Date post: | 22-Feb-2015 |
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Contraste de Hipótesis
EjemploEl peso de plantines de un arbusto forrajero, almacenado a temperatura y humedad relativa ambientes, obtenido a los 20 días desde la germinación es en promedio de 50 mg.
Se supone que la ventilación forzada del ambiente de almacenamiento aumentaría el vigor de los plantines y esto se debe reflejar en un aumento del peso.
Introducción
La idea es:
establecer su veracidad
(o no).
hipótesis estadística herramientas
estadísticas
hipótesis científica
tomar una decisión
Introducción
la ventilación forzada aumentaría el vigor de los plantines
Supongamos un modelo para explicar la variación observada de la variable respuesta
i iY i iY error aleatorio
media de la distribución de la variable Y
peso seco del i-ésimo plantín observado en un experimento en el que se almacena con ventilación forzada
Introducción
Bajo condiciones ambientales de almacenaje la variable peso de
plantines tiene =50mg.
¿cómo podría ser el valor de bajo otra condición?
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
H0: 50 vs. H1: > 50
H0: 50 vs. H1: < 50
Las hipótesis a plantear dependen de lo que esperamos que ocurra bajo la nueva condición. Así:
El peso promedio será diferente a 50 mg
El peso promedio será mayor a 50 mg
El peso promedio será menor a 50 mg
H0: = 50 vs. H1: ≠ 50
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
Las hipótesis:
H0: 50 vs. H1: > 50
El peso promedio será mayor a 50 mg
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
Son proposiciones sobre uno o más parámetros de la distribución de la variable aleatoria en estudio.
Hipótesis nula
Hipótesis alternativa H0 vs. H1
¿Cómo validar el modelo?
experimentación observación
¿lo observado tiene diferencias significativas con lo esperado según el modelo propuesto?
procedimiento de decisión
Introducción
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
Planificar el experimento o el esquema muestral para obtener datos que permitan la validación (o no) de la hipótesis sometida a prueba.
Experimento:
Se registra el peso de 25 plantines obtenidos de semillas mantenidas bajo las nuevas condiciones de almacenamiento.
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
De la muestra de tamaño n=25 es posible estimar la media y la varianza de la distribución de pesos.
Supongamos que la media y varianza muestral son iguales a 53 y 16, respectivamente.
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
Seleccionar o construir un estadístico cuya distribución queda completamente especi-ficada bajo la hipótesis nula (*)
(*) Se supone que lo que se especifica en H0 es cierto
El estadístico apropiado para el contraste debe involucrar al estimador y al valor del parámetro de interés.
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
2~ (0;1)
YZ N
n
2
~ (0;1)Y
Z N
n
12
~ n
YT t
Sn
12
~ n
YT t
Sn
Queremos identificar, a partir de la distribución del estadístico, cuando la hipótesis nula es cierta, los valores usuales del mismo bajo muestreo reiterado.
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
El estadístico apropiado, suponiendo que el tamaño de muestra es n=25 y que la varianza (2) desconocida es estimada desde la muestra por S2, es el estadístico T de Student:
53 50
1625
T
53 50
1625
T
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
La distribución del estadístico especificada bajo H0 permite asignar probabilidades a la
ocurrencia de valores del estadístico.
-5.22 -2.61 0.00 2.61 5.22
Variable
0.00
0.10
0.20
0.30
0.39
De
nsi
da
d
Función de densidad
Tt 24
el estadístico y su distribución bajo H0
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
¿Cómo decidir sobre la H0 en base a los valores del estadístico?
Se hace necesario establecer una regla de decisión
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
¿Cuáles son los eventos que conducen a no rechazar (aceptar) o a rechazar la H0?
Es necesario establecer el nivel de significación () de la prueba.
Usualmente = 0.05 o 0.01
Nivel de significación
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
Región o zona de aceptación de H0
Región o zona de rechazo de H0
De acuerdo a las hipótesis planteadas y al nivel de significación elegido, se de-terminan los valores del estadístico que conducen a no rechazar (aceptar) o a rechazar la H0
Tomando =0.05 y dado que:
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
H0: 50 vs. H1: > 50
La zona de rechazo de H0 se encuentra en la cola derecha de la distribución del estadístico
Contraste unilateral derecho
-3.00-2.57
-2.14-1.71
-1.29-0.86
-0.430.00
0.430.86
1.291.71
2.142.57
3.00
Variable
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
De
nsi
da
d
T Student(24): p(evento)=0.0500
Distribución del estadístico bajo H0
Zona de aceptación de H0
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
Contraste unilateral derecho
Punto crítico
1 -
¿Cómo decidir sobre la H0?
Comparando el valor del estadístico calculado en base a los datos de la
muestra, con el punto crítico establecido según el valor de y el
tipo de contraste.
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
El valor del estadístico con los datos de la muestra es:
53 50 3 153.75
4 416525
T
53 50 3 15
3.754 416525
T
Dado que 3.75 supera al punto crítico 1.71, se rechaza la hipótesis nula.
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
El rechazo de la H0 conduce a proponer el uso de ventilación forzada para el almacenamiento de las semillas
Valor p Utilizando la distribución teórica se
puede obtener la probabilidad de observar en la experiencia valores del estadístico iguales o más extremos que el resultado obtenido a partir de los datos experimentales, dado que H0 es verdadera
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
Valor p Si el valor p es menor que el nivel de
significación (), se rechaza la hipótesis nula. En caso contrario se concluye que los datos no contradicen la hipótesis nula.
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
La probabilidad de obtener un valor T igual o mayor al observado, si se cumple la hipótesis nula de que el peso medio es igual a 50, es:
P(T>3.75) = 0.00049 = Valor p.
Valor p en el ejemplo dado
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
Como 0.00049 < 0.05, se rechaza la hipótesis nula.
Los datos contradicen H0.
Valor p en el ejemplo dado
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
Planteadas las hipótesis, elegido el estadístico y fijado el nivel de significación, se determinan la
zona de no rechazo y la zona de rechazo de H0
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
H0: = 50 vs. H1: ≠ 50 Contraste bilateral
Tipos de contrastes
H0: 50 vs. H1: > 50 Contraste unilateralderecho
H0: 50 vs. H1: < 50 Contraste unilateralizquierdo
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
Zona de aceptación de H0
Zona de rechazo
Punto crítico 1 Punto crítico 2
0
/2
1 -
Zona de rechazo
/2
H0: = 0
H1: ≠ 0
Distribución del estadístico bajo H0
Contraste bilateral
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
Distribución del estadístico bajo H0
Contraste unilateral izquierdo
Zona de aceptación de H0
Zona de rechazo0
H0: 0
H1: < 0
Punto crítico
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
H0: 0
H1: > 0
Distribución del estadístico bajo H0
Contraste unilateral derecho
Zona de rechazoZona de aceptación de H0
0
1 -
Punto crítico
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
En resumen... Una hipótesis estadística es una
proposición sobre los parámetros de un modelo estadístico para la variable de respuesta
La hipótesis estadística que se somete a prueba se conoce como hipótesis nula y se simboliza con H0
Cuando la hipótesis nula se rechaza, se concluye a favor de la hipótesis alternativa que se simboliza con H1
Construcción de una pruebaestadística de hipótesis
Tanto cuando no se rechaza la hipótesis nula como cuando se
rechaza, es posible cometer errores
Errores en la Prueba de Hipótesis
Contraste de Hipótesis
Frente a una hipótesis nula se toma una decisión
o Aceptar H0
Es correcto si H0 es verdadera pero incorrecto si fuese
falsa
Rechazar H0
Es correcto si H0 es falsa pero
incorrecto si fuese verdadera
Errores
Contraste de Hipótesis
La hipótesis nula es cierta y se rechaza erróneamente
La probabilidad de cometer este tipo de error está bajo control del experimentador. Su máximo valor se simboliza con y recibe el nombre de nivel de significación
Error de Tipo I
Contraste de Hipótesis
En el ejemplo de los plantines el error de tipo I tiene una probabilidad máxima de 0.05
Error de Tipo I
La hipótesis nula es falsa y no se rechaza
La probabilidad de cometer este tipo de error se denomina
Contraste de HipótesisError de Tipo II:
La probabilidad de cometer este tipo de error queda determinada por:
el nivel de significación el tamaño muestral la magnitud de la discrepancia
entre la hipótesis postulada y la situación verdadera.
Contraste de HipótesisError de Tipo II:
Para calcular la probabilidad de cometer este tipo de error se debe suponer el verdadero valor para la media de la población
Contraste de HipótesisError de Tipo II:
Punto crítico 1 Punto crítico 2Zona de aceptación de H0
Zona de rechazo 0
/21 -
Zona de rechazo
/2
( -0)/(/n)
Contraste de HipótesisError Tipo II en un contraste bilateral
Potencia Se define a la potencia como:
Esta probabilidad es una medida de la potencialidad que se tiene en un experimento para detectar que la hipótesis nula es falsa.
= 1-
Contraste de Hipótesis
Potencia En la planificación de un
experimento, ¿cuál debería ser el tamaño de la muestra (o número de repeticiones) para tener una alta probabilidad de detectar una diferencia dada entre la media verdadera y la postulada en la hipótesis nula?
Contraste de Hipótesis
Potencia ¿Cuál es el tamaño muestral (o
número de repeticiones) necesario para detectar una diferencia entre la media verdadera y la postulada en la hipótesis nula, con una potencia de por ejemplo 0.8 o más?
Contraste de Hipótesis