Controladores PID

Departamento de Automática

IE – 431Sistemas de Control

Controladores PID

Prof. Víctor M. Alfaro

Agosto de 2005Rev. Marzo de 2006

IE-431 Controladores PID ii

TABLA DE CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN..............................................................................12. CONTROLADORES IDEALES.......................................................3

2.1 Controlador Proporcional (P)..................................................................42.2 Controlador Proporcional – Integral (PI).............................................. 52.3 Controlador Proporcional – Derivativo (PD).........................................82.4 Controlador Proporcional – Integral – Derivativo (PID)................... 112.5 Ecuaciones de conversión de parámetros............................................. 13

3. CONTROLADORES PID REALIZABLES.................................. 153.1 Filtro derivativo...................................................................................... 153.2 Acción derivativa sobre el error o la señal realimentada................... 163.3 Otras características de los controladores comerciales...................... 17

3.3.1 Parámetros de sintonización 173.3.2 Transferencia Automático/Manual 173.3.3 Protección contra el desbordamiento del modo integral 18

4. PID DE DOS GRADOS DE LIBERTAD....................................... 195. CONTROLADORES PID UNIVERSALES.................................. 21BIBLIOGRAFÍA................................................................................... 25

Vma.ucr.ie431.controladoresPID.odt V.M. Alfaro

IE-431 Controladores PID 1

1. INTRODUCCIÓNEn la Figura 1 se muestra un lazo de control realimentado monovariable. En este, G ps representa la función de transferencia del modelo de la planta vista por el controlador, la cual incluye el proceso controlado en si, el sensor/transmisor y el elemento final de control. La función de transferencia Gc s representa al controlador, cuyas características se describirán más adelante.

En este lazo de control existen dos entradas: el valor deseado r(s) y la perturbación z(s), y una salida, la señal realimentada y(s). El valor deseado, como su nombre lo indica, es el valor que se desea tenga la variable controlada c(s), representada por la señal realimentada, la cual es la medición efectuada de la variable controlada. Las perturbaciones son también entradas al sistema de control, las cuales tienden a desviar la variable controlada de su valor deseado.

El error e(s) es la diferencia entre el valor deseado de la variable controlada y su valor real.

La señal de salida del controlador u(s) es recibida por el elemento final de control, el cual se encarga de modificar la variable manipulada m(s) para efectuar la acción de control.

Figura 1 - Lazo de control realimentado

Usualmente se define controlador como “un dispositivo que opera automáticamente para regular una variable controlada”. Para realizar esto, compara el valor real de la variable controlada con su valor deseado, para obtener una señal de error. Este error es procesado por los modos de control, para calcular el cambio necesario de la variable manipulada para restablecer el equilibrio del sistema.

Aunque en adelante se denominará como controlador a los modos de control que lo componen, un controlador industrial incorpora varios elementos funcionales adicionales incluyendo: una forma para que el operador pueda establecer el valor deseado de la variable controlada, un comparador para obtener la señal de error, un selector para la operación manual o automática, un selector de la acción del controlador, un medio para el establecimiento del valor de sus parámetros, indicadores de la variable controlada, el valor deseado y la señal de salida, y otras características particulares dependiendo del fabricante y la aplicación.


Gp(s)Gc(s)r(s)

z(s)

y(s)e(s) u(s)+

+ +

-

Controlador Proceso


Figura 2 - Diagrama esquemático del controlador

En los controladores continuos, las señales de entrada y salida varían entre un valor mínimo y un valor máximo, dependiendo de la naturaleza de las señales. Por ejemplo si la instrumentación en neumática, las señales serán presiones de aire entre 0,2 y 1,0 bar, si la instrumentación es electrónica, las señales de corriente variarán entre de 4 y 20 mA y las de voltaje entre 1 y 5 Vcc.

Para efecto de la presentación de las ecuaciones de los controladores se trabajará en “por unidad”, se supondrá entonces que las variables y señales están normalizadas y son adimensionales.

Los controladores de uso industrial estarán formados por la combinación de los modos de control proporcional, integral y derivativo.

Independientemente de que el controlador sea neumático, electrónico analógico o digital, o desarrollado por medio de un programa en un sistema de control por computadora o controlador lógico programable (PLC), para su correcta sintonización es indispensable conocer cual es la ecuación utilizada su fabricante para el algoritmo de control PID incluido en este. La razón de lo anterior es que debido al desarrollo histórico de los controladores, los fabricantes no utilizan todos las mismas ecuaciones para sus algoritmos PID [Alfaro (1993)].

Como se indicará más adelante, el problema surgió a partir del desarrollo del primer controlador Proporcional – Integral – Derivativo (PID) ya que los controladores Proporcional (P), Proporcional – Integral (PI) y Proporcional – Derivativo (PD) fueron realizados en forma similar por todos los fabricantes.

La falta de estandarización en el desarrollo de los controladores PID de uso industrial, ha originado propuestas conducentes a establecer características deseadas mínimas que estos deban tener [Gerry y Shinskey (2000)] [EnTech (1993)]. Por su parte, la utilización de ecuaciones generales como las de los controladores universales propuestas permiten reducir la confusión existente.


Sistema detransmisión

Modos decontrol

Elementosde entrada

ControladorValor

deseado

rComparador

Errore

Señal de salidadel controlador

+

-u

Señalrealimentada

y


2. CONTROLADORES IDEALESLas ecuaciones empleadas normalmente para el estudio y descripción de los diferentes controladores omiten los detalles o limitaciones que su construcción física impone, con el fin de poder mostrar el efecto que los diferentes modos de control incluidos en ellos, tienen sobre el funcionamiento del sistema de control y por lo tanto son denominadas ideales.

La identificación de los controladores usualmente se hace con base a la primera letra de los modos de control incluidos, siendo estos Proporcional, Integral y, o Derivativo teniéndose entonces controladores de un modo (P), de dos modos (PI, PD) y de tres modos (PID).

El controlador recibe dos entradas: el valor deseado [r t, rs] y la señal realimentada[ yt, y s] y produce una señal de salida llamada simplemente salida del controlador [ut, u s] , la señal del error [et, e s] es una variable interna, tal como se muestra en la

Figura 3.

Los modos de control que constituyen el controlador están representados por su función de transferencia en el dominio del tiempo o de la frecuencia compleja Gc p , Gc s .

Las ecuaciones generales del controlador serán entonces:

ut =Gc pe t=Gc pr t− yt (2-1a)

us=Gc se s=Gcsr s− ys (2-1b)

Figura 3 – Diagrama de bloques del controlador

En la práctica, los controladores comerciales incluyen una selector de Acción tal como se muestra en la Figura 4.

El selector de Acción del controlador permite que esta sea Directa (la salida del controlador u crece cuando la señal realimentada y crece) o Inversa (la salida del controlador u decrece cuando la señal realimentada y crece).

Se requiere una Acción inversa (+1) cuando la ganancia de la planta es positiva y una Acción directa (-1) cuando la ganancia de la planta es negativa. De esta manera el producto de la Acción


u(s)r(s) Gc(s)

Controlador

Modos de control

+

-

y(s)

e(s)


por la ganancia de la planta siempre será un número positivo, de manera de garantizar que la realimentación sea negativa.

La selección de la Acción del controlador siempre debe realizarse antes de poner el lazo de control en funcionamiento. En adelante se supondrá que la acción ya ha sido seleccionada correctamente, de manera que se puede utilizar una ganancia de la planta positiva y trabajar con un controlador como el dado en la Figura 3.

Figura 4 – Controlador con selector de Acción

2.1 Controlador Proporcional (P)Un controlador formado por solamente el modo proporcional, se denomina controlador proporcional o simplemente controlador P y cumple con las siguientes ecuaciones

ut =Kc et (2.1-1)

Kc ganancia del controlador

e(t) error

u(t) señal de salida del controlador

El comportamiento dinámico del sistema de control se investigará para pequeñas variaciones de las variables en torno a un punto, el punto de operación deseado del sistema.

Para pequeñas variaciones de las variables la función de transferencia del controlador P será entonces

GcPs=K c (2.1-2)

El la Figura 6 se muestra el comportamiento dinámico del sistema de control de una planta de tercer orden, con un controlador proporcional ante cambios en el valor deseado, para varios valores de la ganancia Kc.


u(s)r(s) +

-

y(s)

e(s) Gc(s) +/- 1

Acción


Figura 5 – Respuesta del controlador Proporcional

Como se puede apreciar en las curvas de respuesta, al aumentar la ganancia, el error permanente respecto al nuevo valor deseado disminuye; el tiempo de levantamiento disminuye, el sistema responde inicialmente más rápido; el tiempo de asentamiento aumenta, el sistema es cada vez más lento; y las respuestas son cada vez más oscilatorias pudiendo llegar el sistema a ser inestable.

Figura 6 - Respuesta del servomecanismo P

2.2 Controlador Proporcional – Integral (PI)El modo proporcional visto anteriormente toma en cuenta la magnitud y el signo (valor presente) del error, pero no por cuanto tiempo ha existido, o con que velocidad cambia este error.

Un modo que toma en cuenta la “historia anterior” (valores pasados) del error es el modo integral. La salida del modo integral no alcanzará un valor estacionario hasta que el error sea cero y permanezca siendo cero. El modo integral adicionará a la salida del controlador una cantidad que es proporcional a la integral del error.

Aunque el modo integral se puede utilizar solo, en lo que se denomina un “controlador flotante”, se emplea más comúnmente en combinación con el modo proporcional para formar un controlador proporcional – integral o simplemente controlador PI.


E KcE

+/- Kc

r(t)y(t)

Kc = 1

Kc = 2

Kc = 5

Controlador PEfecto del cambio en Kc

Tiempo (minutos)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y(t)

0

.5

1.0

1.5

2.0


La ecuación para el controlador PI es

ut=K c[et 1T i∫0

te d ] (2.2-1)

Como se puede notar en la ecuación (2.2-1) si el error es cero y permanece en cero, esto es si se está en estado estacionario, la contribución del modo proporcional es cero y el valor de la integral (modo integral) es un número finito positivo o negativo. El modo integral garantiza que el error permanente sea cero, ya que su contribución en la salida del controlador no alcanza un valor constante, a menos que el error sea cero y permanezca siendo cero.

Para pequeñas variaciones de las variables la la función de transferencia del controlador PI será

GcPI s=K c1 1T i s (2.2-2)

en donde


Ti tiempo integral

En la Figura 7 se muestra el diagrama de bloques del controlador PI.Los dos parámetros seleccionables en un controlador PI son su ganancia y el tiempo integral. En la Figura 8 se muestra la respuesta del controlador PI ante un cambio escalón en el error y en la Figura 9 el efecto de la variación del tiempo integral

Figura 7 – Diagrama de bloques del controlador Proporcional - Integral

El tiempo integral es el tiempo que tarda la salida del modo integral en repetir en magnitud la salida del modo proporcional. Por esta razón en algunos controladores, especialmente los neumáticos antiguos, el ajuste del modo integral se hace en repeticiones por unidad de tiempo (repeticiones/minuto) en vez de en unidades de tiempo (tiempo integral).


Kcr(t)

y(t)

u(t)

PI

+

-1

Ti p

+

+


Figura 8 – Respuesta del controlador a un cambio escalón en el error

Figura 9 – Efecto de la variación del tiempo integral

En la Figura 10 se muestra el comportamiento dinámico del sistema de control de una planta de tercer orden con un controlador proporcional – integral, ante cambios en el valor deseado para varios valores del tiempo integral Ti.

Como se puede apreciar en las curvas de respuesta, si el tiempo integral tiende a infinito, se elimina el modo integral y el controlador se convierte en un controlador proporcional puro y por lo tanto habrá error permanente. Si se disminuye el tiempo integral, aumenta la acción integral, el error permanente es cero, pero la respuesta es más cada vez más oscilatoria en comparación con la obtenida con el controlador proporcional, pudiendo llegar el sistema a ser inestable. El modo integral elimina el error permanente pero disminuye la estabilidad relativa del sistema.


Efecto de la variación de Ti

Tiempo (minutos)0 1 2 3 4 5

u(t

)

0

1

2

3

4

5

Kc E (Ti infinito)

Kc ETi = 2.0

Ti = 0.25

Ti = 4.0

Kc ( E + E t / Ti)

E

KcE

e(t)

AcciónProporcional

AcciónIntegral

Kc

KcTi p

KcEtTi

u(t)

Ti

KcE

KcE+

+


Figura 10 – Respuesta del sistema de control con un controlador PI

2.3 Controlador Proporcional – Derivativo (PD)En los sistemas que tienden fácilmente a la inestabilidad, es conveniente introducir una compensación dinámica estabilizadora. Una acción de este tipo es la derivativa.

El modo derivativo toma en cuenta la velocidad con que cambia el error, aumentando la amplitud de la acción correctiva cuando el error cambia rápidamente y disminuyéndola cuando cambia lentamente, además, toma en cuenta la dirección en que cambia el error, esto es, las cantidades de acción correctiva grandes o pequeñas, dependiendo de la velocidad de cambio, se suman si el error aumenta y se restan si el error disminuye.

El modo derivativo permite estimar la tendencia (valores futuros) del error.

La acción derivativa se encuentra siempre asociada a la acción proporcional para formar el controlador proporcional – derivativo o controlador PD.

La ecuación para el controlador PD es

ut =K c[etT dde t

dt ] (2.3-1)

Para pequeñas variaciones de las variables la función de transferencia del controlador PD será

GcPDs=K c1T d s (2.3-3)

en donde



Controlador PIEfecto del cambio en Ti

Tiempo (minutos)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y(t)

0

.5

1.0

1.5

2.0

r(t)y(t)

Kc = 1, Ti = ∞

Ti = 1

Ti = 0.5


Td tiempo derivativo

En la Figura 11 se muestra el diagrama de bloques del controlador PD.

Los dos parámetros seleccionables en un controlador PD son su ganancia y el tiempo derivativo. En la Figura 12 se muestra la respuesta del controlador PD ante un cambio tipo rampa en el error y en la Nº 13 el efecto de la variación del tiempo derivativo

Figura 11 – diagrama de bloques del controlador Proporcional - Derivativo

Al adicionar la acción derivativa, se está adicionando adelanto en el controlador para compensar el retraso en el lazo. El uso del modo derivativo se limita usualmente a aquellos casos con un retraso extremo en el proceso, evitando utilizarlo en los sistema con ruido de medición. El ajuste del tiempo derivativo tiene que ver con cuanto adelanto se introduce en la acción de control.

El tiempo derivativo es ese adelanto en tiempo que se logra con la acción derivativa.

Figura 12 - Respuesta del controla PD a un cambio rampa en el error


u(t)Kcr(t)

y(t)

PD

+

-

Td p

+

+

Et

KcEt

e(t)

AcciónProporcional

AcciónDerivativa

Kc

Kc Td

KcTdE

u(t)

KcTdE+

+

Td


Figura 13 – Efecto de la variación del tiempo derivativo

Figura 14 – Respuesta del sistema de control con un controlador PD

La adición del modo derivativo en el controlador hace normalmente que el lazo sea más estable si está ajustado correctamente. Si el lazo es más estable, la ganancia puede ser mayor y el error permanente será menor que el que se tendría con un controlador puramente proporcional.


Efecto de la variación de Td

Tiempo (minutos)0 1 2 3 4 5

u(t

)

0

1

2

3

4

5

Kc E t (Td = 0)

Td = 2.0

Td = 1.0

Td = 0.5

Kc (Td E + E t)

Controlador PDEfecto del cambio en Td

Tiempo (minutos)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y(t

)

0

.5

1.0

1.5

2.0

r(t)y(t)

Kc = 6, Td = 0

Td = 0.125

Td = 0.25


Como se aprecia en las en curvas de respuesta a un cambio en el valor deseado para el caso de una planta de tercer orden (Figura 14), al aumenta la acción derivativa, aumentando Td, el sistema es más estable, es más rápido y el sobrepaso máximo disminuye. El cambio del tiempo derivativo no tiene ningún efecto sobre el error permanente.

2.4 Controlador Proporcional – Integral – Derivativo (PID)Los tres modos de control enumerados anteriormente pueden combinarse para formar un controlador proporcional – integral – derivativo, usualmente conocido simplemente como controlador PID.

Como se ha indicado con anterioridad, no existe una única ecuación para representar a todos los controladores PID. La razón principal estriba en que normalmente se ha utilizado una ecuación para explicar su funcionamiento en los libros de texto, mientras que los controladores reales, fueron fabricados empleando otra ecuación por consideraciones principalmente económicas.

• PID-Ideal (No interactuante)

La ecuación usualmente utilizada en los libros de texto para describir el funcionamiento de los controladores PID es

ut =K c[et 1T i∫0

te d T d

de tdt ] (2.4-1)

en donde


Ti tiempo integral

Td tiempo derivativo

Para pequeñas variaciones de las variables la función de transferencia de este controlador PID-Ideal será

GcPIDIdeals=K c1 1T i sT d s (2.4-2)

La ecuación (2.4-1) muestra claramente cada modo de control actuando por separado sobre el error por lo que también se le llama no interactuante en el dominio del tiempo. Sin embargo, si la función de transferencia (2.4-2) se escribe con un denominador común, se puede apreciar que el numerador es un polinomio de segundo orden cuyas dos raíces dependen tanto del valor del tiempo integral como del tiempo derivativo, por lo que en ocasiones se dice que el controlador PID-Ideal es interactuante en dominio de la frecuencia.



Figura 15 – Diagrama de bloques del controlador Proporcional - Integral - Derivativo

Los controladores P, PI y PD de diferentes fabricantes tiene todos las mismas características básicas y sus funciones de transferencia son las enumeradas anteriormente, pero lo mismo no ocurre con los controladores PID, los cuales pueden diferir considerablemente. El origen principal de estas diferencias se remonta a la fabricación del primer controlador PID industrial, el Taylor Fulscope 100 en 1940. Los fabricantes encontraron que podían incorporar los modos integral y derivativo en un mismo controlador utilizando un solo amplificador, si estos se interconectaban en tal forma que su función de transferencia tuviera los dos modos de control en serie y no en paralelo, como usualmente se describe en la ecuación de los controladores PID. Esto y otras variaciones posteriores ha dado origen a la existencia de diferentes tipos de controladores PID lo cual se complica al emplear los fabricantes diferentes nombres para referirse a ellos aunque sean similares.

Se presentan a continuación algunos de las otras formas de controladores PID existentes

• PID-Serie (interactuante)

Es el resultado de poner un controlador PI en serie con un PD.

ut =K c'[1 1

T i' p][1T d

' p]e t (2.4-3)

y su función de transferencia es

GcPIDSerie' s=K c

'1 1T i

' s1T d' s (2.4-4)

Como se puede apreciar en la función de transferencia (2.4-4), la posición de cada uno de los ceros del controlador depende solo uno de los parámetros, tiempo integral o tiempo derivativo, por


Kcr(t)

y(t)

u(t)

PID

+

-1

Ti p

+

+

Td p

+


los pudiera decirse que este controlador es no interactuante en el dominio de la frecuencia aunque es interactuante en el dominio del tiempo. Por esto es importante al analizar la información de un fabricante que indica que su controlador es o no interactuante, verificar si este se refiere a su función de trasferencia o a su ecuación en el domino del tiempo.

• PID-ParaleloEn este controlador cada modo tiene una ganancia de ajuste independiente

ut =[K pK i

pKd p]et (2.4-5)

y su función de transferencia es

GcPIDParalelo s=K pK i

sKd s (2.4-6)

El efecto de la variación de las diferentes ganancias del controlador paralelo no tiene el mismo efecto que el normalmente asociado a la ganancia y constantes de tiempo integral y derivativo de los controladores PID, siendo normalmente más difícil de sintonizar mediante procedimientos de prueba y error.

2.5 Ecuaciones de conversión de parámetrosComo se indicó anteriormente, no existe una única ecuación para representar a los controladores PID, ya que estos son realizados en diferentes formas por los fabricantes, razón por la cual frecuentemente el tipo de controlador supuesto por el método de sintonización que se desea emplear, no es igual al controlador que se desea sintonizar y deben recalcularse los parámetros necesarios para su sintonización.

Debido a la existencia de diferentes formas en las que los controladores PID son realizados, es necesario establecer entonces ecuaciones que permitan determinar los parámetros de sintonización de un controlador a partir de los de otro diferente, o sea ecuaciones que nos permitan obtener los parámetros “equivalentes” entre los diferentes controladores, las cuales se resumen en el Cuadro 2.5.

Las ecuaciones de conversión muestran el efecto de la interacción al pasar de un controlador PID-Serie a uno Ideal.También se hace evidente de las ecuaciones de conversión que solamente existe un controlador PID-Serie equivalente a un PID-Ideal si se cumple que T i≥4T d .

En el caso de los controladores electrónicos digitales modernos, es usual que exista la posibilidad de seleccionar la función de transferencia del controlador de entre estas formas básicas o de algunas de sus variantes.



Cuadro 2.5 - Parámetros equivalentes para los controladores PIDPID Ideal

K c[1 1T i pT d p]

PID Serie

K c'[1 1

T i' p][1T d

' p]PID Paralelo

[K pK i

pKd p]

K c K c'=K c K IS

K p=K c

T i T i'=T i K IS

K i=Kc /T i

T d T d'=T d / K IS

Kd=K c T d

K c=K c' KSI K c

' K p=K c' 1T d

' /T i'

T i=T i' KSI T i

' K i=Kc' /T i

'

T d=T d' / KSI T d

' Kd=K c' T d

'

K c=K p K c'=KPS

K p

T i=K p/K i T i'=KPS / K i

K i

T d=Kd /K p T d'=Kd / KPS

Kd

donde:

• K IS=0.51 1−4T d /T i Factor de conversión PID Ideal a PID Serie• KSI=1T d

' /T i' Factor de conversión PID Serie a PID Ideal

• KPS=0.5K pK p2−4Kd K i Factor de conversión PID Paralelo a PID Serie



3. CONTROLADORES PID REALIZABLESLos controladores PID comerciales incorporan características adicionales a las funciones de transferencia simplificadas presentadas anteriormente, algunas de las cuales se describen adelante.

3.1 Filtro derivativoLas ecuaciones vistas anteriormente para los controladores PID requieren ser modificadas para su realización. Como se puede observar, estas incluyen un derivador puro el cual no es físicamente realizable. Es necesario incluir un filtro paso bajo en el modo derivativo, que permita la realización del derivador y que limite el ruido de alta frecuencia normalmente presente en la variable medida. La inclusión de este filtro hace que los controladores “reales” queden representados por las siguientes funciones de transferencia:

• Controlador PID-Ideal

GcPIDIdeal p=K c[1 1T i p

T d p1 f p] (3.1-1)

Figura 16 – Controlador PID-Ideal realizable


Kcr(t)

y(t)

u(t)

PID

+

-1

Ti p

+

+

+

Td pα Td p +1


• Controlador PID-Serie

GcPIDSerie p=K c'[1 1

T i' p][1 T d

' p1 f p] (3.1-2)

• Controlador PID-Paralelo

GcPIDParalelo p=[K pK i

p

Kd p1 f p] (3.1-3)

La constante de tiempo del filtro f normalmente se hace ocho a diez veces más pequeña que el tiempo derivativo, entonces f=T d ≈ 0,1T d T d

' o Kd ( 0,05≤≤0,2 ).

3.2 Acción derivativa sobre el error o la señal realimentadaEn todas las ecuaciones de los controladores vistas hasta el momento, cada uno de los modos de control actúa sobre la señal del error. En el caso del modo derivativo, esto ocasiona que se produzca un salto en la salida del controlador, cuando se introduce un cambio escalón en el valor deseado. Por esta razón es frecuente que el modo derivativo se aplique solo sobre la señal realimentada.

En el caso del controlador PID Serie la ecuación quedaría como:

• Controlador PID-Industrial

ut =K c'[1 1

T i' p][rt−1T d

' p1 f p

y t] (3.2-1)

el cual usualmente se denomina simplemente controlador PID Industrial por ser el más empleado por los fabricantes de controladores de uso en la industria.

Como la derivada se aplica solamente sobre la señal realimentada, la respuesta del controlador PID-Industrial es idéntica a la del PID-Serie con iguales parámetros ante un cambio en la perturbación, pero será normalmente más lenta a un cambio en el valor deseado.

Es importante tener en cuenta que la mayoría de los lazos de control en la industria operan como reguladores y muy pocos como servomecanismos. Una excepción importante es el controlador esclavo en un sistema de control en cascada.



3.3 Otras características de los controladores comerciales3.3.1 Parámetros de sintonizaciónAdemás de las diferencias que se han hecho notar sobre la forma en que los controladores PID pueden ser realizados, los fabricantes tampoco son uniformes a la hora de designar los nombres a los parámetros de sintonización de los modos de control [Alfaro (2002)].

.1 Modo proporcionalLa sintonización del modo proporcional en la mayoría de los controladores electrónicos esta representado por la ganancia Kc, sin embargo en los controladores neumáticos y en algunos electrónicos, este es hecho mediante la banda proporcional Bp, los cuales están relacionados por

K c=100Bp

(3.3.1-1)

.2 Modo integralEl tiempo integral Ti (minutos, segundos) es el parámetro más frecuente utilizado para la sintonización del modo integral, aunque algunos fabricantes emplean la razón de restablecimiento Tr (repeticiones/minuto, repeticiones/segundo) siendo uno el inverso del otro

T i=1

T r(3.3.1-2)

.3 Modo derivativoEn este caso todos los fabricantes utilizan el tiempo derivativo Td (minutos, segundos) aunque algunos lo llaman “Pre-Act”.

3.3.2 Transferencia Automático/ManualTodos los controladores comerciales pueden operarse en modo “Manual”, esto es con el lazo de realimentación “abierto”. En esta condición, el operador puede variar la salida del controlador según lo desee. El controlador opera normalmente en modo “Automático”, o sea con el lazo de realimentación “cerrado”. En esta condición la salida del controlador, es determinada por el procesamiento de la señal de error por los modos de control.

Existe un selector Automático – Manual el cual permite transferir la operación del controlador de un modo a otro. Como la señal de salida manual del controlador, puede no ser la misma que la salida del modo automático, para evitar un salto en la señal de salida del controlador al transferir de una operación a otra, debe de existir un mecanismo que haga coincidir la señal de salida no activa, a la salida del controlador en el instante de realizar la transferencia. Esta característica es estándar en todos los controladores y se denomina usualmente “Transferencia Automático – Manual sin saltos ni procedimientos” a raíz de que en los primeros controladores neumáticos era necesario efectuar una serie de pasos para garantizar la transferencia sin saltos.



3.3.3 Protección contra el desbordamiento del modo integralMientras el error sea distinto de cero, la contribución del modo integral a la salida del controlador seguirá variando y dejará de hacerlo solo cuando este sea cero y permanezca en cero. Esta característica es la que permite obtener error permanente cero cuando se utiliza el modo integral.

Existen ocasiones en que el error es distinto de cero y en las cuales deba evitarse que se siga incrementando o decrementando, dependiendo del signo del error, la integral del mismo para prevenir la saturación del integrador. Si esto ocurre se requerirá que el error se mueva en la dirección contraria y cambie de signo por un tiempo que podría llegar a ser grande, antes de que la contribución del modo integral regrese a valores normales.

Lo anterior es particularmente cierto cuando el controlador se opera en modo manual, cuando el elemento final de control ha alcanzado una posición extrema, por ejemplo una válvula de control completamente abierta y en el caso de los sistemas de control selectivo.

Los fabricante incorporan casi de manera estándar dentro de sus controladores, un mecanismo para prevenir este desbordamiento del modo integral denominado en inglés “anti-reset winup”, aunque algunos son renuentes a divulgar como es realizado.



4. PID DE DOS GRADOS DE LIBERTADOtra variación de los controladores, aunque menos frecuente, es la aplicación del modo proporcional solamente a la señal realimentada en vez de al error. Sin embargo, si en vez de lo anterior se incluye un factor de peso en el valor deseado sobre el cual se aplica el modo proporcional, se puede obtener lo que se denomina controlador de dos grados de libertad.

Si el controlador tiene una de las ecuaciones vistas anteriormente y se seleccionan sus parámetros para lograr un cierto desempeño ante cambios en el valor deseado (servomecanismo), su respuesta a cambios en la perturbación quedará completamente definida. Lo mismo sucede a la inversa, esto es, si el controlador se sintoniza para lograr un determinado desempeño ante cambios en la perturbación (regulador), su comportamiento ante un cambio en el valor deseado estará completamente determinado. Estos controladores se denominan en general como controladores de un grado de libertad, por la imposibilidad de satisfacer simultáneamente características independientes en los dos tipos de respuesta.

Al adicionar el factor de peso sobre el valor deseado, se podrá sintonizar el controlador para lograr, aunque con ciertas restricciones, diferentes desempeños como regulador y como servomecanismo.

Las ecuaciones de los controladores de dos grados de libertad serían:

Controlador PID-Ideal2

Acción derivativa actuando sobre el error

ut =K c[K r r t− yt 1T i pr t− yt

T d p1T d

r t − yt] (4.0-1)

Acción derivativa actuando sobre la señal realimentada solamente

ut =K c[K r r t− yt 1T i pr t− yt −

T d p1T d

y t] (4.0-2)

• Controlador PID-Serie2

Acción derivativa actuando sobre el error

ut=Kc'[K r

1T i

' p1T d' p

1T d' r t−1 1

T i' p1T d

' p1T d

' yt] (4.0-3)

Acción derivativa actuando sobre la señal realimentada solamente



ut=Kc'[K r

1T i

' prt−1 1T i

' p1T d' p

1T d' yt] (4.0-4)

donde K r – factor de peso del valor deseado 0≤K r≤1 .

En muchos controladores comerciales sin embargo K r solo puede tener los valores de 0 o 1.

Un controlador PID de dos grados de libertad tiene entonces cuatro parámetros que pueden seleccionarse para lograr el desempeño deseado del lazo de control.



5. CONTROLADORES PID UNIVERSALESComo se indicó anteriormente, el primer controlador que incorporó las tres acciones básicas de control fue el Fulscope modelo 100, introducido al mercado por Taylor Instruments en 1940. Las diferencias entre la forma en que este controlador fue realizado y la ecuación generalmente utilizada para la descripción de las acciones de un controlador PID, originaron desde la creación de éste, múltiples y diversas formas de referirse a estos controladores como ya se ha visto.

Se encuentran entonces en la literatura técnica nombres tales como controlador PID, ideal, serie, industrial, paralelo, PI-D, I-PD, de un grado de libertad, de dos grados de libertad, interactuante, no interactuante, clásico, de ganancias independientes, estándar, ISA, tipo A, B, C, o D, y mezclas de estos para referirse a este tipo de controlador. Multiplicidad de términos que solo contribuyen a la confusión sobre la forma en que sus acciones están relacionadas, ya que incluso se puede encontrar que se utilizan los mismos nombres para denominar formas diferentes.

Por ejemplo la información sobre el programa de análisis de lazos de control y sintonización de controladores ExperTune1, indica que este posee una base de datos de más de 200 controladores industriales de diferentes fabricantes, y el manual de aplicaciones del programa de optimización de sistemas de control PROTUNER 322 incluye una tabla comparativa de 75 controladores PID, los que evidentemente no son todos completamente diferentes entre sí, pero da una muestra clara de que no existen algoritmos estandarizados.

En cuanto a la denominación de los parámetros de cada acción de control, también se encuentra variedad de términos y unidades diferentes, según sean las preferencias de sus respectivos fabricantes.

EnTech (1993) por un lado y Gerry y Shinskey(2000) por otro, enumeran algunas de las características deseadas que un controlador PID moderno debe poseer, pero no establecen ecuaciones generales que permitan su normalización.

Se considera no solamente conveniente si no necesario, contar con el mínimo de ecuaciones posibles que permitan describir el funcionamiento de las diferentes variantes de los controladores PID disponibles en el mercado. Se han propuesto entonces ecuaciones para lo que se ha denominado controladores PID Universales [Alfaro (2002)], como una forma de estandarizar los esquemas y los términos utilizados para referirse a los diferentes controladores PID comerciales.

Como no es posible describir por medio de una sola ecuación la estructura paralela y la serie, se propondrán entonces dos ecuaciones generales o universales para representar a los controladores PID, una basada en una estructura paralela y la otra en una serie.

Los controladores PID enumerados anteriormente pueden ser representados por alguna de estas dos estructuras generales.

1 ExperTune, Inc. - “What ExperTune Needs to Know About Your PID Algorithm”, 20002 Techmation, Inc - “PROTUNER 32 Application Manual”, Enero1999



Un controlador PID Universal tipo Paralelo (PIDup) será aquel en que las acciones de control integral y derivativo no interactúan una con la otra, como se muestra en el siguiente diagrama de bloques y estará representado por la ecuación:

up t=K cp[ K r

r p1rt− yt 1

T ip p r t−y tT dp pTdp p1

Kd rt−y t] 1 f p1

(5.1-1)

Un controlador PID Universal tipo Serie (PIDus) será aquel que resulta de la colocación en serie las acciones integral y derivativa como se muestra en el siguiente diagrama de bloques y estará representado por la ecuación:

u st =K cs[ K r

r p1 1

Tis p1 Kd Tds pd Tds p1rt −1 1

Tis p1 Tds pd Tds p1 yt ] 1

f p1(5.1-2)



En las dos ecuaciones anteriores las variables y parámetros son:

r(t) valor deseado

up(t) salida del controlador tipo paralelo

us(t) salida del controlador tipo serie

y(t) variable controlada

Kcp ganancia, controlador paralelo

Tip tiempo integral, controlador paralelo

Tdp tiempo derivativo, controlador paralelo

Kcs ajuste proporcional, controlador serie

Tis ajuste integral, controlador serie

Tds ajuste derivativo, controlador serie

Kd selector, acción derivativa (Kd = 0 o 1)

Kr factor de peso del valor deseado 0≤K r≤1

d constante del filtro derivativo. 0,05≤d≤0,20 , usualmente fijado por el fabricante en 0,1



f constante de tiempo, filtro PID-IMC

r constante de tiempo, filtro del valor deseado

p operador derivada (d/dt)



BIBLIOGRAFÍA

Alfaro, V.M. (1993) - “¿Son todos los controladores PID iguales?”, Ingeniería, Vol. 3 Nº 1, pág. 11–19

Alfaro, V.M. (1994) - “Aspectos que deben ser tomados en consideración al utilizar un método de ajuste de controladores”, Ingeniería, Vol. 4 Nº 1, pág. 45-54

Alfaro, V.M. (2002) - “Funciones de controladores PID universales”, Ingeniería, Vol. 12 Nº 1-2

Gerry, J. (1987) - “A Comparison of PID Control Algorithms”, Control Engineering, Vol 34 Nº 3, Marzo

Gerry, J. y F.G. Shinskey (2000) - “PID controllers specifications (White paper)”, Expertune Inc.

EnTech (1993) - “Automatic Controller Dynamic Specifications”, Entech, Inc.


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Controladores PID

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