3.2 REPRESENTACIN DE SISTEMAS FSICOS MEDIANTE

VARIABLES DE ESTADO

INSTITUTO TECNOLGICO DEL ISTMO

CONTROL II

PROFESOR: ING. FRANCISCO BERNARDO RUIZ CHIAS

PRESENTAN:

1. DE LOS SANTOS LEDEZMA JESUS LEURY 12190684

2. TOLEDO TOLEDO JOHAN JALIL 12190491

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CONTENIDO

Introduccin .................................................................................................... 2

3.2 representacin de sistemas fsicos mediante variables de estado ............ 3

Representacin en el espacio de estados de sistemasde ecuaciones

diferenciales escalares .................................................................................. 12

Conclusiones ................................................................................................. 19

Referencias .................................................................................................... 20

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INTRODUCCIN

Hoy en da resulta complicado modelar un sistema fsico debido a que cada vez

ms aumenta la complejidad de su diseo y a las mltiples especificaciones

caractersticas de entrada y salida, es por ello que se utilizan las ecuaciones

diferenciales ordinarias que son modelos matemticos cuantitativos que resultan

de gran utilidad para describir el comportamiento dinmico caracterstico de

dichos sistemas de control donde se incluyen de diversa naturaleza como los

mecnicos, hidrulicos y elctricos; todos ellos generalmente no son lineales,

pero existen los casos que s lo son, as tambin, los variantes en el tiempo como

los invariantes.

En seguida se mostrar de manera general y especifica como representar a las

ecuaciones diferenciales particulares en variables de estado por medio del

algebra vectorial con el auxilio de los diagramas de bloques o las grficas de

flujo de seal, lo que es un mtodo moderno basado en ecuaciones de estado y

en comparacin con el de la funcin de transferencia resulta la base primordial

del control ptimo utilizando mtodos en el dominio del tiempo.

Utilizando ecuaciones de n-simo orden con un conjunto de variables conocidos

como variables de estado da como resultado un conjunto de ecuaciones

diferenciales de primer orden; agrupndolas por medio de una notacin

matricial compacta conocida como modelo de variables de estado.

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3.2 REPRESENTACIN DE SISTEMAS FSICOS MEDIANTE

VARIABLES DE ESTADO

En la teora clsica de control se consideraba un sistema con una nica seal de

entrada y una nica seal de salida (SISO), relacionadas ambas por la funcin de

transferencia.

La teora de control moderna se aplica a sistemas de mltiples entradas y

mltiples salidas (MIMO), que pueden ser lineales o no lineales, variables o

invariantes en el tiempo, y de una sola entrada y una sola salida. Adems, la

teora de control moderna es un procedimiento en el dominio del tiempo

esencialmente, mientras la teora convencional opera en el dominio de las

frecuencias complejas.

Debido a la necesidad de cumplir requisitos cada vez ms exigentes en el

comportamiento de los sistemas de control, el aumento en la complejidad del

sistema y el fcil acceso a las computadoras a gran escala, la teora moderna de

control, que es una nueva aproximacin al anlisis y diseo de los sistemas de

control complejo. Esta nueva aproximacin se basa en el concepto de estado.

Para comenzar a hablar de las representaciones de los sistemas fsicos los cuales

describen comportamientos dinmicos, resulta necesaria una breve sinopsis o

resea como pequeo recordatorio de las nociones conceptuales acerca de los

trminos que intervienen en dicho tema; ello implica determinar claramente de

lo que se trata, primeramente, estado, variables de estado, vector de estado,

espacio de estado y las ecuaciones en el espacio de estado.

DOMINIO EN EL TIEMPO:

Es el dominio matemtico que incorpora la respuesta y la descripcin de un

sistema en funcin del tiempo. Un sistema de control variante en el tiempo es un

sistema en el que uno o ms de sus parmetros pueden variar en funcin del

tiempo.

ESTADO:

El estado de un sistema es el conjunto de nmeros tales que el conocimiento de

estos nmeros y de las funciones de entrada, junto con las ecuaciones que

describen la dinmica, proporcionan la salida y el estado futuro del sistema.

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Diagrama de bloques de un sistema dinmico

Es decir, el conjunto de variables ms pequeo (llamadas variables de estado),

de forma que el conocimiento de estas variables en t = t0, junto con el

conocimiento de la entrada para t t0, determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier t t0.

As, el estado de un sistema dinmico al tiempo t queda determinado claramente

o explcitamente por el estado al tiempo t0 y la entrada para t t0, y es

independiente del estado y entradas antes de to. Ntese que al tratar sistemas

lineales invariantes en el tiempo, generalmente se escoge un tiempo de

referencia t0 igual a cero.

El concepto de estado no est limitado slo para sistemas fsicos como control

de nivel, presin, caudal, temperatura; tambin se extiende a procesos ms

complicados como secadores, evaporadores, reactores y columnas de

destilacin. De igual manera es aplicable a sistemas biolgicos, sistemas

econmicos, sistemas sociales y otros.

FORMA CANNICA:

Es la forma fundamental o bsica de la representacin del modelo matemtico

que describe al sistema en variables de estado, incluye la forma cannica en

variables de fase, la forma cannica de entrada de pre alimentacin, la forma

cannica diagonal y la forma cannica de Jordan.

VARIABLES DE ESTADO:

Es el conjunto de variables que definen el sistema.

El estado de un sistema se refiere a las condiciones pasadas, presentes y futuras

del sistema. Desde un sentido matemtico, es conveniente definir un conjunto

de variables de estado y ecuaciones de estado para modelar sistemas

dinmicos. En general existen algunas reglas bsicas relacionadas con la

definicin de una variable de estado y lo que constituye una ecuacin de estado.

Las variables de estado necesitan satisfacer las siguientes condiciones:

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1. En cualquier tiempo inicial t = t0, las variables de estado x1 (t0), x2 (t0),, xn (t0) definen los estados iniciales del sistema.

2. Una vez que las entradas del sistema para t t0 y los estados iniciales antes definidos son especificados, las variables de estado deben

definir completamente el comportamiento futuro del sistema.

Las variables de un sistema dinmico son las variables que constituyen el

conjunto ms pequeo de variables que determinan el estado de un sistema

dinmico. Si se requieren al menos n variables x1, x2,. . ., xn para describir

completamente el comportamiento de un sistema dinmico (de modo que una

vez dada la entrada para t t0, y que el estado inicial este especificado en t = t0,

el estado futuro del sistema queda completamente determinado) entonces esas

n variables son un conjunto de variables de estado.

Es decir, las variables de estado de un sistema se definen como un conjunto

mnimo de variables x1 (t), x2 (t),. . ., xn (t), de cuyo conocimiento en cualquier

tiempo t0, y del conocimiento de la informacin de entrada de excitacin que se

aplica subsecuentemente, son suficientes para determinar el estado del sistema

en cualquier tiempo t t0.

Las variables de estado describen la respuesta futura de un sistema, conocido el

presente, las seales de excitacin y las ecuaciones que describen la dinmica

Forma general de un sistema dinmico.

Obsrvese que las variables de estado no necesitan ser fsicamente medibles o

cantidades observables. Se pueden seleccionar como variables de estado,

variables que no representan cantidades fsicas y aquellas que no son medibles

ni observables. Tal libertad en la eleccin de las variables de estado es una

ventaja de los mtodos en el espacio de estados. Sin embargo, prcticamente es

conveniente seleccionar para las variables de estado cantidades fsicamente

medibles, si esto es posible, porque las leyes de control ptimo requerirn

realimentar todas las variables de estado con una ponderacin adecuada.

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REPRESENTACIN EN EL ESAPCIO DE ESTADOS:

Modelo en el dominio del tiempo compuesto de la ecuacin diferencial de

estado y la ecuacin de

salida

VECTOR DE ESTADO:

Vector que contiene todas las (n) variables de estado, x1, x2,, xn.

Si se necesitan n variables de estado para describir completamente el

comportamiento de un sistema dado, entonces esas n variables de estado se

pueden considerar como las n componentes de un vector x.

Este vector se denomina vector de estado. Un vector de estado es, por lo tanto,

un vector que determina directamente el estado del sistema x (t) en cualquier

instante del tiempo t t0, una vez que se conoce el estado en t = t0 y se especifica

la entrada u (t) para t t0.

ESPACIO DE ESTADOS:

El espacio n-dimensional cuyos ejes de coordenadas estn formados por el eje

x1, eje x2,..., eje xn, donde x1, x2,..., xn son las variables de estado, se denomina

espacio de estados. Cualquier estado se puede representar como un punto en

el espacio de estados.

La ecuacin de estado quedar definida pues por un conjunto de ecuaciones

diferenciales lineales que describan la dinmica del sistema y que ser

necesario trasladar a una forma vectorial-matricial.

ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOS:

En el anlisis en el espacio de estados se centra la atencin en los tres tipos de

variables que aparecen en el modelado de los sistemas dinmicos; las variables

de entrada, las variables de salida y las variables de estado.

El sistema dinmico debe contener elementos que recuerden los valores de la

entrada para t t1.

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Puesto que los integradores en un sistema de control en tiempo continuo sirven

como dispositivo de memoria, las salidas de tales integradores se pueden

considerar como las variables que describen el estado interno del sistema

dinmico. As las salidas de los integradores sirven como variables de estado.

El nmero de variables de estado para definir completamente la dinmica del

sistema es igual al nmero de integradores que aparezcan en el mismo.

Sea un sistema de mltiples entradas-mltiples salidas con n integradores.

Supngase tambin que hay r entradas u1 (t), u2 (t),..., ur (t) y m salidas y1 (t), y2

(t),..., ym (t). Se definen las n salidas de los integradores como variables de

estado: x1 (t), x2 (t),..., xn (t).

Entonces el sistema se puede describir mediante:

Las salidas y1 (t), y2 (t),..., ym (t) del sistema se obtienen mediante:

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Se define:

Las ecuaciones se convierten en:

Donde la ecuacin es la ecuacin de estado y la ecuacin

es la ecuacin de la salida. Si las funciones vectoriales f y/o g

involucran explcitamente el tiempo t, el sistema se denomina sistema variante

con el tiempo. Si se linealizan las Ecuaciones alrededor del estado de operacin,

se tienen las siguientes ecuaciones de estado y de salida ya linealizadas con

ayuda de la transformada de Laplace, satisfaciendo el principio de

superposicin y la propiedad de homogeneidad:

Forma estndar de las ecuaciones de estado y salida

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A continuacin se muestra un diagrama de bloques representando las

ecuaciones anteriores.

Diagrama de bloques para un sistema de entradas y salidas mltiples

Donde

: Vector de derivadas de las variables de estado de orden n

A (t): Matriz de estado; es una matriz cuadrada de n x n elementos de constantes,

parmetros o caractersticas fsicas o dinmicas del sistema.

X (t): Vector matriz de las variables de estado x de orden n

B (t): Matriz de entrada, es una matriz de constantes de orden n de la seal de

entrada

U (t): Matriz de entradas del sistema

C (t): Matriz de salida

D (t): Matriz de transmisin directa

Si las funciones vectoriales f y g no involucran el tiempo t explcitamente, el

sistema se denomina sistema invariante con el tiempo. En este caso, las

Ecuaciones linealizadas se simplifican representndolas mediante la notacin

compacta, as:

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La ecuacin es la ecuacin de estado del sistema lineal e

invariante con el tiempo y la ecuacin es la ecuacin de

salida para el mismo sistema.

ECUACIONES DE SALIDA:

No se deben confundir las variables de estado con las salidas de un sistema. Una

salida de un sistema es una variable que puede ser medida, pero una variable

de estado no siempre satisface este requerimiento. Por ejemplo, en un motor

elctrico, las variables de estado como flujo de corriente, la velocidad del rotor

y el desplazamiento se pueden medir fsicamente, y estas variables califican

como variables de salida.

Por otra parte, el flujo magntico tambin se puede considerar como una

variable de estado en un motor elctrico, ya que representa el estado pasado,

presente y futuro del motor, pero no puede ser medido directamente durante el

funcionamiento, y por tanto, no califica como una variable de salida. En general,

una variable de salida se puede expresar como una combinacin algebraica de

las variables de estado, la ecuacin de salida es y (t) = x1 (t).

MATRIZ DE TRANSFERENCIA:

Es una funcin exponencial matricial que describe la respuesta no forzada del

sistema. En otras palabras representa la respuesta libre del sistema, es decir,

gobierna la respuesta que es debida a las condiciones iniciales solamente.

La matriz de transicion de estado se define como una matriz que satisface la

ecuacion de estado lineal homogenea:

Ecuacin de estado lineal homognea

Frmula exponencial para la matriz de transferencia

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A continuacin, considrese un sistema con entradas y salidas mltiples.

Supngase que hay r entradas u1, u2,..., ur y m salidas y1, y2,..., ym. Se define

La matriz de transferencia G(s) relaciona la salida Y(s) con la entrada U(s), o

bien:

Y(s) = G(s) U(s)

Donde G(s) est dada por:

Como el vector de entrada u es de dimensin r y el vector de salida y es de

dimensin m, la matriz de transferencia G(s) es una matriz de m x r.

ECUACIN DE TRANSICIN DE ESTADO:

Se define como la solucin de una ecuacin de estado lineal homognea. La

ecuacin de estado lineal invariante con el tiempo:

Ecuacin Transicin de estado

Se puede resolver utilizando el mtodo clsico de solucin de ecuaciones

diferenciales lineales o el mtodo de transformada de Laplace.

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REPRESENTACIN EN EL ESPACIO DE ESTADOS DE

SISTEMASDE ECUACIONES DIFERENCIALES

ESCALARES

Un sistema dinmico formado por una cantidad finita de parmetros

concentrados se describe mediante una serie de ecuaciones diferenciales, en

las cuales el tiempo es la variable independiente. Con la notacin matricial,

puede expresarse una ecuacin diferencial de n-simo orden mediante una

ecuacin diferencial matricial de primer orden. Si n elementos del vector son un

conjunto de variables de estado, la ecuacin diferencial matricial es una

ecuacin de estado.

SISTEMAS DE ORDEN n CON FUNCIN DE EXCITACIN SIN

TRMINOS DERVIDADOS

Considrese el siguiente sistema de n-simo orden:

Si se considera que el conocimiento de , junto con la entrada

u (t) para t 0, determina totalmente el comportamiento futuro del sistema, se

puede tomar como un conjunto de n variables de estado.

(Matemticamente, tal eleccin de variables de estado es muy conveniente. Sin

embargo, en la prctica, debido a que los trminos que contienen las derivadas

de orden superior no son exactos, por los efectos de ruido inherentes en

cualquier situacin prctica, tal eleccin de las variables de estado puede no ser

conveniente). Si se define:

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Entonces, la ecuacin se escribe como:

O bien:

Ecuacin de estado

Donde:

La salida se obtiene mediante:

O bien:

Ecuacin de salida

Donde:

D = 0

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Obsrvese que la representacin en el espacio de estados para la funcin de

transferencia del sistema:

Tambin se obtiene mediante las Ecuaciones de estado y salida

SISTEMAS DE ORDEN n CON FUNCIN DE EXCITACIN CON

TRMINOS DERVIDADOS

Si la ecuacin diferencial del sistema contiene derivadas de la funcin de

excitacin, tales como:

El problema principal al definir las variables de estado para este caso radica en

los trminos que estn derivados. Las variables de estado deben ser de tal modo

que eliminen las derivadas de u en la ecuacin de estado.

Una forma de obtener una ecuacin de estado y una ecuacin de salida es definir

las siguientes n variables como un conjunto de n variables de estado:

Donde 0, 1, 2,..., n-1 se determinan a partir de:

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Con esta eleccin de variables de estado est garantizada la existencia y

unicidad de la solucin de la ecuacin de estado. (Observe que esta no es la

nica eleccin de un conjunto de variables de estado). Con la eleccin actual de

variables de estado, se obtiene:

Donde n est dado por:

En trminos de las ecuaciones matriciales, la ecuacin de estado y la ecuacin

de salida se escriben como:

O bien:

Ecuacin de estado y salida.

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Donde:

En esta representacin en el espacio de estados, las matrices A y C son

exactamente las mismas que para el sistema de la ecuacin para la funcin de

excitacin sin trminos derivados. Las derivadas del segundo miembro de la

ecuacin para la funcin de excitacin con trminos derivados slo afectan a los

elementos de la matriz B.

EJEMPLO 1

Considere el sistema mecnico (resorte-masa-amortiguador) que aparece en la

figura siguiente. Se supone que el sistema es lineal. La fuerza externa u (t) es la

entrada al sistema, y el desplazamiento y (t) de la masa es la salida. El

desplazamiento y (t) se mide a partir de la posicin de equilibrio en ausencia de

una fuerza externa.

Este sistema tiene una sola entrada y una sola salida.

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Sistema mecnico

SOLUCIN

A partir del diagrama, la ecuacin del sistema es:

Este sistema es de segundo orden, lo cual significa que contiene dos

integradores. Si se definen las variables de estado x1(t) y x2(t) como:

A continuacin se obtiene:

O bien:

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La ecuacin de salida es:

En una forma matricial, las ecuaciones de estado se escriben como:

Diagrama de bloque del sistema mecnico.

Ntese que las salidas de los integradores son variables de estado.

La ecuacin de salida, representada como notacin matricial, se escribe como:

Las ecuaciones de estado y salida estn en la forma estndar:

Donde:

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CONCLUSIONES

Este mtodo de variables de estado presentado resulta muy sofisticado y

preciso, que va a la par de las los requerimientos de los sistemas actuales que

requieren de gran precisin y exactitud. Desde luego que es necesario un

conocimiento profundo del mtodo cannico de representacin de las

ecuaciones de estado y sus consecuentes soluciones.

Por tanto, es necesario que el lector refuerce sus conocimientos acerca de la

solucin de ecuaciones empleando matrices, as como dominar y conocer cada

uno de los modelos matemticos representativos para cada caso especfico de

sistemas fsicos con comportamiento dinmico.

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REFERENCIAS

[1] Automatizacin y control de procesos PDF

[2] Sistemas de control automtico, Benjamn C. Kuo, 7 edicin, Prentice

Hall Hispanoamericana S. A.

[3] Ingeniera de Control moderna Katsuhiko Ogata, 5 edicin, Pearson

Educacin S. A, Madrid, 2010.

[4] Sistemas de control moderno Richard C. Dorf, 10 edicin, Pearson

Educacin S. A, Madrid, 2005.