Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

COORDENADAS POLARES

Prof : Denis alvino mato

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

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Habilidades

1.Representar puntos del plano en coordenadas

polares.

2.Deducir la relación entre el sistema cartesiano

y el sistema polar.

3.Reconocer y graficar ciertas curvas notables en

coordenadas polares.

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3

0

y

x

(x, y)

Coordenadas Rectangulares

P

x

y

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Polo Eje Polar

r

θ

P (r, θ)

Coordenadas Polares (r, θ) de un Punto P

0

Emplea distancias y direcciones.

r es la distancia de O a P.

θ es el ángulo entre el eje polar y el segmento OP.

θ es positivo si se mide en

dirección contraria a las manecillas del reloj.

θ en radianes.

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Si r < 0, entonces P(r,θ) se define

como el punto que se encuentra a |r|

unidades del polo en la dirección

opuesta a la que da θ.

0

θ

P(-r,θ)

P(r,θ)

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En un sistema de coordenadas polares cada punto tiene muchas representaciones

3

.02

P(2, /3)

2nπ3

π

2nπ

3

π;2

x

y 31;P3

1

En el sistema coordenado cartesiano, todo punto tiene sólo una representación.

Es decir, el punto en coordenadas polares (r; θ), se representa también por

y)2;( nθr

))12(;( nθr

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Conexión entre el sistema Polar y el sistema cartesiano

De la grafica observe que:

9

y

xq

r

P(x ; y)

P(r ; q)

x

y

qq senryrx cos

Estas ecuaciones permiten hallar las coordenadas cartesianas de un punto cuando se conocen lascoordenadas polares.

Para hallar las coordenadas r y θ cuando se conocen x e y,

se usan las ecuaciones

x

yyxr θtan222

Si P es un punto cuyas coordenadas polares son (r ; θ) entonces, las coordenadas rectangulares (x ; y) de P serán:

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Gráficas de Ecuaciones Polares

Ejemplo: Trace la gráfica de la ecuación r = 3

1 2 3 4 5 60x2 + y2 = 9

La grafica de una ecuación polar r = f(θ), o de manera más generalF(r; θ), consta de los puntos P que tienen al menos una representaciónpolar (r; θ) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.

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Identificar y hacer la gráfica de la ecuación: q = /4

q /4

tan q tan/4

xy = 1

x = y

q = 0

q = /4

q = /2

q = 3/4

q =

q = 5/4

q = 3/2

q = 7/4

1 2 3 4 50

y

x

Ejemplo:

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1. Resuelve: f(q) = 0.

2. Si existe al menos un valor para el ánguloq, la gráfica sí pasa por el polo (0; q) sino, la gráfica no pasa por el polo.

¿La gráfica pasa por el polo?

¿Cuales de las siguientes gráficas cuyas ecuaciones polares se dan, pasan por el polo?

a) r = 2 senq

b) r = 2 + senq

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Simetría

1. Si una ecuación no cambia al sustituir θ por –θ, la gráfica es simétrica respecto al eje polar

(r ; q)

(r ; -q)

oq

q

2. Si una ecuación no cambia al sustituir r por –r, la gráfica es simétrica respecto al polo. o(-r ; q)

(r ; q)

3. Si una ecuación no cambia al sustituir θ por Π – θ, la gráfica es simétrica respecto a la recta vertical q = Π/2 (eje y)

(r ; q) (r ; q)

q

q

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Algunas curvas polares comunes

Círculos

Cardiodes

En general, la gráfica de cualquier ecuación de la forma

)cos1( q ar )1( q sen ar

)cos1(2 qr

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

2

)sen 1(2 qr

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Bibliografía

“Cálculo de una variable”

Sexta edición

James Stewart

Ejercicios 10.3 Pág. 647 - 648