Conversión de la energía potencial en energía cinética y viceversa
Supongamos un cuerpo de masa m a una altura h. En esta posición inicial, el cuerpo tiene una
energía potencial inicial gravitatoria que viene dada por:
hgmEpi
Como el cuerpo se encuentra en reposo, no tiene energía cinética. Sin embargo, el cuerpo, a
medida que baja, va adquiriendo mayor velocidad, con lo que su energía cinética va en
aumento. Por el contrario, la energía potencial disminuye paulatinamente, ya que la altura a la
que se encuentra el cuerpo es cada vez menor.
De este modo, cuando el cuerpo llega al suelo, su energía cinética es máxima, mientras que su
energía potencial es igual a cero. La energía cinética del cuerpo en esta posición viene dada
por:
2
2
1mvEcf
En estas condiciones, si tenemos en cuenta las características del movimiento con el que el cuerpo
cae, llegamos a la siguiente conclusión:
cfpi Emvg
vmgmghE 2
2
2
1
2
Es decir, la energía cinética que tiene el cuerpo al llegar al suelo es igual a la energía potencial que
tenía dicho cuerpo en el instante inicial de su movimiento. O bien, dicho de otra forma, la energía
potencial se ha transformado completamente en energía cinética.
Supongamos ahora el caso contrario, es decir, desde el suelo vamos a lanzar el cuerpo hacia
arriba con una velocidad inicial v. En esta situación el cuerpo inicia su movimiento dotado de una
energía cinética que viene dada por:
2
2
1mvEci
Como el cuerpo se encuentra al nivel del suelo, no tiene energía potencial. Sin embargo, a medida
que el cuerpo sube, va disminuyendo su velocidad y, en consecuencia, va disminuyendo su energía
cinética. Por el contrario, a medida que el cuerpo gana altura, la energía potencial aumenta
progresivamente.
La ascensión del cuerpo continuará hasta que su velocidad llegue a ser nula, alcanzando entonces
el punto más alto de su trayectoria. En ese momento la energía cinética será nula y la energía
potencial será máxima.
En estas condiciones, al igual que en el caso anterior, el valor de la energía potencial que tiene el
cuerpo en el punto más alto es igual a la energía cinética que tenía dicho cuerpo en el instante
inicial de su movimiento. Es decir, la energía cinética se ha transformado completamente en
energía potencial.
pfci EE
Sistemas donde no se consideran
las fuerzas de rozamiento
Supongamos un cuerpo que desciende desde una cierta altura, h hasta llegar al nivel del suelo
despreciando el rozamiento del aire.
Estudiaremos la energía que tiene dicho cuerpo en un punto cualquiera, A, de su recorrido.
El cuerpo se encontrará a una determinada altura, hA, y, por lo tanto, tendrá una determinada
energía potencial:
ApA mghE
En dicho punto, el cuerpo tendrá también una velocidad, Va, y energía cinética:
2
2
1mvEcA
La energía mecánica total de dicho cuerpo viene dada por la suma sus energías cinética y
potencial:
En cada punto del recorrido del cuerpo, la energía cinética y la energía potencial van cambiando;
lo que se mantiene constante es la suma.
En estas condiciones, la velocidad que lleva el cuerpo se puede escribir en función de la altura y
de la aceleración de la gravedad, de la siguiente manera:
)(22
AA hhgV
En consecuencia, sustituyendo en la expresión de la energía total; resulta:
Es decir, la suma de las energías cinética y potencial del cuerpo en un punto cualquiera de su
recorrido es igual a la energía potencial que tiene dicho cuerpo al principio de este recorrido y, por
lo tanto( es igual a la energía cinética que tiene el cuerpo al final de dicho recorrido.
piAAmA EmghmghhhgmE )(22
1
De este modo, si se considera nulo el rozamiento, entonces se cumple el principio de
conservación de la energía mecánica, que se enuncia así:
La energía mecánica de un cuerpo en movimiento se mantiene constante en todos y cada
uno de los puntos de su recorrido.
Matemáticamente, este principio se expresa mediante esta ecuación
cinéticapotencialmecánica EEE (no consideramos rozamiento)
Si sobre el cuerpo actúan fuerzas aplicadas, el trabajo realizado por estas fuerzas produce una
variación de la energía cinética y potencial del cuerpo, cumpliéndose la relación:
pipfcicfEXTERNO EEEEW
donde WEXTERNO representa el trabajo realizado por las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo y donde
Eci y Epi y Ecf y Epf, representan, respectivamente, las energías cinética y potencial del cuerpo,
antes y después de la aplicación de las fuerzas.
140 m
.
A
B
C
Problema: Calcula la velocidad en B y C de una pelota de 200
g. de masa, sabiendo que B la pelota ha descendido 50 m.
Para empezar tenemos que comprender que la energía
mecánica en los puntos A, B y C es la misma, es decir…
CmecánicaBmecánicaAmecánica EEE ___
Entonces comenzamos por el punto más alto A
2
___2
1AAAcinéticaApotencialAm vmhgmEEE
Como en A , el cuerpo se deja caer no tiene velocidad en A y por lo tanto Energía cinética
smvA 0
Entonces
.27514081,92,0__ JhgmEE AApotencialAm
En el punto B tenemos la misma Energía Mecánica que en A y por lo tanto
JvmhgmEEE BBBcinéticaBpotencialBm 2752
1 2
___
Como se nos indica que ha descendido 50 m., la altura en B será…
.905014050 mhh AB
Y por lo tanto…
Jvvmhgm BBB 2752,02
19081,92,0
2
1 22
Despejamos la velocidad en B
s
mv
vv
B
entonces
B
entonces
B
4,312,0
6,1762752
6,1762752,02
12752,0
2
16,176 22
Para concluir calculamos la velocidad en C, donde la Energía Mecánica es la misma que en A y B.
JvmhgmEEE CCCcinéticaCpotencialCm 2752
1 2
___
Pero en este caso la altura en C es cero .0mhc y por lo tanto
JvmEE CCcinéticaCm 2752
1 2
__
Y por lo cual concluimos…
smvJvvm cCC 44,52
2,0
27522752,0
2
1
2
1 22
Problema: Un cuerpo de masa 15 kg. se sitúa en lo alto de un plano inclinado 35º sobre la horizontal.
La longitud del plano es 20 m.
¿Cuánto vale la energía potencial del cuerpo al estar en lo alto del plano?
¿Con qué velocidad llega el cuerpo al final del plano? ¿Cuánto vale su energía cinética
en ese instante?.
Cuando está a una altura de 1m. ¿Qué velocidad lleva?
20 m.
35°
1 m
.
A
B
C
En este problema sabemos la longitud de la
rampa y el ángulo que forma esta con la
horizontal, pero desconocemos la altura, y
por lo tanto tenemos que aplicar las razones
trigonométricas…
Aopuesto
op
opopuesto
hmc
sencc
senhipotenusa
catetosen
.5,11
º352020
º35
Tenemos la altura en A y podemos empezar el problema como el anterior…
CmecánicaBmecánicaAmecánica EEE ___
Entonces comenzamos por el punto más alto A
2
___2
1AAAcinéticaApotencialAm vmhgmEEE
Como en A , el cuerpo se deja caer no tiene velocidad en A y por lo tanto Energía cinética smvA 0
Entonces
.16925,1181,915__ JhgmEE AApotencialAm
Consideramos B el final del plano y por lo tanto con altura 0. .0mhB
smv
JvJvmEE
B
entonces
BBBcinéticaBm
1515
16922
1692152
11692
2
1 22
__
Planteamos
El problema nos pregunta que velocidad llevará cuando está a un metro de altura…
Jv
JvmhgmEEE
C
entonces
CCCcinéticaCpotencialCm
1692152
1181,915
16922
1
2
2
___
Despejamos la velocidad
s
mv
JvJv
c
CC
4,1415
14716922
1692152
1147169215
2
1181,915 22
Final
5 m
.
3,7
m.
16,5
0 m
.
A
B
C
Problema: Fijándote en la figura. Calcula la velocidad en el punto inicial para que la vagoneta pase
el looping con una velocidad mínima de 45 km/h. ¿Qué velocidad tendrá al final do recorrido?.
(masavagoneta=3700 kg.)
El planteamiento de este ejercicio es distinto a los anteriores, puesto que no conocemos la velocidad
en el punto a, que no puede ser cero. Eso sí, conocemos que tiene que pasar el looping a 45 km/h y
la altura del mismo, por lo tanto conocemos la Energía Mecánica en ese punto. Vamos a comenzar
por ahí. Primero todo al S.I.
sm
km
m
s
h
h
kmvB 5,12
.1
.1000
3600
145
Calculamos la energía mecánica en B.
2
___2
1BBBcinéticaBpotencialBm vmhgmEEE
JE Cm 8879635,1237002
15,1681,93700 2
_
Hemos obtenido la Energía Mecánica en B y por lo tanto…
CmecánicaBmecánicaAmecánica EEE ___
Ahora podemos calcular la velocidad en el punto A (inicio de recorrido)
Jv
JvmhgmEEE
A
entonces
AAAcinéticaApotencialAm
88796337002
1581,93700
8879632
1
2
2
___
La velocidad en A es…
.
54,193700
1814858879632
88796337002
1181485 2
smv
Jv
A
A
Y de la misma manera para el punto C (final del recorrido)
Jv
JvmhgmEEE
C
entonces
CCCcinéticaCpotencialCm
88796337002
17,381,93700
8879632
1
2
2
___
.
2,203700
1349908879632
88796337002
1134990 2
smv
Jv
C
C
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