesumndole al primer pago n-1veces la constante aritmtica.
P+ (n-1) Q
Actividad para los estudiantes: Deduccin de las frmulas del
VPA y VFA
P+3Q P+(n-2)Q P+(n-1)Q
n-1 n
Se debe llegar a las siguientes expresiones:
VPA =
VFA =
F.1
F.2
En trminos generales, el diagrama en el tiempo de una anualidadcuyos pagos forman una progresin aritmtica, se representara de lasiguiente manera:
Casos especiales de anualidades cuyos
pagos forman una serie aritmtica
Primer caso: Situacin en la que una anualidad cuyos pagos formanuna serie aritmtica de tal forma que P=Q=1 (increasing annuity).Las anualidades van creciendo de 1 en 1 hasta llegar a n.
P
0 1 2 3 4
P+Q P+2Q P+3Q P+(n-2)Q P+(n-1)Q
n-1 n
1
0 1 2 3 4
2 3 4 n-1 n
n-1 n
Si P=Q=1, la representacin en el diagrama en el tiempo queda de la siguientemanera:
La representacin para el VP de esta anualidad es y para VF
Ejercicios para los estudiantes
Se debe llegar a las siguientes expresiones:
F.3
F.4
Actividad para los estudiantes: Deduccin de sustituyendo P=Q=1
Actividad para los estudiantes: Deduccin de sustituyendo P=Q=1
Casos especiales de anualidades cuyos
pagos forman una serie aritmtica
Segundo caso: Situacin en la que una anualidad cuyos pagosforman una serie aritmtica de tal forma que P=n y Q= -1 (decreasingannuity). Las anualidades decrecen de 1 en 1 empezando en n yterminando en 1.
P
0 1 2 3 4
P+Q P+2Q P+3Q P+(n-2)Q P+(n-1)Q
n-1 n
n
0 1 2 3 4
n - 1 n - 2 2 1
n-1 n
Si P=n y Q=-1, la representacin en el diagrama en el tiempo quedade la siguiente manera:
La representacin para el VP de esta anualidad es y para VF
n - 3
Ejercicios para los estudiantes
Se debe llegar a las siguientes expresiones:
F.5
F.6
Actividad para los estudiantes: Deduccin de sustituyendo P=n y Q=-1
Actividad para los estudiantes: Deduccin de sustituyendo P=n y Q=-1
Perpetuidades: Ejercicio para los
estudiantes
Actividad para los estudiantes: Deduccin de VPPA.
Se debe llegar a la siguiente expresin:
VPPA=
Valores conmutados
Los valores conmutados se utilizan para simplificar expresiones deanualidades incluyendo las aritmticas y se definen como sigue:
Primer valor conmutado: Valor presente un pago de unaunidad monetaria hecho al final de n aos.
Segundo valor conmutado: Valor presente de una perpetuidad que
paga una unidad monetaria donde el primer pago empieza en n.
Tercer valor conmutado: Valor presente de una perpetuidadcreciente de 1,2,3 (P=Q=1), el primer pago se empieza en n.
Ejercicios para los estudiantes
1.- Demuestre que la frmula del VP de una anualidad
creciente (increasing annuity ) donde P=Q=1, puede ser
representado como H1-Hn+1- n Gn+1.
2.- Demuestre que la frmula del VP de una anualidad
decreciente (decreasing annuity ) donde P=n y Q= -1,
puede ser representado como n G1-H2+ Hn+2.
3.- Haga un resumen del tema valores conmutados
(incluyendo ejemplos) de la tercera edicin del Kellison
pginas 144 y 145.